【北京課改版】九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第19~22章課后零失誤訓(xùn)練合集（含答案）

19.1比例線段

零失誤訓(xùn)練

基礎(chǔ)能力訓(xùn)練★回歸教材注重基礎(chǔ)

?比例的基本性質(zhì)

1.如果4a=56,貝ij0=_____.

b

2.如果a:b=l:5,且ZJ=15，貝IJa=.

3.已知巴=2,且a=2,c=9,貝ijk_____.

bc

4.若±=2=￡=左，且2x-3片2=6,貝ijA=,，產(chǎn)

234----------------------------

z=.

解析：由題意知，尸24，y=3k,z=4k，代人2x-3JP+Z=6中得心-6,

進(jìn)一步可求得x.y.z.

5.若(2-勿)：m=m:(1-/z?)，貝Um=.

6.若x\片2:3,y:z=4:3,貝Ux\y:z=.

7.如果a:爐4:3,且tf=ac,那么b:c=.

8.如果@=2,那么色吆=____.

b3h

9.如果厘=?,那么@=______.

b5h

10.已知：0=￡='=5，且lAd-/=7,求a+c-e.

bdf

?綜合運(yùn)用

11.已知x\y\2=2:3:4,且x+y-z=^-，求x.y.z的值.

12.已知:磬求一的值.

13.已知：業(yè)"￡=*=',求X的值.

ab

14.設(shè)實(shí)數(shù)ab.c使|a-2b|+V3^7+(3a-2c)2=0,求a:b:C.

綜合創(chuàng)新訓(xùn)練★登高望遠(yuǎn)課外拓展

?創(chuàng)新應(yīng)用

15.如圖19-1-2所示，在歐和△㈣中，^―=-=—=-

EDBDBE3

且△力a與△質(zhì)的周長(zhǎng)之差為20cm,則△/式的周長(zhǎng)為多少厘米?

16.如圖19-1-3所示，聯(lián)結(jié)A.夕兩城的高速公路，全長(zhǎng)120千米，

在/〃上有兩個(gè)收費(fèi)站C.D,已知/CC廬1:5,相:〃廬11:1,一輛小車

從站。到站〃行駛了3小時(shí)，問(wèn)小車的速度是每小時(shí)多少千米？

4

I1

ACDB

圖19-1-3

?開(kāi)放探索

17.(2008?青島)如圖19-1-4所示，AB.4。表示兩條相交的公路，

現(xiàn)要在/從。的內(nèi)部建一個(gè)物流中心，設(shè)計(jì)時(shí)要求該物流中心到兩條

公路的距離相等且到公路交叉處4點(diǎn)的距離為1000?.

(1)若要以1:50000的比例尺畫設(shè)計(jì)圖，求物流中心到公路交叉處4

點(diǎn)的圖上距離；

⑵在圖中畫出物流中心夕的位置.

C

圖19-1-4

18.若q=巴工,且，abc^Q,那么工+工=2成立嗎？為什么？

hc-habc

參考答案

1答案：*

4

2答案:3

3答案：±3行解析：由比例的基本性質(zhì)可得斤=的，將齊2,k9,代

入得9=2X9=18,所以匕=±3也.

4答案：-6-12-18-24

5答案:劣

3

6答案:8:12:9解析：因?yàn)?,3,4的最小公倍數(shù)是12,所以由已知

條件可設(shè)x=8k,尸124,z=9k,所以x\y\z=8k:12k:9k=8:12:9.

7答案:4:3解析：由后ac可得q=2.

hc

8答案：2解析:方法一：由題意可設(shè)斫2k,爐3〃，代入求值；方法

二：由合比性質(zhì)求，由9=2可得上心=2±1=3.

h3b33

9答案

10答案:解析：???/￡J=5，.一，=二=5,

bdfbd-f

'二，=5,而b+d-f,=7,.\a+c-6=35.

b+d-f

11答案：x=:，y=J,z=:

643

12答案:解析：由合比性質(zhì)得”竺凸=㈢，即i=2.

3b33h3

，/2.

b

13答案:解析：當(dāng)d+HcWO時(shí),犬="二竺^二2(〃+4+c)=2,

caba+8+c

當(dāng)a+b+c=Q日寸，有&+爐-0,代人比例式可得》=絲々=二￡=一1,.'x

CC

的值為2或-1.

14答案:解析：由已知得a-2/0,3b-c=0,3a-2c=0,

?a2c3?；c1c

??一=一,———,??a:b:c~2i:1:3?

b\b\

15答案:解析：由已知可得'+8C+AC=3可設(shè)△力■的周長(zhǎng)為5〃,

BD+BE+DE3

則△應(yīng)應(yīng)的周長(zhǎng)為3k,5k-3A=20,得公10,：.AABC的周長(zhǎng)為

5A=5X10=50(cm).

16答案:解析：由題意可設(shè)法在，則49=11A,A(=2k,CB=lQk,CWAD

-AO9k，而/廬12A=120，得A=10，，690(千米),.*.904--=120

米/時(shí)）.

17答案：解析：（1）1000ZZFIOO000cm,1000004-50000=2,所以

物流中心到公路交叉處/點(diǎn)的圖上距離是2c勿；

⑵作N胡。的角平分線，以A為端點(diǎn)在NB4C內(nèi)部的平分線上截取

AP=2cm,則P點(diǎn)即為所求.

18答案:解析:成立.

-=—一?.”生二，(等比性質(zhì))，

bc-bb+c-bb

??,abcWO,兩邊同除以a得！+'=2,故該等式成立.

bac

19.2黃金分割

零失誤訓(xùn)練

基礎(chǔ)能力訓(xùn)練★回歸教材注重基礎(chǔ)

?黃金分割的定義

1.已知4Mocm,P.0是線段4?的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，則P①

2.已知線段4廬1,點(diǎn)〃是線段月方的黃金分割點(diǎn)，則AP=.

3.已知線段/廬右，。為其黃金分割點(diǎn)，求下列各式的值(力。比):

⑴4°=.⑵BC=.

BA-------------，AC-...................，

(3)任=;(4)AC-BC=

BC

4.正常人的體溫一般是37℃左右，室溫太高.太低，人都會(huì)感覺(jué)不舒

服，多少攝氏度比較合適呢?有人研究認(rèn)為該溫度正好是人正常體溫

的黃金分割點(diǎn)，則這個(gè)溫度約為.

5.（2009?南京模擬）頂角為36°的等腰三角形被稱為黃金三角形，

在/月=36°的△/及7中，/廬/C,初是N/歐的角平分線，交47于〃,

若AC=4cm,貝ijBO.

6.若S是線段倒的黃金分割點(diǎn)，且乃＞S0,則（）

A.SQ=PS-PQB.P$=SQ?PQ

C.PS2=—?PQD.SQ2=PS?PS+PQ

2Y2

7.已知必是線段”的黃金分割點(diǎn)，且

⑴寫出線段AB.AM.以/之間的比例式.

⑵如果AB=12cm,求AM,以/的長(zhǎng).

8.如圖19-2-4所示，線段/〃長(zhǎng)IOCR,點(diǎn)。是線段的黃金分割

點(diǎn),A6BC,設(shè)以力。為邊的正方形4。定的面積為S,以a為一邊，

4夕長(zhǎng)為另一邊的矩形式FG的面積為S,試比較S和S的大小.

圖19-2-4

?黃金分割點(diǎn)的作圖

9.采用如下方法也可以得到黃金分割點(diǎn)：如圖19-2-5所示，設(shè)四

為已知線段，以48為邊作正方形ABCD\取4〃的中點(diǎn)￡,聯(lián)結(jié)旗；

延長(zhǎng)加至分，使EF^EB;以線段4分為邊作正方形AFGH,點(diǎn)〃就是AB

的黃金分割點(diǎn).

任意作一條線段，用上述方法作出這條線段的黃金分割點(diǎn)，你能說(shuō)出

這種作法的道理嗎？

圖19-2-5

10.求作已知線段/8的黃金分割點(diǎn).（不寫作法）

綜合創(chuàng)新訓(xùn)練★登高望遠(yuǎn)課外拓展

?創(chuàng)新應(yīng)用

11.如圖19-2-6所示，正五角星中，線段AD=2,試問(wèn)圖中陰影部

分圖形的周長(zhǎng)是多少?

圖19-2-6

12.舉例說(shuō)明黃金分割在日常生活中的一些應(yīng)用.

?開(kāi)放探索

13.若一個(gè)矩形的短邊與長(zhǎng)邊的比值為旦（黃金分割數(shù)），我們把這

2

樣的矩形叫做黃金矩形.

D

AB

圖19-2-7

⑴操作:請(qǐng)你在如圖19-2-7所示的黃金矩形/題（力?4?）中，以

短邊/〃為一邊作正方形457D

⑵探究：⑴中的四邊形皿是不是黃金矩形？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由;

若不是，也給予說(shuō)明.

⑶歸納:通過(guò)上述操作及探究，請(qǐng)概括出具有一般性的結(jié)淪（不需要

證明）.

參考答案

1答案：10（石-2）c為

2答案：止二1或三叵解析：本題應(yīng)考慮到同一線段上的黃金分割

22

點(diǎn)有兩個(gè).

3答案：⑴正匚⑵大二1⑶四（4）（后-2刈

222

4答案:23℃

5答案：2（石-1）M解析：?.?等腰回為黃金三角形，.?.如為黃金

AC

比.

BC=吏」AC.BC=2電一l）cm.

2

6答案:方

7答案：（1）坐=也（2）AM=（645-6）c/n,BM=（18-6亞）cm

ABAM

8答案：S,=S2=50（3-石）cm

9答案：解析：設(shè)AB=2，那么在RtABAE中

3石=以玄+松=正2+12=技于是E產(chǎn)B方亞,A+A六BE-A斤亞-1,

BH=AB-AH=3-45.因此，也=蛆，點(diǎn)〃是線段四的黃金分割點(diǎn).

ABAH

10答案:略

11答案:解析：由于點(diǎn)夕.。都是線段4〃的黃金分割點(diǎn)，于是有：

BD=AC=2x^^-=j5-l,AB=AD-BD=AD-AC=2-(45-\)=3-y/5,

2

/.BC=AC-AB=(V5-1)-(3-V5)=2A/5-4.

，陰影部分的周長(zhǎng)為10x/5-20.

12答案:解析:例如：報(bào)幕員站在舞臺(tái)寬度的黃金分割點(diǎn)處，顯得最和

諧；當(dāng)矩形的寬與長(zhǎng)的比約為0.618時(shí)顯得美觀；拍照時(shí)，常把主要

景物放在畫面的黃金分割點(diǎn)處，會(huì)顯得更加協(xié)調(diào).悅，目；二胡中的“千

金”分弦的比符合0.618:1時(shí)，奏出來(lái)的音調(diào)最悅耳；優(yōu)選法中的

“0.618法”足黃金分割的重要應(yīng)用等等.

13答案:解析：⑴如圖所示

⑵四邊形曲、是黃金矩形,因?yàn)榛倚呐cAB,BE=WAB,

則,所以四邊形酸F是黃金矩形.

2

⑶在黃金矩形中以短邊為邊長(zhǎng)作一個(gè)正方形，另一部分仍為黃金矩

形.

19.3平行線分三角形兩邊成比例

零失誤訓(xùn)練

基礎(chǔ)能力訓(xùn)練★回歸教材注重基礎(chǔ)

?平行線分線段成比例定理

1.如圖19-3-6所示，在△49。中，-,DE//AC,貝ij

BEECAC3

AB-.BD-.

圖19-3-6圖19-3-7

2.如圖19-3-7所示，在a'中、陽(yáng)IAB,DF//BC,若處=2,

AC3

AB=9,B(=Q,則口應(yīng)卯的周長(zhǎng)等于.

3.在△/比1中,BE.切是△力%的中線，它們交于點(diǎn)。廁魯=

0E

正一,

4.如圖19-3-8所示，在△力a'中，四:破1:3,BD:DO2A,AD與

四交于點(diǎn)兒則需箓的值為

5.如圖19-3-9所示，在回中，分別是/氏4。的中點(diǎn)，若

限3,貝IJa'的長(zhǎng)是

6.如圖19-3-10所示，已知AE=E1>DC,FE//MD//BC,句9的延長(zhǎng)線

交統(tǒng)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,則短的值是（）

A.-B.-C.-D.-

2345

7.在梯形/仇力中，AD//BC,對(duì)角線劭交于點(diǎn)0,點(diǎn)月是。延

長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且窕"=》??！?已知/〃:除2:3，則〃C:俄1的值是多少?

8.如圖19-3-11所示，在阿中、DE//BC、￡辿=上,BO12cm,

DB3

求龐的長(zhǎng).

A

I)

R

圖19-3-11

9.在△/回中，相是角平分線，DE//AC四于點(diǎn)E,已知/廬12,

A(=8,求龐的長(zhǎng).

10.如圖19-3-12所示〃為口48切中助邊上的一點(diǎn)且,

2

然和胡交于點(diǎn)4,則處的值是多少?

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?創(chuàng)新應(yīng)用

11.如圖19-3-13所示，在△/月。中”廬12,點(diǎn)后在AC1.,點(diǎn)D

在四上，若/斤6,Et=4,且處=絲.

DBEC

A

⑴求4〃的長(zhǎng).

⑵試問(wèn)翳嘎能成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由■

?開(kāi)放探索

12.如圖19-3-14所示，△4?。中，/小勿，尸為底邊居上的一點(diǎn),

〃刈.取〃的中點(diǎn)〃，聯(lián)結(jié)〃并延長(zhǎng)交相于點(diǎn)￡

圖19-3-14

⑴求器的值;

⑵如果B序2EC、那么"所在的直線與邊4?有怎樣的位置關(guān)系?請(qǐng)

說(shuō)明理由.

⑶層點(diǎn)能否為回中點(diǎn)?如果能，求出相應(yīng)的里的值；如果不能，請(qǐng)

n

說(shuō)明理由.

13.已知：如圖19-3-15①所示"BLBD,，垂足分別為B.D,

/〃比交于￡,磯_川于心我們可以證明'+」-=」-成立(不必證

ABCDEF

明)，若將圖中垂直改為斜交，如圖19-3-15②所示,AB〃CD,AD.BC

交于點(diǎn)月，EF〃AB交BD于F,則：

⑴口~+L=L還成立嗎？為什么？

ABCDEF

(2)請(qǐng)找出S△叔，SWM,五腿之間的關(guān)系式，并說(shuō)明理由.

圖19-3-15

參考答案

ABBE5HBE

1答案：8:5解析：由絲=生可得=-,mJ—二-,所以

BEECAC一面.3ECAD

AD_3AD+BD

—,所以由合比性質(zhì)得=?，即）組/

AD3~BD~5，:BDBD5

AFAF2

2答案：14解析：”,得A/^6,所以B芹DE=3.而

AC

-=—=—=-,得小上4,所以U7廢0、的周長(zhǎng)為2(3+4)=14.

BC6AC3

3答案:上

23

4答案：3解析:過(guò)點(diǎn)￡作力的平行線.

2

5答案：10解析：由題意知：龍//a\&=匹=應(yīng)」，所以

ABBCBC2

於10.

6答案:C

解析：

'：FE//BC,A后ED-DC,.?.空=絲=’，：.B(=3EF.,JFE//CN,

BCAC

/EF2/N.又/ED廣4CDN,ED^DC，.二XEFI恒XCND，,C^EF,

.EFEFEF_T

,?BN~BC+CN~3EF+EF~4'

7答案：

解析:'：AD〃BC、：.0A:0OAD:BO2;3,

設(shè)OA=2k,O(=3k.VOC=DA?OE,

9

：.OE=-k.VOD\OB=AD:BO2:3,

且M循3〃苧=2"...即.密降2:3.

AD_2

8答案:解析：:?田/比,...迫

BD+AD3+2

DE2L>￡=12x|=y(cni).

5C5

9答案：解析：根據(jù)已知條件可求得止然又黑喋,因此

告產(chǎn)二華,從而求得妗小

10答案:

AQ+<i??..1_..,?A//1??/〃//℃?AKAHAH1

解析：.AHr=-DH,..——=-..AH//BC,..——=——=——=-

2AD3KCBCAD3

11答案:解析:⑴由黑噗，可得從而叫限即

⑵成立，由40=生，4M2，得。8=竺，于是竺=2.又0=2=2,

55AB5AC105

故變=生.或由絲.=絲，得應(yīng)//加，從而竺=星.

ABACDBECABAC

12答案:解析：⑴過(guò)點(diǎn)，作CG〃相交4、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,四=匹，

BEBA

~EC~~CG

BEABBF+AFBF.m,

=——+1=—+!

~CE~~CG~-AFAFn

⑵?.?除2龍，.?.弟=%+l=2,：./u=n；.此〃：又力作a',，阻那.，

CEn

直線6F垂直平分4B.

(3)不能，因?yàn)槿粼聻閍'的中點(diǎn)，而〃又為〃的中點(diǎn)，則田“氏

這與已知條件口和跖相交矛盾，所以月點(diǎn)不能為比的中點(diǎn).

13答案：解析：(1)±+與=與還成立.因?yàn)锳B//EF//CD,所以

EFDFEFBF所以余氏胃=】，兩邊同除以所得，

花一茄'而一而

111

-----1-----------

ABCDEF

1

理由：如圖，過(guò)。三點(diǎn)分別作初，EMLBD,CNLBD,垂足分

別為H.M.N,因?yàn)镾MBD=g.?BD,SaBCD=gcN?BD,SMED=；EM?BD,

由已知得得1

EM

111on111

-j------------+------------=-j-------------即----+----=----

-AH^BD-CN?BD-EM?BDS^BDS^CD‘ABED

222

19.4相似多邊形

零失誤訓(xùn)練

基礎(chǔ)能力訓(xùn)練★回歸教材注重基礎(chǔ)

?相似多邊形

1.我們知道所有的正三角形相似，所有的正方形都相似，那么所有的

正五邊形也相似嗎？答:

再想一想，所有的正六邊形的關(guān)系？由以上猜想你可以得到一個(gè)一般

性的結(jié)論為.

2.在兩個(gè)相似五邊形中，一個(gè)五邊形的邊長(zhǎng)分別為1,2,3,4,5,

另一個(gè)五邊形的最大邊長(zhǎng)為15,則它的最短邊長(zhǎng)為.

3.如圖19-4-8所示，將一個(gè)矩形紙片加口沿邊皿和比1的中點(diǎn)連

線環(huán)對(duì)折，要使矩形/皿與原矩形相似，則原矩形的長(zhǎng)與寬的比應(yīng)

為.

圖19-4-8

4.下列多邊形中一定相似的為（）

A.兩個(gè)矩形B.兩個(gè)菱形

C.兩個(gè)正方形D.兩個(gè)平行四邊形

5.觀察圖19-4-9中的三個(gè)矩形，其中相似的是（）

0.75r|

0.5

丙

圖19-4—9

A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.三個(gè)矩形都不相似

6.已知：如圖19-4-10,梯形4用力中，AD〃BC、EF〃BC、EF將劇形

小時(shí)分成兩個(gè)相似梯形力叨和EBCF,若49=3,除4,求旗的

值.

7.矩形力80的長(zhǎng)與寬之比為3:2,矩形?B'CD'的長(zhǎng)與寬之比

也為3:2,這兩個(gè)矩形相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

?相似三角形

8.已知△/B'C，若/廬5cm,A'B'=8cm,A(=4cm,

B'C=6cm,則B'C與AABC的相似比為,

A'C=BC=.

9.如圖19-4-11所示，勿中，DE//BC,BE與小相交于點(diǎn)〃,

則圖中相似三角形共有對(duì).

圖19-4-11

10.如圖19-4-12所示，小明設(shè)計(jì)用手電筒來(lái)測(cè)量某古城墻高度的

示意圖，點(diǎn)〃處放一水平的平面鏡后由A點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)平面鏡BD

反射后剛好射到古城墻"的頂點(diǎn)。處，已知ABVBD,CDLBD,且測(cè)

得力廬1.2勿，於1.8%，〃=12m,那么該古城墻的高度是（）

圖19-4-12

A.6mB.8zz/C.18inD.24m

11.下列命題:①所有的等腰三角形都相似；②有一個(gè)底角相等的兩個(gè)

等腰三角形相似；③有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似：④頂角相

等的兩個(gè)等腰三角形相似.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

12.△力弘的三邊長(zhǎng)分別是忘.我6.2,△/B'C的兩邊長(zhǎng)分別為1

和石，如果B'C,那么EC的第三條邊的長(zhǎng)

度等于（）

A.—B.V2C.2D.2V2

2

13.已知的三邊長(zhǎng)分別為5.12.13，與其相似的△/'EC的最大

邊長(zhǎng)為26,求△/'EC的面積S

14.已知△［阿中，Z^90°,AOBC,90'中，AC=90°,

A'C=B'C,a、與B'C相似嗎？為什么？

綜合創(chuàng)新訓(xùn)練★登高望遠(yuǎn)課外拓展

?創(chuàng)新應(yīng)用

15.（2008?安徽）如圖19-4-13所示，四邊開(kāi)鄉(xiāng)ABCD和四邊形ACED

都是平行四邊形，點(diǎn)〃為的中點(diǎn)，酸分別交4cCD于點(diǎn)、P.Q.

（1）請(qǐng)寫出圖中各對(duì)相似三角形（相似比為1除外）；

②）求BP:PQ:QR.

?開(kāi)放探索

16.如圖19-4-14所示，已知矩形ABCD,45=6cm,BO8cm,EF

分別是AB."上的點(diǎn)，且AFD六4cm,兩動(dòng)點(diǎn)〃加分別從C尸兩點(diǎn)

同時(shí)出發(fā)沿CB.用均以2cm/s的速度分別向B.E運(yùn)動(dòng).猜想當(dāng)M.N運(yùn)

動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，矩形。加與矩形4白⑦相似?寫出你的猜想過(guò)程，并

與同學(xué)交流.

D

N

E

B

圖19-4-14

參考答案

1答案:相似邊數(shù)相同的正多邊形都相似

2答案：3解析：］=；,得尸3.

3答案：行：1解析:設(shè)原矩形的長(zhǎng)4?=x,寬緇九￡分分別為AD.BC

X

-2

的中點(diǎn)，由已知條件可得：2=2,即y2=工，.”=噌，

了X2V2

x:y=V2:1,艮［1AD'.C2V2:1.

4答案:C

5答案:為解析：?.?都為矩形，所以對(duì)應(yīng)角顯然都相等，又2=上，

0.50.75

所以由定義可判斷甲.丙兩個(gè)矩形相似.

6答案：解析：???梯形AEFIT梯形EBCF,坦=里,

EFBC

：.E^AD*除3X4=12,

二.EF=/=26

,：梯形/斷梯形EBCF,AE\EB-AD-.止3:26=6:2.

7答案:解析:相似.在矩形ABCD中，設(shè)長(zhǎng)為3H，寬為2a;在矩形

A'B'〃'中，設(shè)長(zhǎng)為3b，寬為26,因此兩矩形的對(duì)應(yīng)邊之比均

為a:力，即對(duì)應(yīng)邊成比例.又因?yàn)榫匦蔚拿總€(gè)角都是直角，因此對(duì)應(yīng)

角相等，故矩形/及力與矩形7B'C〃相似.

8答案:8:5--

54

9答案:2解析:XAD寧XABC,XDO守XC6B.

10答案：方解析：RtAAB戶RtACDP,所以”=如，即上1=丫，解

CDDPCD12

得CD-8m.

11答案:C

12答案：〃解析:設(shè)第三邊長(zhǎng)為x,則也=羋=2,得x=VL

1V5x

13答案：解析：設(shè)△/回的三邊依次為BC=5,AO\2,4爐13,因?yàn)?/p>

44=城+短,所以/e90°.又因?yàn)橥隆?B'C，所以

=90°,匹=芷=迫="=].又因?yàn)锽C=5,AO\2,所

B'CA'CA'B'262

以B'C=10,A'C=24,所以

S--A'CXB'C=1X24X10=120.

22

14答案:解析:相似.?在中,Z^=90°^(=BC,：.ZA=ZB=45°.

設(shè)A(=k>Q,

貝|J48=病/=岳.同理可證：N7=/9=45°,A'B'=行￡,(設(shè)

A'C=kr).

：.ZOZC,ZA=ZA',N廬N夕，

.AB_41k_kAC_BC_k.AB_AC_BC

4ik'~~k'''**AB'--'

△板~△UC.

15答累:解析：(1)ABCP~4BER,XPCQ~XPAB,於PCQ~4RDQ,

△PAB~△必Q

⑵因?yàn)樗倪呅蜛BCD^\四邊形4曲都是平行四邊形所以BOAD-CE,

AC//DE,所以儂必，—=-,又因?yàn)镻C//DR,易舄4PCQ~4RDQ,

RE2

因?yàn)辄c(diǎn)兄是應(yīng)的中點(diǎn)，所以D"RE,所以程=生=生」，所以

QRDRRE2

Q12PQ.

又因?yàn)锽kPR=P5QR=APQ,所以BP-.PQ-.^3:1:2.

16答案:解析:①當(dāng)M.N運(yùn)動(dòng);s,矩形小沏/與矩形4%石相似.

②當(dāng)M."運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，矩形67W與矩形/四相似.

19.5相似三角形的判定

零失誤訓(xùn)練

基礎(chǔ)能力訓(xùn)練★回歸教材注重基礎(chǔ)

?相似三角形的判定

1.已知菱形4?繆的邊長(zhǎng)是6,點(diǎn)￡在直線4〃上，〃后3,聯(lián)結(jié)班'與

對(duì)角線相交于點(diǎn)"，則史Q的值是

AM

2.如圖19-5-4所示，月是平行四邊形4用力的一邊胡延長(zhǎng)線上的

一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)、F,圖中共有對(duì)相似三角形，按對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)

寫出圖中的相似三角形.

圖19-5-4圖19-5-5

3.如圖19-5-5所示，已知△/式中0斤47,N力=36°即平分/ABC,

貝ijBD==.

4.如圖19-5-6所示，Z7=Z2,若再增加一個(gè)條件就能使結(jié)論

aAB-D序AD?BC'成立，則這個(gè)條件可以是

5.如圖19-5-7所示，△4W和△力勿具備下列哪個(gè)條件時(shí)，它們相

似（

ACABCDBC

AA.--=■---D.----=----C.CE=AD?BDD.Ad=AD?AB

CDBCADAC

6.用一個(gè)放大鏡看一個(gè)直角三角形，該直角三角形的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)

的5倍后，下列結(jié)論正確的是（）

A.每個(gè)內(nèi)角是原來(lái)的5倍

B.周長(zhǎng)是原來(lái)的5倍

C.面積是原來(lái)的5倍

D.兩條直角邊的比值是原來(lái)的5倍

7.下列條件能判別△/比一△應(yīng)F的是（

A.AB=4cm,AC=3.2cm,龐=2cm,DF=1.6cm,Z5=Z^=50

B.45=6cm,BO9cm,AC=7.5cm,龐=8cm,EF=A2cm.D產(chǎn)10cm

C.ZA=ZD=7Q°,N比50°,N660°

D.N爐/斤90°ABBC

~DF~~EF

8.某班在布置新年聯(lián)歡會(huì)會(huì)場(chǎng)時(shí)，需要將直角三角形彩紙裁成長(zhǎng)度不

等的矩形紙條，如圖19-5-8所示，在應(yīng)△/a1中，/e90°，/俏30

cm，力廬50cm，依次裁下寬為1cm的紙條a2.a若使裁得的

矩形紙條長(zhǎng)度不小于5c勿，則每張直角三角形彩紙能裁成矩形紙條

的條數(shù)為（）

圖19-5-8

9.已知，如圖19-5-9,RtX/ABC和RtXA'B'C中

ZOZC=90°,迫二生二^/氏；與B'C是否相似，并說(shuō)

A'B'A'C

明理由.

圖19-5-9

10.如圖19-5-10所示，四邊形4用刀的對(duì)角線〃:劭相交于點(diǎn)0,

Z1=Z2,Z3=Z4,指出圖中哪些三角形相似，并說(shuō)明理由.

A

11.如圖19-5-11所示點(diǎn)C〃在線段居上力是等邊三角形.⑴

當(dāng)4C切.龐滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，XACPXPD贄⑦當(dāng)XACP~XPDB

時(shí),求N"B.

困19-5-1】

12.如圖19-5-12所示，在△49。中，4〃是a'邊上的高，四邊形

%FG是的內(nèi)接矩形，DG交AH于點(diǎn)、I,則圖中相似的三角形共

有多少對(duì)？分別表示出來(lái).

圖19-5-12

13.如果兩個(gè)三角形中有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)成比例，則這兩

個(gè)三角形相似嗎？

綜合創(chuàng)新訓(xùn)練★登高望遠(yuǎn)課外拓展

?創(chuàng)新訓(xùn)練

14.已知：如圖19-5-13,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形加先有兩個(gè)

頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是4(0,6),。(8,6),x軸的正半軸上有一動(dòng)點(diǎn)￡(總

與夕不重合)，作直線四交對(duì)角線%于D,或AE與%相交于點(diǎn)F.

當(dāng)點(diǎn)后在〃夕間運(yùn)動(dòng)到某些位置時(shí)，作直線/月后，圖中會(huì)出現(xiàn)相似

不全等的三角形，請(qǐng)你把這個(gè)相似三角形寫出來(lái):；當(dāng)￡點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)到B點(diǎn)的右邊時(shí)，請(qǐng)你寫出此時(shí)圖中三對(duì)相似而不全等的三角

形:.

15.如圖19-5-14所示，在△/a'中，/廬8am,B016cm,點(diǎn)尸從

點(diǎn)4開(kāi)始沿四邊向點(diǎn)夕以2cWs的速度移動(dòng)，點(diǎn)0從點(diǎn)方開(kāi)始沿歐

邊向點(diǎn)。以4eMs的速度移動(dòng).如果P.0分別從4方同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)

幾秒鐘△必0與原△力比相似?

16.一個(gè)圓柱形油桶，半徑為1米，高為1.5米，用一根2米長(zhǎng)的木

棒從桶蓋小口斜插桶內(nèi)，另一端在小口處，抽出木棒后，量得上面沒(méi)

浸油的部分為1.2米，試求：

(1)油面的高度是多少？

⑵桶內(nèi)有油多少升？(1立方分米=1升，%取3.14,取后結(jié)果精確到

1升)

?開(kāi)放探索

17.如圖19-5-15,在中，Z^=90°，尸為45上一點(diǎn)且點(diǎn)不

與點(diǎn)/重合.過(guò)點(diǎn)〃作/，四交力。邊于￡,點(diǎn)夕不與點(diǎn)。重合.若

力斤10,A(=8，設(shè)4尸的長(zhǎng)為x,四邊形陽(yáng)茬的周長(zhǎng)為y,試用x的代

數(shù)式表示y.

B

p

~--------EC

圖19-5-15

參考答案

1答案:2或：解析:當(dāng)點(diǎn)后在線段相上時(shí)，如圖⑴，因?yàn)樨?切,

所以△/施所以任=生，故上6.又因?yàn)椤髁ξ锼?/p>

DFED

ZMCCF12c

AMAB6

當(dāng)點(diǎn)月在線段4〃的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2）,容易得到△比￥~△必",

.MCBC62

3答案:%AD

4答案：N廬N〃，或/O/AED,或AD:AB=AE:AC

解析:本題實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造使△/應(yīng)與相似的條件.

5答案：〃解析：由Ae=AD-AB可得任=絲.又,所以

ADAC

△ACD~XAR.

6答案:4

7答案/解析:因?yàn)樾杞杩?/三邊對(duì)應(yīng)成比例，所以兩三

角形相似.

8答案:。解析:設(shè)第〃條的長(zhǎng)度恰好為5cm,且該矩形紙條與/。的

交點(diǎn)為夕點(diǎn)，與”的交點(diǎn)為0點(diǎn)，則的5物，設(shè)"=xc"，則△"0一

AACB,得”=絲，即二=工,解得：產(chǎn)3.75,

ACBC3040

...830-尸26.25.?.?矩形寬為1cm,取整數(shù)，可知矩形紙條為26

條.

9答案:解析:相似，理由如下：?..?=羋，，空=羋，兩邊平方，

ABACACAC

AB2AB'2所以6-3A?-AC?

由勾股定理得

7c7-A'C'2'_AC1---

BC2B'C'2因唬篝均為正數(shù)，則筆B'C"即券噂

AC7"A'C'2A^C

而NaN。'=90°，故RtAABC~RtXA8C.

10答案:解析：3XABO~XDCO、因?yàn)镹1=N2,/AOF/DOC,所以

△ABO~/\DCO.

(2)△/勿~/\BOC,由(1)知XABO~XDCO,貝ij絲=吆.又因?yàn)?/p>

DOCO

AAOI^ZBOC,所以△/0〃~A7?6C.

⑻4ACD~ABCE,由⑵知△力勿~,則又因?yàn)?/p>

Z3=Z4,所以⑶一△閱￡

(4)△力區(qū)7~△。反7,因?yàn)镹3=N4,所以N3+Na3N4+N反力，即

/BCA=/E8,又因?yàn)镹1=N2,所以△/勿一△加（；.

11答案：解析：（1）???△〃切是等邊三角形，:.POCFPD,

/PC2/PDO60。,即NPa=N7W=120°，，只要滿足任=江，

PDBD

就有△40?~△女應(yīng)，...關(guān)系式為生=且或切4C?施.

CDBD

②*：4ACP~4PDB、：./\=Z.A,Z2=ZB.又：N勿e/1+N爐60°,

.,.Zl+Z2=60°,呼N1+N2+N以廬60°+60°=120°

12答案:解析：7對(duì)，分別是叢BDE~XBAH,MADI~

XABH4ADI~MDBE，△//G~/\AHC，△//G~XGFE4GFC~△/氏.

13答案:解析：（1）當(dāng)回和△/B'C都是銳角三角形時(shí)，可得

△4夕。B'C，如圖①.

第13題困

（2）當(dāng)兩個(gè)三角形都是直角三角形時(shí)，也可得△[%一△4SC.

⑶當(dāng)兩個(gè)三角形都是鈍角三角形時(shí)，如圖②，可得C.

（4）當(dāng)△/以為銳角三角形，△/B'C為鈍角三角形.雖然兩個(gè)三

角形有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)成比例，但兩個(gè)三角形不相似.如

圖③.

14答案：MEDOAADC-4EDO,△AOD-txFCD,ABEF~

XOEA,*AFC~2EAO甯等

15答案:解析:分兩種情況，設(shè)經(jīng)過(guò)xsZ\Q%與原區(qū);相似.

(1)AW-^BAC,則絲=四，即的2=電得t=2s;

BABC816

②叢BQP~ABAC,則旭="，即電=次2得Q).8s.

BABC816

...經(jīng)過(guò)0.8s或2s時(shí)，△①0與原△力以相似.

16答案：⑴06米(2)1884升

17答案:解析：?.?陽(yáng)_/夕，Z^90°,配1=/小90。.又為

公共角，:.叢AEP叢ABC,=—=—.yvZ^=90°，］廬10,

ABACBC

A(=8,可知BO6.

.AExPE.3.?55

??=—=,??PE=—x.AE=—x.EC=8ox,

1086444

e353

BF^10-X,??y——x+8—x+6+10—x=—x+24,

-442

.3c)

??y——x+24.

2

設(shè)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，有少_OB.又N4?90°,：.CA=AP-AB,即

82=10",解之，得AP=,,故由尸點(diǎn)與/點(diǎn)不重合，點(diǎn)￡與點(diǎn)。不

重合知x的取值范圍是0<A<^.

.??y與x之間的關(guān)系式為：y=-|.r+24(0<x<y).

19.6相似三角形的性質(zhì)

零失誤訓(xùn)練

基礎(chǔ)能力訓(xùn)練★回歸教材注重基礎(chǔ)

?相似三角形的有關(guān)性質(zhì)

1.在一張由復(fù)印機(jī)復(fù)印出來(lái)的紙上，一個(gè)多邊形的一條邊由原來(lái)的1

。力變成了4那么這次復(fù)印的放縮比例是_______,這個(gè)多邊形的

面積放大為原來(lái)的______倍.

2.兩個(gè)相似多邊形的面積比為5:4,則它們的周長(zhǎng)比為.

3.(2008?杭州)如圖19-6-3所示，在以中，為直角，

CDLAB于點(diǎn)D,BO3,AB=5,寫出其中的一對(duì)相似三角形:

和；并寫出它們的面積比:______.

4.兩個(gè)相似三角形的相似比為2:3,它們的周長(zhǎng)的差是25，則較大三

角形的周長(zhǎng)為—.

5.如圖19-6-4所示，如果菱形BEFD內(nèi)接于且4斤18,

A(=BC=\2,那么菱形的周長(zhǎng)是

圖19-6-4

6.在設(shè)計(jì)圖上，某城市中心有一個(gè)矩形廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)圖的比例尺為1：10

000.圖上矩形與實(shí)際矩形相似嗎?.如果相似，它們的相似比為

，圖上距離與實(shí)際距離的周長(zhǎng)比等于,面積比為.

7.若兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比為5:12,則對(duì)應(yīng)中線的比為

8.如圖19-6-5所示，為同一三角形的甲.乙兩張地圖上，比例尺分

別為1:200和1:500,則甲地圖與乙地圖的相似比為_(kāi)_____,面積比

為

A'

4

B1),(

圖19-6-5

9.如圖19-6-6所示，中，DE//FG//BZ.

圖19-6-6

(1)若AAD六FB,求S：S：W；

⑵若S：￡：W=1:8:27,求AD:DF:B.

綜合創(chuàng)新訓(xùn)練★登高望遠(yuǎn)課外拓展

?創(chuàng)新應(yīng)用

10.一塊直角三角形木板的一條直角邊業(yè)?的長(zhǎng)為1.5米，面積為1.5

米2,要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，甲.乙兩位同學(xué)的加

工方法分別如圖19-6-7所示，請(qǐng)你用所學(xué)的知識(shí)說(shuō)明哪位同學(xué)的

加工方法符合要求（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）.

甲乙

圖19-6-7

?開(kāi)放探索

11.操作：如圖19-6-8所示在正方形/四中產(chǎn)是切上一動(dòng)點(diǎn)（與

C〃不重合），使三角尺的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)夕重合，并且一條直角邊始

終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,另一條直角邊與正方形的某一邊所在的直線交于點(diǎn)E

4D

BC

圖19-6-8

探究：

(1)觀察操作結(jié)果，哪一個(gè)三角形與△氏勺相似?并證明你的結(jié)論.

(2)當(dāng)點(diǎn)。位于⑦的中點(diǎn)時(shí)，你找到的三角形與△狼的周長(zhǎng)比是多

少？

參考答案

1答案:400%16

2答案：6