2024年中考數(shù)學黃金30題系列1

2016年中考數(shù)學黃金30題系列專題六考前必做難題30題一、選擇題1．已知，是方程的兩個根，則的值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】D．考點：根與系數(shù)的關(guān)系．2．如圖，已知二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），對稱軸為直線x=1，與y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間（包括這兩點），下列結(jié)論：①當x＞3時，y＜0；②3a+b＜0；③；④；其中正確的結(jié)論是（）A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】B．【解析】試題分析：①由拋物線的對稱性可求得拋物線與x軸令一個交點的坐標為（3，0），當x＞3時，y＜0，故①正確；②拋物線開口向下，故a＜0，∵，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a＜0，故②正確；考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．3．如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ACB的角平分線分別交AB、CD于M、N兩點．若AM=2，則線段ON的長為（）A．B．C．1D．【答案】C．【解析】試題分析：作MH⊥AC于H，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠MAH=45°，∴△AMH為等腰直角三角形，∴AH=MH=AM==，∵CM平分∠ACB，∴BM=MH=，∴AB=，∴AC=AB==，∴OC=AC=，CH=AC﹣AH==，∵BD⊥AC，∴ON∥MH，∴△CON∽△CHM，∴，即，∴ON=1．故選C．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；綜合題．4．如圖，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，點A在反比例函數(shù)的圖象上．若點B在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【答案】A．【解析】試題分析：過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．設(shè)點A的坐標是（m，n），則AC=n，OC=m，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵∠DBO+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，∵∠BDO=∠ACO=90°，∴△BDO∽△OCA，∴，∵OB=2OA，∴BD=2m，OD=2n，因為點A在反比例函數(shù)的圖象上，則mn=1，∵點B在反比例函數(shù)的圖象上，B點的坐標是（﹣2n，2m），∴k=﹣2n?2m=﹣4mn=﹣4．故選A．考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；相似三角形的判定與性質(zhì)；綜合題．5．如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，以點B為圓心的圓與AD、DC相切，與AB、CB的延長線分別相交于點E、F，則圖中陰影部分的面積為（）A．B．C．D．【答案】A．考點：扇形面積的計算；菱形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)；綜合題．6．如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG．點F，G分別在邊AD，BC上，連結(jié)OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則下列結(jié)論不成立的是（）A．CD+DF=4B．CD﹣DF=C．BC+AB=D．BC﹣AB=2【答案】A．【解析】試題分析：如圖，設(shè)⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，∵將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，∴OG=DG，∵OG⊥DG，∴∠MGO+∠DGC=90°，∵∠MOG+∠MGO=90°，∴∠MOG=∠DGC，在△OMG和△GCD中，∵∠OMG=∠DCG=90°，∠MOGA=∠DGC，OG=DG，∴△OMG≌△GCD，∴OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．∵AB=CD，∴BC﹣AB=2．設(shè)AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r=（a+b﹣c），∴c=a+b﹣2．在Rt△ABC中，由勾股定理可得，整理得2ab﹣4a﹣4b+4=0，又∵BC﹣AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4=0，解得，（舍去），∴，，∴BC+AB=．再設(shè)DF=x，在Rt△ONF中，F(xiàn)N=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得，∴CD﹣DF==，CD+DF==5．綜上只有選項A錯誤，故選A．考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；翻折變換（折疊問題）．7．如圖1，E為矩形ABCD邊AD上的一點，點P從點B沿折線BE﹣ED﹣DC運動到點C時停止，點Q從點B沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是2cm/s．若P、Q同時開始運動，設(shè)運動時間為t（s），△BPQ的面積為y（cm2），已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．AE=12cmB．sin∠EBC=C．當0＜t≤8時，D．當t=9s時，△PBQ是等腰三角形【答案】D．【解析】D．當t=9s時，點Q與點C重合，點P運動到ED的中點，設(shè)為N，如答圖3所示，連接NB，NC．此時AN=14，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=，∵BC=16，∴△BCN不是等腰三角形，即此時△PBQ不是等腰三角形．故④錯誤；故選D．考點：動點問題的函數(shù)圖象；綜合題．8．如圖所示，在平面直角坐標系中，半徑均為1個單位長度的半圓O1、O2、O3，…組成一條平滑的曲線，點P從原點O出發(fā)，沿這條曲線向右運動，速度為每秒個單位長度，則第2015秒時，點P的坐標是（）A．（2014，0）B．（2015，﹣1）C．（2015，1）D．（2016，0）【答案】B．【解析】考點：規(guī)律型：點的坐標；規(guī)律型；綜合題；壓軸題．9．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AD平分∠BAC，交BC于點E，AB=6，AD=5，則AE的長為（）A．2.5B．2.8C．3D．3.2【答案】B．【解析】試題分析：如圖1，連接BD、CD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴BD===，∵弦AD平分∠BAC，∴CD=BD=，∴∠CBD=∠DAB，在△ABD和△BED中，∵∠BAD=∠EBD，∠ADB=∠BDE，∴△ABD∽△BED，∴，即，解得DE=，∴AE=AB﹣DE=5﹣=2.8．故選B．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；綜合題．10．如圖，E是邊長為l的正方形ABCD的對角線BD上一點，且BE=BC，P為CE上任意一點，PQ⊥BC于點Q，PR⊥BE于點R，則PQ+PR的值為（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】試卷分析：連接BP，過C作CM⊥BD，∴，即BE?CM=BC?PQ+BE?PR，又∵BC=BE，∴BE?CM=BE(PQ+PR)，∴CM=PQ+PR，∵BE=BC=1且正方形對角線BD=BC=，又BC=CD，CM⊥BD，∴M為BD中點，又△BDC為直角三角形，∴CM=BD=，即PQ+PR值是．故選A.考點：正方形的性質(zhì)。二、填空題11．如圖，拋物線的對稱軸是．且過點（，0），有下列結(jié)論：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正確的結(jié)論是．（填寫正確結(jié)論的序號）【答案】①③⑤．【解析】∵x=﹣1時，函數(shù)值最大，∴（m≠1），∴a﹣b＞m（am﹣b），所以⑤正確；故答案為：①③⑤．考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．12．圖甲是小明設(shè)計的帶菱形圖案的花邊作品．該作品由形如圖乙的矩形圖案拼接而成（不重疊、無縫隙）．圖乙中，EF=4cm，上下兩個陰影三角形的面積之和為54cm2，其內(nèi)部菱形由兩組距離相等的平行線交叉得到，則該菱形的周長為cm．【答案】．【解析】試題分析：如圖乙，取CD的中點G，連接HG，設(shè)AB=6acm，則BC=7acm，中間菱形的對角線HI的長度為xcm，∵BC=7acm，MN=EF=4cm，∴CN=，∵GH∥BC，∴，∴，∴x=3.5a﹣2…（1）；∵上下兩個陰影三角形的面積之和為54cm2，∴6a?（7a﹣x）÷2=54，∴a（7a﹣x）=18…（2）；由（1）（2），可得：a=2，x=5，∴CD=6×2=12（cm），CN==9，∴DN==15（cm），又∵DH===7.5（cm），∴HN=15﹣7.5=7.5（cm），∵AM∥FC，∴，∴HK==，∴該菱形的周長為：×4=（cm）．故答案為：．考點：菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；綜合題．13．已知正方形ABC1D1的邊長為1，延長C1D1到A1，以A1C1為邊向右作正方形A1C1C2D2，延長C2D2到A2，以A2C2為邊向右作正方形A2C2C3D3（如圖所示），以此類推…．若A1C1=2，且點A，D2，D3，…，D10都在同一直線上，則正方形A9C9C10D10的邊長是．【答案】．【解析】試題分析：延長D4A和C1B交于O，∵AB∥A2C1，∴△AOB∽△D2OC2，∴，∵AB=BC1=1，=2，∴=，∴OC2=2OB，∴OB=BC2=3，∴OC2=6，設(shè)正方形A2C2C3D3的邊長為，同理證得：△D2OC2∽△D3OC3，∴，解得，=3，∴正方形A2C2C3D3的邊長為3，設(shè)正方形A3C3C4D4的邊長為，同理證得：△D3OC3∽△D4OC4，∴，解得=，∴正方形A3C3C4D4的邊長為；設(shè)正方形A4C4C5D5的邊長為，同理證得：△D4OC4∽△D5OC5，∴，解得=，∴正方形A4C4C5D5的邊長為；以此類推…．正方形An﹣1Cn﹣1CnDn的邊長為；∴正方形A9C9C10D10的邊長為．故答案為：．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；規(guī)律型；綜合題；壓軸題．14．如圖，在平面直角坐標系中，菱形OBCD的邊OB在x軸正半軸上，反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過該菱形對角線的交點A，且與邊BC交于點F．若點D的坐標為（6，8），則點F的坐標是．【答案】（12，）．【解析】考點：菱形的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；綜合題；壓軸題．15．已知點P是半徑為1的⊙O外一點，PA切⊙O于點A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=，連接PB，則PB=．【答案】1或．【解析】試題分析：連接OA，（1）如圖1，連接OA，∵PA=AO=1，OA=OB，PA是⊙的切線，∴∠AOP=45°∵OA=OB，∴∠BOP=∠AOP=45°，在△POA與△POB中，∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OP=OP，∴△POA≌△POB，∴PB=PA=1；（2）如圖2，連接OA，與PB交于C，∵PA是⊙O的切線，∴OA⊥PA，而PA=AO=1，∴OP=，∵AB=，而OA=OB=1，∴AO⊥BO，∴四邊形PABO是平行四邊形，∴PB，AO互相平分，設(shè)AO交PB與點C，即OC=，∴BC=，∴PB=．故答案為：1或．考點：切線的性質(zhì)；分類討論；綜合題．16．如圖，OA在x軸上，OB在y軸上，OA=8，AB=10，點C在邊OA上，AC=2，⊙P的圓心P在線段BC上，且⊙P與邊AB，AO都相切．若反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過圓心P，則k=．【答案】﹣5．【解析】試題分析：作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如圖，設(shè)⊙P的半徑為r，∵⊙P與邊AB，AO都相切，∴PD=PE=r，AD=AE，在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，∴OB==6，∵AC=2，∴OC=6，∴△OBC為等腰直角三角形，∴△PCD為等腰直角三角形，∴PD=CD=r，∴AE=AD=2+r，∵∠CAH=∠BAO，∴△ACH∽△ABO，∴，即，解得CH=，∴AH===，∴BH==，∵PE∥CH，∴△BEP∽△BHC，∴，即，解得r=1，∴OD=OC﹣CD=6﹣1=5，∴P（5，﹣1），∴k=5×（﹣1）=﹣5．故答案為：﹣5．考點：切線的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；綜合題；壓軸題．17．關(guān)于x的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根都在﹣1和0之間（不包括﹣1和0），則a的取值范圍是．【答案】．【解析】考點：拋物線與x軸的交點；綜合題；壓軸題．18．如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D為BC的中點，E是AC邊上一點，則BE+DE的最小值為．【答案】．【解析】試題分析：作B關(guān)于AC的對稱點B′，連接BB′、B′D，交AC于E，此時BE+ED=B′E+ED=B′D，根據(jù)兩點之間線段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，∵B、B′關(guān)于AC的對稱，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四邊形ABCB′是平行四邊形，∵三角形ABC是邊長為2，∵D為BC的中點，∴AD⊥BC，∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=，作B′G⊥BC的延長線于G，∴B′G=AD=，在Rt△B′BG中，BG===3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，在Rt△B′DG中，BD===．故BE+ED的最小值為．考點：軸對稱-最短路線問題；等邊三角形的性質(zhì)；最值問題；綜合題．19．如圖，三個小正方形的邊長都為1，則圖中陰影部分面積的和是（結(jié)果保留π）．【答案】．【解析】試題分析：根據(jù)圖示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴圖中陰影部分的圓心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，∴陰影部分的面積應(yīng)為：S==．故答案為：．考點：扇形面積的計算；壓軸題．20．菱形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，頂點B（2，0），∠DOB=60°，點P是對角線OC上一個動點，E（0，﹣1），當EP+BP最短時，點P的坐標為．【答案】（，）．【解析】試題分析：連接ED，如圖，∵點B的對稱點是點D，∴DP=BP，∴ED即為EP+BP最短，∵四邊形ABCD是菱形，頂點B（2，0），∠DOB=60°，∴點D的坐標為（1，），∴點C的坐標為（3，），∴可得直線OC的解析式為：，∵點E的坐標為（﹣1，0），∴可得直線ED的解析式為：，∵點P是直線OC和直線ED的交點，∴點P的坐標為方程組的解，解方程組得：，所以點P的坐標為（，），故答案為：（，）．考點：菱形的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；軸對稱-最短路線問題；動點型；壓軸題；綜合題．21．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，將其放入平面直角坐標系，使A點與原點重合，AB在x軸上，△ABC沿x軸順時針無滑動的滾動，點A再次落在x軸時停止?jié)L動，則點A經(jīng)過的路線與x軸圍成圖形的面積為．【答案】．【解析】考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；扇形面積的計算；規(guī)律型；綜合題．22．有9張卡片，分別寫有這九個數(shù)字，將它們背面朝上洗勻后，任意抽出一張，記卡片上的數(shù)字為a，則使關(guān)于x的不等式組有解的概率為____．【答案】．【解析】試題分析：設(shè)不等式有解，則不等式組的解為，那么必須滿足條件，，∴，∴滿足條件的a的值為6，7，8，9，∴有解的概率為．故答案為：．考點：解一元一次不等式組；含字母系數(shù)的不等式；概率公式；壓軸題．三、解答題23．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，且）的圖象交于A（1，a）、B兩點．（1）求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標；（2）在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標及△PAB的面積．【答案】（1），；（2）P，．【解析】試題分析：（1）把A的坐標代入一次函數(shù)可得到a的值，從而得到k的值，聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)成方程組，解方程組即可得到點B的坐標；（2）如答圖所示，把B點關(guān)于x軸對稱，得到，連接交x軸于點，連接，則有，，當P點和點重合時取到等號．易得直線：，令，得，∴，即滿足條件的P的坐標為，設(shè)交x軸于點C，則，∴，，即．考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；最值問題；軸對稱-最短路線問題；綜合題．24．為加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源．某市對居民用水實行階梯水價，居民家庭每月用水量劃分為三個階梯，一、二、三級階梯用水的單價之比等于1：1.5：2．如圖折線表示實行階梯水價后每月水費y（元）與用水量xm3之間的函數(shù)關(guān)系．其中線段AB表示第二級階梯時y與x之間的函數(shù)關(guān)系．（1）寫出點B的實際意義；（2）求線段AB所在直線的表達式；（3）某戶5月份按照階梯水價應(yīng)繳水費102元，其相應(yīng)用水量為多少立方米？【答案】（1）圖中B點的實際意義表示當用水25m3時，所交水費為90元；（2）；（3）27．【解析】試題分析：（1）根據(jù)圖象的信息得出即可；（2）首先求出第一、二階梯單價，再設(shè)出解析式，代入求出即可；（3）因為102＞90，求出第三階梯的單價，得出方程，求出即可．試題解析：（1）圖中B點的實際意義表示當用水25m3時，所交水費為90元；（2）設(shè)第一階梯用水的單價為x元/m3，則第二階梯用水單價為1.5x元/m3，設(shè)A（a，45），則，解得：，∴A（15，45），B（25，90），設(shè)線段AB所在直線的表達式為，則：，解得：，∴線段AB所在直線的表達式為；（3）設(shè)該戶5月份用水量為xm3（x＞90），由第（2）知第二階梯水的單價為4.5元/m3，第三階梯水的單價為6元/m3，則根據(jù)題意得90+6（x﹣25）=102，解得，x=27．答：該用戶5月份用水量為27m3．考點：一次函數(shù)的應(yīng)用；分段函數(shù)；綜合題．25．某工廠在生產(chǎn)過程中每消耗1萬度電可以產(chǎn)生產(chǎn)值5.5萬元，電力公司規(guī)定，該工廠每月用電量不得超過16萬度，月用電量不超過4萬度時，單價是1萬元/萬度；超過4萬度時，超過部分電量單價將按用電量進行調(diào)查，電價y與月用電量x的函數(shù)關(guān)系可用如圖來表示．（效益=產(chǎn)值﹣用電量×電價）（1）設(shè)工廠的月效益為z（萬元），寫出z與月用電量x（萬度）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）求工廠最大月效益．【答案】（1）z=；（2）54萬元．【分析】（1）根據(jù)題意知電價y與月用電量x的函數(shù)關(guān)系是分段函數(shù)，當0≤x≤4時，y=1，當4＜x≤16時，函數(shù)過點（4，1）和（8，1.5）的一次函數(shù)，求出解析式；再根據(jù)效益=產(chǎn)值﹣用電量×電價，求出z與月用電量x（萬度）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)（1）中得到函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最值．【解析】（1）根據(jù)題意得：電價y與月用電量x的函數(shù)關(guān)系是分段函數(shù)，當0≤x≤4時，y=1，當4＜x≤16時，函數(shù)過點（4，1）和（8，1.5）的一次函數(shù)，設(shè)一次函數(shù)為y=kx+b，∴，解得：，∴，∴電價y與月用電量x的函數(shù)關(guān)系為：，∴z與月用電量x（萬度）之間的函數(shù)關(guān)系式為：z=，即z=；【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是圖中的函數(shù)為分段函數(shù)，分別求出個函數(shù)的解析式，注意自變量的取值范圍．對于最值問題，借助于一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答．考點：一次函數(shù)的應(yīng)用；二次函數(shù)的最值；最值問題；分段函數(shù)；壓軸題．26．如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長OD到點G，OC到點E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．（1）求證：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如圖2．①在旋轉(zhuǎn)過程中，當∠OAG′是直角時，求α的度數(shù)；②若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF′長的最大值和此時α的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由．【答案】（1）證明見試題解析；（2）①α=30°或150°；②，α=315°．【解析】試題分析：（1）延長ED交交AG于點H，易證△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后運用等量代換證明∠AHE=90°即可；（2）①在旋轉(zhuǎn)過程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：α由0°增大到90°過程中，當∠OAG′=90°時，α=30°，α由90°增大到180°過程中，當∠OAG′=90°時，α=150°；②當旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時，AF′的長最大，AF′=AO+OF′=，此時α=315°．（Ⅱ）α由90°增大到180°過程中，當∠OAG′=90°時，同理可求∠BOG′=30°，∴α=180°﹣30°=150°．綜上所述，當∠OAG′=90°時，α=30°或150°．②如圖3，當旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時，AF′的長最大，∵正方形ABCD的邊長為1，∴OA=OD=OC=OB=，∵OG=2OD，∴OG′=OG=，∴OF′=2，∴AF′=AO+OF′=，∵∠COE′=45°，∴此時α=315°．考點：幾何變換綜合題；四邊形綜合題；分類討論；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；最值問題；綜合題；壓軸題．27．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點D，E，F(xiàn)，且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點G，交于點H，連接BD、FH．（1）求證：△ABC≌△EBF；（2）試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若AB=1，求HG?HB的值．【答案】（1）證明見試題解析；（2）相切，理由見試題解析；（3）．【解析】試題解析：（1）∵∠ABC=90°，∴∠CBF=90°，∵FD⊥AC，∴∠CDE=90°，∴∠ABF=∠EBF，∵∠DEC=∠BEF，∴∠DCE=∠EFB，∵BC=BF，∴△ABC≌△EBF（ASA）；（2）BD與⊙O相切．理由：連接OB，∵DF是AC的垂直平分線，∴AD=DC，∴BD=CD，∴∠DCE=∠DBE，∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠DCE=∠EFB，∴∠DBE=∠OBF，∵∠OBF+∠OBE=90°，∴∠DBE+∠OBE=90°，∴OB⊥BD，∴BD與⊙O相切；（3）連接EA，EH，∵DF為線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，∵△ABC≌△EBF，∴AB=BE=1，∴CE=AE=，∴，∴，又∵BH為角平分線，∴∠EBH=∠EFH=45°，∴∠HEF=∠HBF=45°，∠HFG=∠EBG=45°，∴△EHF為等腰直角三角形，∴，∴，∵∠HFG=∠FBG=45°，∠GHF=∠GHF，∴△GHF∽△FHB，∴，∴，∴．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；探究型；壓軸題；綜合題．28．【發(fā)現(xiàn)】如圖∠ACB=∠ADB=90°，那么點D在經(jīng)過A，B，C三點的圓上（如圖①）【思考】如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（點C，D在AB的同側(cè)），那么點D還在經(jīng)過A，B，C三點的圓上嗎？請證明點D也不在⊙O內(nèi)．【應(yīng)用】利用【發(fā)現(xiàn)】和【思考】中的結(jié)論解決問題：若四邊形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，點E在邊AB上，CE⊥DE．（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延長線于點F（如圖④），求證：DF為Rt△ACD的外接圓的切線；（2）如圖⑤，點G在BC的延長線上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=，AD=1，求DG的長．【答案】【思考】證明見試題解析；【應(yīng)用】（1）證明見試題解析；（2）．【解析】試題分析：【思考】假設(shè)點D在⊙O內(nèi)，由圓周角定理及三角形外角的性質(zhì)，可證得與條件相矛盾的結(jié)論，從而證得點D不在⊙O內(nèi)；【應(yīng)用】（1）作出RT△ACD的外接圓，由發(fā)現(xiàn)可得點E在⊙O上，則∠ACD=∠FDA，又∠ACD+∠ADC=90°，有∠FDA+∠ADC=90°，即可得出DF是圓的切線；（2）由【發(fā)現(xiàn)】和【思考】可得點G在過C、A、E三點的圓O上，證明四邊形AOGD是矩形，由已知條件解直角三角形ACD可得AC的長，即DG的長．試題解析：【思考】如圖1，假設(shè)點D在⊙O內(nèi)，延長AD交⊙O于點E，連接BE，則∠AEB=∠ACB，∵∠ADE是△BDE的外角，∴∠ADB＞∠AEB，∴∠ADB＞∠ACB，因此，∠ADB＞∠ACB這與條件∠ACB=∠ADB矛盾，所以點D也不在⊙O內(nèi)，所以點D即不在⊙O內(nèi)，也不在⊙O外，點D在⊙O上；【應(yīng)用】（1）如圖2，取CD的中點O，則點O是RT△ACD的外心，∵∠CAD=∠DEC=90°，∴點E在⊙O上，∴∠ACD=∠AED，∵∠FDA=∠AED，∴∠ACD=∠FDA，∵∠DAC=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°，∴∠FDA+∠ADC=90°，∴OD⊥DF，∴DF為Rt△ACD的外接圓的切線；（2）∵∠BGE=∠BAC，∴點G在過C、A、E三點的圓上，如圖3，又∵過C、A、E三點的圓是RT△ACD的外接圓，即⊙O，∴點G在⊙O上，∵CD是直徑，∴∠DGC=90°，∵AD∥BC，∴∠ADG=90°，∵∠DAC=90°，∴四邊形ACGD是矩形，∴DG=AC，∵sin∠AED=，∠ACD=∠AED，∴sin∠ACD=，在RT△ACD中，AD=1，∴=，∴CD=，∴AC==，∴DG=．考點：切線的判定；圓周角定理；圓的綜合題；壓軸題．29．如圖，拋物線與直線交于A，B兩點，交x軸與D，C兩點，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．（2）設(shè)E為線段AC上一點（不含端點），連接DE，一動點M從點D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個單位速度運動到E點，再沿線段EA以每秒個單位的速度運動到A后停止，當點E的坐標是多少時，點M在整個運動中用時最少？【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）（1）（11，36）、（，）、（，）；（2）E（2，1）．【解析】試題分析：（Ⅰ）只需把A、C兩點的坐標代入，就可得到拋物線的解析式，然后求出直線AB與拋物線的交點B的坐標，過點B作BH⊥x軸于H，如圖1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=，AC=，從而得到∠ACB=90°，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出tan∠BAC的值；（2）過點E作EN⊥y軸于N，如圖3．易得AE=EN，則點M在整個運動中所用的時間可表示為=DE+EN．作點D關(guān)于AC的對稱點D′，連接D′E，則有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，從而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根據(jù)兩點之間線段最短可得：當D′、E、N三點共線時，DE+EN=D′E+EN最小．此時可證到四邊形OCD′N是矩形，從而有ND′=OC=3，ON=D′C=DC．然后求出點D的坐標，從而得到OD、ON、NE的值，即可得到點E的坐標．試題解析：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入，得：，解得：．∴拋物線的解析式為；聯(lián)立，解得：或，∴點B的坐標為（4，1）．過點B作BH⊥x軸于H，如圖1，∵C（3，0），B（4，1），∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=．同理：∠ACO=45°，AC=，∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，∴tan∠BAC===；（Ⅱ）（1）存在點P，使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似．過點P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．設(shè)點P的橫坐標為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x，∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．若點G在點A的下方，①如圖2①，當∠PAQ=∠CAB時，則△PAQ∽△CAB．∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴=，∴AG=3PG=3x，則P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入，得：，整理得：，解得：（舍去），（舍去）．②如圖2②，當∠PAQ=∠CBA時，則△PAQ∽△CBA，同理可得：AG=PG=，則P（x，），把P（x，）代入，得：，整理得：，解得：（舍去），，∴P（，）；若點G在點A的上方，①當∠PAQ=∠CAB時，則△PAQ∽△CAB，同理可得：點P的坐標為（11，36）．②當∠PAQ=∠CBA時，則△PAQ∽△CBA，同理可得：點P的坐標為P（，）．綜上所述：滿足條件的點P的坐標為（11，36）、（，）、（，）；（2）過點E作EN⊥y軸于N，如圖3．在Rt△ANE中，EN=AE?sin45°=AE，即AE=EN，∴點M在整個運動中所用的時間為=DE+EN．作點D關(guān)于AC的對稱點D′，連接D′E，則有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根據(jù)兩點之間線段最短可得：當D′、E、N三點共線時，DE+EN=D′E+EN最小．此時，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，∴四邊形OCD′N是矩形，∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．對于，當y=0時，有，解得：，，∴D（2，0），OD=2，∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，∴點E的坐標為（2，1）．考點：二次函數(shù)綜合題；相似三角形的判定與性質(zhì)；動點型；存在型；分類討論；綜合題；壓軸題．30．如圖，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點（點A在點B的上方），與x軸的正半軸交于點C，直線l的解析式為，與x軸相交于點D，以點C為頂點的拋物線過點B．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷直線l與⊙E的位置關(guān)系，并說明理由；（3）動點P在拋物線上，當點P到直線l的距離最小時．求出點P的坐標及最小距離．【答案】（1）；（2）直線l與⊙E相切與A；（3）P（2，），．【解析】試題分析：（1）連接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的長，結(jié)合垂徑定理求出OC的長，從而得到C點坐標，進而得到拋物線的解析式；（2）求出點D的坐標，根據(jù)△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判斷出直線l與⊙E相切與A；（3）過點P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q，過點P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點M．設(shè)M（m，），P（m，），得到PM===，根據(jù)△PQM的三個內(nèi)角固定不變，得到PQ最小=PM最小?sin∠QMP=PM最小?sin∠AEO==，從而得到最小距離．試題解析：（1）如圖1，連接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA===4，∵OC⊥AB，∴由垂徑定理得，OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），∵拋物線的定點為C，∴設(shè)拋物線的解析式為，將點B的坐標代入上解析的式，得64a=﹣4，故a=，∴，∴所求拋物線的解析式為：；（2）在直線l的解析式中，令y=0，得，解得x=，∴點D的坐標為（，0），當x=0時，y=4，∴點A在直線l上，在Rt△AOE和Rt△DOA中，∵，，∴，∵∠AOE=∠DOA=90°，∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO=∠DAO，∵∠AEO+∠EAO=90°，∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直線l與⊙E相切與A；（3）如圖2，過點P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q，過點P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點M．設(shè)M（m，），P（m，），則PM===，當m=2時，PM取得最小值，此時，P（2，），對于△PQM，∵PM⊥x軸，∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，又∠PQM=90°，∴△PQM的三個內(nèi)角固定不變，∴在動點P運動的過程中，△PQM的三邊的比例關(guān)系不變，∴當PM取得最小值時，PQ也取得最小值，PQ最小=PM最小?sin∠QMP=PM最小?sin∠AEO==，∴當拋物線上的動點P的坐標為（2，）時，點P到直線l的距離最小，其最小距離為．考點：二次函數(shù)綜合題；二次函數(shù)的最值；探究型；最值問題；動點型；綜合題；壓軸題．專題五考前必做基礎(chǔ)30題一、選擇題1．如圖，一塊含30°角的直角三角板ABC的直角頂點A在直線DE上，且BC∥DE，則∠CAE等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A．【解析】試題分析：∵∠C=30°，BC∥DE，∴∠CAE=∠C=30°．故選A．考點：平行線的性質(zhì)．2．若，則=（）A．﹣1B．1C．D．【答案】A．【解析】試題分析：∵，∴，解得：，則．故選A．考點：解二元一次方程組；非負數(shù)的性質(zhì)．3．小明家、公交車站、學校在一條筆直的公路旁（小明家、學校到這條公路的距離忽略不計），一天，小明從家出發(fā)去上學，沿這條公路步行到公交車站恰好乘上一輛公交車，公交車沿這條公路勻速行駛，小明下車時發(fā)現(xiàn)還有4分鐘上課，于是他沿這條公路跑步趕到學校（上、下車時間忽略不計），小明與家的距離s（單位：米）與他所用時間t（單位：分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，已知小明從家出發(fā)7分鐘時與家的距離為1200米，從上公交車到他到達學校共用10分鐘，下列說法：①小明從家出發(fā)5分鐘時乘上公交車②公交車的速度為400米/分鐘③小明下公交車后跑向?qū)W校的速度為100米/分鐘④小明上課沒有遲到其中正確的個數(shù)是（）A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】D．考點：一次函數(shù)的應(yīng)用；分段函數(shù)．4．若拋物線的頂點在第一象限，則m的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】試題分析：由得，頂點坐標為（m，m+1），根據(jù)題意得：，解不等式組，得m＞0．故選B．考點：二次函數(shù)的性質(zhì)．5．拋物線向上平移4個單位長度后的函數(shù)解析式為（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】試題分析：拋物線向上平移4個單位長度的函數(shù)解析式為=，故選C．考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．6．下列計算正確的是（）A．B．C．D．【答案】A．考點：同底數(shù)冪的除法；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．7．下列“慢行通過，注意危險，禁止行人通行，禁止非機動車通行”四個交通標志圖（黑白陰影圖片）中為軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】試題分析：A．不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B．是軸對稱圖形，故本選項正確；C．不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D．不是軸對稱圖形，故本選項錯誤．故選B．考點：軸對稱圖形．8．如圖，?ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上的兩點，如果添加一個條件，使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能為（）A．BE=DFB．BF=DEC．AE=CFD．∠1=∠2【答案】C．【解析】考點：全等三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．9．函數(shù)的自變量x的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】試題分析：根據(jù)題意得：x﹣2≥0且x﹣2≠0，解得：x＞2．故選B．考點：函數(shù)自變量的取值范圍．10．若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為（）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】B．【解析】試題分析：∵關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，∴△==且，∴且，∴整數(shù)a的最大值為0．故選B．考點：根的判別式；一元二次方程的定義．11．一組數(shù)據(jù)－1、2、1、0、3的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）A．1，0B．2，1C．1，2D．1，1【答案】D．【解析】試卷分析：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：（-1+2+1+3）÷5=1；把-1、2、1、0、3從小到大排列為：-1、0、1、2、3，最中間的數(shù)是1，則中位數(shù)是1．故選D．考點：中位數(shù)；平均數(shù)．12．二次函數(shù)（）的圖象如圖所示，下列說法正確的個數(shù)是（）①；②；③；④．A．1B．2C．3D．4【答案】B．【解析】試題分析：∵拋物線開口向下，∴a＜0，所以①錯誤；∵拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，∴＞0，∴b＞0，所以②正確；∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，所以③錯誤；∵拋物線與x軸有2個交點，∴△=，所以④正確．故選B．考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；數(shù)形結(jié)合．13．如圖，點A的坐標是（2，0），△ABO是等邊三角形，點B在第一象限．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，則k的值是（）A．1B．2C．D．【答案】C．考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；等邊三角形的性質(zhì)．二、填空題14．因式分=．【答案】．【解析】試題分析：==．故答案為：．考點：提公因式法與公式法的綜合運用．15．某樓盤2013年房價為每平方米8100元，經(jīng)過兩年連續(xù)降價后，2015年房價為7600元．設(shè)該樓盤這兩年房價平均降低率為x，根據(jù)題意可列方程為．【答案】．【解析】試題分析：設(shè)該樓盤這兩年房價平均降低率為x，根據(jù)題意列方程得：，故答案為：．考點：由實際問題抽象出一元二次方程；增長率問題．16．如圖，已知矩形ABCD的對角線長為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD．DA的中點，則四邊形EFGH的周長等于cm．【答案】16．【解析】試題分析：如圖，連接C、BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD=8cm，∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，∴HG=EF=AC=4cm，EH=FG=BD=4cm，∴四邊形EFGH的周長等于4cm+4cm+4cm+4cm=16cm，故答案為：16．考點：中點四邊形．17．如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1m，其中水面的寬AB為0.8m，則排水管內(nèi)水的深度為m．【答案】0.8．【解析】試題分析：如圖，過O點作OC⊥AB，C為垂足，交⊙O于D、E，連OA，OA=0.5m，AB=0.8m，∵OC⊥AB，∴AC=BC=0.4m，在Rt△AOC中，OA2=AC2+OC2，∴OC=0.3m，則CE=0.3+0.5=0.8m，故答案為：0.8．考點：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理．18．現(xiàn)有一張圓心角為108°，半徑為40cm的扇形紙片，小紅剪去圓心角為θ的部分扇形紙片后，將剩下的紙片制作成一個底面半徑為10cm的圓錐形紙帽（接縫處不重疊），則剪去的扇形紙片的圓心角θ為．【答案】18°．考點：圓錐的計算．19．如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線，切點為F．若∠ACF=65°，則∠E=．【答案】50°．【解析】試題分析：連接DF，連接AF交CE于G，∵AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，∴，∵EF是⊙O的切線，∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，∵∠DFE=∠DCF，∠GFD=∠AFC，∠EFG=∠EGF=65°，∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°，故答案為：50°．考點：切線的性質(zhì)．20．數(shù)據(jù)1，2，3，5，5的眾數(shù)是，平均數(shù)是．【答案】5；．【解析】試題分析：數(shù)據(jù)1，2，3，5，5的眾數(shù)是5；平均數(shù)是（1+2+3+5+5）=．故答案為：5；．考點：眾數(shù)；算術(shù)平均數(shù)．21．點P（3，2）關(guān)于y軸的對稱點的坐標是_________．【答案】（﹣3，2）．考點：關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標．22．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=，AD=4，將平行四邊形ABCD沿AE翻折后，點B恰好與點C重合，則折痕AE的長為________．【答案】3．【解析】試題分析：點B恰好與點C重合，且四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)翻折的性質(zhì)，則AE⊥BC，BE=CE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得．故答案為：3．考點：翻折變換（折疊問題）；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．三、解答題23．（1）計算：；（2）解不等式組，并在數(shù)軸上表示不等式組的解集．【答案】（1）；（2）．【解析】考點：實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式組；特殊角的三角函數(shù)值．24．化簡：．【答案】．【解析】試題分析：根據(jù)分式的運算性質(zhì)，先對括號里的式子通分，后按同分母的分式計算，再根據(jù)除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)把除法變?yōu)槌朔ǎ褟?fù)雜的因式進行因式分解，再約分即可完成化簡．試題解析：原式===．考點：分式的混合運算．25．如圖，在邊長均為1的正方形網(wǎng)格紙上有一個△ABC，頂點A、B、C及點O均在格點上，請按要求完成以下操作或運算：（1）將△ABC向上平移4個單位，得到△A1B1C1（不寫作法，但要標出字母）；（2）將△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180°，得到△A2B2C2（不寫作法，但要標出字母）；（3）求點A繞著點O旋轉(zhuǎn)到點A2所經(jīng)過的路徑長．【答案】（1）作圖見試題解析；（2）作圖見試題解析；（3）4π．【解析】試題分析：（1）根據(jù)圖形平移的性質(zhì)畫出平移后的△A1B1C1即可；（2）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180°后得到的△A2B2C2；（3）根據(jù)弧長的計算公式列式即可求解．試題解析：（1）△A1B1C1如圖所示；（2）△A2B2C2如圖所示：（3）∵OA=4，∠AOA2=180°，∴點A繞著點O旋轉(zhuǎn)到點A2所經(jīng)過的路徑長為．考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；弧長的計算；作圖-平移變換．26．今年5月份，某校九年級學生參加了南寧市中考體育考試，為了了解該校九年級（1）班同學的中考體育情況，對全班學生的中考體育成績進行了統(tǒng)計，并繪制以下不完整的頻數(shù)分布表（如表）和扇形統(tǒng)計圖（如圖），根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：（1）求全班學生人數(shù)和m的值．（2）直接學出該班學生的中考體育成績的中位數(shù)落在哪個分數(shù)段．（3）該班中考體育成績滿分共有3人，其中男生2人，女生1人，現(xiàn)需從這3人中隨機選取2人到八年級進行經(jīng)驗交流，請用“列表法”或“畫樹狀圖法”求出恰好選到一男一女的概率．【答案】（1）50，18；（2）落在51﹣56分數(shù)段；（3）．（3）如圖所示：將男生分別標記為A1，A2，女生標記為B1P（一男一女）==．考點：列表法與樹狀圖法；頻數(shù)（率）分布表；扇形統(tǒng)計圖；中位數(shù)．27．如圖，在?ABCD中，E、F分別是AB、DC邊上的點，且AE=CF，（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）若∠DEB=90°，求證：四邊形DEBF是矩形．【答案】（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析．【解析】試題分析：（1）在?ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF；（2）在?ABCD中，且AE=CF，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形DEBF是平行四邊形，又由∠DEB=90°，可證得四邊形DEBF是矩形．試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=CB，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，∵AD=CB，∠A=∠C，AE=CF，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE=CF，∴BE=DF，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠DEB=90°，∴四邊形DEBF是矩形．考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定．28．如圖，將矩形ABCD沿對角線BD對折，點C落在E處，BE與AD相交于點F．若DE=4，BD=8．（1）求證：AF=EF；（2）求證：BF平分∠ABD．【答案】（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析．【解析】試題分析：（1）由翻折變換的性質(zhì)得到ED=CD，∠E=∠C，從而有ED=AB，∠E=∠A．于是△ABF≌△EDF，故可得出結(jié)論；（2）在Rt△BCD中由sin∠CBD=可得出∠CBD=30°，∠EBD=∠CBD=30°，從而有∠ABF=90°﹣30°×2=30°，故∠ABF=∠DBF，BF平分∠ABD．考點：翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．29．現(xiàn)有三張反面朝上的撲克牌：紅桃2、紅桃3、黑桃x（1≤x≤13且x為奇數(shù)或偶數(shù)）．把牌洗勻后第一次抽取一張，記好花色和數(shù)字后將牌放回，重新洗勻第二次再抽取一張．（1）求兩次抽得相同花色的概率；（2）當甲選擇x為奇數(shù)，乙選擇x為偶數(shù)時，他們兩次抽得的數(shù)字和是奇數(shù)的可能性大小一樣嗎？請說明理由．（提示：三張撲克牌可以分別簡記為紅2、紅3、黑x）【答案】（1）；（2）一樣．【解析】試題分析：（1）根據(jù)樹狀圖求出兩次抽得相同花色的概率即可；（2）根據(jù)樹狀圖求出概率，然后比較即可．試題解析：（1）如圖，所有可能的結(jié)果又9種，兩次抽得相同花色的可能性有5種，∴P（相同花色）=，∴兩次抽得相同花色的概率為：；（2）他們兩次抽得的數(shù)字和是奇數(shù)的可能性大小一樣，∵x為奇數(shù)，兩次抽得的數(shù)字和是奇數(shù)的可能性有4種，∴P（甲）=，∵x為偶數(shù)，兩次抽得的數(shù)字和是奇數(shù)的可能性有4種，∴P（乙）=，∴P（甲）=P（乙），∴他們兩次抽得的數(shù)字和是奇數(shù)的可能性大小一樣．考點：列表法與樹狀圖法．30．如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點A（4，n），與x軸相交于點B．（1）填空：n的值為，k的值為；（2）以AB為邊作菱形ABCD，使點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，求點D的坐標；（3）考察反比函數(shù)的圖象，當時，請直接寫出自變量x的取值范圍．【答案】（1）3，12；（2）D（，3）；（3）或．【解析】試題解析：（1）把點A（4，n）代入一次函數(shù)，可得n=×4﹣3=3；把點A（4，3）代入反比例函數(shù)，可得，解得k=12．（2）∵一次函數(shù)與x軸相交于點B，∴，解得x=2，∴點B的坐標為（2，0），如圖，過點A作AE⊥x軸，垂足為E，過點D作DF⊥x軸，垂足為F，∵A（4，3），B（2，0），∴OE=4，AE=3，OB=2，∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，在Rt△ABE中，AB===，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=，AB∥CD，∴∠ABE=∠DCF，∵AE⊥x軸，DF⊥x軸，∴∠AEB=∠DFC=90°，在△ABE與△DCF中，∵∠AEB=∠ DFC，∠ABE=∠DCF，AB=CD，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴CF=BE=2，DF=AE=3，∴OF=OB+BC+CF==，∴點D的坐標為（，3）；（3）當時，，解得，故當時，自變量x的取值范圍是或．考點：反比例函數(shù)綜合題；綜合題；菱形的性質(zhì)．31．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，交AB于點E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE．（1）求證：直線DF與⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的長．【答案】（1）證明見試題解析；（2）9．【解析】試題分析：（1）連接OD，利用AB=AC，OD=OC，證得OD∥AD，易證DF⊥OD，故DF為⊙O的切線；（2）證得△BED∽△BCA，求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可．試題解析：（1）如圖，連接OD．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OD=OC，∴∠ODC=∠C，∴∠ODC=∠B，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴OD⊥DF，∵點D在⊙O上，∴直線DF與⊙O相切；（2）∵四邊形ACDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AED+∠ACD=180°，∵∠AED+∠BED=180°，∴∠BED=∠ACD，∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴，∵OD∥AB，AO=CO，∴BD=CD=BC=3，又∵AE=7，∴，∴BE=2，∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．32．已知二次函數(shù)經(jīng)過點A（﹣1，0）、C（0，3），與x軸交于另一點B，拋物線的頂點為D．（1）求此二次函數(shù)解析式；（2）連接DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）證明見試題解析；（3）存在，P（，）或（2，3）．（2）由得，D點坐標為（1，4），∴CD==，BC==，BD==，∵==20，==20，∴，∴△BCD是直角三角形；（3）存在．對稱軸為直線x=1．①若以CD為底邊，則PD=PC，設(shè)P點坐標為（x，y），根據(jù)兩點間距離公式，得，即y=4﹣x．又P點（x，y）在拋物線上，∴，即，解得，＜1，應(yīng)舍去，∴，∴y=4﹣x=，即點P坐標為（，）；②若以CD為一腰，∵點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關(guān)于直線x=1對稱，此時點P坐標為（2，3）；∴符合條件的點P坐標為（，）或（2，3）．考點：二次函數(shù)綜合題；存在型；分類討論；勾股定理的逆定理；綜合題；壓軸題．專題四名校模擬精華30題一、選擇題1．（2016屆合肥十校聯(lián)考）64的算術(shù)平方根是（）A．4B．±4C．8D．±8【答案】D．【解析】試題分析：∵=8，∴64的算術(shù)平方根是8．故選D．考點：算術(shù)平方根．2．（2016安徽省名校）下列計算正確的是（）A．B．C．D．【答案】D．考點：同底數(shù)冪的除法；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．3．（2016淅川縣一模）下列銀行標志中，既不是中心對稱圖形也不是軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】試題分析：A．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故A選項不合題意；B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項不合題意；C．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故C選項不合題意；D．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故D選項符合題意；故選D．考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形．4．（2016淅川縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜邊AC的中垂線，分別交AB、AC于D、E兩點．若BD=2，則AC的長是（）A．4B．C．8D．【答案】B．【解析】試題分析：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∴∠A=30°．∵DE垂直平分斜邊AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°﹣30°=30°，∵BD=2，∴CD=AD=4，∴AB=2+4=6，在△BCD中，由勾股定理得：CB=，在△ABC中，由勾股定理得：AC==，故選B．考點：線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理．5．（2016屆合肥十校聯(lián)考）由中國發(fā)起創(chuàng)立的“亞洲基礎(chǔ)設(shè)施投資銀行”的法定資本金為100000000000美元，用科學記數(shù)法表示為（）A．1.0×109美元B．1.0×1010美元C．1.0×1011美元D．1.0×1012美元【答案】C．【解析】試題分析：100000000000=1.0×1011，故選C．考點：科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．6．（2016安徽省名校）近幾年安徽省民生事業(yè)持續(xù)改善，2012年全省民生支出3163億元，2014年全省民生支出4349億元，若平均每年民生支出的增長率相同，設(shè)這個增長率為x，則下列列出的方程中正確的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】試題分析：設(shè)這個增長率為x，由題意得：．故選A．考點：由實際問題抽象出一元二次方程；增長率問題．7．（2016棗莊41中中考模擬）設(shè)A（﹣2，），B（1，），C（2，）是拋物線上的三點，則，，的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】A．考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．8．（2016青云中學一模）如圖所示，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】試題分析：如圖：在B點正上方找一點D，使BD=BC，連接CD交AB于O，根據(jù)網(wǎng)格的特點，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO==；AC==；則sinA===．故選B．考點：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理；網(wǎng)格型．9．（2016青云中學一模）小貝家買了一輛小轎車，小貝記錄了連續(xù)七天中每天行駛的路程：則小貝家轎車這七天行駛路程的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．33，52B．43，52C．43，43D．52，43【答案】C．考點：眾數(shù)；中位數(shù)．10．（2016青云中學一模）已知二次函數(shù)的圖象如圖，則下列5個代數(shù)式：ac，a+b+c，4a﹣2b+c，2a+b，a+b中，值大于0的個數(shù)為（）A．2個B．3個C．4個D．5個【答案】B．考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與x軸的交點．11．（2016浮橋中學4月模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OBC=42°，則∠A的度數(shù)是（）A．42°B．48°C．52°D．58°【答案】B．【解析】試題分析：連接OC，∵OB=OC，∠OBC=42°，∴∠OCB=∠OBC=42°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=96°，∴∠A=∠BOC=48°．故選B．考點：圓周角定理．12．（2016安徽省名校）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦AC的長為3，sinB=，則⊙O的半徑為（）A．4B．3C．2D．【答案】C．【解析】試題分析：作直徑AD，連接CD，∴∠D=∠B，∴sinD=sinB=，在直角△ADC中，AC=3，∴AD==4，∴⊙O的半徑為2．故選C．考點：圓周角定理；解直角三角形．13．（2016湖州一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA=2，OC=1，矩形對角線AC、OB相交于E，過點E的直線與邊OA、BC分別相交于點G、H，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓弧交OA于D，若直線GH與弧CD所在的圓相切于矩形內(nèi)一點F，則下列結(jié)論：①AG=CH；②GH=；③直線GH的函數(shù)關(guān)系式；④梯形ABHG的內(nèi)部有一點P，當⊙P與HG、GA、AB都相切時，⊙P的半徑為．其中正確的有（）A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】D．【解析】試題分析：①∵四邊形OABC是矩形，∴OE=BE，BC∥OA，OA=BC，∴∠HBE=∠GOE，∵在△BHE和△OGE中，∠HBE=∠GOE，OE=BE，∠HEB=∠GEO，∴△BHE≌△OGE（ASA），∴BH=OG，∴AG=CH．④如圖2，連接BG，∵在△OCH和△BAG中，CH=AG，∠HCO=∠GAB，OC=AB，∴△OCH≌△BAG（SAS），∴∠CHO=∠AGB．∵∠HCO=90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF，∴∠CHO=∠FHO=∠BGA．∵△CHE≌△AGE，∴HE=GE．∵在△HOE和△GBE中，HE=GE，∠HEO=∠GEB，OE=BE，∴△HOE≌△GBE（SAS），∴∠OHE=∠BGE．∵∠CHO=∠FHO=∠BGA，∴∠BGA=∠BGE，即BG平分∠FGA．∵⊙P與HG、GA、AB都相切，∴圓心P必在BG上．過P做PN⊥GA，垂足為N，則△GPN∽△GBA，∴，設(shè)半徑為r，則，解得r=．故選D．考點：圓的綜合題．二、填空題14．（2016天門中考模擬）關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是．【答案】k＜2且k≠1．【解析】試題分析：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴k﹣1≠0且△=4﹣4（k﹣1）＞0，解得：k＜2且k≠1．故答案為：k＜2且k≠1．考點：根的判別式；一元二次方程的定義．15．（2016湖州一模）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F，若AB=6，BC=4，則FD的長為．【答案】4．考點：翻折變換（折疊問題）．16．（2016泗陽實驗中學一模）如圖，已知圓錐的底面⊙O的直徑BC=6，高OA=4，則該圓錐的側(cè)面展開圖的面積為．【答案】15π．【解析】試題分析：∵OB=BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，側(cè)面展開圖的面積為：×6π×5=15π．故答案為：15π．考點：圓錐的計算．17．（2016沛縣校級一模）如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5米，則壩底AC的長度是米．【答案】．【解析】試題分析：∵河壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，∴BC：AC=1：，∵堤高BC=5米，∴壩底AC=米．故答案為：．考點：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．18．（2016青云中學一模）我們把按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，如1，3，9，19，33，…就是一個數(shù)列，如果一個數(shù)列從第二個數(shù)起，每一個數(shù)與它前一個數(shù)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做這個等差數(shù)列的公差．如2，4，6，8，10就是一個等差數(shù)列，它的公差為2．如果一個數(shù)列的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列為二階等差數(shù)列．例如數(shù)列1，3，9，19，33，…，它的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是2，6，10，14，…，這是一個公差為4的等差數(shù)列，所以，數(shù)列1，3，9，19，33，…是一個二階等差數(shù)列．那么，請問二階等差數(shù)列1，3，7，13，…的第五個數(shù)應(yīng)是．【答案】21．【解析】試題分析：由數(shù)字規(guī)律可知，第四個數(shù)13，設(shè)第五個數(shù)為x，則x﹣13=8，解得x=21，即第五個數(shù)為21，故答案為：21．考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類；新定義．19．（2016深圳龍華新區(qū)二模）如圖所示，已知：點A（0，0），B（，0），C（0，1）在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個頂點在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個△AA1B1，第2個△B1A2B2，第3個△B2A3B3，…，則第n個等邊三角形的邊長等于．【答案】．考點：等邊三角形的性質(zhì)；解直角三角形；壓軸題；規(guī)律型．三、解答題20．（2016深圳聯(lián)考）計算：．【答案】1．【解析】試題分析：首先根據(jù)負指數(shù)次冪、0次冪、銳角三角函數(shù)以及二次根式將各式進行計算，然后進行求和．試題解析：原式＝＝1．考點：實數(shù)的計算．21．（2016浮橋中學4月模擬）先化簡，再求值：，其中．【答案】．考點：分式的化簡求值．22．（2016天門中考模擬）將九年級部分男生擲實心球的成績進行整理，分成5個小組（x表示成績，單位：米）．A組：5.25≤x＜6.25；B組：6.25≤x＜7.25；C組：7.25≤x＜8.25；D組：8.25≤x＜9.25；E組：9.25≤x＜10.25，并繪制出扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖（不完整）．規(guī)定x≥6.25為合格，x≥9.25為優(yōu)秀．（1）這部分男生有多少人？其中成績合格的有多少人？（2）這部分男生成績的中位數(shù)落在哪一組？扇形統(tǒng)計圖中D組對應(yīng)的圓心角是多少度？（3）要從成績優(yōu)秀的學生中，隨機選出2人介紹經(jīng)驗，已知甲、乙兩位同學的成績均為優(yōu)秀，求他倆至少有1人被選中的概率．【答案】（1）50，45；（2）C組，108；（3）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意可得：這部分男生共有：5÷10%=50（人）；又由只有A組男人成績不合格，可得：合格人數(shù)為：50﹣5=45（人）；（2）由這50人男生的成績由低到高分組排序，A組有5人，B組有10人，C組有15人，D組有15人，E組有5人，可得：成績的中位數(shù)落在C組；又由D組有15人，占15÷50=30%，即可求得：對應(yīng)的圓心角為：360°×30%=108°；（3）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與他倆至少有1人被選中的情況，再利用概率公式即可求得答案．試題解析：（1）∵A組占10%，有5人，∴這部分男生共有：5÷10%=50（人）；∵只有A組男人成績不合格，∴合格人數(shù)為：50﹣5=45（人）；（2）∵C組占30%，共有人數(shù)：50×30%=15（人），B組有10人，D組有15人，∴這50人男生的成績由低到高分組排序，A組有5人，B組有10人，C組有15人，D組有15人，E組有5人，∴成績的中位數(shù)落在C組；∵D組有15人，占15÷50=30%，∴對應(yīng)的圓心角為：360°×30%=108°；（3）成績優(yōu)秀的男生在E組，含甲、乙兩名男生，記其他三名男生為a，b，c，畫樹狀圖得：∵共有20種等可能的結(jié)果，他倆至少有1人被選中的有14種情況，∴他倆至少有1人被選中的概率為：=．考點：列表法與樹狀圖法；頻數(shù)（率）分布直方圖；扇形統(tǒng)計圖；中位數(shù)．23．（2016大邑縣模擬）如圖，大樓AD和塔BC都垂直于地面AC，大樓AD高50米，和大樓AD相距90米的C處有一塔BC，某人在樓頂D處測得塔頂B的仰角∠BDE=30°，且∠BED=90°，求塔高BC．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）【答案】102．考點：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．24．（2016深圳中考模擬）如圖，直線y=﹣x+b與反比例函數(shù)的圖象相交于A（1，4），B兩點，延長AO交反比例函數(shù)圖象于點C，連接OB．（1）求k和b的值；（2）直接寫出一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍；（3）在y軸上是否存在一點P，使S△PAC=S△AOB？若存在請求出點P坐標，若不存在請說明理由．【答案】（1）b=5，k=4；（2）x＞4或0＜x＜1；（3）P（0，3）或P（0，﹣3）．試題解析：（1）將A（1，4）分別代入y=﹣x+b和，得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4；（2）一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍為：x＞4或0＜x＜1；（3）過A作AM⊥x軸，過B作BN⊥x軸，由（1）知，b=5，k=4，∴直線的表達式為：y=﹣x+5，反比例函數(shù)的表達式為：，由，解得：x=4，或x=1，∴B（4，1），∴=(AM+BN)?MN=×（1+4）×3=，∵，∴=3，過A作AE⊥y軸，過C作CD⊥y軸，設(shè)P（0，t），∴S△PAC=OP?CD=OP?AE=OP（CD+AE）=|t|=3，解得：t=3，t=﹣3，∴P（0，3）或P（0，﹣3）．考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．25．（2016深圳中考模擬）東門天虹商場購進一批“童樂”牌玩具，每件成本價30元，每件玩具銷售單價x（元）與每天的銷售量y（件）的關(guān)系如下表：若每天的銷售量y（件）是銷售單價x（元）的一次函數(shù)．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)東門天虹商場銷售“童樂”牌兒童玩具每天獲得的利潤為w（元），當銷售單價x為何值時，每天可獲得最大利潤？此時最大利潤是多少？（3）若東門天虹商場銷售“童樂”牌玩具每天獲得的利潤最多不超過15000元，最低不低于12000元，那么商場該如何確定“童樂”牌玩具的銷售單價的波動范圍？請你直接給出銷售單價x的范圍．【答案】（1）y=﹣10x+1100；（2）當銷售單價為70元時，每天可獲得最大利潤．最大利潤是16000元；（3）50≤x≤60或80≤x≤90．【解析】試題分析：（1）設(shè)銷售量y（件）與售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，列方程組求解即可；（2）根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售量，列出函數(shù)表達式解答即可；（3）根據(jù)題意列不等式組求出x的取值范圍即可．試題解析：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，則：，解得：，所以函數(shù)解析式為：y=﹣10x+1100；（2）根據(jù)題意可得：y=（x﹣30）（﹣10x+1100）=，當x==70時，最大值：w=16000．故當銷售單價為70元時，每天可獲得最大利潤．最大利潤是16000元；（3）根據(jù)題意可得：15000=，解得x=60或80；根據(jù)題意可得：12000=，解得x=50或90，∴50≤x≤60或80≤x≤90．考點：二次函數(shù)的應(yīng)用．26．（2016棗莊41中中考模擬）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若點D，點E分別是弧AB的三等分點，當AD=5時，求BF的長和扇形DOE的面積；（3）填空：在（2）的條件下，如果以點C為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點到點O的距離為5，則r的取值范圍為．【答案】（1）證明見解析；（2），；（3）＜r＜．（3）求出圓心距OC=，根據(jù)題意解答即可．試題解析：（1）∵∠CBF=∠CFB，∴CB=CF，又∵AC=CF，∴