多元函數(shù)的極限與連續(xù)性

關(guān)于多元函數(shù)的極限與連續(xù)性2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系12009年4月22.1多元函數(shù)的概念引例:

圓柱體的體積

一定質(zhì)量的理想氣體，其體積V與壓強(qiáng)p均

與氣體所受的溫度T(絕對(duì)溫度)有關(guān)，其關(guān)系式為：

p=RT/V

R-氣體常數(shù)

(V>0,T>0oK)第2頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系3※

函數(shù)(或映射)是兩個(gè)集合之間的一種確定的對(duì)

應(yīng)關(guān)系.R到R

的映射是一元函數(shù)；R2到

R

的映射則是二元函數(shù)，R3到R

的映射則是三元函數(shù)，….,Rn到R的映射則是n元(數(shù)量值）函數(shù).

三角形面積的海倫公式一個(gè)變量依賴(lài)于二個(gè)或二個(gè)以上變量的情形！

溫度是時(shí)空的函數(shù)：T=T(x,y,z,t)第3頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系4n元（數(shù)量值）函數(shù)定義SeeP.11定義2.1第4頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系5對(duì)于后一種被稱(chēng)為“點(diǎn)函數(shù)”的寫(xiě)法,它可使多元

函數(shù)與一元函數(shù)在形式上盡量保持一致,以便仿照

一元函數(shù)的辦法來(lái)處理多元函數(shù)中的許多問(wèn)題;

同時(shí),還可把二元函數(shù)的很多論斷推廣到

元函數(shù)中來(lái).

-----點(diǎn)函數(shù)形式第5頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系6例1

求下列函數(shù)的定義域

第6頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系7xyoxyo第7頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系8xyoxyo第8頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系9二元函數(shù)z=f(x,y)

的圖象

當(dāng)把和它所對(duì)應(yīng)的

一起組成

三維數(shù)組(x,y,z)時(shí),三維點(diǎn)集便是二元函數(shù)f的圖象,通常該圖象是一空間曲面.

第9頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系10例2它的圖象是過(guò)原點(diǎn)的馬鞍面.第10頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系11例2(2)例2(3)例2(4)第11頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系12※若二元函數(shù)的值域是有界數(shù)集,則稱(chēng)函數(shù)

在D上為一有界函數(shù)

(如例2(2)中的函數(shù)).否則,

若是無(wú)界數(shù)集,則稱(chēng)函數(shù)在D上為一無(wú)界

函數(shù)(如例2(1)、(3)、(4)中的函數(shù)).與一元函數(shù)類(lèi)似地,設(shè)則有第12頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系13另一種圖示法—等高(值）線(xiàn)（SeeP12)第13頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系14第14頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系15例3設(shè)函數(shù)(

此函數(shù)在以后還有特殊用處

)試用等高線(xiàn)法討論曲面

的形狀.解用為一系列常數(shù)

)去截曲面得等高線(xiàn)方程第15頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系16當(dāng)時(shí),得平面上的四條直線(xiàn)當(dāng)時(shí),由等高線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程難以看出它

的形狀.若把它化為極坐標(biāo)方程,即令得到如下一頁(yè)圖

所示,為所對(duì)應(yīng)的一

族等高線(xiàn).

第16頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系17第17頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系18由此便可想象曲面的大致形狀如圖所示,

坐標(biāo)原點(diǎn)是曲面的一個(gè)鞍點(diǎn),四道“山谷”與四道

“山脊”在鞍點(diǎn)處相匯.第18頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系19設(shè)A為Rn中的點(diǎn)集,稱(chēng)映射：為定義在A上的一個(gè)n元向量值函數(shù)，也記作其中是自變量，……………….有SeeP.14定義2.2或第19頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2009年4月南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系20第20頁(yè),共22