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文檔簡介
2022-2023學年天津市重點高中高一(上)期末數(shù)學試卷
一、單選題(本大題共14小題,共56.0分。在每小題列出的選項中,選出符合題目的一項)
1.已知點P(s譏a-cosa,tcma)在第一象限,則在[0,2初內(nèi)a的取值范圍是()
A5B^
u一
4-^
353
cu8Du
4-4-(o,2-
2.函數(shù)y=sin(K-%)cos(w-%)的單調(diào)增區(qū)間為()
OO
A.[kn-^,kn+^],(fcGZ)B.\2kir+,2kn+(kE.Z)
C.[kn+^-,kn+,],(kEZ)D.[2/CTT—,2/CTT+(k6Z)
3.函數(shù)y=sin(2x+5)的圖象()
A.關于原點對稱B.關于y軸對稱
C.關于直線尤=?寸稱D.關于直線第="對稱
o
4.計算2s譏14。?cos310+s譏17。等于()
A.0B.一世C.皮D.—如
2222
5.函數(shù)y=3sin(x+20°)+5sin(x+80。)的最大值是()
ii
A.51B.61C.7D.8
6.函數(shù)/'(x)=|sinx|+|cosx|的取值范圍是()
A.[0,V2]B.[0,2]C.[1,2]D.[1,V2]
7.不等式1W|2x—1|<2的解集為()
A.(-l,o)u(l,|)B.(-l,0]u[l,|)
1Q12
C.(一',。]u[1,3D.(-oo,--]u[1,-]
8.若函數(shù)/Q),g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù),且滿足/(x)-g(x)=ex,則有()
A./(2)</(3)<5(0)B.5(0)</(3)</(2)
C.f(2)<g(0)<f(3)D.g(0)<f(2)</(3)
9.在下列區(qū)間中,函數(shù)/(x)=二+4工—3的零點所在的區(qū)間為()
A.(-;,。)B.(0,》C.(另)D.弓,令
10.函數(shù)y=lg[x2+(m-2)x+1]的值域為R.則實數(shù)TH的取值范圍是()
A.(0,4)B.[0,4]
C.(—00,0)U(4,+8)D.(—00,0]U[4,+oo)
11.函數(shù)f(x)=(言—的圖象大致形狀為()
A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c
71
13.若實數(shù)%、y滿足%>y>0,且log2%+log2y=2,貝女+,的最小值為()
A.4B.V2C.V3D.2
14.已知函數(shù)/(%)=則函數(shù)g(x)=f(l—x)—1的零點個數(shù)為()
A.1B.2C.3D.4
二、填空題(本大題共4小題,共16.0分)
15.函數(shù)f(x)=普耳的定義域為____.
log2(.x-l)
16.已知函數(shù)/(%)=(sinx—cosx)sinx,xER,則/(%)的最小正周期是.
2
17.(1一[。063)坦及為竺的值是
?log?
_TT"11
已知則
18.5/VaV",-7T<£<0,tana=3tan/3=-/2a+/?=_____.
三、解答題(本大題共3小題,共28.0分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
19.(本小題8.0分)
已知函數(shù)/'(x)=4cosxsin(^x+
(1)求居)的值;
(2)求函數(shù)/(?的最小正周期及其圖像的對稱軸方程.
20.(本小題10.0分)
已知。<a<pcos(a+;)=g
(1)求tan(a+今的值;
(2)求sin(2a+E)的值.
21.(本小題10.0分)
已知函數(shù)/(久)=e"+e—,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)證明:f(x)是R上的偶函數(shù);
(2)若關于x的不等式(x)<e~x+m-1在(0,+8)上恒成立,求實數(shù)機的取值范圍.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:點P(sina-cosa"cma)在第一象限,
即{sina>coscr
vae[0,2TT],
TI.Sn
-<.a<—
44,
(0<a<或7r<a<^-
即(<a<或7i<a<叫
故a6U(兀,空,
故選:A.
根據(jù)點的坐標與象限之間的關系,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行求解即可.
本題主要考查三角函數(shù)符號的判斷,根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關鍵.
2.【答案】C
1
nr
【解析】解:y=sin偌一%)cos偌一%)2-siKl974T-2%)=--sin(2x—彳),
令2+2/CTT<2x——<2kli+—,(fcEZ),
整理得萼+/C7T<%<fcTT+(fcGZ),
oo
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為用+抽0+引,(keZ).
故選:c.
首先把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù),進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.
本題考查的知識要點:三角函數(shù)的關系式的變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì),主要考查學生的理解能力
和計算能力,屬于基礎題和易錯題.
3.【答案】D
【解析】解:因為/(0)=sin與=苧W0,故A錯誤;
在函數(shù)y=sin(2%+勺中,令2%+。="fcez,可得久=粵+3fcez,
0111
oDzL12
可得當k=0時,X=%即函數(shù)y=sin(2x+9的圖象關于直線x=V對稱,故。正確;
1Z011151Z
令》=殍+蔣=0,解得k=—故B錯誤;
2126
令%=殍+蔣=?解得k=^z,故C錯誤.
Z1Z66
故選:D.
利用正弦函數(shù)的對稱性即可求解.
本題考查正弦函數(shù)的對稱性,過圖象的頂點垂直于x軸的直線都是正弦函數(shù)的對稱軸,圖象和K軸
的交點即為對稱中心,考查了函數(shù)思想,屬于中檔題.
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本題考查三角函數(shù)值的求法,考查兩角和差的正弦公式的運用,屬于基礎題.
將17°=31。-14。,運用兩角差的正弦公式化簡,再運用兩角和的正弦公式,注意逆用公式,從
而得到結(jié)果.
【解答】
解:2sinl40-cos31°+sinl7°
=2sinl4°-cos31°+sin(31°—14°)
=2sinl40cos31°+sin31°cosl4°—cos31°sml4°
=sin31°cosl40+cos31°sinl4°
=sin(31°+14°)
=sM45°
=V2
-y
故選A.
5.【答案】C
【解析】解:ry=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)
=3sin(x+20°)+5sin(x+20°+60°)
=3sin(x+20°)+|sin(x+20°)+cos(x+20°)
=~sm(x+20°)+^^cos(x+20°)
=7s出(x+200+6),且tan。=挈,
二函數(shù)y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值是7,
故選:C.
先將函數(shù)化為y=7s譏0+20。+6),且tan。=筆,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
本題考查三角函數(shù)的恒等變換,屬于中檔題.
6.【答案】D
【解析】解:當2/OT<xWg+2k兀時,/(%)=\sinx\+\cosx\=sinx+cosx=V2sin(x+7)
???/(%)e[1,V2]
當彳+2kn<%<7T+2/OT時,/(%)=\sinx\+\cosx\=sinx-cosx=V2sin(x—7)
???/(%)e[1,V2]
當兀+2kn<%<^+2k7r時,/(%)=\sinx\+\cosx\=—sinx-cosx=-V2sin(x+7)
24
[1,V2]
當孚+2kn<x<2TT+2/CTT時,/(%)=\sinx\+\cosx\=-sinx+cosx=-V2sin(x-7)
z4
f(x)e[1,V2]
故選:D.
根據(jù)%的不同范圍對函數(shù)“x)去絕對值符號,進而可得到函數(shù)f(x)的范圍,確定答案.
本題主要考查正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在不同范圍時的函數(shù)值的符號,考查兩角和與差的正弦公式的
應用.對三角函數(shù)的考查一般以基礎題為主,要強化基礎的夯實.
7.【答案】B
【解析】解:由1W\2x-1|<2得,一2<2x—1W—1或1<2x-1<2,
解得W0或U<|.
故選:B.
利用絕對值的幾何意義即可求解.
本題考查絕對值不等式的解法,考查運算求解能力,屬于基礎題.
8.【答案】D
【解析】解:根據(jù)題意,函數(shù)f(x),g(久)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù),
則有/'(一式)=-/(X),g(—x)=g(x),
又由/(x)-g(x)=e*,①
則/(一式)-g(-x)--f(x)-g[x}=e~x,即/(x)+g(x)=-e~x,②
聯(lián)立①②解可得:f(x)=",g(x)=一七,J
2—23—3
g(0)=—1,<(2)=/(3)=
分析可得:g(0)<f(2)<f(3);
故選:D.
根據(jù)題意,由/'(無)一g(x)=e*結(jié)合函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)可得/久)-g(-x)=-/(%)-。(久)=
e~x,變形可得/'(x)+g(久)=-eT,聯(lián)立兩個式子解可得:/(%)=一,g(x)=-^―y->即
2—?RR
可得g(0)=-1,f(2)=/(3)=比較即可得答案.
本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì),關鍵是利用函數(shù)的奇偶性求出f(x)、久久)的解析式.
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本題主要考查函數(shù)零點存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性.
判斷函數(shù)/(久)=1+4久-3單調(diào)遞增,然后利用零點存在性定理求解即可.
【解答】
解::函數(shù)y=e*和函數(shù)y=4久—3在R上都單調(diào)遞增,
二函數(shù)f(久)=ex+4x—3在(—8,+8)上為增函數(shù),
則/(X)最多一個零點,
?;/(;)=e4+1—3<0>
f(^)=Ve+2—3=y[e-1>0,
???冷用)<0,
???函數(shù)f(久)=峭+4x—3的零點所在的區(qū)間為(。,與
4Z
故選C.
10.【答案】D
【解析】解:?函數(shù)y=lg[x2+(m-2)x+1]的值域為R,
方程/+(m-2)x+1=。的4=(m-2)2-4>0,解得m>4或爪<0.
故選:D.
轉(zhuǎn)化為方程/+(m-2)x+1-0的4>0,解得jn范圍.
本題主要考查轉(zhuǎn)化思想的應用,考查計算能力,屬于基礎題.
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本題考查了函數(shù)圖象的識別,關鍵掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的特點,屬于基礎題.
先判斷函數(shù)的奇偶性,再取特殊值驗證.
【解答】
解:??,/(K)=卬裳-1)-sinx,定義域為R,關于原點對稱,
27ex2
(=(五*-一(強標-=(強》-
f—x)1)-sin(-x)=l)sinx1)-Sinx=/(x),
???函數(shù)/(%)為偶函數(shù),故排除C,D,
當x=2時,/(2)=(京—1)7譏2<0,故排除8,
故選:A
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查對數(shù)值的大小比較,解題時要注意對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的合理運用,屬于基礎題.
因為a=g^=lnV^,b=^-=lnV3,c=-^=lnV5,所以先比較V3>遮的大小,然后再
利用單調(diào)性比較a,b,c的大小.
【解答】
解:a=^=lnV2,6=竽=111遮,c=^=InVS,
???(V2)6=23=8,(%)6=32=9,
(V2)10=25=32,(V5)10=52=25,
???V5<V2<V3.
因為Inx在定義域內(nèi)為增函數(shù),
:.c<a<b.
故選:C.
13.【答案】B
【解析】解:實數(shù)%、y滿足]>y>0,且Sg2%+log2y=2,
則log2%y=2,即久y=4,
故3+工=坦生=竽2叫互=&,當且僅當x=2y=2/時,等號成立,
xyxy44)
故的最小值為企.
xy
故選:B.
根據(jù)已知條件,結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì),推得孫=4,再結(jié)合基本不等式的公式,即可求解.
本題主要考查基本不等式及其應用,屬于基礎題.
14.【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的判斷與應用,考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應用,考查計算能力.
利用已知條件求出/(1-乃的表達式,利用函數(shù)的圖象,求解兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)即可.
【解答】
x2+2xx<0
解:函數(shù)/(%)=
.|lgx|%>O'
x2—4%+3%>1
/(I一%)=
.|Ig(l-x)|x<1"
函數(shù)g(%)=7(1-%)-1的零點個數(shù),
就是y=/(I-%)與y=1交點個數(shù),
如圖:可知兩個函數(shù)的圖象有三個交點,
函數(shù)g(%)=/(I一x)—1的零點個數(shù)為3.
故選:C.
15.【答案】[3,+8)
【解析】解:若使函數(shù)f(X)=善寫的解析式有意義,
(|x-2|-1>0
自變量%須滿足:%-1>0,
、%—1。1
解得:%e[3,+oo),
故函數(shù)/(?=腎然的定義域為[3,+OO),
故答案為:[3,+8)
/I(\X~2|-1>0
根據(jù)使函數(shù)/(X)=蒜號的解析式有意義,得到不等式組:卜-1)■0,解得答案.
:1
求函數(shù)的定義域時要注意:(1)當函數(shù)是由解析式給出時,其定義域是使解析式有意義的自變量的
取值集合.(2)當函數(shù)是由實際問題給出時,其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義,還要有實
際意義(如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等).(3)若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經(jīng)四則
運算得到的,則函數(shù)定義域應是同時使這幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集.若函數(shù)定義域為空
集,則函數(shù)不存在.(4)對于(4)題要注意:①對在同一對應法則f下的量“x”“x+a”“久-a”
所要滿足的范圍是一樣的;②函數(shù)g(x)中的自變量是x,所以求g(x)的定義域應求。(久)中的久的范
圍.
16.【答案】兀
【解析】解:/(%)=sin2%—sinxcosx=1c°s2x—^-sin2x=—\/2sin(2x+7)+^>
2L4L
此時可得函數(shù)的最小正周期T=y=7T.
故答案為:n.
/(%)=Qsinx-cosx)sinx=sin2%—cosxsinx,再由二倍角公式可得f(%)=—V2sin(2x+?)+彳,
4L
最后可得答案.
本題主要考查運用三角函數(shù)的二倍角公式對函數(shù)進行化簡后求函數(shù)周期的問題.二倍角公式在三
角函數(shù)的化簡中經(jīng)常用到,要引起重視.
17.【答案】1
22
【解析】解:[(1-log^}+log62■log618]+log64=[Qog62)+log62-log618]+log64
4
=log62-log6(2x18)+jOg64=2log62|Og6=1.
故答案為:1.
利用對數(shù)的運算法則即可得出.
本題考查了對數(shù)的運算法則,屬于基礎題.
18.【答案】?
4
-117r
【解析】解:???tana=-tan/?=--<a<TI,-TT</?<0,
3/乙
31
??.tm2a=之比=一],tan(2a+£)=tan2a+tanp_(-4)+(-7)
1—tan2atan^1_(_》義(一今
又,?,毛<2a<2〃,—y<<0,可得:2a+£6(加,2兀),
???2a+夕=?.
故答案為:
4
由已知利用二倍角的正切函數(shù)公式可求tcm2a,利用兩角和的正切函數(shù)公式可求tan(2a+£),結(jié)
合2a+0的范圍,由正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解2a+0的值.
本題主要考查了二倍角的正切函數(shù)公式,兩角和的正切函數(shù)公式,正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)在三角
函數(shù)化簡求值中的應用,考查了轉(zhuǎn)化思想,求出tcm2a的值的關鍵.注意角的范圍.屬于基礎題.
19.【答案】解:(1)函數(shù)f(久)=4cosxsin(x+7)=4cos久sinx+-cosx)=y/3sin2x+cos2x+
6
1=2sin(2x+9+1,
所以fG)=2s譏V+1=0.
(2)由于/(%)=2sin(2x+^)+1,
所以函數(shù)的最小正周期T=y=7T;
令2%+,=攵兀+5,(fcGZ),整理得%="+(kEZ),
。,Z6
故函數(shù)的對稱軸方程為尢=竽+9(kez).
【解析】(1)首先利用三角函數(shù)關系式的變換,把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù),進一步求出函
數(shù)的值;
(2)利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小正周期和函數(shù)的對稱軸方程.
本題考查的知識要點:三角函數(shù)的關系式的變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì),主要考查學生的理解能力
和計算能力,屬于基礎題和易錯題.
20.【答案】解
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