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文檔簡介

2022-2023學年天津市重點高中高一(上)期末數(shù)學試卷

一、單選題(本大題共14小題,共56.0分。在每小題列出的選項中,選出符合題目的一項)

1.已知點P(s譏a-cosa,tcma)在第一象限,則在[0,2初內(nèi)a的取值范圍是()

A5B^

u一

4-^

353

cu8Du

4-4-(o,2-

2.函數(shù)y=sin(K-%)cos(w-%)的單調(diào)增區(qū)間為()

OO

A.[kn-^,kn+^],(fcGZ)B.\2kir+,2kn+(kE.Z)

C.[kn+^-,kn+,],(kEZ)D.[2/CTT—,2/CTT+(k6Z)

3.函數(shù)y=sin(2x+5)的圖象()

A.關于原點對稱B.關于y軸對稱

C.關于直線尤=?寸稱D.關于直線第="對稱

o

4.計算2s譏14。?cos310+s譏17。等于()

A.0B.一世C.皮D.—如

2222

5.函數(shù)y=3sin(x+20°)+5sin(x+80。)的最大值是()

ii

A.51B.61C.7D.8

6.函數(shù)/'(x)=|sinx|+|cosx|的取值范圍是()

A.[0,V2]B.[0,2]C.[1,2]D.[1,V2]

7.不等式1W|2x—1|<2的解集為()

A.(-l,o)u(l,|)B.(-l,0]u[l,|)

1Q12

C.(一',。]u[1,3D.(-oo,--]u[1,-]

8.若函數(shù)/Q),g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù),且滿足/(x)-g(x)=ex,則有()

A./(2)</(3)<5(0)B.5(0)</(3)</(2)

C.f(2)<g(0)<f(3)D.g(0)<f(2)</(3)

9.在下列區(qū)間中,函數(shù)/(x)=二+4工—3的零點所在的區(qū)間為()

A.(-;,。)B.(0,》C.(另)D.弓,令

10.函數(shù)y=lg[x2+(m-2)x+1]的值域為R.則實數(shù)TH的取值范圍是()

A.(0,4)B.[0,4]

C.(—00,0)U(4,+8)D.(—00,0]U[4,+oo)

11.函數(shù)f(x)=(言—的圖象大致形狀為()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

71

13.若實數(shù)%、y滿足%>y>0,且log2%+log2y=2,貝女+,的最小值為()

A.4B.V2C.V3D.2

14.已知函數(shù)/(%)=則函數(shù)g(x)=f(l—x)—1的零點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題(本大題共4小題,共16.0分)

15.函數(shù)f(x)=普耳的定義域為____.

log2(.x-l)

16.已知函數(shù)/(%)=(sinx—cosx)sinx,xER,則/(%)的最小正周期是.

2

17.(1一[。063)坦及為竺的值是

?log?

_TT"11

已知則

18.5/VaV",-7T<£<0,tana=3tan/3=-/2a+/?=_____.

三、解答題(本大題共3小題,共28.0分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)

19.(本小題8.0分)

已知函數(shù)/'(x)=4cosxsin(^x+

(1)求居)的值;

(2)求函數(shù)/(?的最小正周期及其圖像的對稱軸方程.

20.(本小題10.0分)

已知。<a<pcos(a+;)=g

(1)求tan(a+今的值;

(2)求sin(2a+E)的值.

21.(本小題10.0分)

已知函數(shù)/(久)=e"+e—,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)證明:f(x)是R上的偶函數(shù);

(2)若關于x的不等式(x)<e~x+m-1在(0,+8)上恒成立,求實數(shù)機的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解:點P(sina-cosa"cma)在第一象限,

即{sina>coscr

vae[0,2TT],

TI.Sn

-<.a<—

44,

(0<a<或7r<a<^-

即(<a<或7i<a<叫

故a6U(兀,空,

故選:A.

根據(jù)點的坐標與象限之間的關系,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)符號的判斷,根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關鍵.

2.【答案】C

1

nr

【解析】解:y=sin偌一%)cos偌一%)2-siKl974T-2%)=--sin(2x—彳),

令2+2/CTT<2x——<2kli+—,(fcEZ),

整理得萼+/C7T<%<fcTT+(fcGZ),

oo

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為用+抽0+引,(keZ).

故選:c.

首先把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù),進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.

本題考查的知識要點:三角函數(shù)的關系式的變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì),主要考查學生的理解能力

和計算能力,屬于基礎題和易錯題.

3.【答案】D

【解析】解:因為/(0)=sin與=苧W0,故A錯誤;

在函數(shù)y=sin(2%+勺中,令2%+。="fcez,可得久=粵+3fcez,

0111

oDzL12

可得當k=0時,X=%即函數(shù)y=sin(2x+9的圖象關于直線x=V對稱,故。正確;

1Z011151Z

令》=殍+蔣=0,解得k=—故B錯誤;

2126

令%=殍+蔣=?解得k=^z,故C錯誤.

Z1Z66

故選:D.

利用正弦函數(shù)的對稱性即可求解.

本題考查正弦函數(shù)的對稱性,過圖象的頂點垂直于x軸的直線都是正弦函數(shù)的對稱軸,圖象和K軸

的交點即為對稱中心,考查了函數(shù)思想,屬于中檔題.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)值的求法,考查兩角和差的正弦公式的運用,屬于基礎題.

將17°=31。-14。,運用兩角差的正弦公式化簡,再運用兩角和的正弦公式,注意逆用公式,從

而得到結(jié)果.

【解答】

解:2sinl40-cos31°+sinl7°

=2sinl4°-cos31°+sin(31°—14°)

=2sinl40cos31°+sin31°cosl4°—cos31°sml4°

=sin31°cosl40+cos31°sinl4°

=sin(31°+14°)

=sM45°

=V2

-y

故選A.

5.【答案】C

【解析】解:ry=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)

=3sin(x+20°)+5sin(x+20°+60°)

=3sin(x+20°)+|sin(x+20°)+cos(x+20°)

=~sm(x+20°)+^^cos(x+20°)

=7s出(x+200+6),且tan。=挈,

二函數(shù)y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值是7,

故選:C.

先將函數(shù)化為y=7s譏0+20。+6),且tan。=筆,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

本題考查三角函數(shù)的恒等變換,屬于中檔題.

6.【答案】D

【解析】解:當2/OT<xWg+2k兀時,/(%)=\sinx\+\cosx\=sinx+cosx=V2sin(x+7)

???/(%)e[1,V2]

當彳+2kn<%<7T+2/OT時,/(%)=\sinx\+\cosx\=sinx-cosx=V2sin(x—7)

???/(%)e[1,V2]

當兀+2kn<%<^+2k7r時,/(%)=\sinx\+\cosx\=—sinx-cosx=-V2sin(x+7)

24

[1,V2]

當孚+2kn<x<2TT+2/CTT時,/(%)=\sinx\+\cosx\=-sinx+cosx=-V2sin(x-7)

z4

f(x)e[1,V2]

故選:D.

根據(jù)%的不同范圍對函數(shù)“x)去絕對值符號,進而可得到函數(shù)f(x)的范圍,確定答案.

本題主要考查正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在不同范圍時的函數(shù)值的符號,考查兩角和與差的正弦公式的

應用.對三角函數(shù)的考查一般以基礎題為主,要強化基礎的夯實.

7.【答案】B

【解析】解:由1W\2x-1|<2得,一2<2x—1W—1或1<2x-1<2,

解得W0或U<|.

故選:B.

利用絕對值的幾何意義即可求解.

本題考查絕對值不等式的解法,考查運算求解能力,屬于基礎題.

8.【答案】D

【解析】解:根據(jù)題意,函數(shù)f(x),g(久)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù),

則有/'(一式)=-/(X),g(—x)=g(x),

又由/(x)-g(x)=e*,①

則/(一式)-g(-x)--f(x)-g[x}=e~x,即/(x)+g(x)=-e~x,②

聯(lián)立①②解可得:f(x)=",g(x)=一七,J

2—23—3

g(0)=—1,<(2)=/(3)=

分析可得:g(0)<f(2)<f(3);

故選:D.

根據(jù)題意,由/'(無)一g(x)=e*結(jié)合函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)可得/久)-g(-x)=-/(%)-。(久)=

e~x,變形可得/'(x)+g(久)=-eT,聯(lián)立兩個式子解可得:/(%)=一,g(x)=-^―y->即

2—?RR

可得g(0)=-1,f(2)=/(3)=比較即可得答案.

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì),關鍵是利用函數(shù)的奇偶性求出f(x)、久久)的解析式.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查函數(shù)零點存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性.

判斷函數(shù)/(久)=1+4久-3單調(diào)遞增,然后利用零點存在性定理求解即可.

【解答】

解::函數(shù)y=e*和函數(shù)y=4久—3在R上都單調(diào)遞增,

二函數(shù)f(久)=ex+4x—3在(—8,+8)上為增函數(shù),

則/(X)最多一個零點,

?;/(;)=e4+1—3<0>

f(^)=Ve+2—3=y[e-1>0,

???冷用)<0,

???函數(shù)f(久)=峭+4x—3的零點所在的區(qū)間為(。,與

4Z

故選C.

10.【答案】D

【解析】解:?函數(shù)y=lg[x2+(m-2)x+1]的值域為R,

方程/+(m-2)x+1=。的4=(m-2)2-4>0,解得m>4或爪<0.

故選:D.

轉(zhuǎn)化為方程/+(m-2)x+1-0的4>0,解得jn范圍.

本題主要考查轉(zhuǎn)化思想的應用,考查計算能力,屬于基礎題.

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)圖象的識別,關鍵掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的特點,屬于基礎題.

先判斷函數(shù)的奇偶性,再取特殊值驗證.

【解答】

解:??,/(K)=卬裳-1)-sinx,定義域為R,關于原點對稱,

27ex2

(=(五*-一(強標-=(強》-

f—x)1)-sin(-x)=l)sinx1)-Sinx=/(x),

???函數(shù)/(%)為偶函數(shù),故排除C,D,

當x=2時,/(2)=(京—1)7譏2<0,故排除8,

故選:A

12.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查對數(shù)值的大小比較,解題時要注意對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的合理運用,屬于基礎題.

因為a=g^=lnV^,b=^-=lnV3,c=-^=lnV5,所以先比較V3>遮的大小,然后再

利用單調(diào)性比較a,b,c的大小.

【解答】

解:a=^=lnV2,6=竽=111遮,c=^=InVS,

???(V2)6=23=8,(%)6=32=9,

(V2)10=25=32,(V5)10=52=25,

???V5<V2<V3.

因為Inx在定義域內(nèi)為增函數(shù),

:.c<a<b.

故選:C.

13.【答案】B

【解析】解:實數(shù)%、y滿足]>y>0,且Sg2%+log2y=2,

則log2%y=2,即久y=4,

故3+工=坦生=竽2叫互=&,當且僅當x=2y=2/時,等號成立,

xyxy44)

故的最小值為企.

xy

故選:B.

根據(jù)已知條件,結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì),推得孫=4,再結(jié)合基本不等式的公式,即可求解.

本題主要考查基本不等式及其應用,屬于基礎題.

14.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的判斷與應用,考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應用,考查計算能力.

利用已知條件求出/(1-乃的表達式,利用函數(shù)的圖象,求解兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)即可.

【解答】

x2+2xx<0

解:函數(shù)/(%)=

.|lgx|%>O'

x2—4%+3%>1

/(I一%)=

.|Ig(l-x)|x<1"

函數(shù)g(%)=7(1-%)-1的零點個數(shù),

就是y=/(I-%)與y=1交點個數(shù),

如圖:可知兩個函數(shù)的圖象有三個交點,

函數(shù)g(%)=/(I一x)—1的零點個數(shù)為3.

故選:C.

15.【答案】[3,+8)

【解析】解:若使函數(shù)f(X)=善寫的解析式有意義,

(|x-2|-1>0

自變量%須滿足:%-1>0,

、%—1。1

解得:%e[3,+oo),

故函數(shù)/(?=腎然的定義域為[3,+OO),

故答案為:[3,+8)

/I(\X~2|-1>0

根據(jù)使函數(shù)/(X)=蒜號的解析式有意義,得到不等式組:卜-1)■0,解得答案.

:1

求函數(shù)的定義域時要注意:(1)當函數(shù)是由解析式給出時,其定義域是使解析式有意義的自變量的

取值集合.(2)當函數(shù)是由實際問題給出時,其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義,還要有實

際意義(如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等).(3)若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經(jīng)四則

運算得到的,則函數(shù)定義域應是同時使這幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集.若函數(shù)定義域為空

集,則函數(shù)不存在.(4)對于(4)題要注意:①對在同一對應法則f下的量“x”“x+a”“久-a”

所要滿足的范圍是一樣的;②函數(shù)g(x)中的自變量是x,所以求g(x)的定義域應求。(久)中的久的范

圍.

16.【答案】兀

【解析】解:/(%)=sin2%—sinxcosx=1c°s2x—^-sin2x=—\/2sin(2x+7)+^>

2L4L

此時可得函數(shù)的最小正周期T=y=7T.

故答案為:n.

/(%)=Qsinx-cosx)sinx=sin2%—cosxsinx,再由二倍角公式可得f(%)=—V2sin(2x+?)+彳,

4L

最后可得答案.

本題主要考查運用三角函數(shù)的二倍角公式對函數(shù)進行化簡后求函數(shù)周期的問題.二倍角公式在三

角函數(shù)的化簡中經(jīng)常用到,要引起重視.

17.【答案】1

22

【解析】解:[(1-log^}+log62■log618]+log64=[Qog62)+log62-log618]+log64

4

=log62-log6(2x18)+jOg64=2log62|Og6=1.

故答案為:1.

利用對數(shù)的運算法則即可得出.

本題考查了對數(shù)的運算法則,屬于基礎題.

18.【答案】?

4

-117r

【解析】解:???tana=-tan/?=--<a<TI,-TT</?<0,

3/乙

31

??.tm2a=之比=一],tan(2a+£)=tan2a+tanp_(-4)+(-7)

1—tan2atan^1_(_》義(一今

又,?,毛<2a<2〃,—y<<0,可得:2a+£6(加,2兀),

???2a+夕=?.

故答案為:

4

由已知利用二倍角的正切函數(shù)公式可求tcm2a,利用兩角和的正切函數(shù)公式可求tan(2a+£),結(jié)

合2a+0的范圍,由正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解2a+0的值.

本題主要考查了二倍角的正切函數(shù)公式,兩角和的正切函數(shù)公式,正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)在三角

函數(shù)化簡求值中的應用,考查了轉(zhuǎn)化思想,求出tcm2a的值的關鍵.注意角的范圍.屬于基礎題.

19.【答案】解:(1)函數(shù)f(久)=4cosxsin(x+7)=4cos久sinx+-cosx)=y/3sin2x+cos2x+

6

1=2sin(2x+9+1,

所以fG)=2s譏V+1=0.

(2)由于/(%)=2sin(2x+^)+1,

所以函數(shù)的最小正周期T=y=7T;

令2%+,=攵兀+5,(fcGZ),整理得%="+(kEZ),

。,Z6

故函數(shù)的對稱軸方程為尢=竽+9(kez).

【解析】(1)首先利用三角函數(shù)關系式的變換,把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù),進一步求出函

數(shù)的值;

(2)利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小正周期和函數(shù)的對稱軸方程.

本題考查的知識要點:三角函數(shù)的關系式的變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì),主要考查學生的理解能力

和計算能力,屬于基礎題和易錯題.

20.【答案】解

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