工程流體力學(xué)：第六章 粘性流體繞物體流動(dòng)

第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-1邊界層概念§6-2邊界層微分方程§6-3平板邊界層動(dòng)量積分方程及近似計(jì)算§6-4邊界層的流動(dòng)分離§6-5繞流物體的阻力§6-6低雷諾數(shù)流動(dòng)第六章粘性流體繞物體流動(dòng)

重點(diǎn)：邊界層、邊界層厚度、特征，邊界層結(jié)構(gòu)，離前緣距離的雷諾數(shù)、邊界層動(dòng)量損失厚度、邊界層排擠厚度，平板層流邊界層的近似計(jì)算，邊界層分離、邊界層分離的原因、逆壓梯度、邊界層分離點(diǎn)、卡門渦街、摩擦阻力、壓差阻力、減阻方法、低雷諾數(shù)流動(dòng)

難點(diǎn)：邊界層厚度、平板層流邊界層的近似計(jì)算、邊界層分離

在自然界和工程實(shí)際中，存在著大量的流體繞物體的流動(dòng)問(wèn)題。如河流流過(guò)橋墩、煤粉顆粒在空氣中的擴(kuò)散等等。第六章粘性流體繞物體流動(dòng)

空氣和水是我們最常接觸到的兩種流體，它們的粘性系數(shù)都比較小，如20℃時(shí)，空氣：,水：,

如果取特征長(zhǎng)度和速度分別為1cm與1cm/s,對(duì)空氣和水的Re數(shù)分別為6.67與100，試驗(yàn)時(shí)即使去模型的特征長(zhǎng)度和速度僅為10cm與100cm/s，而空氣和水的Re數(shù)分別達(dá)到6.67×103與105，已相當(dāng)大了。對(duì)于船舶工程問(wèn)題，Re數(shù)量級(jí)很大，在106～109的范圍?？諝膺\(yùn)動(dòng)粘度設(shè)汽車水運(yùn)動(dòng)粘度設(shè)船：第六章粘性流體繞物體流動(dòng)

對(duì)于低Re數(shù)問(wèn)題，如大氣中的煙塵的沉降、云霧的水滴、膠體溶液中的膠體大分子、河流中的泥沙、水洗選礦中的礦塵粉末、原生物的泳動(dòng)、血液中紅細(xì)胞的運(yùn)動(dòng)等等，將N-S方程簡(jiǎn)化求解。一個(gè)直徑為10μm的毛細(xì)血管，當(dāng)血流速度為1mm/s時(shí)，Re數(shù)約為10-3量級(jí)。本章簡(jiǎn)單介紹了處理大Re數(shù)流動(dòng)的邊界層理論，主要以流體流過(guò)平板為例，介紹物體粘性阻力的問(wèn)題。最后一節(jié)介紹低雷諾數(shù)的流動(dòng)問(wèn)題。

第六章粘性流體繞物體流動(dòng)

在實(shí)際流體繞流固體時(shí)，固體邊界上的流速為0（固體靜止），在固體邊界的外法線方向上的流體速度從0迅速增大，在邊界附近的流區(qū)存在相當(dāng)大的速度梯度，在這個(gè)流區(qū)內(nèi)粘性作用不能忽略，邊界附近的流區(qū)稱為邊界層（或附面層），邊界層外流區(qū)，粘性作用可以忽略，當(dāng)作理想流體來(lái)處理。（舉例：平板）§6-1

邊界層概念一、邊界層的定義

邊界層定義：繞流物體表面上一層厚度很小且其中的流動(dòng)具有很大法向速度梯度的流動(dòng)區(qū)域。第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-1邊界層概念二、邊界層的厚度

邊界層的外邊界：實(shí)用上，將流速達(dá)到外流速度的99%的點(diǎn)連接起來(lái)組成邊界層的外邊界。

邊界層的厚度δ：離開(kāi)壁面（內(nèi)邊界）到外邊界的距離，稱之為邊界層的厚度δ（名義厚度）。注意：邊界層的外邊界線與流線不重合，外流區(qū)域中的流體質(zhì)點(diǎn)可以連續(xù)地穿過(guò)邊界層的外緣進(jìn)入邊界層內(nèi)。第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-1邊界層概念當(dāng)當(dāng)

邊界層具有如下基本特征：

1.邊界層很薄，即邊界層厚度δ相對(duì)于物體的尺度L是一小量，遠(yuǎn)小于L。

2.在邊界層內(nèi)，由于流速的急劇變化，粘性切應(yīng)力τ不能忽略；而邊界層外的流動(dòng)可當(dāng)作理想流體處理。

3.邊界層的厚度δ，流速越大，厚度越??；在物體前緣為0，愈往下愈厚。

4.邊界層中各截面上的壓力等于同一截面上外邊界上的壓力。第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-1邊界層概念三、邊界層的構(gòu)成

在平板前部是層流邊界層，往后一定距離，將會(huì)由過(guò)度區(qū)轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鬟吔鐚?，在湍流邊界層的底部，仍然存在層流底層。第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-1邊界層概念

實(shí)驗(yàn)測(cè)量表明：平板邊界層層流態(tài)向湍流態(tài)轉(zhuǎn)捩的雷諾數(shù)為:四、邊界層的流態(tài)

判別邊界層內(nèi)流動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變的準(zhǔn)則為：離前緣距離的Re數(shù)：

，x為離前緣的距離。據(jù)此確定轉(zhuǎn)變點(diǎn)的位置。

從而可以確定層流邊界層轉(zhuǎn)為湍流邊界層轉(zhuǎn)捩點(diǎn)的位置坐標(biāo)：當(dāng)平板邊界層為層流邊界層；當(dāng)平板邊界層為湍流邊界層；當(dāng)平板邊界層為混合邊界層；設(shè)板長(zhǎng)為L(zhǎng)，第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-1邊界層概念§6-2

邊界層微分方程假定流體流過(guò)物面的流動(dòng)為不可壓縮平面定常流動(dòng)，物體曲面可近似看成平面，忽略質(zhì)量力。在大Re數(shù)情況下的邊界層流動(dòng)有下面兩個(gè)主要性質(zhì)：

1.

邊界層厚度較物體特征長(zhǎng)度小得多，即

2.

邊界層內(nèi)粘性力和慣性力具有相同的數(shù)量級(jí)。3.邊界層內(nèi)速度v與u相比較是一階小量第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-2邊界層微分方程

依此應(yīng)用數(shù)量級(jí)比較方法，忽略一些高階小量，對(duì)N-S方程、連續(xù)性方程進(jìn)行簡(jiǎn)化。得到p238的(6-5)、(6-5)式的Prandtl邊界層方程。

平板層流邊界層伯拉休斯精確解，得到平板邊界層厚度和平板摩擦阻力系數(shù)：第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-2邊界層微分方程§6-3

平板邊界層動(dòng)量積分方程及近似計(jì)算

二維定常沿平板流動(dòng)，邊界層積分方程或卡門動(dòng)量積分方程為：

對(duì)于平板邊界層，外流速度U=const，其動(dòng)量積分方程為：——壁面切應(yīng)力一、平板邊界層動(dòng)量積分方程第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-3平板邊界層動(dòng)量積分方程及近似計(jì)算其中：——排擠厚度；——?jiǎng)恿繐p失厚度。

排擠厚度代表理想流體的流向在邊界層外部邊界上由于粘性的作用向外偏移的距離。動(dòng)量損失厚度：由于粘性邊界層內(nèi)流體的動(dòng)量比相等厚度理想流體的動(dòng)量會(huì)產(chǎn)生一個(gè)動(dòng)量損失。該損失動(dòng)量用厚度為的流體動(dòng)量來(lái)代替，稱其為~。邊界層的名義厚度、排擠厚度、動(dòng)量損失厚度具有相同的量級(jí)。層流邊界層：湍流邊界層：還有：第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-3平板邊界層動(dòng)量積分方程及近似計(jì)算二、平板層流邊界層的近似計(jì)算當(dāng)平板邊界層為層流邊界層。應(yīng)用動(dòng)量積分方程求解平板繞流：其中、、3個(gè)未知量，補(bǔ)充2個(gè)方程，一是邊界層內(nèi)流速分布的關(guān)系式，二是切應(yīng)力與邊界層厚度的關(guān)系式。后者根據(jù)流速分布的關(guān)系式求解得到。

應(yīng)用平板邊界層動(dòng)量積分方程，推導(dǎo)平板切應(yīng)力分布，沿面積積分得到平板所受的摩擦阻力，進(jìn)一步給出摩擦阻力系數(shù)

的表達(dá)式。第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-3平板邊界層動(dòng)量積分方程及近似計(jì)算假設(shè)平板層流邊界層內(nèi)速度分布為：可見(jiàn)，速度分布滿足條件：動(dòng)量損失厚度：

牛頓內(nèi)摩擦定律（層流）：上式中平板壁面切應(yīng)力是邊界層厚度的函數(shù)，所以必須首先求出。排擠厚度：第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-3平板邊界層動(dòng)量積分方程及近似計(jì)算下面計(jì)算邊界層的厚度δ：將和代入有：積分，最終得到：所以，可見(jiàn)，

隨ｘ增加而減小，。因ｘ增加時(shí)

增加，使壁面速度梯度減小，所以減小。

第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-3平板邊界層動(dòng)量積分方程及近似計(jì)算下面計(jì)算邊界層的摩擦阻力及摩擦阻力系數(shù)。假設(shè)板長(zhǎng)為L(zhǎng)，板寬為b，計(jì)算平板的單面摩擦力：摩擦阻力系數(shù)為:式中:

問(wèn)題：摩擦阻力系數(shù)隨著Re數(shù)的增加而減小，摩擦阻力隨來(lái)流速度U的增加如何變化？——平板末端的雷諾數(shù)。

第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-3平板邊界層動(dòng)量積分方程及近似計(jì)算三、平板湍流邊界層的近似計(jì)算當(dāng)時(shí)，平板邊界層為湍流邊界層。應(yīng)用動(dòng)量積分方程求解平板繞流：其中、、3個(gè)未知量，補(bǔ)充2個(gè)方程，一是邊界層內(nèi)流速分布的關(guān)系式，二是切應(yīng)力與邊界層厚度的關(guān)系式。

應(yīng)用平板邊界層動(dòng)量積分方程，推導(dǎo)平板切應(yīng)力分布，沿面積積分得到平板所受的摩擦阻力，進(jìn)一步給出摩擦阻力系數(shù)

的表達(dá)式。第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-3平板邊界層動(dòng)量積分方程及近似計(jì)算采用指數(shù)分布函數(shù)來(lái)表示平板湍流邊界層內(nèi)的速度分布，即：（邊界層實(shí)驗(yàn)結(jié)果）以為例，解得：壁面摩擦切應(yīng)力：（邊界層實(shí)驗(yàn)結(jié)果）邊界層厚度：壁面摩擦切應(yīng)力：第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-3平板邊界層動(dòng)量積分方程及近似計(jì)算平板的摩擦阻力系數(shù)為：將0.072修正為0.074，則計(jì)算結(jié)果將與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)符合得更好：適用范圍：。第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-3平板邊界層動(dòng)量積分方程及近似計(jì)算例1一平板寬為2m，長(zhǎng)5m，在空氣中運(yùn)動(dòng)的速度為2.42m/s。試分別求沿寬度方向及沿長(zhǎng)度方向運(yùn)動(dòng)時(shí)的摩擦阻力。解:先判別邊界層的流動(dòng)狀態(tài)

可見(jiàn)，沿寬度方向流動(dòng)時(shí)為層流邊界層，沿長(zhǎng)度方向流動(dòng)時(shí)為混合邊界層。沿寬度方向流動(dòng)時(shí)的摩擦阻力：沿長(zhǎng)度方向流動(dòng)時(shí)的摩擦阻力：第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-3平板邊界層動(dòng)量積分方程及近似計(jì)算§6-4

邊界層的流動(dòng)分離

流體繞過(guò)非線型鈍頭物體時(shí)，較早脫離物體表面，在物體后部形成較寬闊的尾流區(qū)。如：房屋

在邊界層內(nèi)，流體質(zhì)點(diǎn)在某些情況下向邊界層外流動(dòng)的現(xiàn)象稱為邊界層從固體分離。再如：橋墩分離的原因——粘性分離的條件——逆壓梯度第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-4邊界層的流動(dòng)分離一、順壓梯度和逆壓梯度

以流動(dòng)繞過(guò)曲壁面為例。順壓梯度區(qū)：BC

流體加速，由伯努利方程知，壓強(qiáng)減小，因此：逆壓梯度區(qū)：CE減速，壓強(qiáng)增加。所以第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-4邊界層的流動(dòng)分離二、流動(dòng)分離順壓梯度區(qū)——BC流動(dòng)不會(huì)分離

由于壓能減小部分還能夠補(bǔ)償動(dòng)能增加和由于克服流動(dòng)阻力而消耗的能量損失，因此此時(shí)邊界層內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)速度不會(huì)為0，流動(dòng)不會(huì)分離。第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-4邊界層的流動(dòng)分離

過(guò)C點(diǎn)之后，流線逐漸疏散，邊界層內(nèi)流體處于減速增壓的情況，動(dòng)能轉(zhuǎn)化成壓能，同時(shí)也用以克服流動(dòng)阻力而消耗的能量。在S點(diǎn)處邊界層內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)速度下降為0。流體質(zhì)點(diǎn)在S點(diǎn)停滯下來(lái)，繼續(xù)流來(lái)的流體質(zhì)點(diǎn)將脫離原來(lái)的流線，沿另一流線SS’流去，從而使邊界層脫離了曲面，這樣就形成了邊界層的分離現(xiàn)象，S點(diǎn)為分離點(diǎn)。SE段流體倒流，形成旋渦。逆壓梯度區(qū)——CE流動(dòng)會(huì)發(fā)生分離第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-4邊界層的流動(dòng)分離

分離點(diǎn)的位置與繞流物的形狀、粗糙程度、流動(dòng)的Re數(shù)和來(lái)流與物體的相對(duì)方向有關(guān)。在分離點(diǎn)處：（確定分離點(diǎn)的位置）分離實(shí)例：第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-4邊界層的流動(dòng)分離三、卡門渦街

在圓柱繞流中，渦旋從圓柱上交替脫落，在下游形成有一定規(guī)則，交叉排列的渦列。Re<5,不分離5<Re<40,一對(duì)對(duì)稱漩渦40<Re<300,開(kāi)始卡門渦街

渦周期性脫落，使圓柱體受到周期性變化的側(cè)像力，使物體產(chǎn)生周期性的振動(dòng)，破壞物體結(jié)構(gòu)。（避免與應(yīng)用）300<Re<3×105,湍流渦街3×105<Re<3.5×106,渦街消失第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-4邊界層的流動(dòng)分離第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-4邊界層的流動(dòng)分離§6-5

繞流物體的阻力

繞流物體的粘性阻力分成摩擦阻力和形狀阻力兩種：前者用邊界層理論求解，后者一般依靠實(shí)驗(yàn)。一、摩擦阻力

是由于流體的粘性引起的，當(dāng)流體繞流物體時(shí)，在表面上形成了邊界層，邊界層內(nèi)速度梯度大，粘性的牽制作用使物體受到阻力。阻力發(fā)生在運(yùn)動(dòng)物體表面上。第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-5繞流物體的阻力摩擦阻力特點(diǎn)：阻力系數(shù)強(qiáng)烈地依賴于雷諾數(shù)；2)對(duì)相同雷諾數(shù)，層流態(tài)的阻力明顯低于湍流態(tài)；4)摩擦阻力與壁面面積成正比。3)對(duì)湍流邊界層，光滑壁面的阻力最小，粗糙度增加使阻力系數(shù)增大；二、壓差阻力（形狀阻力）物體形狀→后部逆壓梯度→壓強(qiáng)分布→壓強(qiáng)合力第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-5繞流物體的阻力三、阻力曲線阻力危機(jī)光滑圓球阻力曲線CD~Re

Re增大導(dǎo)致湍流邊界層的轉(zhuǎn)捩點(diǎn)移到分離點(diǎn)之前。因湍流邊界層中流體動(dòng)能較大，使分離點(diǎn)后移，尾渦區(qū)變窄，從而使阻力系數(shù)顯著降低。阻力危機(jī)：阻力系數(shù)突然急劇下降。（危害、利用）阻力系數(shù)：第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-5繞流物體的阻力第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-5繞流物體的阻力

壓差阻力和摩擦阻力兩部分的和稱為總阻力。其大小依賴于物體形狀，如對(duì)于流線型物體，邊界層分離點(diǎn)接近尾端，基本上只有摩擦阻力。壓差阻力的差別很大，取決于邊界層的分離。物體后部曲率越大，分離越早，分離趨于越大，尾流越粗，壓差阻力越大；反之，越小。從減小阻力角度看，采用圓頭尖尾的物體很有用。對(duì)摩擦阻力而言，層流邊界層小于紊流邊界層，防止邊界層轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪?，達(dá)到減阻目的，同時(shí)物面光滑或潤(rùn)濕面小，有利于減小摩擦阻力。四、減小粘性阻力的方法第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-5繞流物體的阻力通常減小阻力的措施有：①采用流線型外形②控制邊界層（避免尖點(diǎn)、加導(dǎo)流片、激流絲、抽吸、吹噴、降低邊界層速度梯度）③采用小的物面粗糙度（高爾夫球，鯊魚皮泳衣：粗糙的表面雖然會(huì)導(dǎo)致磨擦阻力的輕微增加，但是比起形狀阻力的大量降低，粗糙的表面仍是值得的；物面開(kāi)槽；沙漠表面)第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-5繞流物體的阻力第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-5繞流物體的阻力§6-6

低雷諾數(shù)流動(dòng)一、低雷諾數(shù)流動(dòng)方程

雷諾數(shù)是粘性流動(dòng)的相似準(zhǔn)則，其物理意義表示慣性力與粘性力的比值。在雷諾數(shù)遠(yuǎn)小于1的情況，其粘性力比慣性力大得多。作為零級(jí)近似處理，忽略慣性項(xiàng)的作用，則有簡(jiǎn)化的流動(dòng)方程。如對(duì)忽略重力作用得N-S方程便可簡(jiǎn)化為：亦稱斯托克斯方程第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-6低雷諾數(shù)流動(dòng)

低雷諾數(shù)流動(dòng)也稱蠕流。它在科技領(lǐng)域應(yīng)用也很廣泛，如機(jī)械工程中氣固粉末運(yùn)輸、縫隙中的流動(dòng)、空氣除塵凈化、液體沸騰換熱、微生物游動(dòng)、霧化油滴的運(yùn)動(dòng)，血球在血管中運(yùn)動(dòng)等等，由于運(yùn)動(dòng)微粒尺寸以及流體與微粒的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度都很小，所以都屬于低雷諾數(shù)流動(dòng)。二、繞小球的流動(dòng)

模型：小球半徑為r0，均勻來(lái)流速度為U，如果雷諾數(shù)滿足：則這種低雷諾數(shù)流動(dòng)可用上述方程求解。第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-6低雷諾數(shù)流動(dòng)

由于流動(dòng)的軸對(duì)稱性，取圖示球坐標(biāo)系，所有流動(dòng)參數(shù)與無(wú)關(guān)，相應(yīng)邊界條件為：聯(lián)立不可壓縮流體的連續(xù)性方程和上述的斯托克斯方程，解得：第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-6低雷諾數(shù)流動(dòng)三、圓球的沉降問(wèn)題

根據(jù)圓球表面壓力分布p，可求出流體作用在圓球上的阻力D：則無(wú)因次阻力系數(shù)：

當(dāng)Re<1時(shí)，根據(jù)上式計(jì)算的阻力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果很符合。

現(xiàn)在研究一個(gè)圓球在靜止流體中的運(yùn)動(dòng)情況。圓球直徑為d，從靜止開(kāi)始在靜止流體中自由下落，由于重力的作用下降速度逐漸增大，同時(shí)速度增大導(dǎo)致圓球所受到的流體阻力逐漸增大。第六章粘性流體繞物體流動(dòng)§6-6低雷諾數(shù)流動(dòng)

當(dāng)圓球的重量W與作用在圓球上的浮力F、流體阻力D達(dá)到平衡時(shí)，即：則圓球