工程流體力學：第六章 粘性流體繞物體流動

第六章粘性流體繞物體流動§6-1邊界層概念§6-2邊界層微分方程§6-3平板邊界層動量積分方程及近似計算§6-4邊界層的流動分離§6-5繞流物體的阻力§6-6低雷諾數(shù)流動第六章粘性流體繞物體流動

重點：邊界層、邊界層厚度、特征，邊界層結構，離前緣距離的雷諾數(shù)、邊界層動量損失厚度、邊界層排擠厚度，平板層流邊界層的近似計算，邊界層分離、邊界層分離的原因、逆壓梯度、邊界層分離點、卡門渦街、摩擦阻力、壓差阻力、減阻方法、低雷諾數(shù)流動

難點：邊界層厚度、平板層流邊界層的近似計算、邊界層分離

在自然界和工程實際中，存在著大量的流體繞物體的流動問題。如河流流過橋墩、煤粉顆粒在空氣中的擴散等等。第六章粘性流體繞物體流動

空氣和水是我們最常接觸到的兩種流體，它們的粘性系數(shù)都比較小，如20℃時，空氣：,水：,

如果取特征長度和速度分別為1cm與1cm/s,對空氣和水的Re數(shù)分別為6.67與100，試驗時即使去模型的特征長度和速度僅為10cm與100cm/s，而空氣和水的Re數(shù)分別達到6.67×103與105，已相當大了。對于船舶工程問題，Re數(shù)量級很大，在106～109的范圍?？諝膺\動粘度設汽車水運動粘度設船：第六章粘性流體繞物體流動

對于低Re數(shù)問題，如大氣中的煙塵的沉降、云霧的水滴、膠體溶液中的膠體大分子、河流中的泥沙、水洗選礦中的礦塵粉末、原生物的泳動、血液中紅細胞的運動等等，將N-S方程簡化求解。一個直徑為10μm的毛細血管，當血流速度為1mm/s時，Re數(shù)約為10-3量級。本章簡單介紹了處理大Re數(shù)流動的邊界層理論，主要以流體流過平板為例，介紹物體粘性阻力的問題。最后一節(jié)介紹低雷諾數(shù)的流動問題。

第六章粘性流體繞物體流動

在實際流體繞流固體時，固體邊界上的流速為0（固體靜止），在固體邊界的外法線方向上的流體速度從0迅速增大，在邊界附近的流區(qū)存在相當大的速度梯度，在這個流區(qū)內粘性作用不能忽略，邊界附近的流區(qū)稱為邊界層（或附面層），邊界層外流區(qū)，粘性作用可以忽略，當作理想流體來處理。（舉例：平板）§6-1

邊界層概念一、邊界層的定義

邊界層定義：繞流物體表面上一層厚度很小且其中的流動具有很大法向速度梯度的流動區(qū)域。第六章粘性流體繞物體流動§6-1邊界層概念二、邊界層的厚度

邊界層的外邊界：實用上，將流速達到外流速度的99%的點連接起來組成邊界層的外邊界。

邊界層的厚度δ：離開壁面（內邊界）到外邊界的距離，稱之為邊界層的厚度δ（名義厚度）。注意：邊界層的外邊界線與流線不重合，外流區(qū)域中的流體質點可以連續(xù)地穿過邊界層的外緣進入邊界層內。第六章粘性流體繞物體流動§6-1邊界層概念當當

邊界層具有如下基本特征：

1.邊界層很薄，即邊界層厚度δ相對于物體的尺度L是一小量，遠小于L。

2.在邊界層內，由于流速的急劇變化，粘性切應力τ不能忽略；而邊界層外的流動可當作理想流體處理。

3.邊界層的厚度δ，流速越大，厚度越??；在物體前緣為0，愈往下愈厚。

4.邊界層中各截面上的壓力等于同一截面上外邊界上的壓力。第六章粘性流體繞物體流動§6-1邊界層概念三、邊界層的構成

在平板前部是層流邊界層，往后一定距離，將會由過度區(qū)轉變?yōu)橥牧鬟吔鐚?，在湍流邊界層的底部，仍然存在層流底層。第六章粘性流體繞物體流動§6-1邊界層概念

實驗測量表明：平板邊界層層流態(tài)向湍流態(tài)轉捩的雷諾數(shù)為:四、邊界層的流態(tài)

判別邊界層內流動狀態(tài)轉變的準則為：離前緣距離的Re數(shù)：

，x為離前緣的距離。據(jù)此確定轉變點的位置。

從而可以確定層流邊界層轉為湍流邊界層轉捩點的位置坐標：當平板邊界層為層流邊界層；當平板邊界層為湍流邊界層；當平板邊界層為混合邊界層；設板長為L，第六章粘性流體繞物體流動§6-1邊界層概念§6-2

邊界層微分方程假定流體流過物面的流動為不可壓縮平面定常流動，物體曲面可近似看成平面，忽略質量力。在大Re數(shù)情況下的邊界層流動有下面兩個主要性質：

1.

邊界層厚度較物體特征長度小得多，即

2.

邊界層內粘性力和慣性力具有相同的數(shù)量級。3.邊界層內速度v與u相比較是一階小量第六章粘性流體繞物體流動§6-2邊界層微分方程

依此應用數(shù)量級比較方法，忽略一些高階小量，對N-S方程、連續(xù)性方程進行簡化。得到p238的(6-5)、(6-5)式的Prandtl邊界層方程。

平板層流邊界層伯拉休斯精確解，得到平板邊界層厚度和平板摩擦阻力系數(shù)：第六章粘性流體繞物體流動§6-2邊界層微分方程§6-3

平板邊界層動量積分方程及近似計算

二維定常沿平板流動，邊界層積分方程或卡門動量積分方程為：

對于平板邊界層，外流速度U=const，其動量積分方程為：——壁面切應力一、平板邊界層動量積分方程第六章粘性流體繞物體流動§6-3平板邊界層動量積分方程及近似計算其中：——排擠厚度；——動量損失厚度。

排擠厚度代表理想流體的流向在邊界層外部邊界上由于粘性的作用向外偏移的距離。動量損失厚度：由于粘性邊界層內流體的動量比相等厚度理想流體的動量會產生一個動量損失。該損失動量用厚度為的流體動量來代替，稱其為~。邊界層的名義厚度、排擠厚度、動量損失厚度具有相同的量級。層流邊界層：湍流邊界層：還有：第六章粘性流體繞物體流動§6-3平板邊界層動量積分方程及近似計算二、平板層流邊界層的近似計算當平板邊界層為層流邊界層。應用動量積分方程求解平板繞流：其中、、3個未知量，補充2個方程，一是邊界層內流速分布的關系式，二是切應力與邊界層厚度的關系式。后者根據(jù)流速分布的關系式求解得到。

應用平板邊界層動量積分方程，推導平板切應力分布，沿面積積分得到平板所受的摩擦阻力，進一步給出摩擦阻力系數(shù)

的表達式。第六章粘性流體繞物體流動§6-3平板邊界層動量積分方程及近似計算假設平板層流邊界層內速度分布為：可見，速度分布滿足條件：動量損失厚度：

牛頓內摩擦定律（層流）：上式中平板壁面切應力是邊界層厚度的函數(shù)，所以必須首先求出。排擠厚度：第六章粘性流體繞物體流動§6-3平板邊界層動量積分方程及近似計算下面計算邊界層的厚度δ：將和代入有：積分，最終得到：所以，可見，

隨ｘ增加而減小，。因ｘ增加時

增加，使壁面速度梯度減小，所以減小。

第六章粘性流體繞物體流動§6-3平板邊界層動量積分方程及近似計算下面計算邊界層的摩擦阻力及摩擦阻力系數(shù)。假設板長為L，板寬為b，計算平板的單面摩擦力：摩擦阻力系數(shù)為:式中:

問題：摩擦阻力系數(shù)隨著Re數(shù)的增加而減小，摩擦阻力隨來流速度U的增加如何變化？——平板末端的雷諾數(shù)。

第六章粘性流體繞物體流動§6-3平板邊界層動量積分方程及近似計算三、平板湍流邊界層的近似計算當時，平板邊界層為湍流邊界層。應用動量積分方程求解平板繞流：其中、、3個未知量，補充2個方程，一是邊界層內流速分布的關系式，二是切應力與邊界層厚度的關系式。

應用平板邊界層動量積分方程，推導平板切應力分布，沿面積積分得到平板所受的摩擦阻力，進一步給出摩擦阻力系數(shù)

的表達式。第六章粘性流體繞物體流動§6-3平板邊界層動量積分方程及近似計算采用指數(shù)分布函數(shù)來表示平板湍流邊界層內的速度分布，即：（邊界層實驗結果）以為例，解得：壁面摩擦切應力：（邊界層實驗結果）邊界層厚度：壁面摩擦切應力：第六章粘性流體繞物體流動§6-3平板邊界層動量積分方程及近似計算平板的摩擦阻力系數(shù)為：將0.072修正為0.074，則計算結果將與實測數(shù)據(jù)符合得更好：適用范圍：。第六章粘性流體繞物體流動§6-3平板邊界層動量積分方程及近似計算例1一平板寬為2m，長5m，在空氣中運動的速度為2.42m/s。試分別求沿寬度方向及沿長度方向運動時的摩擦阻力。解:先判別邊界層的流動狀態(tài)

可見，沿寬度方向流動時為層流邊界層，沿長度方向流動時為混合邊界層。沿寬度方向流動時的摩擦阻力：沿長度方向流動時的摩擦阻力：第六章粘性流體繞物體流動§6-3平板邊界層動量積分方程及近似計算§6-4

邊界層的流動分離

流體繞過非線型鈍頭物體時，較早脫離物體表面，在物體后部形成較寬闊的尾流區(qū)。如：房屋

在邊界層內，流體質點在某些情況下向邊界層外流動的現(xiàn)象稱為邊界層從固體分離。再如：橋墩分離的原因——粘性分離的條件——逆壓梯度第六章粘性流體繞物體流動§6-4邊界層的流動分離一、順壓梯度和逆壓梯度

以流動繞過曲壁面為例。順壓梯度區(qū)：BC

流體加速，由伯努利方程知，壓強減小，因此：逆壓梯度區(qū)：CE減速，壓強增加。所以第六章粘性流體繞物體流動§6-4邊界層的流動分離二、流動分離順壓梯度區(qū)——BC流動不會分離

由于壓能減小部分還能夠補償動能增加和由于克服流動阻力而消耗的能量損失，因此此時邊界層內流體質點速度不會為0，流動不會分離。第六章粘性流體繞物體流動§6-4邊界層的流動分離

過C點之后，流線逐漸疏散，邊界層內流體處于減速增壓的情況，動能轉化成壓能，同時也用以克服流動阻力而消耗的能量。在S點處邊界層內流體質點速度下降為0。流體質點在S點停滯下來，繼續(xù)流來的流體質點將脫離原來的流線，沿另一流線SS’流去，從而使邊界層脫離了曲面，這樣就形成了邊界層的分離現(xiàn)象，S點為分離點。SE段流體倒流，形成旋渦。逆壓梯度區(qū)——CE流動會發(fā)生分離第六章粘性流體繞物體流動§6-4邊界層的流動分離

分離點的位置與繞流物的形狀、粗糙程度、流動的Re數(shù)和來流與物體的相對方向有關。在分離點處：（確定分離點的位置）分離實例：第六章粘性流體繞物體流動§6-4邊界層的流動分離三、卡門渦街

在圓柱繞流中，渦旋從圓柱上交替脫落，在下游形成有一定規(guī)則，交叉排列的渦列。Re<5,不分離5<Re<40,一對對稱漩渦40<Re<300,開始卡門渦街

渦周期性脫落，使圓柱體受到周期性變化的側像力，使物體產生周期性的振動，破壞物體結構。（避免與應用）300<Re<3×105,湍流渦街3×105<Re<3.5×106,渦街消失第六章粘性流體繞物體流動§6-4邊界層的流動分離第六章粘性流體繞物體流動§6-4邊界層的流動分離§6-5

繞流物體的阻力

繞流物體的粘性阻力分成摩擦阻力和形狀阻力兩種：前者用邊界層理論求解，后者一般依靠實驗。一、摩擦阻力

是由于流體的粘性引起的，當流體繞流物體時，在表面上形成了邊界層，邊界層內速度梯度大，粘性的牽制作用使物體受到阻力。阻力發(fā)生在運動物體表面上。第六章粘性流體繞物體流動§6-5繞流物體的阻力摩擦阻力特點：阻力系數(shù)強烈地依賴于雷諾數(shù)；2)對相同雷諾數(shù)，層流態(tài)的阻力明顯低于湍流態(tài)；4)摩擦阻力與壁面面積成正比。3)對湍流邊界層，光滑壁面的阻力最小，粗糙度增加使阻力系數(shù)增大；二、壓差阻力（形狀阻力）物體形狀→后部逆壓梯度→壓強分布→壓強合力第六章粘性流體繞物體流動§6-5繞流物體的阻力三、阻力曲線阻力危機光滑圓球阻力曲線CD~Re

Re增大導致湍流邊界層的轉捩點移到分離點之前。因湍流邊界層中流體動能較大，使分離點后移，尾渦區(qū)變窄，從而使阻力系數(shù)顯著降低。阻力危機：阻力系數(shù)突然急劇下降。（危害、利用）阻力系數(shù)：第六章粘性流體繞物體流動§6-5繞流物體的阻力第六章粘性流體繞物體流動§6-5繞流物體的阻力

壓差阻力和摩擦阻力兩部分的和稱為總阻力。其大小依賴于物體形狀，如對于流線型物體，邊界層分離點接近尾端，基本上只有摩擦阻力。壓差阻力的差別很大，取決于邊界層的分離。物體后部曲率越大，分離越早，分離趨于越大，尾流越粗，壓差阻力越大；反之，越小。從減小阻力角度看，采用圓頭尖尾的物體很有用。對摩擦阻力而言，層流邊界層小于紊流邊界層，防止邊界層轉變?yōu)槲闪?，達到減阻目的，同時物面光滑或潤濕面小，有利于減小摩擦阻力。四、減小粘性阻力的方法第六章粘性流體繞物體流動§6-5繞流物體的阻力通常減小阻力的措施有：①采用流線型外形②控制邊界層（避免尖點、加導流片、激流絲、抽吸、吹噴、降低邊界層速度梯度）③采用小的物面粗糙度（高爾夫球，鯊魚皮泳衣：粗糙的表面雖然會導致磨擦阻力的輕微增加，但是比起形狀阻力的大量降低，粗糙的表面仍是值得的；物面開槽；沙漠表面)第六章粘性流體繞物體流動§6-5繞流物體的阻力第六章粘性流體繞物體流動§6-5繞流物體的阻力§6-6

低雷諾數(shù)流動一、低雷諾數(shù)流動方程

雷諾數(shù)是粘性流動的相似準則，其物理意義表示慣性力與粘性力的比值。在雷諾數(shù)遠小于1的情況，其粘性力比慣性力大得多。作為零級近似處理，忽略慣性項的作用，則有簡化的流動方程。如對忽略重力作用得N-S方程便可簡化為：亦稱斯托克斯方程第六章粘性流體繞物體流動§6-6低雷諾數(shù)流動

低雷諾數(shù)流動也稱蠕流。它在科技領域應用也很廣泛，如機械工程中氣固粉末運輸、縫隙中的流動、空氣除塵凈化、液體沸騰換熱、微生物游動、霧化油滴的運動，血球在血管中運動等等，由于運動微粒尺寸以及流體與微粒的相對運動速度都很小，所以都屬于低雷諾數(shù)流動。二、繞小球的流動

模型：小球半徑為r0，均勻來流速度為U，如果雷諾數(shù)滿足：則這種低雷諾數(shù)流動可用上述方程求解。第六章粘性流體繞物體流動§6-6低雷諾數(shù)流動

由于流動的軸對稱性，取圖示球坐標系，所有流動參數(shù)與無關，相應邊界條件為：聯(lián)立不可壓縮流體的連續(xù)性方程和上述的斯托克斯方程，解得：第六章粘性流體繞物體流動§6-6低雷諾數(shù)流動三、圓球的沉降問題

根據(jù)圓球表面壓力分布p，可求出流體作用在圓球上的阻力D：則無因次阻力系數(shù)：

當Re<1時，根據(jù)上式計算的阻力系數(shù)與實驗結果很符合。

現(xiàn)在研究一個圓球在靜止流體中的運動情況。圓球直徑為d，從靜止開始在靜止流體中自由下落，由于重力的作用下降速度逐漸增大，同時速度增大導致圓球所受到的流體阻力逐漸增大。第六章粘性流體繞物體流動§6-6低雷諾數(shù)流動

當圓球的重量W與作用在圓球上的浮力F、流體阻力D達到平衡時，即：則圓球