高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))(北航)參考答案

高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）練習(xí)題（北航） 第2頁(yè)共2頁(yè)選擇題（每題3分，共15分）1．平面被柱面截得的區(qū)域面積是()（A）（B）（C）（D）解析平面與面夾角的余弦，故被柱面截得的區(qū)域面積是。答案(C)2．設(shè)，，，則（）（A）（B）（C）（D）解析當(dāng)時(shí)，，所以。觀察積分區(qū)域的大小。答案（A）。3．設(shè)函數(shù)連續(xù),則().（A）（B）（C）（D）答案(D)4．設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且，若是某二元函數(shù)的全微分，則可取的函數(shù)為（）（A）（B）（C）（D）解析因?yàn)槭悄扯瘮?shù)的全微分，所以，從而。由此得。再有，得，。答案(C)*5．質(zhì)量分布均勻（密度為）的立方體占有空間區(qū)域，該立方體到軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（）.（A）（B）（C）（D）解析.答案(B)填空題（每題3分，共15分）1．函數(shù)在點(diǎn)處的最大方向?qū)?shù)為.解析函數(shù)在點(diǎn)處的最大方向?qū)?shù)為在該點(diǎn)梯度的模。答案2．微分方程的通解為.解析一階線性微分方程。答案。.解析交換積分次序后計(jì)算：。4．設(shè)函數(shù)的周期為，且則的傅里葉級(jí)數(shù)在處收斂到.解析。5．設(shè)平面有向曲線由連接點(diǎn)與點(diǎn)的直線段和上半圓周上從到的弧段構(gòu)成，則=.解析設(shè)從變化到1.設(shè)和圍成平面區(qū)域。由格林公式得。三、（10分）求函數(shù)在條件下的最大值．解（1）設(shè)，求解方程組由方程（1）（2）可得，代入方程（3），得。由此得駐點(diǎn)。因?yàn)?，故函?shù)在條件下的最大值為12.四（10分）設(shè)平面點(diǎn)集，計(jì)算.解在極坐標(biāo)系下。*五（10分）設(shè)均勻物體占有球體在第一卦限的部分區(qū)域，求該物體的形心坐標(biāo).解由對(duì)稱性得。的體積，所以有。形心坐標(biāo)。六（10分）求微分方程滿足條件的解.解設(shè)，（1），（2），（3）.（4）方程（4）的特征方程：；特征根：；通解：。對(duì)于方程（2），不是特征根。設(shè)其特解為，代入方程解得，即。對(duì)于方程（3），是特征根。設(shè)其特解為，則有，代入方程（3），整理得，比較系數(shù)得，即。由此得方程（1）的一個(gè)特解，即方程（1）的通解為。求導(dǎo)得。由得，于是得滿足初始條件的特解。七（10分）求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和.解（1）考慮冪級(jí)數(shù)，設(shè)，則收斂半徑，所以該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。對(duì)應(yīng)冪級(jí)數(shù)，其收斂區(qū)間為，即。（2）設(shè)，則有從而于是的和函數(shù)。（3）。八（10分）計(jì)算，其中為曲面，取上側(cè).解設(shè)，取下側(cè)。和圍成空間區(qū)域。設(shè)，則。由高斯公式得。因?yàn)殛P(guān)于面對(duì)稱，所以，于是而于是九（附加題5分）設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的流體的速度場(chǎng)是，其中有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).若在該流速場(chǎng)內(nèi)分片光滑簡(jiǎn)單閉曲面上分別都是常數(shù)，求單位時(shí)間內(nèi)該流速場(chǎng)在內(nèi)部區(qū)域上產(chǎn)生的總流量.解設(shè)在上，，其中皆為常數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)該流速場(chǎng)在內(nèi)部區(qū)域上產(chǎn)生的總流量等于單位時(shí)間內(nèi)流出的總流量，設(shè)該流量為，則由高斯公式得。十（附加題5分）設(shè)函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)在全平面連續(xù)，且，，，證明：.證因?yàn)楹瘮?shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)在全平面連續(xù)，所以，從而曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。又因?yàn)?，所以其中，?變化到6；，從6變化到7，于是有.因?yàn)椋?，所以，，即有，，而且，于?說(shuō)明：該學(xué)校把常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)fang在了上學(xué)期。4.設(shè)是數(shù)列,則下列命題正確的是()(A)若收斂,則收斂.(B)若收斂,則收斂.(C)若收斂,則收斂.(D)若收斂,則收斂.