機(jī)械工程圖學(xué)-投影理論的基礎(chǔ)知識(shí)（直線的投影）

上節(jié)課的重點(diǎn)：點(diǎn)的投影規(guī)律、相對(duì)位置

。

上節(jié)課的難點(diǎn)：重影點(diǎn)的判定

。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影若空間的點(diǎn)用某個(gè)大寫字母表示，則其三個(gè)投影分別用什么符號(hào)表示？簡(jiǎn)述點(diǎn)的投影規(guī)律。

（1）點(diǎn)的各投影連線分別垂直于相應(yīng)的投影軸，即

a′a⊥OX，a′a″⊥OZ，aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW若空間的點(diǎn)用大寫字母A、B、C、……表示，則其水平投影用a、b、c、……表示；正面投影用a′、b′、c′、……表示；側(cè)面投影用a″、b″、c″、……表示

。（2）點(diǎn)的每一個(gè)投影到投影軸的距離，均反映空間點(diǎn)到相鄰?fù)队懊娴木嚯x。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影

（c）對(duì)于空間的A、B兩點(diǎn)，若xA＞xB、yA＜yB、zA

＜zB，則A點(diǎn)在B點(diǎn)對(duì)V面的重影點(diǎn)的哪兩個(gè)坐標(biāo)相同？若A、B兩點(diǎn)的W面投影為b″（a″），則A點(diǎn)在B點(diǎn)的哪一方？?jī)牲c(diǎn)位于V面的同一條投射線上，X坐標(biāo)和Z坐標(biāo)分別相同（xA=

xB，zA=

zB），只有Y坐標(biāo)不同。

（a）之左、前、下。（b）之右、后、上。（c）之左、后、下。（d）之右、前、上。A點(diǎn)在B點(diǎn)的右方。作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》P9

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》P9

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影2.3.2直線的投影

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影（a）兩個(gè)端點(diǎn)的投影圖只要能作出直線上任意兩個(gè)不重合的點(diǎn)（通常是直線的兩個(gè)端點(diǎn)）的三面投影，那么連接兩點(diǎn)的同面投影，就可得到直線的三面投影。（b）直線的投影圖圖2-12直線的投影投影面傾斜線與三個(gè)投影面都傾斜的直線對(duì)H面的傾角α

對(duì)V面的傾角β

對(duì)W面的傾角γ投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）垂直于某一投影面而與其余兩投影面平行正平線（平行于Ｖ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）特殊位置直線1.各種位置直線的投影特性

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影直線與投影面傾斜的程度，可用直線與投影面之間的傾角表示。圖2-13直線的投影及直線與投影面的夾角對(duì)H面的傾角α

對(duì)V面的傾角β

對(duì)W面的傾角γ若直線平行（垂直）于投影面，則傾角為0°（90°）。只平行于某一投影面的直線。（1）投影面平行線正平線實(shí)長(zhǎng)水平線實(shí)長(zhǎng)側(cè)平線實(shí)長(zhǎng)水平線側(cè)平線正平線

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-14投影面平行線投影面平行線的投影特性：

（1）在所平行的投影面上，投影反映實(shí)長(zhǎng)。（投影與投影軸之間的夾角表示直線與另外兩個(gè)投影面之間的實(shí)際傾角）

（2）在另外兩個(gè)投影面上，投影均平行于相應(yīng)的投影軸，呈水平或鉛垂?fàn)顟B(tài)。正平線實(shí)長(zhǎng)水平線實(shí)長(zhǎng)側(cè)平線實(shí)長(zhǎng)可簡(jiǎn)單地記為一實(shí)長(zhǎng)、二平行。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影（2）投影面垂直線垂直于一個(gè)投影面的直線。投影特性:

（1）在所垂直的投影面上，投影積聚成一點(diǎn)。如直線AB的水平面投影a（b）。

（2）在另外兩個(gè)投影面上，投影均垂直于相應(yīng)的投影軸，呈鉛垂或水平狀態(tài)，且反映實(shí)長(zhǎng)。如直線AB的正面投影a′b′⊥OX,側(cè)面投影a″b″⊥OY?！瘛瘛駛?cè)垂線正垂線鉛垂線一積聚、二垂直。必平行于另外兩個(gè)投影面。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-15投影面垂直線

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影Z

YHaOXabbaYWb

（2）三個(gè)投影的長(zhǎng)度都小于實(shí)長(zhǎng)。投影特性:HaγaAb

VBbWβa

b

ZXOY（3）投影面傾斜線與三個(gè)投影面都傾斜的直線。（1）三個(gè)投影都傾斜于投影軸。（3）投影與投影軸的夾角不反映直線與投影面的實(shí)際傾角。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影也稱為“一般位置直線”。（a）立體圖圖2-16投影面傾斜線（一般位置直線）

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影（b）投影圖

【例2-3】如圖2-17（a）、（c）所示，已知直線AB和CD的兩面投影，試求作第三面投影，并指出直線AB、CD各屬于哪一種位置的直線。（c）題圖（d）作圖結(jié)果（a）題圖（b）作圖結(jié)果

先求出a″和b″，連接a″、b″，即為直線AB的第三面投影。AB為正平線。

作出CD的側(cè)面投影c″（d″），由于c″（d″）積聚成一點(diǎn)，可知CD是側(cè)垂線。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-17根據(jù)直線的兩面投影求其第三面投影2.投影面傾斜線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的傾角直角三角形法

在直角三角形ABB0中，一條直角邊AB0=ab（直線的投影），

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影空間問題分析斜邊AB即為其實(shí)長(zhǎng)，AB與AB0的夾角即為AB對(duì)H面的傾角α。

另一條直角邊BB0為兩端點(diǎn)A、B的Z坐標(biāo)之差（zB-

zA），【例2-4】試求投影面傾斜線AB的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)H面的傾角α。

方法1：以水平投影為直角邊，過b（或a）作ab的垂線，在此垂線上量取bb0=zB-zA，則ab0即為投影面傾斜線AB的實(shí)長(zhǎng)，∠b0ab即為α角。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-18求作投影面傾斜線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)H面的傾角α方法2：過a′作OX軸的平行線與b′b

相交于b0′（b′b0′=zB-zA

），量取b0′a0′=ab，則b′a0′也是所求直線AB的實(shí)長(zhǎng)，∠b′a0′

b0′即為α角。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-18求作投影面傾斜線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)H面的傾角α

【例2-5】試求投影面傾斜線AB對(duì)V面、W面的傾角β、γ。

以正面投影為直角邊，過a′（或b′）作a′b′的垂線，在此垂線上量取a′a0′=

yA-

yB，則b′a0′即為投影面傾斜線AB的實(shí)長(zhǎng),∠a0′

b′a′即為β角。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-19求作投影面傾斜線對(duì)V面、W面的傾角β、γ按照同樣的分析和作圖過程，還可求出AB對(duì)W面的傾角γ。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影只要掌握了直角三角形各元素表示的空間關(guān)系，就能根據(jù)直線的實(shí)長(zhǎng)、傾角、投影長(zhǎng)度和端點(diǎn)的坐標(biāo)差這四個(gè)元素中的任意兩個(gè)已知元素，作出直角三角形，求出其余的兩個(gè)未知元素。由上述作圖過程可以總結(jié)出直角三角形法的作圖規(guī)律。利用直角三角形法，不僅可以由直線的已知投影求出其實(shí)長(zhǎng)和傾角，也可反過來運(yùn)用，由已知的直線的實(shí)長(zhǎng)或傾角求出其投影。

【例2-6】已知直線AB的水平投影ab和A點(diǎn)的正面投影a′，α角為30o，試求作直線的正面投影a′b′。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-20求作直線AB的正面投影在H面投影中作直角三角形abb0，則直角邊bb0反映AB兩端點(diǎn)至H面的距離差，即Z坐標(biāo)之差，將其量到V面投影中，即可作出a′b1′（有兩個(gè)解，另一個(gè)為a′b2′）。

【例2-7】已知直線CD的水平投影cd

和實(shí)長(zhǎng)（22mm）以及C點(diǎn)的正面投影c′，試求作直線CD的正面投影。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-21求作直線CD的正面投影作出直角三角形cdd0，其中斜邊cd0=22mm，直角邊dd0即為所求的Z坐標(biāo)之差，將其量到V面投影中，即可求得D點(diǎn)的正面投影d1′、d2′（有兩個(gè)解），從而作出直線CD的正面投影。3.直線上點(diǎn)的投影直線上點(diǎn)的投影特性即：AK:KB=ak:kb=a′k′:k′b′=a″k″:k″b″“從屬性”：直線上的點(diǎn)的三面投影，必在該直線的同面投影上?！岸ū刃浴保狐c(diǎn)分直線的比，投影后保持不變。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-22直線上點(diǎn)的投影

點(diǎn)S的三面投影中，有一個(gè)（s″）不在直線AB的同名投影（a″b″）上，則點(diǎn)S肯定不在直線AB上?！纠?-8】判斷點(diǎn)S是否在直線AB上。（a）題圖（b）判斷方法1（c）判斷方法2

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影用定比性作出第三面投影圖2-23判斷點(diǎn)S是否在直線AB上本節(jié)課的重點(diǎn)：各種位置直線的投影特性及作圖。

直線上點(diǎn)的投影特性及其判定與作圖。本節(jié)課的難點(diǎn)：

利用直線的投影求其實(shí)長(zhǎng)及真實(shí)傾角的直角三角形法。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影

特殊位置直線有哪幾種？各有什么投影特性？一般位置直線又有什么投影特性？

1.投影面平行線：水平線、正平線、側(cè)平線在所平行的投影面上，投影反映實(shí)長(zhǎng)，投影與投影軸之間的夾角表示直線與另外兩個(gè)投影面之間的實(shí)際傾角；在另外兩個(gè)投影面上，投影均平行于相應(yīng)的投影軸。一實(shí)長(zhǎng)、二平行

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影特殊位置直線有哪幾種？各有什么投影特性？一般位置直線又有什么投影特性？

2.投影面垂直線：正垂線、鉛垂線、側(cè)垂線在所垂直的投影面上，投影積聚成一點(diǎn)；在另外兩個(gè)投影面上，投影均垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。一積聚、二垂直一般位置直線又叫投影面傾斜線三個(gè)投影都傾斜于投影軸，其長(zhǎng)度均小于實(shí)長(zhǎng)；投影與投影軸的夾角不反映直線與投影面的實(shí)際傾角。三類似

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影該直線是水平線，其側(cè)面投影應(yīng)該平行于OYW軸。若直線平行于某一投影面，則它在該投影面上的投影一直線的正面投影平行于OX軸，水平投影傾斜于OX軸，那么該直線是哪一種特殊位置直線？其側(cè)面投影應(yīng)該有什么特征？

a.反映實(shí)長(zhǎng)且平行于相應(yīng)的坐標(biāo)軸。

b.小于實(shí)長(zhǎng)且平行于相應(yīng)的坐標(biāo)軸。

c.反映實(shí)長(zhǎng)且傾斜于相應(yīng)的坐標(biāo)軸。

d.小于實(shí)長(zhǎng)且傾斜于相應(yīng)的坐標(biāo)軸。C.反映實(shí)長(zhǎng)且傾斜于相應(yīng)的坐標(biāo)軸。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影（a）X坐標(biāo)差。（b）Y坐標(biāo)差。（c）Z坐標(biāo)差。（d）正面投影a′b′。已知一般位置直線AB的水平投影ab

和正面投影a′b′，用直角三角形法求其實(shí)長(zhǎng)時(shí)，（1）若以ab為一直角邊，則另一直角邊應(yīng)為端點(diǎn)A、B的（2）若以a′b′為一直角邊，則（可多選）

（a）另一直角邊為端點(diǎn)A、B的Y坐標(biāo)差。（b）X坐標(biāo)差。（c）斜邊為AB的實(shí)長(zhǎng)。（d）斜邊