人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（中等班）第十八章平行四邊形

第十八章平行四邊形

18.2特殊的平行四邊形

K蔻識(shí)

1.矩形的定義：

(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做,也稱為長方形.

(2)矩形的定義有兩個(gè)要素：①四邊形是:②有一個(gè)角是,二者缺一不可.

【注意】不要錯(cuò)誤地把定義理解為有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形，矩形是特殊的平行四邊形.

2.矩形的性質(zhì)：

(1)矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì)，即對(duì)邊互相平行，對(duì)邊相等，對(duì)角相等,

對(duì)角線互相平分.

(2)矩形的性質(zhì)可綜述為：①矩形的對(duì)邊;

②矩形的對(duì)角相等且四個(gè)角都是;

③矩形的對(duì)角線;學(xué)-科網(wǎng)

④矩形是,對(duì)邊中點(diǎn)所確定的直線是它的,矩形有對(duì)稱軸.

(3)矩形的兩條對(duì)角線將矩形分成兩對(duì)全等的等腰三角形，因此在解決相關(guān)問題時(shí)，常常用到等腰三

角形的性質(zhì)，并且分成的四個(gè)等腰三角形的面積相等.

3.直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：

直角三角形斜邊上的中線等于.

【注意】定理的條件有兩個(gè)：一是直角三角形；二是斜邊上的中線.

4.矩形的判定：

(1)有一個(gè)角是直角的是矩形；

(2)有三個(gè)角是的四邊形是矩形；

(3)對(duì)角線的四邊形是矩形.

【注意】(1)判定矩形的常見思路

(有三個(gè)角是直角一矩形

四邊形平行四哪角?形

(2)用定義判定一個(gè)四邊形是矩形必須滿足兩個(gè)條件：一是有一個(gè)角是直角；二是平行四邊形.也就

是說，有一個(gè)角是直角的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個(gè)條件，它才是矩形.

(3)用對(duì)角線判定一個(gè)四邊形是矩形，也必須滿足兩個(gè)條件：一是對(duì)角線；二是平行四邊形.也就是

說，對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個(gè)條件，它才是矩形.

5.菱形的定義：

(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做.

菱形必須滿足兩個(gè)條件：一是四邊形必須是平行四邊形：二是鄰邊相等.不要錯(cuò)誤地認(rèn)為有一組鄰邊相

等的四邊形是菱形.

(2)菱形是除矩形外的又--種特殊的平行四邊形，即有一組鄰邊相等的平行四邊形.菱形的定義既是

菱形的性質(zhì)，也是菱形的判定方法.

6.菱形的性質(zhì)：

(1)菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì).

(2)菱形的四條邊都.學(xué)-科網(wǎng)

(3)菱形的兩條對(duì)角線,并且每一條對(duì)角線一組對(duì)角.

(4)菱形是軸對(duì)稱圖形，它的兩條對(duì)角線所在的直線即是它的對(duì)稱軸.

【注意】菱形的兩條對(duì)角線不是對(duì)稱軸，對(duì)角線所在直線才是菱形的對(duì)稱軸.因?yàn)閷?duì)稱軸是直線，對(duì)角

線是線段.菱形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，菱形被兩條對(duì)角線所分得的四個(gè)直角三角形全等.

(5)菱形的面積等于乘積的一半.

7.菱形的判定：

(1)一組鄰邊的平行四邊形是菱形.

(2)對(duì)角線的平行四邊形是菱形.

(3)四條邊的四邊形是菱形.

(4)對(duì)角線的四邊形是菱形.

【注意】上述菱形的判定方法中，(1)和(2)是以平行四邊形為基礎(chǔ)的，(3)和(4)是以四邊形為基

礎(chǔ)的.

8.正方形的定義：

(1)有一組鄰邊并且有一個(gè)角是的平行四邊形叫做正方形.

(2)正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思:

①有一組鄰邊相等的平行四邊形(即菱形);

②并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形(即矩形).

(3)正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形.

9.正方形的性質(zhì)：

(1)正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，特別地：

①正方形的四個(gè)角都是,四條邊都；

②正方形的兩條對(duì)角線并且互相,每條對(duì)角線■-組對(duì)角.

(2)正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是45。；正方形

的兩條對(duì)角線把它分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸.

10.正方形的判定：

(1)根據(jù)正方形的定義；

(2)有一組鄰邊相等的是正方形；

(3)有一個(gè)角是直角的是正方形；

(4)既是矩形又是菱形的四邊形是正方形.

K知識(shí)參考答案：

1.(1)矩形；(2)平行四邊形；直角2.(2)①平行且相等；②直角；③互相平分且相等；④軸對(duì)稱

圖形；對(duì)稱軸；兩條3.斜邊的一半4.(1)平行四邊形；(2)直角；(3)相等5.(1)菱形

6.(2)相等；(3)互相垂直；平分；(5)兩條對(duì)角線的7.(1)相等；(2)互相垂直；(3)都相等；(4)

互相垂直平分8.(1)相等；直角9.(1)①直角；相等；②相等；垂直平分；平分

10.(2)矩形；(3)菱形

'K重點(diǎn)

K一重點(diǎn)矩形的性質(zhì)與判定；菱形的性質(zhì)與判定；正方形呃性質(zhì)與判定

利用矩形的性質(zhì)進(jìn)行證明和計(jì)算；矩形判定定理的證明及運(yùn)用；正方形的性質(zhì)、

K—難點(diǎn)

判定的應(yīng)用方法

K—易錯(cuò)對(duì)矩形的判定方法的理解

一、矩形的性質(zhì)

1.有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形，即：矩形=平行四邊形十一個(gè)內(nèi)角是直角.

2.矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì)，即對(duì)邊互相平行，對(duì)邊相等，對(duì)角相等,

對(duì)角線互相平分.

【例1】如圖，在矩形ABCD中，ZBOC=120°,=5,則BD的長為

B

A.5B.10C.12D.13

【答案】B

【解析】：四邊形A8C。是矩形，N8OC=120。，：.AO=BO,NAOB=60。，.;△AOB是等邊三角形,

：.BO=AB=5,：.BD=2BO=\0.故選B.

二、矩形的判定

1.定義法；

2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；

3.對(duì)角線平分且相等的四邊形是矩形；

4.有三個(gè)角是直角的三角形是矩形.

【例2】下列說法正確的是

A.有一組對(duì)角是直角的四邊形一定是矩形

B.有一組鄰角是直角的四邊形一定是矩形

C.對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形

D.對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形

【答案】D

【解析】..?有一組對(duì)角是直角的四邊形不一定是矩形，...選項(xiàng)A不正確;

???有一組鄰角是直角的四邊形不一定是矩形，二選項(xiàng)B不正確；

???對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，選項(xiàng)C不正確；

?.?對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形一定是矩形，.?.選項(xiàng)D正確；故選D.

三、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)

1.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

2.直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形，這兩個(gè)等腰三角形的面積相等；

3.在直角三角形中，如果遇到斜邊的中點(diǎn)，可以考慮利用此性質(zhì)，注意直角邊上的中線不具備這一性質(zhì).

【例3】已知直角三角形的兩直角邊長分別為5和12,則此直角三角形斜邊上的中線長為

5

A.—B.6

13

【答案】D

【解析】已知直角三角形的兩直角邊長分別為$和12,根據(jù)勾股定理求得斜邊長為13,根據(jù)直角三角

13

形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得此直角三角形斜邊上的中線長為了，故選D.

四、矩形中的折疊問題

矩形折疊問題中，折疊前后的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)邊相等，通常建立模型利用勾股定理進(jìn)行求解.

【例4】如圖，長方形紙片A8CO中，A3=4，AD=3,折疊紙片使AO邊與對(duì)角線8。重合，折痕

為DG,則AG的長為

【答案】B

【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)A落在8。上.的點(diǎn)4處，連接G4,

VADAG.：.DA!=DA=3,AG=AG.ZDA'G=90°，

在中，；ZA=90°，DA=3，AB=4，，￡>B=5,

/.AB=5-DA'=2,設(shè)AG=x,

在Rt^BAG中，：A'G=x,，AG=x,

3

AGB=4-x,GB2=A'G2+A'B2>(4-x)2=x2+22,解得：x=-,

3

*?AG—A'G=一.故選B.

2

五、菱形的性質(zhì)及應(yīng)用

1.菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì).

2.菱形的四條邊都相等，菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

【例5】在菱形48C。中，M,N分別是邊BC,C。上的點(diǎn)，且AM=AN=MN=A8,則NC的度數(shù)為

A.120°

C.80°D.60°

【答案】B

【解析】?.,四邊形.45CD是菱形，..上30D,仁口.?上5d-4A=ZUMV是等邊

三角形，ZD=ZAXD,ZA￡4_V=6(r,設(shè)ZBr,貝±WS=x,ZD-L\=1800-2x,

.,式-1800-匕-60'-130,-"1801解得：產(chǎn)80',「./5=80°,.?.NC=180°-80°=100n,

故選B.

六、菱形的面積

菱形的面積=底、高=對(duì)角線乘積的一半.

【例6】已知一個(gè)菱形的周長是20cm,兩條對(duì)角線的比是4：3,則這個(gè)菱形的面積是

A.12cm2B.24cm2

C.48cm2D.96cm2

【答案】B

【解析】：菱形四邊相等，，邊長為20+4=5901).；兩邊對(duì)角線的比是4：3,

1,

根據(jù)勾股定理，得對(duì)角線長為6和8.S=5x6x8=24(cm2).故選B.

七、菱形的判定

菱形四種判定方法中，兩種是以平行四邊形為基礎(chǔ)的，另兩種是以四邊形為基礎(chǔ)的.

【例7】如圖，在四邊形ABCQ中，AB=A2CB=CDE是CQ上一點(diǎn)，BE交AC于F,連接。尸.

(1)求證：ZBAC=ZDAC,NAFD=NCFE；

(2)若AB〃CD,試證明四邊形ABC。是菱形.

【解析】(1)在△A8C和△AOC中，\'AB=AD,CB=CD,AC=AC,

：./\ABC^/\ADC,

：.NBAC=NDAC,

在△A8F和/中，'."AB^AD,ZBAC=ZDAC,AF=AF,

：.AABF^AADF,：.NAFB=NAFD.

,/ZCFE=ZAFB,；.ZAFD=ZCFE；

(2)'JAB//CD,：.ZBAC=ZACD,

VZBAC=ZDAC,：.ZACD=ZCAD,：.AD=CD,

?：AB=AD,CB=CD,：.AB=CB=CD=AD,四邊形ABC。是菱形.

八'正方形的性質(zhì)

正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，正方形的

兩條對(duì)角線相等并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

【例8】如圖，正方形ABC。滿足/AEB=90。，AE=12,BE=16,則陰影部分的面積是

A.400

C.208D.304

【答案】D

【解析】在Rt^A￡8中，ZAEB=90°,AE=\2,BE=16,由勾股定理得：AB=^122+162=20,則正方形

ABCO的邊長為20,所以陰影部分的面積為20x20-^x12x16=304,故選D.

2

九、正方形的判定

1.對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；

2.對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；

3.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；

4.對(duì)角線相等的菱形是正方形.

【例9】如圖，在△ABC中，ZACB=90°,8c垂直平分線分別交BC,AB于。、E,過C作CF〃A8,

交BC的垂直平分線于F,連接BF.

（1）判定四邊形BECF的形狀，并證明；

（2）當(dāng)NA滿足什么條件時(shí)，四邊形BEC尸是正方形？證明你的結(jié)論.

【解析】（1）四邊形8ECF是菱形，

是BC垂直平分線，：.FB=FC,EB=EC,:.NEBC=NECB,

'：CF//AB,:.NFCB=NEBC,:./FCB=NECB,

NFCD=NECD

在△FCD和4ECD中，＜CD=CD,

ZCDF=NCDE

.?.△FC恒△EC。，CF=CE,:.FB=FC=CE=BE,

四邊形8ECF是菱形.

(2)當(dāng)NA=45。時(shí)，四邊形BECF是正方形，

VZACB=90°,EF是BC垂直平分線，：.EF//AC,:.NFEB=NA=45°,

?四邊形BECF是菱形，:.NFEB=NFEC=45。,:.NBEC=90°,

二四邊形8ECF是正方形.

K好題

i.下列條件中，能判定一個(gè)四邊形為菱形的條件是

A.對(duì)角線互相平分的四邊形B.對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形

C.對(duì)角線相等的四邊形D.對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形

2.菱形的對(duì)角線長分別為3和4,則該菱形的面積是

A.6B.8C.12D.24

3.在四邊形中，能判定這個(gè)四邊形是正方形的條件是

A.對(duì)角線相等，對(duì)邊平行且相等

B.一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等

C.對(duì)角線互相平分且相等，對(duì)角線互相垂直

D.一組鄰邊相等，對(duì)角線互相平分

4.如圖，矩形488的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,ZADB=30°,AB=4,則0C=

5.如圖，已知在矩形ABC。中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,AELBD于點(diǎn)E,若ND4E：N8AE=3：1,

則/￡AC的度數(shù)是

A.18°B.36°

C.45°D.72°

6.在一個(gè)直角三角形中，已知兩直角邊分別為6cm,8cm,則下列結(jié)論不正確的是

A.斜邊長為10cmB.周長為25cm

C.面積為24cm2D.斜邊上的中線長為5cm

7.在四邊形ABC。中，對(duì)角線AC,8?；ハ嗥椒?，若添加一個(gè)條件使得四邊形A8C。是矩形，則這個(gè)條

件可以是

A.ZABC=90°B.ACLBDC.AB=CDD.AB//CD

8.如圖，在長方形ABC。中，AB=3,BC=4,若沿折痕EF折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則折痕EF的長為

1515

A.—B.—D.15

84

9.如圖，菱形4BCO的對(duì)角線交于點(diǎn)。，AC=8cm,BD=6cm,則菱形的高為

48

A.—cmD.■~-cm

55

10.如圖，在菱形A8CO中，P、。分別是A。、4c的中點(diǎn)，如果「。=3,那么菱形ABCO的周長是

B

A.30B.24C.18D.6

11.在菱形A8CQ中，AE_LBC于點(diǎn),AnLCD于點(diǎn)尸，且E、尸分別為BC、CO的中點(diǎn)，則NE4尸等于

A.60°B.55°D.30°

12.如圖，四邊形48C。是正方形,以CD為邊作等邊三角形CDE,BE與AC相交于點(diǎn)M,則NAMQ的

度數(shù)是

A.75°B.D.67.5°

13.如圖，平行四邊形A8CD中,4>5,45=3,若4E平分N8AO交邊6C于點(diǎn)￡,則線段EC的長度為

14.如圖是一個(gè)平行四邊形，當(dāng)Na的度數(shù)為度時(shí)，兩條對(duì)角線長度相等.

15.如圖，在矩形ABCO中，對(duì)角線AC、3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E、F分別是AO、AO的中點(diǎn)，若A3=6cm,

8c=8cm,則△AEF的周長為cm.

AD

16.如圖，在菱形ABC。中，AB=4f線段AO的垂直平分線交AC于點(diǎn)N,△CND的周長是10,則AC的

長為.

D

17.如圖，菱形A8CD的邊長為2,ZABC=45°,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為__________.

A_________D

pl

18.如圖，等邊三角形在正方形ABC。內(nèi)連接OE，則NA￡>E=-----------------

AD

19.已知菱形A8CD中，對(duì)角線AC=16cm,BD=\2cm,BELDC于點(diǎn)E,求菱形ABC￡>的面積和BE的長.

月

B

20.如圖，已知四邊形A3CQ是正方形,延長5c到E,在CQ上截取CF=C￡BF交DE于G,求證：BG

IDE.

21.已知：如圖，在四邊形ABC。中，ZABC=ZADC=90°,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn).

(1)求證：△BE。是等腰三角形：學(xué)-科網(wǎng)

(2)當(dāng)NBCD=。時(shí)，△BED是等邊三角形.

22.如圖，四邊形ABC。中，NA=NABC=90°,AD=1，BC=3,E是邊CQ的中點(diǎn)，連接6E延

長與AQ的延長線相交于點(diǎn)尸，連接CF.

(1)求證：四邊形8OFC是平行四邊形.

(2)已知CB=C。，求四邊形8DFC的面積.

23.如圖，在矩形A8CZ）中，AD=12,AB=7,OF平分/ACC,AFLEF.

(1)求證：AF-EF-,

(2)求EF長.

24.如圖，在矩形48CZ)中，M,N分別是邊AO,的中點(diǎn)，E,F分別是線段BM,CM的中點(diǎn).

(1)求證：ZVIBM也△OCM；

(2)當(dāng)A8：A￡>=時(shí)，四邊形MENF是正方形，并說明理由.

25.如圖，矩形ABCD沿著AE折疊，使。點(diǎn)落在BC邊上的F點(diǎn)處，如果/84/=60。，則ND4E等于

A.15°B.30°

C.45°D.60°

26.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AD是BC邊上的高，E、尸分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，若A8=8,AC=6,

則AOE尸的周長為

BDC

A.12B.13

C.14D.15

27.如圖，四邊形ABC。是菱形，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,0HL48于"連接O”,NDHO=20。,則

的度數(shù)是

A.20°B.25°C.30°D.40°

28.如圖，以A點(diǎn)為圓心，以相同的長為半徑作弧，分別與射線AM,AN交于B,C兩點(diǎn)，連接3C再分

別以B,C為圓心，以相同長（大于z5C）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，連接A。，BD,CD.則下

2

列結(jié)論錯(cuò)誤的是

A.AO平分NM4NB.垂直平分BC

C./MBD=NNCDD.四邊形4CDB一定是菱形

29.如圖，正方形ABC。的邊長為9,將正方形折疊，使頂點(diǎn)。落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH,若

BE:EC=2：1,則線段CH的長是

AD

A.3B.4C.5D.6

30.如圖，正方形ABC。的面積為1,則以相鄰兩邊中點(diǎn)連線EF為邊正方形EFG/7的周長為

A.V2

C.72+1D.272+1

31.如圖，在矩形ABC。中，E是4B邊上的中點(diǎn)，將ABCE沿CE翻折得到△/CE,連接AF.若NEAF=75。,

那么NBCF的度數(shù)為.

32.如圖，在正方形A8C。中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,E為BC上一點(diǎn),CE=5,F為OE的中點(diǎn).若

△CEF的周長為18,則OF的長為

33.如圖，點(diǎn)P是正方形ABC。的對(duì)角線上一點(diǎn)，PE_LBC于點(diǎn)、E,PFLCC于點(diǎn)凡連接EF.給出下

列五個(gè)結(jié)論：?AP=EF；?AP±EF；③一定是等腰三角形；④NPFE=NBAP；⑤PD=^EC.其

中正確結(jié)論的序號(hào)是

34.如圖，正方形A8CZ)中，AB=6,點(diǎn)、E、尸分別在BC、C。上，且N8AE=30。，ZDAF=\5°.

(1)求證：DF+BE=EF；

(2)求/EPC的度數(shù)；

(3)求△AEF的面積.

35.如圖1,四邊形ABC。是平行四邊形，8力是它的一條對(duì)角線，過頂點(diǎn)A、C分別作AMLBO,CNLBD,

M,N為垂足.

(1)求證：AM=CN；

(2)如圖2,在對(duì)角線的延長線及反向延長線上分別取點(diǎn)E,F,使BE=DF,連接AE、CF,試探

究：當(dāng)EF滿足什么條件時(shí)，四邊形4EC/是矩形？并加以證明.

36.（2018?浙江臺(tái)州）下列命題正確的是

A.對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形

B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

37.（2018?江蘇淮安）如圖，菱形ABC。的對(duì)角線4C、8。的長分別為6和8,則這個(gè)菱形的周長是

A.20B.24C.40D.48

38.（2018?山東煙臺(tái)）對(duì)角線長分別為6和8的菱形A8CD如圖所示,點(diǎn)。為對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)。折

疊菱形，使B，夕兩點(diǎn)重合，是折痕.若則CN的長為

A.7B.6D.4

39.（2018?四川內(nèi)江）如圖，將矩形A8CD沿對(duì)角線8。折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F,己

知ZBDC=620,則NDFE的度數(shù)為

￡

40.（2018?湖北宜昌）如圖，正方形4BC。的邊長為1,點(diǎn)E,尸分別是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，EG±AB.EI

LAD,FHLAB,FJLAD,垂足分別為G,/,H,J.則圖中陰影部分的面枳等于

41.（2018?黑龍江牡丹江）如圖，E為矩形ABC。的邊AB上一點(diǎn)，將矩形沿CE折疊，使點(diǎn)B恰好落在

ED上的點(diǎn)尸處，若BE=l,BC=3,則CD的長為

42.（2018?廣西貴港）如圖，在菱形ABC力中，AC=6五,BD=6,E是8C邊的中點(diǎn)，P,M分別是4C,

AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM,則PE+PM的最小值是

43.（2018?湖南湘潭）如圖，已知點(diǎn)E、F、G.〃分別是菱形ABC。各邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是

A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四邊形

44.（2018?浙江嘉興）用尺規(guī)在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形ABC。，下列作法中錯(cuò)誤的是

。血

BC

45.（2018?四川甘孜州）如圖，在菱形ABCD中,對(duì)角線AC與相交于點(diǎn)O，AC=8，8。=6,

?！阓14。于點(diǎn)石，交BC于點(diǎn)F，則EF的長為

46.（2018?遼寧錦州）如圖，菱形A8C。的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作A4J_BC于點(diǎn)”，連

接?！?若OB=4,S娜ABCO=24,則的長為__________.

47.（2018?四川攀枝花）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,矩形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P滿足S也

K.ABCD,則點(diǎn)P到A、8兩點(diǎn)的距離之和PA+P8的最小值為

D

48.（2018?遼寧葫蘆島）如圖，在菱形OABC中，點(diǎn)8在x軸上，點(diǎn)A的標(biāo)為（2,3）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)

為

49.（2018?四川廣安）如圖，四邊形ABC。是正方形，M為BC上一點(diǎn)，連接AM,延長至點(diǎn)E,使

得AE=4M,過點(diǎn)E作垂足為

50.（2018?湖南郴州）如圖，在ABCO中，作對(duì)角線8力的垂直平分線EF,垂足為O,分別交相＞,BC

于E,F,連接BE,DF.求證：四邊形BF￡?E是菱形.

51.（2018?遼寧沈陽）如圖，在菱形ABC。中，對(duì)角線AC與BQ交于點(diǎn)O.過點(diǎn)C作8。的平行線，過

點(diǎn)。作AC的平行線，兩直線相交于點(diǎn)E.

（1）求證：四邊形OCED是矩形；

（2）若CE=1,DE=2,ABC。的面積是.

匕K好題參考笞豕

1.【答案】B

【解析】A選項(xiàng)中，根據(jù)“對(duì)角線互相平分”只能判定該四邊形是平行四邊形；

B選項(xiàng)中，根據(jù)“對(duì)角線互相垂直平分”能判定該四邊形是菱形；

C選項(xiàng)中，根據(jù)“對(duì)角線相等”不能判定該四邊形是菱形；

D選項(xiàng)中，根據(jù)“對(duì)角線相等且互相垂直”不能判定該四邊形是菱形.故選B.

2.【答案】A

【解析】?.?菱形的兩條對(duì)角線長分別為3和4,.?.Skgx3x4=6.故選A.

3.【答案】C

【解析】A選項(xiàng)中，根據(jù)“對(duì)邊平行且相等和對(duì)角線相等”只能判定該四邊形是矩形；

B選項(xiàng)中，根據(jù)“一蛆對(duì)邊平行，一組時(shí)角相等”只能判定該四邊形是平行四邊形；

C選項(xiàng)中，根據(jù)“對(duì)角線互相平分且相等，對(duì)角線互相垂直”可判定該四邊形是正方形；

D選項(xiàng)中，根據(jù)“一組鄰邊相等，對(duì)角線互相平分”只能判定該四邊形是菱形.故選C.

4.【答案】B

【解析,四邊形A8CC是矩形，.?.AC=8D,04=0C,N54￡)=90。，：ZXDB=30°,：.AC^BD=2AB=S,

；.OC=LC=4.故選B.

2

5.【答案】C

【解析】：四邊形ABCZ)是矩形，/.Z5-40=90°,OA=-AC,OB=-BD,AC=BD,

22

1

：.OA=OB,：.ZOAB=ZOBA,VZDAE：ZBAE=3：1,/.ZBAE=-x90°=22.5°,

4

'：AELBD,，NAE8=9()°,，NOA8=/O84=90°-22.5°=67.5°,

/./后心67.5。-22.5。=45°.故選C.

6.【答案】B

【解析】?.?在一個(gè)直角三角形中，己知兩直角邊分別為6cm,8cm,.?.直角三角形的面積=!'6乂8=24

(cm2),故選項(xiàng)C不符合題意；

*,?斜邊=+8~-10(cm)，故選項(xiàng)A不符合題意；

二斜邊上的中線長為5cm,故選項(xiàng)D不符合題意；

*.,三邊長分別為6cm,8cm,10cm,；.三角形的周長=24cm,故選項(xiàng)B符合題意，故選B.

7.【答案】A

【解析】?..在四邊形/BCD中，對(duì)角線/C、3D互相平分，..?四邊形巨5CD是平行四邊形.

/.<1)當(dāng)添加乙LBC=90對(duì)，能使平行四邊形XBCD是矩形；

(2)當(dāng)添加.4C15D時(shí)，不能使平行四邊形."CD是矩形；

(3)當(dāng)添加時(shí)，不能使平行四邊形/月”是矩形；

(4)當(dāng)添加時(shí)，不能使平行四邊形」BCD是矩形.故選A.

8.【答案】B

【解析】如圖，連接4片根據(jù)折疊的性質(zhì)，得EF垂直平分4C,則加0.設(shè)"=X,則8/=4—X,

25

在RtA4B尸中，根據(jù)勾股定理，得f=9+(4-x)2,解得

在RtAABC中，根據(jù)勾股定理，得AC=5,貝i」AO=2.5.

在Rt^AO/中，根據(jù)勾股定理，得OF=稱，

O

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可以證明OE=QR則EF=".故選B.

9.【答案】B

【解析】：菱形A8CD的對(duì)角線AC=8cm,B￡)=6cm,：.ACVBD,OA=-AC=4cm,OB=-BD=

22

3cm,根據(jù)勾股定理，AB=yl0l+0B2="+32=5(cm).設(shè)菱形的高為h,則菱形的面積

112424

^ABh^-ACBD,即5/z=—x8x6,解得〃=——，即菱形的高為一cm.故選B.

2255

10.【答案】B

【解析】Q分別是A。、AC的中點(diǎn)，是△AOC的中位線，.?.￡>C=2PQ=6.

又；在菱形A8CO中，AB=BC=AD=CD,；.C或彩ABCC=6+6+6+6=24.故選B.

11-【答案】A

【解析】如圖，連接AC,8c于點(diǎn)E,AFJ_C。于點(diǎn)尸，且E、尸分別為8C、CO的中點(diǎn)，.MB=AC,

AD=AC.又?.?在菱形A8C。中，AB=BC=CQ=AQ,AB=BC=CD=AD=AC.△46C和△AQC都是等邊

三角形.AZBAC=ZDAC=60°,AZEAC=-ZBAC=30°,ZFAC=-ZDAC=30°,：.ZEAF=ZEAC+

22

/B4c=60。.故選A.

12.【答案】B

【解析】如圖，連接BD,由已知條件可得；ZBCE=ZBCD+ZDCE=90°+60°=150°,BC=EC,：.

NEBC=NBEC=L(I8O0-ZBC￡)=15°,VZBCM=LZ￡?CD=45°,AZBMC=180°-(ZBCM+ZEBC)

22

=120。，ZAMB=180°-ZBMC=60°,1,正方形ABC。是關(guān)于AC對(duì)稱的，M在AC上，：.BM=DM,：.

ZAMD=ZAMB=60°,故選B.

13.【答案】2

【解析】平分/BAD交BC邊于點(diǎn)E,

?四邊形A8C。是平行四邊形，：.AD//BC,AD=BC=5,：.ZDAE=ZAEB,

/.ZBAE^ZAEB,.?.AB=8E=3,:.EC=BC-BE=5-3=2,故答案為：2.

14.【答案】90

【解析】設(shè)Na的度數(shù)為，〃度時(shí)，該平行四邊形的兩條對(duì)角線長度相等.

???對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，，當(dāng)/a的度數(shù)為，〃度時(shí)，該平行四邊形應(yīng)為矩形，

?.?該平行四邊形為矩形，...Na的度數(shù)應(yīng)為90。，.??"『9().故答案為：90.

15.【答案】9

【解析】由勾股定理得，AC=7AB2+5C2=V62+82=10(cm),

:四邊形A8CO是矩形，；.04=00=10=5(cm),

22

?.?點(diǎn)E、F分別是AO,AD的中點(diǎn)，

15115

/.EF--OD=—cm,>4F=—x8=4(cm),z4E=—OA=—cm,

22222

.?.△4￡/的周長=°+4+工=9(cm).故答案為：9.

22

16.【答案】6

【解析】：菱形ABCD中，AB=4,AO的垂直平分線交AC于點(diǎn)N,.?.C￡?=A8=4,AN=DN,

「△CON的周長=CN+C￡)+￡W=10,：.CN+4+AN=\0,:.CN+AN=AC=6.故答案為：6.

17.【答案】(2+0,6)

【解析】過點(diǎn)。作。E_Lx軸，垂足為E.在Rt^CDE中，CD=2,：.CE=DE=叵，

：?OE=OC+CE=2+6，；,點(diǎn)、D坐標(biāo)為(2+垃，O),故答案為：(2+無，丘).

18.【答案】15°

【解析】；△EBC是正三角形，，NEC8=60°,BC=EC-又；正方形ABC。，

???/BCD=90°>BC=CD，：?CE=CD,ZDCE=90°-60°=30°，

???NEr>C=(180°—30°)+2=75°，???NADE=90°—75°=15°?故答案為：15。.

19.【解析】如圖，??,菱形A6CD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,AC=16cm,BD=12cm,

。于點(diǎn)。，CO=8cm,DO=6cm,S—x16x12=96(cm2),

2

.\CD=782+62=10(cm)，

'：BELCD于點(diǎn)E,

：.BECD=96,即10BE=96,

48

:.BE=-(cm).

5

20.【解析】BC=CD,ZfiCF-ZDCE=90°,CF=CE,

：.ABC//XDCE,：.ZFBC=ZEDC.

又?：NBFC=NDFG,；.NDGF=/BCF=90°,

即BGLDE.

21.【解析】⑴...乙1BC=4DC=9CP,點(diǎn)E是XC邊的中點(diǎn)，

,11

..BE=-^ACfDE-

：.BE=DE,「.△BED是等腰三角形；

(2),：AE=ED,：.ZDAE=ZEDA,

,:AE=BE,：.ZEAB=ZE3A,

,:ZDAE-ZEDA=ZDEC,ZEAB-ZEBA=Z3EC,：.ZDAB=-ZDEB,

?「△BED是等邊三角形，.?.NDE3=6Q\:.NbXZHO。，

ZBCD=3603-905-90°-303=150s.故答案為150.

22.【解析】(1)VZA=ZABC=90°,

BC//AF，NCBE=ADFE,

又，；DE=CE,NDEF=NBEC,

:./\BEC也/XFED，???BE=EF-

又；CE=DE,四邊形8。尸C是平行四邊形.

（2）如圖，過。作OH_LCB于”,

liH

ADr

：.NDHB=NA=NABH=90。,

四邊形是矩形，3/7=AD=1，

?：CB=CD=3,：.CH=2,

在Rt^CDH中，?.?/6。=90°,DH=d號(hào)-*=百，

S平行四邊形wc=BCD"=3亞-

23.【解析】(1)?.?四邊形ABC。是矩形，

/.ZB=ZC=ZADC=90°,AB=DC=7,BC=AD=\2,：.ZBAF+ZAFB=90°,

尸平分/A。。，AZADF=ZCDF=45°,，△DCF是等腰直角三角形，

：.FC=DC=1,：.AB=FC,

■：AFLEF,：.ZAFE=90°,；.NAFB+NEFC=9G。,:.NBAF=NEFC,

ZBAF=ZEFC

在△A8F和△氏?￡：中，，AB=FC,

ZB=ZC

.?.△ABF嶺△FCE(ASA),：.EF=AF；

(2)BF=BC-FC=l2-7=5,在RtZ\A8尸中，由勾股定理得：

但yjAB2+BF2="+52=V74，

則EF=AF=K-

24.【解析】(I)?四邊形A8C。是矩形，

：.AB=DC,/4=/拉=90。.

為A。的中點(diǎn)，：.AM=MD,：.

(2)1：2,理由：'：AB：AD=\：2,：.AB^-AD.

2

2

VZA=90°,ZAMB=45°.

4ABM世叢DCM,

；.BM=CM,NOMC=N4例8=45°,ZBMC^90°.

,：E,F,N分別是BM,CM,8c的中點(diǎn)，

J.EN//CM,FN//BM,EM=MF,

...四邊形MEN尸是菱形.

*：NBMC=90。，

二菱形MENF是正方形.

25.【答案】A

【解析】因?yàn)?EAF是沿A￡折疊而得，所以/EAF=/D4E.

又因?yàn)樵诰匦沃蠳D48=90°,即ZEAF+ZDAE+ZBAF=90,

90°-60°

又ZBAF=60。,所以NDAE=-----------=15°.故選A.

2

26.【答案】A

【解析】在△ABC中，由勾股定理可得：BC=\lAB2+AC2=762+82=10.

AD是BC邊上的高，E、尸分別是48、AC邊的中點(diǎn)，

則：EF=-BC=5,DE=-AB=4,DF=-AC=3.

222

△。所的周長為：DE+EF+DF^4+5+3^12.故選A.

27.【答案】A

【解析】；四邊形ABC。是菱形，.*.02=00,AC1BD,"JDHLAB,

：.OH=OB=-BD,?；NDHO=20°,：./OHB=90°-NDHO=7Q°,：.ZABD=ZOHB=10°,

2

AZCAD=ZCAH=90°-ZABD=20°.故選A.

28.【答案】D

【解析】A、由作法可得A。平分NMAN,所以A選項(xiàng)的結(jié)論正確；

B、因?yàn)锳8=AC,DB=DC,所以垂直平分8C,所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確：

C、因?yàn)锳8=AC,DB=DC,所以NA8C=N4C8,NDBC=NDCB,則所以NMBD=NNCD,

所以C選項(xiàng)的結(jié)論正確；

D、54不一定等于8,所以四邊形A8OC不一定是菱形，所以D選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤.故選D.

29.【答案】B

【解析】設(shè)CH=x,因?yàn)?E：EC=2：I,BC=9,所以，EC=3,由折疊知，EH=DH=9-x,在Rt/XECH

中，由勾股定理，得：(9-X)2=32+X2,解得：x=4,即CH=4.故選B.

30.【答案】B

【解析】如圖，連接

?.?正方形的面積為1,...其邊氏為1,.?.在RtZ\3CD中，由勾股定理得，6。=&.：點(diǎn)￡、尸分別

為BC和。。的中點(diǎn)，EE=2B。=也.又???四邊形EFGH是正方形，，正方形EFGH的周長為

22

4x—=2x/2.故選B.

2

31.【答案】30。

【解析】：四邊形ABCO是矩形，.?.NB=90。，為邊AB的中點(diǎn)，.?.AE=8E,

由折疊的性質(zhì)可得：NEFC=NB=90°,NFEC=NCEB,/FCE=NBCE,FE=BE