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文檔簡(jiǎn)介
2020-2021學(xué)年焦作市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題(本大題共12小題,共60.0分)
1.設(shè)集合M={直線},N={圓},則集合MCN中元素個(gè)數(shù)為()個(gè).
A.0B.1C.2D.0或1或2
2.設(shè)F為拋物線C:y2=3久的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30。的直線交于C于4B兩點(diǎn),則=()
A.叵B.6C.12D.7V3
3
3,函數(shù)/Xx)=幽與萼的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()
X—2015
A.1B.2C.3D.0
4,若函數(shù)/(x)和gQ)都是奇函數(shù),且F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+8)上有最大值6,則尸(%)在
(一8,0)上()
A.有最小值-2B.有最大值-5C.有最小值-1D.有最大值-3
5.設(shè)函數(shù)/'(%)=lg(l-久),則函數(shù)的定義域?yàn)?)
A.(―9,+8)B.(-9,1)C.[-9,+8)D.[-9,1)
6.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的邊長(zhǎng)為2的正方形,主視圖與左視圖是邊長(zhǎng)N
為2的正三角形,則其全面積是()I
A.8
B.12
C.4(1+V3)
D.4V3
7.集合P={(x,y)|y=k},Q={(x,y)|y=ax+1,a>0,a1},已知PnQ=0,那么實(shí)數(shù)k的
取值范圍是()
A.B.(-oo,l]C.(l,+oo)D.[1,+00)
8.已知平面a,直線人,%是兩不同的直線.下列選項(xiàng)中,能推出的是()
a
A."與"無(wú)公共點(diǎn)B.l1//a,1211■
C.1a,l21aD.%與a所成角相等
9.兩圓相交于點(diǎn)城口罩t遭電%-布:,兩圓的圓心均在直線富一般帶卷;=勵(lì)上,則版帶心的值為()
A.-1B.罷C.整D.(i?
10.設(shè)a=log32,6=log52,<7=log23,則()
A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b
11.棱長(zhǎng)為2的正四面體的所有頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為()
A.12兀B,6兀C.24兀D.48兀
12.若/(x)是R上周期為5的奇函數(shù),且滿足f(—2)=2,則f(2012)-/(2010)=()
A.2B.—2C.0D.—4
二、單空題(本大題共4小題,共20.0分)
13.設(shè)集合a={1,2,3,4},B={3,4,5},則滿足SU4且SC8#0,試寫(xiě)出滿足條件的所有集合S有
______個(gè).
14.函數(shù)/Xx)=x(l—%),x6(0,1)的最大值為一
22
15.以雙曲線會(huì)-套=1的右焦點(diǎn)為圓心,且被其漸近線截得的弦長(zhǎng)為6的圓的方程為一
16.如圖,在三棱柱4BC-4/1的中,底面為正三角形,側(cè)棱垂直底面,28=4,
-I
A4i=6,若E,F分別是棱BBi,上的點(diǎn),S.BE=BrE,QF=-CCv
則異面直線4E與4F
所成角的余弦值為.
三、解答題(本大題共6小題,共70.0分)
17.已知函數(shù)/(%)=但9芯一kbx)(k>0,a>1>b>0)的定義域恰為(0,+8),是否存在這樣的a,
b,使得f(x)恰在(1,+8)上取正值,且f(3)=匈4?若存在,求出a,b的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)
明理由.
18.已知直角△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)4(-3,0),直角頂點(diǎn)8(1,-2),頂點(diǎn)C在x軸上.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)求4ABC的斜邊中線的方程.
1
19.已知〃x)=-,
⑴判斷/(X)在(1,+8)上的單調(diào)性,并加以證明.
(2)求/Q)在[2,6]上的最大值和最小值.
20.如圖,在四棱錐P—28C。中,平面24。1平面ABC。,E為4。上一點(diǎn),四邊形8CDE為矩形,
APAD=60°,PA=ED=2AE=2.
(/)若而=4正(4eR),且24〃平面BEF,求4的值;
(H)求證:CBJ■平面PEB.
21.已知a、/?是關(guān)于X的一元二次方程4/一4加久+機(jī)+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,當(dāng)實(shí)數(shù)6為何值時(shí),
a?+儼+a+£+2有最小值?并求出這個(gè)最小值.
22.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓。:x2+y2=4,點(diǎn)Q(0,l),
過(guò)點(diǎn)P(0,4)的直線/與圓。交于不同的兩點(diǎn)48(不在y軸上).
(1)若直線I的斜率為3,求4B的長(zhǎng)度;
(2)設(shè)直線Q4Q8的斜率分別為自,k2,求證:后+的為定值,并求出
該定值;
(3)設(shè)2B的中點(diǎn)為M,是否存在直線Z,使得MO=苧MQ?若存在,求出
直線珀勺方程;若不存在,說(shuō)明理由.
參考答案及解析
L答案:A
解析:解:?.?"={直線},N={/},;.MCN=0,
則集合MCN中元素個(gè)數(shù)為0.
故選A
求出M與N的交集,即可作出判斷.
此題考查了交集及其運(yùn)算,熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.
2.答案:C
解析:
本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.
求出焦點(diǎn)坐標(biāo),利用點(diǎn)斜式求出直線的方程,代入拋物線的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,由弦長(zhǎng)公
式求得|4B|.
解:由>2=3久得其焦點(diǎn)F(|,0),準(zhǔn)線方程為x=—|,
則過(guò)拋物線%=3久的焦點(diǎn)F且傾斜角為30。的直線方程為:
y=tan30°(x—|)=,
代入拋物線方程,消去y,得16久2—168X+9=0,
設(shè)4Qi,yi),B(x2,y2),
則/+%2=詈=§,
所以+:+%2+|
=2+三+2=12.
442
故選C.
3.答案:D
解析:解:-.-%-2014>0,/.%>2014,
???令/(%)=0,得:In(%—2014)=0,
.-.%-2014=1,%=2015,
???/(%)=0無(wú)解,
故選:D.
先求出函數(shù)的定義域,解方程無(wú)解,從而函數(shù)無(wú)零點(diǎn).
本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),是一道基礎(chǔ)題.
4.答案:A
解析:解:由F(x)=a/(x)+bg(x)+2,得F(x)-2=a/(x)+bg(x),
?;f(%)和g(x)都是奇函數(shù),
F(—x)—2=af(—x)+bg(—x)=—af(x)—bg(x)——[a/(x)+6g(x)]=—[F(x)—2],
F(x)—2是奇函數(shù),
???尸(久)在(0,+8)上有最大值6,即F(x)<6,
???F(x)-2<4,
當(dāng)xe(-8,0)時(shí),-%e(0,+8),
則尸(一支)—2<4,即一[F(x)-2]<4,
F(x)-2>-4,BPF(x)>-2,
???x£(—8,0)時(shí),F(xiàn)(x)有最小值-2,
故選A.
5.答案:B
解析:
本題考查求函數(shù)的定義域,是基礎(chǔ)題.
求出復(fù)合函數(shù)的解析式,根據(jù)函數(shù)的解析式,列出使函數(shù)解析式有意義的不等式組,求出解集即可.
解:..?函數(shù)/Q)=lg(l-%),
則函數(shù)/[/(%)]=lg[l-/(X)]=lg[l-lg(l-%)]
其定義域滿足:仁溫葭>0
解得:e;>
所以函數(shù)/[/(%)]的定義域?yàn)?—9,1).
故選:B.
6.答案:B
解析:解:由題意幾何體是一個(gè)四棱錐,其側(cè)面三角形的高為2,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,
幾何體的表面積為4x|x2x2+2x2=12
故選B
由題意及圖象知,幾何體是一個(gè)四棱錐,其側(cè)面三角形的高為2,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,由公式
求表面積即可
本題考查由三視圖求面積、體積,求解的關(guān)鍵是根據(jù)所給的三視圖判斷出幾何體的幾何特征,再根
據(jù)其幾何特征選擇求全面積的方法.
7.答案:B
解析:解:???集合P={(x,y)|y=k},Q={(x,y)|y=ax+1,a>0,a1},PnQ=0,
+1>1,
■■k<1,
故選:B.
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及基本之間的關(guān)系即可求出.
本題考查了集合的基本運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題
8.答案:C
解析:解:對(duì)于4,%與%無(wú)公共點(diǎn)時(shí),"與"可能異面,故A錯(cuò);
對(duì)于B,lr//a,%//a時(shí),%與%可能異面,故2錯(cuò);
對(duì)于C,Zi1a,"La時(shí),Z1//Z2,故C正確;
對(duì)于D,h,1與a所成角相等時(shí),h,%可能異面、相交,故。錯(cuò);
故選:C.
A,兩直線無(wú)公共點(diǎn)時(shí),可能異面;
B,兩直線平行同一個(gè)平面時(shí),可能異面;
C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定;
D,此時(shí),"可能異面、相交;
本題考查了空間線面位置關(guān)系,考查了空間想象能力,屬于中檔題.
9.答案:A
解析:試題分析:因?yàn)閮蓤A的相交弦所在的直線與圓心連線的直線垂直,且被其平分,因此可知48
的中點(diǎn)坐標(biāo)修竺士R:在直線富-朋#富;=勵(lì)上,代入可知為
罷
*一I#/;=峋二*型怎帶編二=?
鬟
1%翹=.1=---二嬲=-3?
,1-W
將m的值代入上式解得c=2,因此可知?n+c=-l,選A.
考點(diǎn):本試題考查了圓與圓的位置關(guān)系,以及直線與圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
點(diǎn)評(píng):解決該試題的關(guān)鍵是理解直線所在的弦被兩圓圓心的連線垂直平分,同時(shí)利用中點(diǎn)公式得
到4B弦的中點(diǎn),然后代入直線方程中,得到結(jié)論,屬于基礎(chǔ)題。
10.答案:D
解析:
本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).
解log25>log23>1,
11
???log23>1>:------;>:------->0
log23log25
Bpiog23>1>log32>log52>0,
■■■c>a>b.
故選D.
IL答案:B
解析:解:根據(jù)正四面體的外接球外徑公式,可知,其半徑的長(zhǎng)度等于棱長(zhǎng)的漁倍,
4
設(shè)半徑為R,則夫=漁、2=漁,
42
所以球的表面積為S=4TTR2=4TTx-=67r.
4
故選:B.
根據(jù)所給的棱長(zhǎng)條件,代入公式,即可求解.
本題考查正四面體的外接球問(wèn)題,相關(guān)結(jié)論要進(jìn)行背、記,屬于基礎(chǔ)題.
12.答案:B
解析:解:?.?函數(shù)/(尤)是周期為5的周期函數(shù),
???/(2012)=/(2010+2)=/(2),/(2010)=/(0),
???f。)是奇函數(shù),且滿足f(-2)=2,
???/(0)=0,f(2)=-2,
則,(2012)-/(2010)=/(2)-/(0)=-2-0=-2,
故選:B.
根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.
本題主要考查函數(shù)值計(jì)算,根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.
13.答案:12
解析:解:根據(jù)題意知,SU4且SCB40,則集合S至少含有3,4這兩個(gè)元素中的一個(gè),
則S的可能情況有:{3},{4},
{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},
{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},
{1,2,3,4},共12個(gè).
故答案為:12.
根據(jù)題意,集合4的子集有16個(gè),又由SC{3,4,5}大。,列舉即可得答案.
本題不難,但要注意把握題意中的限制條件,進(jìn)行列舉時(shí)按一定的順序,做到不重不漏.
1
14.答案:-
解析:試題分析:根據(jù)題意,由于函數(shù)f(x)=久(1-久),開(kāi)口向下,對(duì)稱軸x=±,那么在定義域,
Xe(0,1)函數(shù)先增后減,則可知函數(shù)在對(duì)稱軸處函數(shù)值最大,且為三落工=工,故答案為工。
普鬟司4
考點(diǎn):二次函數(shù)
點(diǎn)評(píng):主要是考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題。
15.答案:(x—2>/5)2+y2=25
解析:
本題考查圓錐曲線的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要注意公式的正確選取.
由題意知所求圓的圓心為(2強(qiáng)0).圓心(2強(qiáng)0)到漸近線2%+y=0的距離d=整=4,所以圓的半
徑r=,9+16=5,由此可知圓的方程.
22
解:雙曲線匕―匕=1的右焦點(diǎn)為尸(2“,0),一條漸近線為2x+y=0.
416
???所求圓的圓心為(2代,0).
???所求圓被漸近線2x+y=0截得的弦長(zhǎng)為6,
???圓心(2倔0)到漸近線2x+y=0的距離d=等=4,
圓的半徑r=y/9+16=5,
???所求圓的方程是(%-2有)2+y2=25.
故答案為:(%—26)2+必=25.
16.答案:四
10
解析:解:以c為原點(diǎn),乙4為%軸,在平面ABC中過(guò)作4C的垂線為y軸,CQ為z軸,建立空間直角坐
川”MJ砧祠_4_V2
則cos?一?鬲雨一謬一?.
???異面直線41E與4F所成角的余弦值為四;
10
故答案為:立.
10
以C為原點(diǎn),C4為%軸,在平面4BC中過(guò)作4C的垂線為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用
向量法能求出異面直線&E與AF所成角的余弦值.
本題考查異面直線所成角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
17.答案:解「ax—左廳>0,即《尸〉k.
又a>l〉b>0,">1
x>1。。鼾為其定義域滿足的條件,
又???函數(shù)f(%)的定義域恰為(0,+8),
???logak=0,=1.
b
??.f(%)=lg(ax-bx).
若存在適合條件的a,b,則/⑶=lg(a3-h3)=匈4且lg(a%-b")>0對(duì)%>1恒成立,
又由題意可知/(%)在(L+8)上單調(diào)遞增.
???%>1時(shí)/(x)>f(1),
由題意可知/(1)=0即a—6=1又M—fe3=4
注意到a>l>b>0,解得a=衛(wèi),b=旦.
22
???存在這樣的a,b滿足題意.
解析:先帶著參數(shù)求出函數(shù)/(%)=lg(ax-kb*)的定義域,為(log.+*,因?yàn)橐阎瘮?shù)的定義域
為(0,+8),所以可知/。9鏟=0,求出k值為1.這樣函數(shù)可化簡(jiǎn)為/(%)=lg(ax—/).假設(shè)存在適合
條件的a,b,使得/'(x)恰在(1,+8)上取正值,且f(3)=匈4,貝,(3)=lg(a3-匕3)=/g4且恒①“一
次)>0對(duì)x>1恒成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知,x>1時(shí)/(%)>/(1),又因?yàn)?(I)=0,所以a一b=
1又a3—/=4,即可求出a,b的值.
本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,考察了學(xué)生的理解力,轉(zhuǎn)化能力以及計(jì)算能力.
18.答案:解:⑴???直角A4BC的頂點(diǎn)坐標(biāo)2(—3,0),直角頂點(diǎn)B(l,-2),
頂點(diǎn)C在無(wú)軸上,設(shè)C(m,0),
則KB-KCB=*?詈=—1,求得爪=2,故C(2,0).
A—D_lTH,—1
10+24
(2)斜邊AC的中點(diǎn)為BM的斜率為工=-3,
Z2
故的方程為y—0=+即4x+3y+2=0.
解析:(1)由題意利用直線的斜率公式,兩條直線垂直的性質(zhì),求得點(diǎn)C的坐標(biāo).
(2)先求出斜邊中點(diǎn)的坐標(biāo),再求出中線的斜率,用點(diǎn)斜式求出中線的方程.
本題主要考查直線的斜率公式,兩條直線垂直的性質(zhì),用點(diǎn)斜式求直線的方程,屬于基礎(chǔ)題.
19.答案:解析:(1)函數(shù)f(%)在(1,+8)上是減函數(shù).
解:(1)函數(shù)/(%)在(L+8)上是減函數(shù).
證明:任取1VV汽2
11
則f(久1)一/(>2)=」一」
%1~1%2-
二一%2
"(%i-l)(x2-1)
-1>0,x2—1>0,外一>0,
■■■-f(x2)>o,
即/'(%)>f(小)
所以f(%)在(1,+8)是減函數(shù).
(2)由⑴可知/O)在(1,+8)上是減函數(shù),
所以/(久)在[2,6]上是減函數(shù),
所以f(x)g=f(2)1J(x)m譏=f(6)=|.
解析:第(1)問(wèn)利用函數(shù)單調(diào)性定義證明,要分析清楚符號(hào)判斷過(guò)程;第(2)問(wèn)要利用第一問(wèn)函數(shù)的
單調(diào)性求最值.
第(1)問(wèn)要注意先回答函數(shù)的單調(diào)性,在分析過(guò)程中必須說(shuō)明清楚每一項(xiàng)與0的關(guān)系;第(2)要善于利
用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題.
20.答案:解:(/)連接4C交BE于點(diǎn)M,連接FM,
因?yàn)镻4〃平面BEF,平面PACn平面BEF=FM,所以FM〃人P.
因?yàn)镋M〃CD,所以煞=奈書(shū)
因?yàn)樗?=煞制
所以4=2.…(6分)
證明:(〃)因?yàn)?P=2,AE=1,^PAD=60°,
所以PE=舊,所以PE_LAD
又平面PADJ_平面4BCD,且平面P4DC平面2BCD=AD,PE平面4BCD,
所以PE_LCB,又BELCB,且PEnBE=E.
所以CB1平面PE8.…(13分)
解析:(/)連接4C交BE于點(diǎn)M,連接FM,由已知得FM//4P,由EM〃CD,FM//AP,能求出九
(〃)先求出PE=B,從而PEL20,進(jìn)而PELC8,BE1CB,由此能證明CB,平面PEB.
本題考查實(shí)數(shù)值的求法,考查線面垂直的證明,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力
的培養(yǎng).
21.答案:解:因?yàn)橐辉畏匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根,所以△=16m2—16(m+2)>0,解得m<-1或m>
2,
由題可知a+S=7n,a(i=—,
貝ija2+/?2+a+^+2=m2-2-+m+2=m2+|m+1=(m+^)2+1|,
設(shè)/'(zn)=m2+|m+1,
可得fO)在m<-1遞減,即有f(6)2f(-1)=I,
/(m)在m>2遞增,可得/(m)>/
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