2022-2023學(xué)年天津市重點(diǎn)高中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年天津市重點(diǎn)高中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共14小題，共56.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知點(diǎn)P（s譏a-cosa,tcma）在第一象限，則在［0,2初內(nèi)a的取值范圍是（）

A5B^

u一

4-^

353

cu8Du

4-4-(o,2-

2.函數(shù)y=sin（K-%）cos（w-%）的單調(diào)增區(qū)間為（）

OO

A.[kn-^,kn+^],(fcGZ)B.\2kir+,2kn+(kE.Z)

C.[kn+^-,kn+,],(kEZ)D.[2/CTT—,2/CTT+(k6Z)

3.函數(shù)y=sin(2x+5)的圖象()

A.關(guān)于原點(diǎn)對稱B.關(guān)于y軸對稱

C.關(guān)于直線尤=?寸稱D.關(guān)于直線第="對稱

o

4.計(jì)算2s譏14。?cos310+s譏17。等于()

A.0B.一世C.皮D.—如

2222

5.函數(shù)y=3sin(x+20°)+5sin(x+80。)的最大值是()

ii

A.51B.61C.7D.8

6.函數(shù)/'(x)=|sinx|+|cosx|的取值范圍是()

A.[0,V2]B.[0,2]C.[1,2]D.[1,V2]

7.不等式1W|2x—1|<2的解集為()

A.(-l,o)u(l,|)B.(-l,0]u[l,|)

1Q12

C.(一',。]u[1,3D.(-oo,--]u[1,-]

8.若函數(shù)/Q）,g（x）分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足/（x）-g（x）=ex,則有（）

A./(2)</(3)<5(0)B.5(0)</(3)</(2)

C.f(2)<g(0)<f(3)D.g(0)<f(2)</(3)

9.在下列區(qū)間中，函數(shù)/(x)=二+4工—3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.（-；，。）B.（0,》C.（另）D.弓,令

10.函數(shù)y=lg[x2+(m-2)x+1]的值域?yàn)镽.則實(shí)數(shù)TH的取值范圍是()

A.(0,4)B.[0,4]

C.(—00,0)U(4,+8)D.(—00,0]U[4,+oo)

11.函數(shù)f(x)=(言—的圖象大致形狀為()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

71

13.若實(shí)數(shù)％、y滿足%>y>0,且log2%+log2y=2,貝女+,的最小值為()

A.4B.V2C.V3D.2

14.已知函數(shù)/(%)=則函數(shù)g(x)=f(l—x)—1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題(本大題共4小題，共16.0分)

15.函數(shù)f(x)=普耳的定義域?yàn)開___.

log2(.x-l)

16.已知函數(shù)/(%)=(sinx—cosx)sinx,xER,則/(%)的最小正周期是.

2

17.(1一[。063)坦及為竺的值是

?log?

_TT"11

已知?jiǎng)t

18.5/VaV",-7T<￡<0,tana=3tan/3=-/2a+/?=_____.

三、解答題（本大題共3小題，共28.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

19.(本小題8.0分)

已知函數(shù)/'(x)=4cosxsin(^x+

(1)求居)的值；

(2)求函數(shù)/(?的最小正周期及其圖像的對稱軸方程.

20.(本小題10.0分)

已知。<a<pcos(a+；)=g

(1)求tan(a+今的值；

(2)求sin(2a+E)的值.

21.(本小題10.0分)

已知函數(shù)/(久)=e"+e—,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)證明：f(x)是R上的偶函數(shù)；

(2)若關(guān)于x的不等式(x)<e~x+m-1在(0,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：點(diǎn)P(sina-cosa"cma)在第一象限,

即｛sina>coscr

vae[0,2TT],

TI.Sn

-<.a<—

44,

(0<a<或7r<a<^-

即(<a<或7i<a<叫

故a6U(兀,空，

故選：A.

根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與象限之間的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)符號的判斷，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

2.【答案】C

1

nr

【解析】解：y=sin偌一%)cos偌一%)2-siKl974T-2%）=--sin（2x—彳）,

令2+2/CTT<2x——<2kli+—,(fcEZ),

整理得萼+/C7T<%<fcTT+(fcGZ),

oo

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為用+抽0+引，(keZ).

故選：c.

首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.

本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力

和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題.

3.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?(0)=sin與=苧W0，故A錯(cuò)誤；

在函數(shù)y=sin(2%+勺中，令2%+。="fcez,可得久=粵+3fcez,

0111

oDzL12

可得當(dāng)k=0時(shí)，X=%即函數(shù)y=sin(2x+9的圖象關(guān)于直線x=V對稱，故。正確；

1Z011151Z

令》=殍+蔣=0,解得k=—故B錯(cuò)誤；

2126

令％=殍+蔣=?解得k=^z,故C錯(cuò)誤.

Z1Z66

故選：D.

利用正弦函數(shù)的對稱性即可求解.

本題考查正弦函數(shù)的對稱性，過圖象的頂點(diǎn)垂直于x軸的直線都是正弦函數(shù)的對稱軸，圖象和K軸

的交點(diǎn)即為對稱中心，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)值的求法，考查兩角和差的正弦公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

將17°=31。-14。，運(yùn)用兩角差的正弦公式化簡，再運(yùn)用兩角和的正弦公式，注意逆用公式，從

而得到結(jié)果.

【解答】

解：2sinl40-cos31°+sinl7°

=2sinl4°-cos31°+sin(31°—14°)

=2sinl40cos31°+sin31°cosl4°—cos31°sml4°

=sin31°cosl40+cos31°sinl4°

=sin(31°+14°)

=sM45°

=V2

-y

故選A.

5.【答案】C

【解析】解：ry=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)

=3sin(x+20°)+5sin(x+20°+60°)

=3sin(x+20°)+|sin(x+20°)+cos(x+20°)

=~sm(x+20°)+^^cos(x+20°)

=7s出(x+200+6),且tan。=挈，

二函數(shù)y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值是7,

故選：C.

先將函數(shù)化為y=7s譏0+20。+6),且tan。=筆，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

本題考查三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.

6.【答案】D

【解析】解：當(dāng)2/OT<xWg+2k兀時(shí)，/(%)=\sinx\+\cosx\=sinx+cosx=V2sin(x+7)

???/(%)e[1,V2]

當(dāng)彳+2kn<%<7T+2/OT時(shí),/(%)=\sinx\+\cosx\=sinx-cosx=V2sin(x—7)

???/(%)e[1,V2]

當(dāng)兀+2kn<%<^+2k7r時(shí)，/(%)=\sinx\+\cosx\=—sinx-cosx=-V2sin(x+7)

24

[1,V2]

當(dāng)孚+2kn<x<2TT+2/CTT時(shí)，/(%)=\sinx\+\cosx\=-sinx+cosx=-V2sin(x-7)

z4

f(x)e[1,V2]

故選：D.

根據(jù)％的不同范圍對函數(shù)“x)去絕對值符號，進(jìn)而可得到函數(shù)f(x)的范圍，確定答案.

本題主要考查正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在不同范圍時(shí)的函數(shù)值的符號，考查兩角和與差的正弦公式的

應(yīng)用.對三角函數(shù)的考查一般以基礎(chǔ)題為主，要強(qiáng)化基礎(chǔ)的夯實(shí).

7.【答案】B

【解析】解：由1W\2x-1|<2得，一2<2x—1W—1或1<2x-1<2,

解得W0或U<|.

故選：B.

利用絕對值的幾何意義即可求解.

本題考查絕對值不等式的解法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x),g(久)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，

則有/'(一式)=-/(X),g(—x)=g(x),

又由/(x)-g(x)=e*,①

則/(一式)-g(-x)--f(x)-g[x}=e~x,即/(x)+g(x)=-e~x,②

聯(lián)立①②解可得：f(x)=",g(x)=一七，J

2—23—3

g(0)=—1,<(2)=/(3)=

分析可得：g(0)<f(2)<f(3)；

故選：D.

根據(jù)題意，由/'(無)一g(x)=e*結(jié)合函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)可得/久)-g(-x)=-/(%)-。(久)=

e~x,變形可得/'(x)+g(久)=-eT,聯(lián)立兩個(gè)式子解可得：/(%)=一,g(x)=-^―y->即

2—?RR

可得g(0)=-1,f(2)=/(3)=比較即可得答案.

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性求出f(x)、久久)的解析式.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性.

判斷函數(shù)/(久)=1+4久-3單調(diào)遞增，然后利用零點(diǎn)存在性定理求解即可.

【解答】

解：:函數(shù)y=e*和函數(shù)y=4久—3在R上都單調(diào)遞增，

二函數(shù)f(久)=ex+4x—3在(—8,+8)上為增函數(shù)，

則/(X)最多一個(gè)零點(diǎn)，

?；/(；)=e4+1—3<0>

f(^)=Ve+2—3=y[e-1>0,

???冷用)<0，

???函數(shù)f(久)=峭+4x—3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(。,與

4Z

故選C.

10.【答案】D

【解析】解：?函數(shù)y=lg[x2+(m-2)x+1]的值域?yàn)镽,

方程/+(m-2)x+1=。的4=(m-2)2-4>0,解得m>4或爪<0.

故選：D.

轉(zhuǎn)化為方程/+(m-2)x+1-0的4>0,解得jn范圍.

本題主要考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)圖象的識別，關(guān)鍵掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值驗(yàn)證.

【解答】

解：??,/(K)=卬裳-1)-sinx,定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，

27ex2

(=(五*-一(強(qiáng)標(biāo)-=(強(qiáng)》-

f—x)1)-sin(-x)=l)sinx1)-Sinx=/(x),

???函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，故排除C,D,

當(dāng)x=2時(shí)，/(2)=(京—1)7譏2<0,故排除8,

故選：A

12.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查對數(shù)值的大小比較，解題時(shí)要注意對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

因?yàn)閍=g^=lnV^,b=^-=lnV3,c=-^=lnV5,所以先比較V3>遮的大小，然后再

利用單調(diào)性比較a,b,c的大小.

【解答】

解：a=^=lnV2,6=竽=111遮，c=^=InVS，

???(V2)6=23=8,(%)6=32=9,

(V2)10=25=32,(V5)10=52=25,

???V5<V2<V3.

因?yàn)镮nx在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

：.c<a<b.

故選：C.

13.【答案】B

【解析】解：實(shí)數(shù)％、y滿足］>y>0,且Sg2%+log2y=2,

則log2%y=2,即久y=4,

故3+工=坦生=竽2叫互=&,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2/時(shí)，等號成立，

xyxy44)

故的最小值為企.

xy

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，推得孫=4,再結(jié)合基本不等式的公式，即可求解.

本題主要考查基本不等式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷與應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

利用已知條件求出/(1-乃的表達(dá)式，利用函數(shù)的圖象，求解兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

【解答】

x2+2xx<0

解：函數(shù)/（%）=

.|lgx|%>O'

x2—4%+3%>1

/(I一%)=

.|Ig(l-x)|x<1"

函數(shù)g(%)=7(1-%)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù),

就是y=/（I-%）與y=1交點(diǎn)個(gè)數(shù),

如圖：可知兩個(gè)函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),

函數(shù)g（%）=/（I一x）—1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

15.【答案】［3,+8）

【解析】解：若使函數(shù)f（X）=善寫的解析式有意義，

（|x-2|-1>0

自變量%須滿足：％-1>0,

、%—1。1

解得：%e［3,+oo）,

故函數(shù)/（?=腎然的定義域?yàn)椋?,+OO）,

故答案為：［3,+8）

/I（\X~2|-1>0

根據(jù)使函數(shù)/（X）=蒜號的解析式有意義，得到不等式組：卜-1）■0，解得答案.

：1

求函數(shù)的定義域時(shí)要注意：（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，其定義域是使解析式有意義的自變量的

取值集合.（2）當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時(shí)，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實(shí)

際意義（如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）.（3）若一函數(shù)解析式是由幾個(gè)函數(shù)經(jīng)四則

運(yùn)算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時(shí)使這幾個(gè)函數(shù)有意義的不等式組的解集.若函數(shù)定義域?yàn)榭?/p>

集，則函數(shù)不存在.(4)對于(4)題要注意：①對在同一對應(yīng)法則f下的量“x”“x+a”“久-a”

所要滿足的范圍是一樣的；②函數(shù)g(x)中的自變量是x,所以求g(x)的定義域應(yīng)求。(久)中的久的范

圍.

16.【答案】兀

【解析】解：/(%)=sin2%—sinxcosx=1c°s2x—^-sin2x=—\/2sin(2x+7)+^>

2L4L

此時(shí)可得函數(shù)的最小正周期T=y=7T.

故答案為：n.

/(%)=Qsinx-cosx)sinx=sin2%—cosxsinx,再由二倍角公式可得f(%)=—V2sin(2x+?)+彳,

4L

最后可得答案.

本題主要考查運(yùn)用三角函數(shù)的二倍角公式對函數(shù)進(jìn)行化簡后求函數(shù)周期的問題.二倍角公式在三

角函數(shù)的化簡中經(jīng)常用到，要引起重視.

17.【答案】1

22

【解析】解：[(1-log^}+log62■log618]+log64=[Qog62)+log62-log618]+log64

4

=log62-log6(2x18)+jOg64=2log62|Og6=1.

故答案為：1.

利用對數(shù)的運(yùn)算法則即可得出.

本題考查了對數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】？

4

-117r

【解析】解：???tana=-tan/?=--<a<TI,-TT</?<0,

3/乙

31

??.tm2a=之比=一］，tan(2a+￡)=tan2a+tanp_(-4)+(-7)

1—tan2atan^1_(_》義(一今

又,?,毛<2a<2〃，—y<<0,可得：2a+￡6(加,2兀),

???2a+夕=?.

故答案為：

4

由已知利用二倍角的正切函數(shù)公式可求tcm2a,利用兩角和的正切函數(shù)公式可求tan(2a+￡),結(jié)

合2a+0的范圍，由正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解2a+0的值.

本題主要考查了二倍角的正切函數(shù)公式，兩角和的正切函數(shù)公式，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)在三角

函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，求出tcm2a的值的關(guān)鍵.注意角的范圍.屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解:(1)函數(shù)f(久)=4cosxsin(x+7)=4cos久sinx+-cosx)=y/3sin2x+cos2x+

6

1=2sin(2x+9+1,

所以fG)=2s譏V+1=0.

(2)由于/(%)=2sin(2x+^)+1,

所以函數(shù)的最小正周期T=y=7T；

令2%+，=攵兀+5,(fcGZ),整理得％="+(kEZ),

。，Z6

故函數(shù)的對稱軸方程為尢=竽+9(kez).

【解析】(1)首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函

數(shù)的值；

(2)利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小正周期和函數(shù)的對稱軸方程.

本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力

和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題.

20.【答案】解