2021年湖北中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的變化

2021年湖北中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的變化

一.選擇題（共5小題）

1.（2021?黃石）下列幾何圖形中，是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.梯形B.等邊三角形C.平行四邊形D.矩形

2.（2021?黃石）如圖是由6個(gè)小正方體拼成的幾何體，該幾何體的左視圖是（）

正面/

H

3.（2021?黃石）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,

0）,現(xiàn)將△ABC繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(-2,2)D.(-3,2)

4.（2021?鄂州）“國(guó)土無(wú)雙”是人民對(duì)“雜交水稻之父”袁隆平院士的贊譽(yù).下列四個(gè)漢字

中是軸對(duì)稱圖形的是（）

5.（2021?恩施州）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,E為BD

與正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

B*_________

A.CEABDB./XABC^/XCBDC.AC=CDD.NABC=NCBD

2

二.填空題（共4小題）

6.（2021?湖北）如圖，某活動(dòng)小組利用無(wú)人機(jī)航拍校園，已知無(wú)人機(jī)的飛行速度為3m/s,

從A處沿水平方向飛行至B處需105.同時(shí)在地面C處分別測(cè)得A處的仰角為75°,B

處的仰角為30。，則這架無(wú)人機(jī)的飛行高度大約是m（73?1.732,結(jié)果保留整

數(shù)）.

7.（2021?湖北）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)。出發(fā)，水平向左平移1個(gè)單

位長(zhǎng)度，再豎直向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)Pl（-1,-1）:接著水平向右平移2個(gè)單位

長(zhǎng)度，再豎直向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P2；接著水平向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎

直向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P3；接著水平向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向上平移

4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P4,…，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)P202I的坐標(biāo)

為.

8.（2021?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1,0）,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-

3,3）,將點(diǎn)4繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B,則點(diǎn)3的坐標(biāo)為

A*

C*O

9.（2021?荊州）如圖1是一臺(tái)手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB,BC可分別繞點(diǎn)A,B

轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知BC=8c”,AB=\6cm.當(dāng)AB,BC轉(zhuǎn)動(dòng)到NBAE=60°,乙48c=50°時(shí)，

點(diǎn)C到AE的距離為（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin70°七0.94,

?F.73）

r

￡圖1「圖2

三.解答題（共3小題）

10.（2021?襄陽(yáng)）如圖，建筑物BC上有一旗桿A8,從與BC相距20%的D處觀測(cè)旗桿頂

部A的仰角為52°,觀測(cè)旗桿底部B的仰角為45",求旗桿AB的高度（結(jié)果保留小數(shù)

點(diǎn)后一位.參考數(shù)據(jù)：sin52°-0.79,cos52°^0.62,tan520^1,28,72^1-41）.

A

/B

/卓

/

芯52。G??？

D20m0

11.（2021?鄂州）在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞.一市民騎自行車(chē)由A地出

發(fā)，途經(jīng)B地去往C地，如圖.當(dāng)他由A地出發(fā)時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的北偏東45°方向有一信號(hào)

發(fā)射塔P.他由4地沿正東方向騎行m到達(dá)B地，此時(shí)發(fā)現(xiàn)信號(hào)塔P在他的北偏

東15°方向，然后他由B地沿北偏東75°方向騎行到達(dá)C地.

(1)求A地與信號(hào)發(fā)射塔P之間的距離;

(2)求C地與信號(hào)發(fā)射塔P之間的距離.(計(jì)算結(jié)果保留根號(hào))

北

12.(2021?十堰)已知等邊三角形ABC,過(guò)A點(diǎn)作AC的垂線/,點(diǎn)P為/上一動(dòng)點(diǎn)(不與

點(diǎn)A重合)，連接CP,把線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到CQ,連QB.

(1)如圖1,直接寫(xiě)出線段AP與BQ的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P、8在AC同側(cè)且AP=AC時(shí)，求證：直線PB垂直平分線段CQ；

(3)如圖3,若等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)尸、B分別位于直線4c異側(cè)，且△APQ

圖1圖2圖3

2021年湖北中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的變化

參考答案與試題解析

一.選擇題（共5小題）

1.（2021?黃石）下列幾何圖形中，是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.梯形B.等邊三角形C.平行四邊形D.矩形

【考點(diǎn)】梯形；軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.

【解答】解：A.梯形不一定是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C.平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D.矩形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找

對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與

原圖重合.

2.（2021?黃石）如圖是由6個(gè)小正方體拼成的幾何體，該幾何體的左視圖是（）

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖.

【專題】投影與視圖；空間觀念.

【分析】根據(jù)左視圖的意義，從左面看該組合體所得到的圖形即可.

【解答】解：從左面看該組合體，所看到的圖形如下，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，理解視圖的意義，明確從左面看該組合體所得

到的圖形的形狀是正確判斷的前提.

3.（2021?黃石）如圖，△4BC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,

0）,現(xiàn)將△ABC繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

二W至匚f

I.4廠O口I

A.（2,-3）B.（-2,3）C.（-2,2）D.（-3,2）

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【專題】作圖題；幾何直觀.

【分析】利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出8,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），C可得結(jié)論.

【解答】解：觀察圖像，可知C'（-2,3）,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，平移等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變

換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型.

4.（2021?鄂州）“國(guó)土無(wú)雙”是人民對(duì)“雜交水稻之父”袁隆平院士的贊譽(yù).下列四個(gè)漢字

中是軸對(duì)稱圖形的是（）

B.±

A.無(wú)D.雙

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀.

【分析】軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，據(jù)此判斷即可.

【解答】解：A.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B.是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿

對(duì)稱軸折疊后可重合.

5.（2021?恩施州）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,E為BD

與正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

R

A.CEWLBDB.△AB04CBDC.AC=CDD.NABC=NCBD

2

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí).

【分析】根據(jù)勾股定理可以得到BC、CD、8。的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理可以得到

△BCD的形狀，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，可以得到EF的長(zhǎng)，然后即可得到CE

的長(zhǎng)，從而可以得到CE和80的關(guān)系；根據(jù)圖形，很容易判斷AABC絲△C2O和AC=

C￡）不成立；再根據(jù)銳角三角函數(shù)可以得到/ABC和的關(guān)系.

【解答】解：由圖可得，

BC=Q42+22=2旄,CD—<^22+I2=BD={§2+&2=5,

：.BC2+CD2^（2遙）2+（娓）2=25=8￡>2,

.?.△8。是直角三角形，

'：EF//GD,

:.△BFEs^BGD,

???-E-F=-B-F-,

DGBG

即空&

34

解得￡尸=1.5,

：.CE=CF-EF=4-1.5=2.5,

...出衛(wèi)§=工，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

BD52

由圖可知，顯然AABC和△CBO不全等，故選項(xiàng)8錯(cuò)誤;

：AC=2,CZ）=旄，

：.AC^CD,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

'.,tan/ABC=>^=」，tanZrRD：：-1^——>

AB2BUBC2V52

:.NABC=NCBD,故選項(xiàng)。正確；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理與勾股定理的逆定理、銳角三角

函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

二.填空題（共4小題）

6.（2021?湖北）如圖，某活動(dòng)小組利用無(wú)人機(jī)航拍校園，已知無(wú)人機(jī)的飛行速度為3〃加，

從A處沿水平方向飛行至B處需105.同時(shí)在地面C處分別測(cè)得A處的仰角為75°,B

處的仰角為30°,則這架無(wú)人機(jī)的飛行高度大約是20m（73^1.732,結(jié)果保留整

水平線

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【分析】過(guò)A點(diǎn)作于H,過(guò)8點(diǎn)作8。垂直于過(guò)C點(diǎn)的水平線，垂足為。，如

圖，利用仰角定義得到NACD=75°,ZBCH=30°,利用速度公式計(jì)算出AB=30m,

先計(jì)算出A”=15w,再利用正切的定義計(jì)算出84=15?,由于/ACH=45°,則CH

=AH=\5m,然后在山△BCD中利用NBa>=30°得至lj8。=生包至，最后進(jìn)行近

2

似計(jì)算即可.

【解答】解：過(guò)A點(diǎn)作AHLBC于H,過(guò)B點(diǎn)作BZ）垂直于過(guò)C點(diǎn)的水平線，垂足為D,

如圖，

根據(jù)題意得NAC￡>=75°,ZBCH=30°,AB=3X10=30m,

'CAB//CD,

：.ZABH^ZBCD=30Q,

在中，A”=LB=15機(jī)，

2

；tan/ABH=迎，

BH

BH=-1^=普=15“，

tan30°V3.

3

,:NACH=NACD-NBCD=15°-30°=45°,

：.CH=AH^\5m,

：.BC=BH+CH=（15揚(yáng)15）m,

在RtZ\BC￡>中，VZBCD=30°,

ABD=^BC=1.§^+1-^20（機(jī)）.

22

答：這架無(wú)人機(jī)的飛行高度大約是20m.

故答案為20.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題：根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，當(dāng)

圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問(wèn)題劃歸為直角

三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決.

7.(2021?湖北)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)尸從原點(diǎn)。出發(fā)，水平向左平移1個(gè)單

位長(zhǎng)度，再豎直向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)P(-1,-1);接著水平向右平移2個(gè)單位

長(zhǎng)度，再豎直向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)及；接著水平向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎

直向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P3;接著水平向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向上平移

4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P4,…，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)P2021的坐標(biāo)為(-1011.-

1011).

【考點(diǎn)】規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)；坐標(biāo)與圖形變化-平移.

【專題】動(dòng)點(diǎn)型；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力.

【分析】觀察圖象可知，奇數(shù)點(diǎn)在第三象限，由題意Pi(-1,-1),P3(-2,-2),

P5(-3,-3),，P2n-1(-n,-〃)，已解決可解決問(wèn)題.

【解答】解：觀察圖象可知，奇數(shù)點(diǎn)在第三象限，

VP1(-1,-1),P3(-2,-2),P5(-3,-3),?Pin.1(-n,-n),

/.P2021(-1011,-1011),

故答案為：(-1011,-1011).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-平移，規(guī)律型等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律,

利用規(guī)律解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

8.(2021?鄂州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-

3,3),將點(diǎn)A繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為(2,2).

A*

C*O

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【專題】平面直角坐標(biāo)系：幾何直觀.

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作軸于E,過(guò)點(diǎn)8作BFLx軸于F.利用全等三角形的性

質(zhì)解決問(wèn)題即可.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AELx軸于E,過(guò)點(diǎn)B作BFLx軸于F.

,/NAEC=ZACB=ZCFB=90°,

NACE+NBC尸=90°,ZBCF+ZB=90°,

，/ACE=NB,

在△4EC和aCFB中，

,ZAEC=ZCFB

-ZACE=ZB，

AC=CB

AAAEC^ACFBCAAS),

：.AE=CF,EC=BF,

,：A(-3,3),C(-1,0),

；.A￡：=C1尸=3,OC=1,EC=BF=2,

：.OF=CF-OC=2,

：.B(2,2),

故答案為：(2,2).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

9.（2021?荊州）如圖1是一臺(tái)手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB,BC可分別繞點(diǎn)A,B

轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知8c=8cro,\6cm.當(dāng)A8,BC轉(zhuǎn)動(dòng)到NBAE=60°,NA8C=50°時(shí),

點(diǎn)C到AE的距離為6.3cm.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin70°~0.94,?

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；模型思想.

【分析】通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形，在RtaABM中，求出在RtZ\BC￡＞中，求出

BD,即可求出CN,從而解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B、C分別作AE的垂線，垂足分別為“、N,過(guò)點(diǎn)C作CC

BM,垂足為

在Rt/XABM中,

VZBA￡=60°,AB=16,

；.BM=sin60°?48=返義16=8?Cem),

2

ZABM=90°-60°=30°,

在RtABCD中,

VZDBC^ZABC-ZABM=50°-30°=20°,

ZBCD=90°-20°=70°,

又：BC=8,

.?.8￡>=sin70°X8^0.94X8=7.52(.cm),

：.CN=DM=BM-BD=Sy[3-7.52?=6.3(cm),

即點(diǎn)C到AE的距離約為6.3cm,

故答案為：6.3.

圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系是解決

問(wèn)題的關(guān)鍵.

三.解答題（共3小題）

10.（2021?襄陽(yáng)）如圖，建筑物BC上有一旗桿AB,從與BC相距20”?的D處觀測(cè)旗桿頂

部A的仰角為52°,觀測(cè)旗桿底部8的仰角為45°,求旗桿A8的高度（結(jié)果保留小數(shù)

點(diǎn)后一位.參考數(shù)據(jù)：sin52°g0.79,cos52°^0.62,tan52°31.28,式七1.41）.

A

D20mC

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】在RtABCD中，利用正切函數(shù)求得BC,在RtAACD中，利用正切函數(shù)求得

AC,即可根據(jù)AB=AC-8c求得旗桿A8的高度.

【解答】解：在RlABC。中，：tan/8DC=庭，

CD

BC^CD.tanZBDC=20Xtan450=20（〃?），

在RtAACD中，tan/ADC=也,

CD

.,.AC=C￡）.tanNAOC=20Xtan52°心20X1.28=25.6Cm）,

：.AB=AC-BC=5.6（機(jī)）.

答：旗桿A8的度約為56”.

A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問(wèn)題，要求學(xué)生能借助俯角構(gòu)造

直角三角形并解直角三角形.注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

11.（2021?鄂州）在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞.一市民騎自行車(chē)由A地出

發(fā)，途經(jīng)8地去往C地，如圖.當(dāng)他由A地出發(fā)時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的北偏東45。方向有一信號(hào)

發(fā)射塔P.他由4地沿正東方向騎行4Mh"到達(dá)B地，此時(shí)發(fā)現(xiàn)信號(hào)塔P在他的北偏

東15°方向，然后他由8地沿北偏東75°方向騎行12h〃到達(dá)C地.

（1）求A地與信號(hào)發(fā)射塔P之間的距離；

（2）求C地與信號(hào)發(fā)射塔P之間的距離.（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）

AB

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí).

【分析】（1）根據(jù)題意得到N以8=45°,NPBG=15°,ZGBC=75°,過(guò)點(diǎn)8作8。

LAP于D點(diǎn),求得A￡>=BD=4,得到NPB￡>=60°,由8。=4,求得PD=4加，于是

得到結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)P作尸EJ_BC于￡根據(jù)/PBG=15°,NGBC=75°,求得NPBE=60°,

得至|J5E=4,PE=4?,根據(jù)8c=12,于是得到結(jié)論.

【解答】解：（1）依題意知：N%B=45°,ZPBG=\5°,NGBC=75：

過(guò)點(diǎn)8作8￡>_LAP于。點(diǎn)，

?：ZDAB=45°,AB=4亞，

：.AD=BD=4f

VZABD=ZGBD=45°,ZGBP=15°,

；.NPBD=60°,

VBD=4,

???PD=4?,

???%=(4+4^3)(km)；

(2)?:NPBD=60°,BD=4,

:?PB=8,

過(guò)點(diǎn)P作尸EL3c于E,

VZPBG=15°,ZGBC=75°,

AZPBE=60°,

*：PB=8,

ABE=4,PE=4V3，

VBC=12,

:.CE=8,

???PC=4有(km).

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題.此題難度適中，解此題的關(guān)鍵

是將方向角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的知識(shí)，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解.

12.(2021?十堰)已知等邊三角形ABC,過(guò)A點(diǎn)作AC的垂線/,點(diǎn)P為/上一動(dòng)點(diǎn)(不與

點(diǎn)A重合)，連接CP,把線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到CQ,連Q8.

(1)如圖1,直接寫(xiě)出線段AP與BQ的數(shù)量關(guān)系：

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P、8在AC同側(cè)且AP=AC時(shí)，求證：直線P8垂直平分線段CQ；

(3)如圖3,若等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P、8分別位于直線AC異側(cè)，且△APQ

的面積等于返，求線段A尸的長(zhǎng)度.

4

圖1圖2圖3

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.

【專題】壓軸題；分類討論；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力.

【分析】(1)由“&4S”證得△ACP2/SBCQ(SAS)可得AP=3Q.

(2)由“SAS”證得△ACP絲△BC。(SA5)可得AP=BQ,所以BQ^AP^AC-BC,

由“等邊對(duì)等角”可得/A8P=/APB=75°,則/。/>=乙48?+/482=135°,所以

NCBD=NQBD=45°,則2。是△BCQ的平分線，又BC=BQ,則尸8垂直平分CQ.

(3)需要分點(diǎn)。在直線/上方和點(diǎn)Q在直線/下方兩種情況討論，設(shè)A尸的長(zhǎng)度，根據(jù)

△4PQ的面積等于返建立等式，可求出AP的長(zhǎng).

4

【解答】解：(1)在等邊△ABC中，AC=BC,乙4cB=60°,

由旋轉(zhuǎn)可得，CP=CQ,ZPCQ=60°,

ZACB=ZPCQ,

：.ZACP-NPCB=ZBCQ-ZPCB,即/ACP=ZBCQ,

：.AACP^ABCg(SA5),

：.AP=BQ.

(2)在等邊△ABC中，AC=BC,NACB=60°,

由旋轉(zhuǎn)可得，CP=CQ,NPCQ=60°,

ZACB^ZPCQ,

：.ZACP-NPCB=ZBCQ-NPCB,即ZACP=ZBCQ,

.?.△ACP/△BCQ(SAS),

：.AP=BQ,ZCBQ^ZCAP=9Q°:

：.BQ=AP=AC=BC,

\"AP=AC,NC4P=90°,

：.ZBAP=30°,NABP=NAPB=75°,

AZCBP^ZABC+ZABP=135°,

：.ZCBD=45°,

：.ZQBD^45Q,

ZCBD=ZQBD,即BD平分ZCBQ,

：.BDLCQ且點(diǎn)。是CQ的中點(diǎn)，即直線PB垂直平分線段CQ.

（3）①當(dāng)點(diǎn)Q在直線/上方時(shí)，如圖所示，延長(zhǎng)8。交/于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)Q作。于點(diǎn)

F,

由題意可得4c=BC,PC=CQ,NPC0=NACB=6O°,

ZACP^ZBCQ,

：./^APC^/^BCQ(SAS),

：.AP=BQ,/CBQ=NCAP=90°,

；NCAB=N4BC=60°,

：.ZBAE=ZABE=30°,

'：AB=AC=4,

：.AE=BE=^^-,

3

；.NBEF=60°,

設(shè)AP=f,則8。=7,

：.EQ=^&-t,

3___

在對(duì)△￡■尸。中，。尸=退32=返(生巨-/),

223__

，SZV4PQ=LP?。尸=返，即上［返f)=返，

242234

解得片遂或『返.即AP的長(zhǎng)為?或返.

33

②當(dāng)點(diǎn)。在直線/下方時(shí)，如圖所示，設(shè)8Q交/于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)Q作QF，/于點(diǎn)F,

Q

由題意可得AC=BC,PC=CQ,ZPCQ=ZACB=60°,

???ZACP=ZBCQ,

：.（SAS）,

：.AP=BQ,ZCBQ=ZCAP=90°,

VZCAB=ZABC=60°,

??.NBAE=NABE=30°,

AZBEF=120°,ZQEF=60°,

VAB=AC=4,

：.AE=BE=^&,

3

設(shè)AP=m,則BQ=m,

：.EQ=m-

3___

在RtZ\EFQ中，。尸=零￡。=零（機(jī)-^1）,

???SAAPQ=LP.QF=返，即工?/瓜（,〃-?!/1）=返，

242234

解得〃?=冬&叵（巾=2!四二且負(fù)值舍去）.

33

綜上可得，A尸的長(zhǎng)為:居返或的史叵.

33

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用和幾何變換，求相關(guān)線段的長(zhǎng)度和解一元

二次方程是利用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，本題意在加強(qiáng)學(xué)生的圖形與幾何的邏輯推理以

及代數(shù)幾何綜合能力.第（3）問(wèn)中需要根據(jù)點(diǎn)。的位置分類討論，此處屬于易錯(cuò)點(diǎn).

考點(diǎn)卡片

1.規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)

規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo).

2.勾股定理的應(yīng)用

（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，

關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)

用.

（3）常見(jiàn)的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線

段的長(zhǎng)度.

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為

邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和.

③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題.

④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正

整數(shù)的直角三角形的斜邊.

3.梯形

（1）梯形的定義：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形.

梯形中平行的兩邊叫梯形的底，其中較短的底叫上底，不平行的兩邊叫梯形的腰，兩底的距

離叫梯形的高.

（2）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.

（3）直角梯形：有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形.

BH戶M°

4.軸對(duì)稱圖形

（1）軸對(duì)稱圖形的概念：

如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形,

這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱.

(2)軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的

兩部分沿著對(duì)稱軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以是一條，也可以是多條甚至

無(wú)數(shù)條.

(3)常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等.

5.坐標(biāo)與圖形變化-平移

(1)平移變換與坐標(biāo)變化

①向右平移a個(gè)單位，坐標(biāo)P(x,y)nPCx+a,y)

①向左平移〃個(gè)單位，坐標(biāo)P(x,y)nP(x-a,y)

①向上平移人個(gè)單位，坐標(biāo)P(x,y)0P(x,y+b)

①向下平移匕個(gè)單位，坐標(biāo)P(x,y)=P(x,y-b)

(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，把一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上(或減去)一個(gè)整數(shù)m相

應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移。個(gè)單位長(zhǎng)度；如果把它各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加

(或減去)一個(gè)整數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移〃個(gè)單位長(zhǎng)度.(即：

橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減.)

6.中心對(duì)稱圖形

(1)定義

把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°