四川省達州市達州外國語學校2023-2024學年九年級上學期第一次月考數(shù)學試題

四川省達州外國語學校2023-2024學年九年級上學期第一次月考數(shù)學測試題一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程解決此題．【詳解】解：A．由（x-2）2+4=x2，得-4x+8=0，那么（x-2）2+4=x2不是一元二次方程，故不符合題意．B．根據(jù)一元二次方程的定義，x2+2x+2=0是一元二次方程，故符合題意．C．根據(jù)一元二次方程的定義，x2+-3=0不是一元二次方程，而是分式方程，故不符合題意．D．根據(jù)一元二次方程，xy+2=1不是一元二次方程，故不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解決本題的關鍵．2.在下列命題中，正確的是（）A.一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 B.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形C.有一個角是直角的四邊形是矩形 D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形【答案】B【解析】【分析】要找出正確命題，可運用相關基礎知識分析找出正確選項，也可以通過舉反例排除不正確選項，從而得出正確選項．兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形；有一個角是直角的平行四邊形是矩形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．【詳解】解：A、應為兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形，故選項A錯誤，不符合題意；B、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故選項B說法正確，符合題意；C、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故選項C錯誤，不符合題意；D、應為對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故選項D錯誤,不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查平行四邊形、矩形和菱形及正方形的判定與命題的真假辨別，掌握平行四邊形、矩形和菱形及正方形的判定定理是關鍵．3.一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式為（）A.3x2﹣4x+2＝0 B.3x2﹣4x﹣2＝0 C.3x2+4x+2＝0 D.3x2+4x﹣2＝0【答案】B【解析】【分析】將方程整理為一般形式即可．【詳解】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．故選：B．【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)且a≠0）．4.如圖，在菱形中，，點為對角線上一點，為邊上一點，連接、、，若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，然后證明△ABE≌△CBE得到∠BEA=∠BEC=56°，則∠BAE=104°，∠DAE=36°，證明∠EFA=∠EAF=36°，則由三角形外角的性質(zhì)可得∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=40°，∴AB=CB=AD，∠ABE=∠CBE=20°，，∴∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠BEA=∠BEC=56°，∴∠BAE=104°，∴∠DAE=36°，∵AE=FE，∴∠EFA=∠EAF=36°，∴∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°，故選A．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，證明△ABE≌△CBE是解題的關鍵．5.關于的一元二次方程的一個根是，的值為（）A. B.3 C.15 D.35【答案】C【解析】【分析】將方程的解代入，得到關于m的一元一次方程，求解即可．【詳解】解：將代入，可得，解得，故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程的根，掌握“有解必代入”的原則是解題的關鍵．6.如圖，在正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點E是邊BC上的一個動點，OE⊥OF，交邊AB于點F，點G，H分別是點E，F(xiàn)關于直線AC的對稱點，點E從點C運動到點B時，圖中陰影部分面積的大小變化是（）A.先增大后減小 B.先減小后增大C.一直不變 D.不確定【答案】C【解析】【分析】連接BD，證明△FOB≌△EOC，同理得到△HOD≌△GOC，即可得到答案．【詳解】解：連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，，∴∠BOЕ+∠EOC=90°，∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠FOB=90°，∴∠FOB=∠EOC，在△FOB和△EOC，，∴△FOB≌△EOC，同理，△HOD≌△GOC，∴圖中陰影部分的面積=△ABD的面積=正方形ABCD的面積．∴陰影部分面積的大小一直不變．故選：C．【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵．7.已知關于的方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義結(jié)合根的判別式△≥0，即可得出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵關于x的方程（m-1）x2-2x+1=0有兩個實數(shù)根，∴，解得：m≤2且m≠1．故選：D．【點睛】本題考查了根的判別式、一元二次方程的定義以及解一元一次不等式組，牢記“當△≥0時，方程有兩個實數(shù)根”是解題的關鍵．8.如圖所示，將一矩形紙片沿AB折疊，已知，則（）A48° B.66° C.72° D.78°【答案】C【解析】【分析】由折疊及矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)周角的定義求解即可．【詳解】∵將一矩形紙片沿AB折疊，∴，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關鍵．9.如圖，學校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．若設小道的寬為x米，則陰影部分可合成長為米，寬為米的矩形，利用矩形的面積公式，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解【詳解】解：依題意，得：．故選：C．10.如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．則四邊形EFGH的周長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】證明四邊形EFGH為平行四邊形，作交于點P，交于點K，設，表示出，，，，進一步表示出，，，利用勾股定理即可求出a的值，進一步可求出邊形EFGH的周長．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴，，∵，，∴，，在和中，∴，∴，同理：，∴，∴四邊形EFGH為平行四邊形，作交于點P，交于點K，設，∵，，，，∴，，，，∴，，∴，∵，∴ABKH為矩形，即，∵，，∴，即，解得：，∴四邊形EFGH的周長為：，故選：A.【點睛】本題考查矩形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關鍵是利用求出a的值．二、填空題（本大題共6個小題，每題3分，共18分）11.如圖，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，則的周長是________．【答案】15【解析】【分析】由四邊形ABCD是菱形，即可得AB=BC=CD=AD，又由∠A=60°，AB=5，即可證得是等邊三角形．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠A=60°，AB=5，∴是等邊三角形，∴AB=AD=BD=5，∴的周長是：．故答案為：15．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，三角形周長，解題的關鍵是證明是等邊三角形．12.已知、是方程的根，則式子的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義，根與系數(shù)的關系即可求解．【詳解】解：∵、是方程的根，∴，即，，故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，根與系數(shù)的關系，掌握以上知識是解題的關鍵．一元二次方程根與系數(shù)的關系：若是一元二次方程的兩根，，．一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解．13.如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E為BC的中點，F(xiàn)為DE上一動點，P為AF中點，連接PC，則PC的最小值是______．【答案】【解析】【分析】取AD中點H，連接BH，CH，設BH與AE的交點為O，連接CO，可證四邊形DEBH是平行四邊形，可得，由三角形中位線定理可得，可得點P在BH上，當CP⊥BH時，PC有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，取AD中點H，連接BH，CH，設BH與AE的交點為O，連接CO，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，，，∵點E是BC中點，點H是AD中點，∴AH＝CE＝DH＝BE＝AB=CD=2，∴四邊形BEDH是平行四邊形，，，∴，∵點P是AF中點，點H是AD的中點，∴，∴點P在BH上，∵，∴，∴，∵點P在BH上，∴當CP⊥BH時，此時點P與H重合，PC有最小值，在Rt△CDH中，∴PC的最小值為，故答案為:．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，確定點P的運動軌跡是本題的關鍵．14.小明用直接降次法解方程時，得出一元一次方程，則他漏掉的另一個方程為____．【答案】x-4=-（5-2x）【解析】【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)化思想、直接開平方法解答．【詳解】解：開平方，得x-4=±（5-2x），∴x-4=5-2x或x-4=-（5-2x），∴他漏掉的另一個方程為x-4=-（5-2x），故答案為：x-4=-（5-2x）．【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握直接開平方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵．15.如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，AE⊥BC于點E，AE交BD于點F，AC＝DF，CE＝5，BE＝12，則AE＝_____．【答案】20【解析】【分析】首先證明DG=BG=AG，CG=GF，設CG=GF=x，AG=BG=DG=y．構建方程組即可解決問題．【詳解】解：∵CD=CB，∠ACB=∠ACD，CA=CA，∴△CAB≌△CAD（SAS），∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠DAC=∠BAC=45°，∵CD=CB，AD=AB，∴AC垂直平分線段BD，∴DG=BG=AG，∵AC=DF，∴CG=GF，∵AE⊥BC，∴∠AEC=∠BGC=∠AGF=90°，∴∠BCG+∠CBG=90°，∠BCG+∠FAG=90°，∴∠CBG=∠FAG，∵BG=AG，∴△BGC≌△AGF（ASA），∴AF=BC=CE+BE=5+12=17，設CG=GF=x，AG=BG=DG=y．①∵②①×12得到：172×12=12x2+12y2，②×17得到172×12=17y2-17xy，∴12x2+12y2=17y2-17xy，∴12x2+17xy-5y2=0，∴（3x+5y）（4x-y）=0，∵3x+5y≠0∴y=4x，∴12×17=4x×3x，∴x2=17，連接CF，可得CF2=2x2=34，．故答案為：20．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，根據(jù)勾股定理建立方程組是解題的關鍵．16.如圖，點E在邊長為5的正方形ABCD的邊CD上，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到△ABF的位置，連接EF，過點A作FE的垂線，垂足為點H，與BC交于點G．若，則CE的長為__________．【答案】【解析】【分析】連接，先根據(jù)正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得點在同一條直線上，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得垂直平分，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，然后設，則，，在中，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，連接，四邊形是邊長為5的正方形，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，旋轉(zhuǎn)后，點的對應點是點，點的對應點是點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，垂直平分，，，，設，則，又，點在同一條直線上，，在中，，即，解得，即，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的三線合一、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關鍵．三、解答題（本題共9個小題，共72分）17.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）；（2）．（3）；（4）．【答案】（1）或（2）x=3或（3）或（4）或【解析】【分析】（1）利用配方法即可解得；（2）利用因式分解法即可解得；（3）利用配方法即可解得；（4）利用一元二次方程因式分解法即可解得．【小問1詳解】解：解得：．【小問2詳解】解：

或解得：或．【小問3詳解】解：配方得：即

開方得：

解得：或．【小問4詳解】解：則或解得：或．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法以及配方法是解題的關鍵．18.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，CB＝CD，點E是CD上一點，連接BE交AC于點F，連接DF（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）試探究BE滿足什么條件時，∠EFD＝∠BCD，并說明理由．【答案】（1）見解析（2）當BE⊥CD時，∠EFD＝∠BCD，理由見解析【解析】【分析】（1）首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，由平行線的性質(zhì)可得∠CAD=∠ACD，再根據(jù)等角對等邊可得AD=CD，再由條件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四邊形ABCD是姜形；(2)首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據(jù)BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進而得到∠EFD=∠BCD【小問1詳解】證明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC(SSS)．∴∠BAC＝∠DAC．∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD．∴∠DAC＝∠ACD．∴AD＝CD．∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD．∴四邊形ABCD是菱形．【小問2詳解】解：當BE⊥CD時，∠EFD＝∠BCD．理由：由(1)知四邊形ABCD為菱形，∴∠BCF＝∠DCF．在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF(SAS)．∴∠CBF＝∠CDF．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°．∴∠BCD+∠CBF＝∠EFD+∠CDF＝90°∴∠EFD＝∠BCD．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，同角或等角的余角相等，靈活運用三角形全等的判定及性質(zhì)是解本題的關鍵．19.如圖所示，矩形ABCD的對角線相交于點O，E為邊BC上一點，且，．（1）判斷△AOB的形狀并說明理由．（2）求出的度數(shù)．【答案】（1）等邊三角形，理由見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得，，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，即可求得，可得結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可求，即可求解．小問1詳解】△AOB是等邊三角形，理由如下：∵在矩形ABCD中，∴，．又∵，∴△ABE是等腰直角三角形，∴．又∵，∴．∴△AOB是等邊三角形．【小問2詳解】∵△AOB是等邊三角形，∴，．∴．又∵，∴，∴．∴．∴．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運用這些知識是解題的關鍵．20.已知關于的一元二次方程有，兩個實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若，求及值；（3）是否存在實數(shù)，滿足？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2），（3）存在，或【解析】【分析】（1）由方程根的情況，根據(jù)判別式可得到關于的不等式，則可求得的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關系得，，則可先求出，再求出的值；（3）利用根與系數(shù)的關系得，，則利用求出的值．【小問1詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴，解得：．【小問2詳解】∵關于的一元二次方程有，兩個實數(shù)根，∴，，且，解得：，．【小問3詳解】∵關于的一元二次方程有，兩個實數(shù)根，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，解得：，，∴存在實數(shù)，它的值為或．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判斷式，根與系數(shù)的關系，因式分解法解一元二次方程．一元二次方程中根的判別式為，用符號表示，當大于0時，方程有兩個不相等的實根；當?shù)扔?時，方程有兩個相等的實根；當小于0時，方程無實根．若，是一元二次方程的兩根，則，．21.在平行四邊形ABCD中，點P是AB上一點（不與A、B重合），連接DP交對角線AC于點E，連接BE.（1）如圖1，若∠EBC=∠EPA，EC平分∠DEB，證明：四邊形ABCD為菱形．（2）如圖2，對角線AC與BD交于點O，當P是AB的中點時，請直接寫出與△ADP面積相等的三角形（其中不含以AD為邊的三角形）．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）證明可得結(jié)合平行四邊形可得結(jié)論；（2）由平行四邊形的兩條對角線把平行四邊形的面積四等分，再結(jié)合三角形的中線的性質(zhì)可得答案．【詳解】證明：（1）平行四邊形ABCD，平分平行四邊形ABCD是菱形．（2）平行四邊形ABCD，對角線AC與BD交于點O，為的中點，與△ADP面積相等的三角形（其中不含以AD為邊的三角形）有：【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解題的關鍵．22.奧運會是各個國家彰顯國家實力的舞臺．2022年冬季奧運會和冬季殘奧會兩件賽事在我國首都北京和河北省石家莊市舉行．本次運動會的兩個可愛的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”以滿滿的“未來感”和“中國風”圈粉無數(shù)．某商家購進了兩種類型的冬奧吉祥物紀念品，兩次購進紀念品的情況如下表：進貨批次“冰墩墩”類紀念品（個）“雪容融”類紀念品（個）總費用（元）一1002008000二20030013000（1）求兩種類型的紀念品每個進價各是多少元？（2）在銷售過程中，“冰墩墩”類紀念品因為物美價廉而更受消費者喜歡．為了增大“雪容融”類紀念品的銷售量，商家決定對“雪容融”類紀念品進行降價銷售，當銷售價為每個44元時，每天可以售出20個，每降價1元，每天將多售出5個．請問商家應將“雪容融”類紀念品每個降價多少元時，每天售出此類紀念品能獲利400元？【答案】（1）“冰墩墩”類紀念品進價為20元，“雪容融”類紀念品進價為30元；（2）商家應將“雪容融”類紀念品每個降價4元或6元時，每天售出此類紀念品能獲利400元．【解析】【分析】（1）設“冰墩墩”類紀念品進價為x元，“雪容融”類紀念品進價為y元，根據(jù)兩次進貨情況表，可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)利潤=（每臺實際售價－每臺進價）×銷售量，列出一元二次方程，解之即可得解．【小問1詳解】解：設“冰墩墩”類紀念品進價為x元，“雪容融”類紀念品進價為y元，根據(jù)題意得：，解得：；∴“冰墩墩”類紀念品進價為20元，“雪容融”類紀念品進價為30元；【小問2詳解】解：設商家應將“雪容融”類紀念品每個降價m元時，每天售出此類紀念品能獲利400元,根據(jù)題意得：，∴，即解得：，；∴商家應將“雪容融”類紀念品每個降價4元或6元時，每天售出此類紀念品能獲利400元．【點睛】本題主要考查二元一次方程組及一元二次方程的實際應用，理解題意準確抓住相等關系，據(jù)此列出方程或方程組是解題的關鍵．23.明遇到這樣一個問題：如圖①，在四邊形ABCD中，∠B＝40°，∠C＝50°，AB＝CD，AD＝2，BC＝4，求四邊形ABCD的面積．（1）經(jīng)過思考小明想到如下方法：以BC為邊作正方形BCMN，將四邊形ABCD繞著正方形BCMN的中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°，而分別得到四邊形FNBA，EMNF，DCME，則四邊形ADEF是________．（填一種特殊的平行四邊形）∴S四邊形ABCD＝________．（2）解決問題：如圖③，在四邊形ABCD中，∠BAD＝140°，∠CDA＝160°，AB＝CD，AD＝6，BC＝12，則四邊形ABCD的面積為多少？【答案】（1）正方形，3（2）S四邊形ABCD＝【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，證明四邊形ADEF是菱形，設正方形BCMN的中心為點O，連接OA、OD、OF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，可得出，則，根據(jù)正方形的判定條件得到ADEF是正方形，根據(jù)求解即可；（2）以BC為邊作等邊三角形BCM，將四邊形ABCD繞著等邊三角形BCM的中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，240°，而分別得到四邊形MEAB，EMCD，則AD＝AE＝ED，根據(jù)S四邊形ABCD＝（S△BCM－S△ADE）計算即可；【小問1詳解】如圖，設正方形BCMN的中心為點O，連接OA、OD、OF，∵以BC為邊作正方形BCMN，將四邊形ABCD繞著正方形BCMN的中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°，而分別得到四邊形FNBA，EMNF，DCME，∴，，，∴四邊形ADEF是菱形，，∴，∴菱形ADEF是正方形，∴；故答案是：正方形；3；【小問2詳解】解：如圖，以BC為邊作等邊三角形BCM，將四邊形ABCD繞著等邊三角形BCM的中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，240°，而分別得到四邊形MEAB，EMCD，則AD＝AE＝ED，∴△ADE是等邊三角形，∴S四邊形ABCD＝（S△BCM－S△ADE），∵AD＝6，BC＝12，∴易得△BCM和△ADE高分別為6和3．∴S△BCM＝×12×6＝36，S△ADE＝×6×3＝9．∴S四邊形ABCD＝×（36－9）＝9．【點睛】本題主要考查了正方形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，準確計算是解題的關鍵．24.如圖，在長方形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分別從A、B、C、D出發(fā)沿AD、BC、CB、DA方向在長方形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時即停止，已知在相同時間內(nèi)，若BQ＝xcm（x≠0），則AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．（1）當x為何值時，點的運動停止？（2）點P與點N可能相遇嗎？點Q與點M呢？請通過計算說明理由．（3）當x為何值時，以P、Q、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？【答案】（1）cm（2）點P與點N可能相遇，點Q與點M不可能相遇，理由見解析（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意知，當點N運動到終點時，運動停止；（2）當點P與點N相遇時，2x+x2=20，解得x=或（舍去），當點Q與點M相遇時，x+3x=20，解得x=5＞2，故舍去；（3）首先計算可得點Q只能在點M的左側(cè)，然后分當點P在點N的左側(cè)或點P在點N的右側(cè)兩種情形，分別根據(jù)PN=QM，列方程可解決問題．【小問1詳解】解：由題意得x2=20，∴x=2，∴當x為2時，點的運動停止；【小問2詳解】解：當點P與點N相遇時，2x+x2=20，解得x=或（舍去），當點Q與點M相遇時，x+3x=20，解得x=5，當x=5時，x2=25＞20，∴點Q與點M不能相遇；【小問3詳解】解：∵當點N到達A點時，x2=20，∴x=2，∴BQ=2cm，CM=6cm，∵BQ+CM=8＜20，∴此時M點與Q點還未相遇，∴點Q只能在點M的左側(cè)，①如圖，當點P在點N的左側(cè)時，20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x=0（舍去）或x=2，∴當x=2時，以P、Q、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形；②如圖，當點P在點N的右側(cè)時，20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x=4或-10（舍去），∴當x=4時，以P、Q、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，綜上，當x=2或4時，以P、Q、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，化動為靜，運用分類討論思想是解題的關鍵．25.綜合與實踐【問題情境】：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點，，EP與正方形的外角的平分線交于P點．試猜想AE與EP的數(shù)量關系，并加以證明；（1）【思考嘗試】同學們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點