《微積分Ⅲ》期末考試試卷

《微積分in》課程期末考試試卷

一、填空題(每小題5分，將答案填在橫線上)

(1)設(shè)/為橢圓4/+丁=1的一周，其全長為“，則平面第一型(即對弧長的)曲線積分

^(2x-y}2ds-.

C

(2)已知(ye*-er)dx+(xer'為某二元函數(shù)“(x,y)的全微分，且“(0,0)=1.則

?(x,y)=.

(3)設(shè)〃=〃(x,y,z)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足

S為球面x2+y2+z2+q23>0)的外側(cè)，則第二類曲面積分

rcdu,,du,,du,,

jj—dyaz+—azax+—axdy=.

(4)設(shè)My)具有連續(xù)的-階導(dǎo)數(shù)，夕(1)=1,/為自點(0,0)沿曲線y=3f—2x到點(1,1)的

有向弧，則平面第二型曲線積分J(2x0(y)-y)dx+(x2(p'(y)-y)dy=.

I

二、選擇題(每小題5分，每小題所給4個選項中只有1個是符合要求的，請將所選代碼填入【】中).

(5)設(shè)Z)={(x,y)lx2+y2>0},/是。內(nèi)的任意一條逐段光滑的封閉曲線，則必有

-y)dx+(x+y)dy才0

(A)(B)

-)dx)=小)，(吁-產(chǎn))*0

(D)

x+y4?X+y

(6)設(shè)S為上半球面x2+y2+z2+a2,z>Q,(a〉0),下列第一型曲面積分或第二型曲面

積分不為0的是

(A)JJxdydz.(B)jjy2dydz.

s上記s上間

(C)JjydS.(D)JjxjdS.[1

(7)設(shè)P(x,y)與Q(x,y)在平面區(qū)域D上連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則“四=變當(dāng)

dxdy

(x,y)e。"是“對于D內(nèi)的任意一條逐段光滑的閉曲線/,"(x,y)dx+Q(x,y)dy=0”的

/

(A)充分條件而非必要條件.(B)必要條件而非充分條件.

(C)充分必要條件.(D)既非充分有非必要條件.【】

(8)設(shè)空間區(qū)域。={(x,y,z)lx2+)，2+z249,xN0,yN0,zN0}，函數(shù)/(x)為正值的

fffTTw+27709+37/0)^,

連續(xù)函數(shù)，則收/7際E反T二

(A)等.(B)9兀.(C)與萬.(D)27萬.

三、解答題(以下各小題每題10分，解題時應(yīng)寫出必要的解題過程).

(9)設(shè)。是由曲面Z=4(x2+y2)與z=8所圍成的空間有界閉區(qū)域，求。](一+),2)dv.

C

(10)設(shè)S是錐面z=Jx?+y2(0WzK1)的上側(cè),求JJxdydz+2ydzdx+3zdxdy.

s

(11)設(shè)L為空間曲線=,自z軸正向往負向看，L是逆時針的，求

[x2+y2=2x

^y2dr+x2d>+z2dz.

L

(12)設(shè)/為自點A(-1,0)沿圓周(XT)?+丁=4的上半個到點8(3,0)的有向弧段，求

exdy-ydx

J4/+4?

(13)設(shè)S為曲面z=4(x2+y2),(O〈zVl),求第一型曲面積分JJ(2z+l)dS.

s

(14)設(shè)/(〃)具有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，點4(1,1),點8(3,3),/為以Q為直徑的左上半個

圓弧，自A到B,求1,(—f(—-)+y)dx—(—f(—)+x)dy.

ixyyy

參考解答:

(1)a；(2)yex-xe~y+\,(3)-7ra5；(4)

52

二.CABB

1024

(9)解1：原式=,f2”(16>ff4r-3drf8f,dz=——

JoJoJ?3

2J

一,「8Anr41zR1024

解2：原式==fdzfd0|rdr=----

JoJoJo3

(10)解1：高斯公式.

S]：z=l,x2+y2<1,下側(cè)，V：yjx2+y2<z<1,:x2+y2<1

原式二可一[J=-Jjj6dV-J/-3db=—6JJdofrd〃fdz+3"

S+S]Sic%

解2：化第一類曲面積分.

2222

5：Z-X-/=0,Dxy-.x+y<\,n°^-^-[-x,-y,z}

原式=||(xcosa+2ycos/3+3zcos/)dS

s

,J_-2y2+3z2)dS=古jj1(2x2+y2)dS

一正

*22

db=4rd0fr(1+cos0)dr=兀

*o

(11)解1：Stokes公式

22

S：Z=J/+y2,(x,y)G￡)v>,:X+y<2x上側(cè)

dydzdzdxdxdy

原式=JJddd=JJ(2x-2y)dxdy=JJ(2x-2y)dxdy

sdx辦dzs

y2x2z2

>2cos6

2Jjxdxdy=4/der2cosdr=2萬

Jo0

%J

解2：直接法.L:x=1+cosf,y=sinz=2cos^-,f:0->2〃

原式二…二f(2cos2t+cos3t)dr=2^

*0

(12)解：也=上^^="，(x,y)*(0,0),積分與路徑無關(guān).

dx(4x2+y2)2dy

2

設(shè)LAC:4x+/=4(),>0),A(—l,0)tC(l,0)

x=cosf,y=2sinf,廣乃―0

原式=J+j=[jxdy-ydx+0=(J(2cos2t+2sin、)dr=-5

LACCBLAC

(13)解：dS=Jl+x，+y2do,S:z=；(/+/)，￡)^：x2+y