2020年度河南專升本高數(shù)真題模擬及答案

最新河南專升本高數(shù)真題及答案

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河南省普通高等學(xué)校

選拔優(yōu)秀?？粕M(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試

《高等數(shù)學(xué)》試卷

題號一二三四五六總分核分人

分?jǐn)?shù)

單項(xiàng)選擇題(每題2分，共計(jì)50分)

在每小題的備選答案中選出一個(gè)正確答案，并將其代碼寫在題干后

面的括號內(nèi).不選、錯(cuò)選或多選者，該題無分.

1.集合{3,4,5}的所有子集共有

()

A.5B.6C.7D.8

解：子集個(gè)數(shù)2"=23=8=0。

2.函數(shù)/(x)=arcsin(r-1)+-J3-X的定義域?yàn)?/p>

()

A.[0,3]B.[0,2]C.[2,3]D.[1,3]

在17—1X—IM1

解：5=>0<x<2=>Bo

3-x20

3.當(dāng)x-0時(shí)，與x不等價(jià)的無窮小量是

()

A.2xB.sinA:C.ex-1D.lnQ+%)

解：根據(jù)常見等價(jià)關(guān)系知，只有2x與工比較不是等價(jià)的。應(yīng)選A。

4.當(dāng)x=0是函數(shù)，(冗)=arctan’的()

x

A.連續(xù)點(diǎn)B.可去間斷點(diǎn)C.跳躍間斷點(diǎn)D.第二類間斷點(diǎn)

hjj,.17Tl.1兀-

解：limarctan—=—；limarctan—=——=>Co

x~>o+x2io-x2

5.設(shè)/(x)在x=l處可導(dǎo)，且/'⑴=1,則lim/。二2〃),一/(1士“)的值為

hfOh

()

A.-1B.-2C.-3D.-4

/(l-2A)-/(l+/z)

解：lim2h)-/'(I+h)=一3r⑴=一3nC。

hA->0

6.若函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有尸(x)>0""(x)<0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi),/(x)圖

形

()

A.單調(diào)遞減且為凸的B.單調(diào)遞增且為凸的

C.單調(diào)遞減且為凹的D.單調(diào)遞增且為凹的

解：/(x)>0n單調(diào)增加;f"(x)<0n凸的。應(yīng)選B。

7.曲線y=l+/的拐點(diǎn)是()

A.(0,1)C.(0,0)D.(1,1)

解：y"=6x=0=x=0=(0,1),應(yīng)選A。

x2-2

8.曲線/(%)的水平漸近線是()

3x2

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A.1B.y=-|1

C.y=—D.y=一一

-333

x2-2

解：limy=—C

3x廠一『3

[tantdt

9.lim^---()

9。X4

A.0B.一C.2D.1

2

[tanxdx

解：+L2xtanx2

lim—=>Bo

.r->02

10.若函數(shù)/(x)是g(x)的原函數(shù)，則下列等式正確的是()

A.f(x)dx=g(x)+CB.Jg(x)4Zr=/(x)+C

C.g'(x)dx=f(x)+CD.=g(x)+C

解：根據(jù)不定積分與原函數(shù)的關(guān)系知，Jg(x)cZr=/(x)+C。應(yīng)選B。

11.JCOS(1-3X)6&=()

B.；sin(l-3x)+C

A.—sin(l-3x)+C

C.—sin(1—3x)+CD.3sin(l-3x)+C

解：Jcos(1-3x)dx=—^jcos(1-3x)d(1-3x)=-；sin(l-3x)+C=>A。

12.設(shè)丁=「?-1)。一3)分，貝!|y'(0)=()

JO

A.-3B.-1C.1D.3

解：yr-(x—l)(x-3)=>yz(0)=3=>￡)。

13.下列廣義積分收斂的是(

2募廣dx

lx

?idx

C.D.

0x4x

「半收斂，應(yīng)選c。

解：由P積分和，/積分的收斂性知,

14.對不定積分f.y1—■

dx,下列計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤是

Jsinxcosx

()

A.tanx-cotx+CB.tanx---—FC

tanx

C.cotx-tanx+CD.-cot2x+C

解：分析結(jié)果，就能知道選擇c。

15.函數(shù)y=/在區(qū)間［1,3］的平均值為()

A.生B,”

C.8D.4

33

3J

解：一--ff(x)dx=—[x2dx--=—=>2?o

ia

b-a216]3

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16.過Oz軸及點(diǎn)(3-2,4)的平面方程為()

A.3x+2y=0B.2y+z=0

C,2尤+3y=0D,2x+z=0

解:經(jīng)過Oz軸的平面可設(shè)為Ax+8），=0,把點(diǎn)（3-2,4）代入得2x+3y=0應(yīng)選C。

也能夠把點(diǎn)（3,-2,4）代入所給的方程驗(yàn)證，且不含z。

X~,Z2

17.雙曲線號一了一1繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面方程為()

y=0

A.工x*2y2+z-2

B.1

3434

C.區(qū)工二=1

D.

3434

22x2+y

解：把二-二=1中/換成/+y2得應(yīng)選A。

3434

3-Jxy+9

18.lim()

XTOxy

y->0

A-?B-4C.0D.極限不存在

3-，移+91

解：limlim=-lim——=>Bo

A->0x-t0移(3+Jxy+9)x->03+Jxy+96

y->0_y->0>->0

19.若z=xy，()

（f.i）

A.1B.1C.D.0

解卷=xInx=e\ne=e=>C。

(e,l)

20.方程z2y-xz31所確定的隱函數(shù)為z=/（x,y）,則當(dāng)()

OX

z

A.---B.—D.

2y-3xz3xz-2y

dzz2

解：令尸=z2y-xz3-InF；=-z3;F；=2zy-3xz2=>^-,應(yīng)

OX

選Ao

21.設(shè)C為拋物線y=，上從（o,o）到（1,1）的一段弧，貝!）「2孫必:+/力=

（)

A.-1B.OC.1D.2

X=X一一i23

解：C：<2,1從o變至ULL2xydx+xdy=j4xdx-\=>C。

y二廠

22.下列正項(xiàng)級數(shù)收斂的是()

8\_0°_1

A.V—!—B.y——

金3〃+1〃=2〃ln〃

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81D.H

C.V——

￡〃(lnn)2占n'4n

解:對級數(shù)z；、Z」^需要利用積分判別法，超出大綱范圍。級數(shù)

六〃In及六n(\nn)

001

y—有結(jié)論：當(dāng)〃>1時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。級數(shù)與級

￡〃(ln〃)「y3〃+1金網(wǎng)^

R1

數(shù)利用比較判別法的極限形式來確定--發(fā)散的，應(yīng)選Co

產(chǎn)1

23.嘉級數(shù)￡士(犬+1)”的收斂區(qū)間為()

/i=o3

A.(-1,1)B.(-3,3)C.(-2,4)D.(-4,2)

解：令x+l=/,級數(shù)化為￡占〃收斂區(qū)間為(—3,3),即

n=033〃=o\3/

%+1w(—3,3)x￡(-4,2)=>Do

24.微分y”+3y+2y="入cosx特解形式應(yīng)設(shè)為y*=()

xx

A.CecosxB.e~(C,cosx+C2sinx)

x2x

C.xe~(C1cosx+C2sinx)D,xe~(C1cosx+C2sinx)

解：-1+z不是特征方程的特征根，特解應(yīng)設(shè)為""(Ccosx+Gsinx)。應(yīng)選B。

25.設(shè)函數(shù)y=/(x)是微分方程y"+V=e2r的解，且/'(x0)=0，則/(%)在后處

(

)

A.取極小值B.取極大值C.不取極值D.取最大

值

解：有/"(%)+/(x(,)=e2與=>/"(Xo)=e2號>0nA。

得評卷人

分二、填空題(每題2分，共30分)

26.設(shè)/(x)=2x+5,貝!J/"(x)-1]=.

解：/[/(x)-1]=2(/(x)-1)+5=2/(x)+3=2(2x+5)+3=4x+13。

2〃

?

27〃.->l8im"——！=__________

解：構(gòu)造級數(shù)￡二，利用比值判別法知它是收斂的，根據(jù)收斂級數(shù)的必要條

?=0〃！

2〃

件

—lim—〃！=0o

3/x,x<0

28.若函數(shù)/(x)=0在x=0處連續(xù)，則a=.

2x+—,x>0

2

解：limf(x)--;limf(x)=3=>Q=6。

XT(T2x->o+

29.已知曲線y=Y+x—2上點(diǎn)M處的切線平行于直線y=5x-l9則點(diǎn)M的

坐標(biāo)為________

解：y'=2x+l=5=>x=2ny=4nM(2,4)。

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30.設(shè)/(x)=e2*T,則/'。甌⑼二_________

解：/5)(x)=2721ny(2007)(0)=22007e-lo

%=3f+1.dy

31.設(shè),，則？

y—2t—1+1dx

解：@dy

lo

dx3dx

32.若函數(shù)/(x)=ax2+Z?x在x=1處取得極值2,貝!Ia=,b=

解:fr(x)=2ax+b=0=>2a+〃=0；a+b=2=>a=—2;h=4。

33.

JfM

f/'(x),fdf(x)I/?/Mr

解:J、dx=\=In|/(x)|+Co

J/(X)J/(x)

2

34.￡7i-xjx=

解:[定網(wǎng)=：。

35.向量5=37+4/-1的模|方|=

解：137+4.7-祚,9+16+1=岳。

36.已知平面兀]：x+2y-5z+7=0與平面兀2：4x+3y+mz+13=0垂直，貝!|

m=______

解：%={1,2,—5};n2={4,3,m}=>4+6—5m=0=機(jī)=2。

37.設(shè)/(X+y,孫)="2+y2,貝

解：f(x+y,xy)=x2+V=(x+y)2-2xy=>f(x,y)=x2-2y。

41r-y

38.已知/=『dy^'f(x,y)dx,交換積分次序后，貝!|/=

%fV2

解：￡>=<(x,y)10<y<—,y<x<

=<(x,j)10<x<,0<^<x|+|(x,^)|<x<1,0<<

v2Jg~~2

因此次序交換后為「叱(：/(%,y"+b〃@：'/(x,y)dy。

V

81x(11A

39.若級數(shù)皂-L收斂，則級數(shù)￡—的和為

w=l"〃n=l\"〃+l>

cfl1W11)(11)11而「1n

解：S〃=----------+------------+???+--------------=--------------fmJlim------=0,

[％u2)[u2w3Jun+l}u]un+}〃T8〃〃+i

因此S=limS“=—o

40.微分方程y"-2y'+y=Q的通解為

解：有二重特征根1,故通解為了=。0,+。2%"（G（2為任意常數(shù)）。

得評卷人

分

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三、判斷題(每小題2分，共10分)

你認(rèn)為正確的在題后括號內(nèi)劃“J”，反之劃“X”.

41.若數(shù)列{%?}單調(diào)，則{xn}必收斂.

()

解：如數(shù)列㈤單調(diào)，但發(fā)散，應(yīng)為X。

42.若函數(shù)/(x)在區(qū)間[a,“上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且/(a)#/(%),則一定

/也)=0.

()

解：如y=/在[_],可滿足上述條件，但存在己=0e[—1,3],使得/''(&)=0,應(yīng)

為X。

“cX—sinX由洛比達(dá)法則，.1-cosxsinx,

43.lim-------二一。：，lim-------=lim------=-1.()

XTOO%+sinxA*l+cosx-sinx

1smx

解：第二步不滿足?或巴，是錯(cuò)誤的，事實(shí)上lim上皿=lim—4=1。

0ooxt8%+sinxA01sinx

應(yīng)為X。

44.0<f"，2Vl-^2'^<—ln2.

Jo2

()

解：S0<Vl-e-2A<1,由定積分保序性知：04「心廬萍dx〈ln24走ln2,

Jo2

應(yīng)為VO

45.函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處可微是f(x,y)在P(x,y)處連續(xù)的充分條

件.()

解：/(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處可微可得f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處連續(xù)，反之不成立，

應(yīng)為應(yīng)為VO

得評卷人

分四、計(jì)算題(每小題5分，共40分)

46.求lim/11,.

limsin^In.r^11x~xlimxlnx

解:lim/nx=lime?nxm*

A-^0+X^0+

解：兩邊取自然對數(shù)得In|y|=21n|x|+^[ln|l-x|-In|l+x|],----（1分）

兩邊對x求導(dǎo)得：+———L--------（3分）

yx3|_l-xl+x_

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即y'=y--1----------------（4分）

x3(x-l)3(x+l)

故色2+」-----（5分）

1+xx3(x-l)3(x+l)

48.求不定積分J[e2x+ln(l+xy\dx.

解：j[e2x+ln(l+x^dx=^e2xd(lx)+jln(l+x)dx——(1分)

=—e2v+xln(l+x)_J]xdx

——(3分)

=+xln(l+x)-J1-Jdx

--(4分)

=^e2x+xln(l+x)-x+ln(l+x)+C

o----(5分)

49.計(jì)算定積分1:j2+2cos2xdx.

2

解：132+2cos2x=2(1+cos2x)=4cosx9因此

[j2+2cos2xdx=/v4cos2xdx=f21cosx|dx-----(2分)

JoJoJo

兀

=2pco^xdx-cosxJx------(4分)

■2

=2sinx|2-2sin%P=2+2=4。-----(5

2

分)

50.設(shè)z=/(e*siny,3x2y),且/(〃,》)為可微函數(shù),求dz.

解：令e*siny=〃，3》2y=v,有z=/(〃,n),利用微分的不變性得

x2

dz=v)du+f'r(u,v)dv=f',d{esiny)+f'd(3xy)----(3分)

xx2

=f't(esinydx+ecosydy)+f'(fixydx+3xdy)------(4分)

2

=(e'sinyft'+6xyf')dx+(e*cosyf't+3xf',)dy一(5分)

51.計(jì)算JJx2dxdy,其中。為圓環(huán)區(qū)域：14%2+/<4.

D

解：積分區(qū)域。如圖07-1所示：。的邊界Y+y2=l、爐+產(chǎn)=4用極坐標(biāo)

表示分別為「=1，「=2；故積分區(qū)域。在極坐標(biāo)系系下為

{(r,0)10<0<2TI,1<r<2},----(2分)

故0/辦辦=r~cos2B-rdr----(3分)

D

=fcos2GJ0(2r3Jr=fcos2QdQ

JoJiJo4

1S「2nc151*2兀c,、

二一[cosQdB=一\2cos20^/0---(4分)

4JogJo

2n

=—J2n(1+cos20)i/e=—(0+-sin20)=—o—(5分)

8。8204

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52.將―展開為x的幕級數(shù)，并寫出收斂區(qū)間.

4-x~

解：因二^=」.....-=―1---------；—（2分）

4一片2-x2+x2（1--）2（1+*）

22

—-=y\xnXG（-i,i）o

1一%叫0

因此「7二/i1E6

xG(-2,2)；---7=Z一不xG(-2,2)o―(3分)

z

I__"=0\71+±〃=o'乙)

22

XG(-2,2)—(4分)

F_1

=2不『"'"xe（-2,2）。一（5分）

n=02

53.求微分方程x2dy+（y_2xy_x2）dx=0的通解.

解：方程可化為y'+L#y=l,這是一階線性非齊次微分方程，-一（1分）

x-

它對應(yīng)的齊次方程y'+—[-2xy=O的通解為〉=以2^L,-—（2分）

x

設(shè)原方程有通解y=C（x），e；，代入方程得C\x）x2e^=1,

1-1

即C'（x）-—ex,一（3分）

x

因此C（x）=e+C,（4分）

故所求方程的通解為y=Cx、'+/?！?分）

得評卷人

分五、應(yīng)用題（每題7分，共計(jì)14分）

54.某工廠欲建造一個(gè)無蓋的長方題污水處理池，設(shè)計(jì)該池

容積為V立方米，底面造價(jià)每平方米。元，側(cè)面造價(jià)每平方米〃元,

問長、寬、高各為多少米時(shí)，才能使污水處理池的造價(jià)最低？

解：設(shè)長方體的長、寬分別為x,y,則高為上，又設(shè)造價(jià)為z,-—（1分）

孫

由題意可得

c,/xv2bV2bV,、八、/c八、

z=axy+2Z?（x+y）—=。孫+---+----（zx>0,y>0）；---（3分）

&孫yx

而

&一夕一絲匕；絲=如一竺二;在定義域內(nèi)都有意義.

0光oyy

2bV八

&ay2-=°I~~—

令得唯一駐點(diǎn)x=y=/竺，----（5分）

a

I0-&"―4=0.'

y

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由題可知造價(jià)一定在內(nèi)部存在最小值，故x=y=欄I就是使造價(jià)最小的取

值，此時(shí)高為;叵。

V2b

因此，排污無蓋的長方體的長、寬、高分別為:陛、：陛、：因時(shí)，工

VaVaV2b

程造價(jià)最低。—（7分）

55.設(shè)平面圖形D由曲線y="，直線y=e及y軸所圍成.求：

（1）平面圖形D的面積；

（2）平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

解：平面圖形D如圖07-2所示：—（1分）

取x為積分變量，且xw[O,l]

（1）平面圖形D的面積為

S=j（e—e'）dx---（3分）

(ex-e*)1=l。---(4分)

（2）平面圖形D繞），軸旋轉(zhuǎn)一周所生成

旋轉(zhuǎn)體的體積為

xdx-2K￡xexdx

1

c%2

2兀《—-2K|xdd=Tie-2nxex+2兀fexdx

2JoioJo

o

-Tie-2Tte+2ite"()=7c(e—2)o（7分）

或匕=7iJ(Inyfdyu7i(lny)2yL—兀12\nydy

=ne-2TIJlnydy=7ie-27iyln+2兀/dy

=7te-2jte+2兀(e—1)=兀(e-2)o

得評卷人

分六、證明題（6分）

56.若/（%）在[凡加上連續(xù)，則存在兩個(gè)常數(shù)相與M,對于

滿足"＜玉V/＜〃的任意兩點(diǎn)不，工2，證明恒有

m（x2-x1）＜f（x2）-/（f）WM（々一%）.

證明：因（（犬）在國,々1有意義，從而/（x）在兇,々]上連續(xù)且可導(dǎo)，即/（x）

在g,/]上滿足拉格朗日中值定理的條件，——（2分）

故存在己￡（為,與），使得-~~久土^=/隹），---（3分）

x2-x]

又因r（x）在&勿上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最值定理知，尸（幻在腳,切

上既有最大值又有最小值，不妨設(shè)分別是最小值和最大值，從而工￡（〃/）時(shí),

有根〈V。-----（5分）

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故m(x2-Xj)</(x2)-/(x1)<M{X2-XJO----(6分)

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選拔優(yōu)秀專科生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試

高等數(shù)學(xué)試卷

核

總

題分

-*—*四五分

號人

分

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數(shù)

一.單項(xiàng)選擇題(每題2分，共計(jì)60分)

在每小題的四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，并將其代碼寫

在題干后面的括號內(nèi).不選、錯(cuò)選或多選者，該題不得分.

1,函數(shù)/(x)=ln(l-x)+Jx+2的定義域?yàn)?/p>

()

A.[-2,-1]B.[-2,1]C.

[-2,1)D.(-2,1)

解：

[x+2>0

l-2cosx

2.lim

()

A.1B.0c.V2

D.Vs

02x3

一l-2cosx0

解:lim——y—===lim2

3sinx

3.點(diǎn)…是函數(shù)”組的

3：v+1

)

A.連續(xù)點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C.可

去間斷點(diǎn)D.第二類間斷點(diǎn)

1101

解：lim號匚=」=-1,lim=^Mim軍吧=1=>3.

71*f(r11.io+1-o'1

3，+13*+13/3

4.下列極限存在的為

()

A.limexB.limS'nC.limcos-

Xf+cox->0XXfo+X

D.

XTEx-3

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解：顯然只有癡2=2,其它三個(gè)都不存在，應(yīng)

I。X

選B.

5.當(dāng)0時(shí)，ln(l+，)是比1—cosx的()

A.低階無窮小B.高階無窮小C.等

階無窮小D.同階但不等價(jià)無窮小

：ln(l+x2)-x2,1-cosx=2sin2—--=>Z).

22

1+(x+1)sin---,x<-\

X+1

6.設(shè)函數(shù)/(x)=.l,-l<x<0,則f(x)

arctanx,x>0

()

A.在戶-1處連續(xù)，在.。處不連續(xù)B.在戶0

處連續(xù)，在.37處不連續(xù)

C.在x=T,0,處均連續(xù)D.在

X=-1,0,處均不連續(xù)

解：limj(x)=l,lim/*)=1,/(-1)=1=f(x)在"T處連續(xù)；

x->-r'x+r

*J(X)=Mimf(x)=o,/(())=1=/(X)在X=o處不連續(xù);

應(yīng)選A.

7.過曲線y=arctanr+e*上的點(diǎn)(0,1)處的法線方程

為()

A.2x-y4-1=0B?

x—2y+2=0

C.2x-y-1=0D.

x+2y—2=0

x

:V=[+[2+e=>尸(0)=2=>%法=-g=>。?

8.設(shè)函數(shù)/(%)在x=o處可導(dǎo)，/(X)=/(o)-3x+a(x)且

lim蛔=0貝!|尸(0)=

X9

()

資料僅供參考

A.-1B.1C.-3

D.3

/(%)/(0)3x+a(%)

解：/X0)=lim~=lim-=-3+lim^=-3,應(yīng)選

XTOx-0A->0xXTO尤

c.

9.若函數(shù)/(x)=(lnx)v(x>l)，貝!Jf\x)=

()

A.(lnx)zB.

(lnx)v-1+(lnx)vIn(lnx)

C.(Inx)'In(lnx)D?x(lnx)x

:./(x)=(Inx)'=exWnx)=>=(lnx)A[xln(lnx)]z=(Inx)^1+(lnx)xIn(lnx),

應(yīng)選B.

1O.設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程+3”確定，則

y=sint

A.-2B.-l

C.-&立D,3企

33

解：*一的=今=2答后，應(yīng)選

axcostax~cost3costsmtaxx=—n3

4

D.

11.下列函數(shù)中，在區(qū)間［T,l］上滿足羅爾中值

定理?xiàng)l件的是()

A.y=exB.y=ln|x|C.y=l-x2

D.y=3

x

解：驗(yàn)證羅爾中值定理的條件，只有k1一滿足,

應(yīng)選C.

12.曲線-3+5X.2的拐點(diǎn)是

()

A.x=0B.(0,-2)C.無拐點(diǎn)

資料僅供參考

D.x=0,y=-2

:y"=6%=0=%=0=>(0,-2)yB.

13.曲線y=1

()

A.只有水平漸進(jìn)線B.既

有水平漸進(jìn)線又有垂直漸進(jìn)線

C.只有垂直漸進(jìn)線D.既

無水平漸進(jìn)線又無垂直漸進(jìn)線

lim——!——=0,lim————=oozz>B.

18|1一1|f|X-1|

14.如果/(x)的一個(gè)原函數(shù)是xlnx,那么卜/(9=

()

A.Inx+CB.x2+C

C.x3lnx+CD.C-x

2ff

/(x)=(xlnx)'=l+lnxn/"(x)3=>^xf(x)clx=-JtZx=+C,

應(yīng)選D.

15.rdx

Jx2-4x+3

)

Ax-3

ln+c

Ix-1

x-1

B.頡+C

x-3

C.ln(x—3)—ln(x—1)+CD.

ln(x-1)-ln(x-3)+C

解：f―=f^應(yīng)

J廠-4x+3(x-3)(x—1)x-lj2x—\

選A.

16.設(shè),則/的取值范圍為

Jo1+X

()

A.o</<iB-I-7-1C-°-z-7