高中數(shù)學典型例題分析與解答：復合函數(shù)的導數(shù)

v1.0可編輯可修改v1.0可編輯可修改v1.0可編輯可修改PAGE復合函數(shù)的導數(shù)求分段函數(shù)的導數(shù)例求函數(shù)的導數(shù)分析：當時因為存在，所以應當用導數(shù)定義求，當時，的關系式是初等函數(shù)，可以按各種求導法同求它的導數(shù)．解：當時，當時，說明：如果一個函數(shù)在點連續(xù)，則有，但如果我們不能斷定的導數(shù)是否在點連續(xù)，不能認為．指出函數(shù)的復合關系例指出下列函數(shù)的復合關系．1．；2．；3．；4．。分析：由復合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應是基本函數(shù)的結構，解決這類問題的關鍵是正確分析函數(shù)的復合層次，一般是從最外層開始，由外及里，一層一層地分析，把復合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)，逐步確定復合過程．解：函數(shù)的復合關系分別是1．；2．；3．；4．說明：分不清復合函數(shù)的復合關系，忽視最外層和中間變量都是基本函數(shù)的結構形式，而最內層可以是關于自變量x的基本函數(shù)，也可以是關于自變量的基本函數(shù)經過有限次的四則運算而得到的函數(shù)，導致陷入解題誤區(qū)，達不到預期的效果．求函數(shù)的導數(shù)例求下列函數(shù)的導數(shù)．1．；2．；3．；4．。分析：選擇中間變量是復合函數(shù)求導的關鍵．必須正確分析復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經過怎樣的順序復合而成的，分清其間的復合關系．要善于把一部分量、式子暫時當作一個整體，這個暫時的整體，就是中間變量．求導時需要記住中間變量，注意逐層求導，不遺漏，而其中特別要注意中間變量的系數(shù)．求導數(shù)后，要把中間變量轉換成自變量的函數(shù)．解：1．解法一：設，則解法二：2．解法一：設，則解法二：3．解法一：設，則解法二：4．解法一：設，則解法二：說明：對于復合函數(shù)的求導，要注意分析問題的具體特征，靈活恰當?shù)剡x擇中間變量，不可機械照搬某種固定的模式，否則會使確定的復合關系不準確，不能有效地進行求導運算．學生易犯錯誤是混淆變量或忘記中間變量對自變量求導．求復合函數(shù)的導數(shù)例求下列函數(shù)的導數(shù)（其中是可導函數(shù)）1．；2．分析：對于抽象函數(shù)的求導，一方面要從其形式上把握其結構特征，另一方面要充分運用復合關系的求導法則。先設出中間變量，再根據(jù)復合函數(shù)的導數(shù)運算法則進行求導運算。一般地，假設中間變量以直接可對所設變量求導，不需要再次假設，如果所設中間變量可直接求導，就不必再選中間變量。解：1．解法一：設，則解法二：2．解法一：設，則解法二：說明：理解概念應準確全面，對抽象函數(shù)的概念認識不足，顯示了一種思維上的惰性，導致判斷復合關系不準確，沒有起到假設中間變量的作用