導(dǎo)數(shù)和矢量運(yùn)算

關(guān)于導(dǎo)數(shù)和矢量運(yùn)算一、定積分微分和積分是對(duì)立面的統(tǒng)一。1.1.4

積分[例]

物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，路程＝速度時(shí)間，即s＝v

t。在v-t圖中，路程s為陰影的面積。第2頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例]

若物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，速度v＝v(t),

可以把t分成許多均等小段

t，只要

t充分小，每段時(shí)間中的速率近似看成是不變的，把各小段時(shí)間內(nèi)走過的路程相加，即近似為總路程，曲折的梯形曲線下的面積即近似為總路程。當(dāng)時(shí),右邊的極限值就是所求總路程：第3頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天上式可用積分形式表達(dá)：定積分的上、下限、被積函數(shù)、積分變量即定積分形式。定積分的一般形式：

幾何意義:從0到t

這段時(shí)間中v(t)曲線下的面積。第4頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、基本定理如果被積函數(shù)f(x)是某一個(gè)函數(shù)

(x)的導(dǎo)數(shù)，f(x)＝’

(x)，則在x＝a

到x＝b

區(qū)間內(nèi)f(x)對(duì)x的定積分等于

(x)在這區(qū)間內(nèi)的增量。

(x)稱為原函數(shù)

積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算第5頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天求[解][例]找的原函數(shù)：因?yàn)楣?三、不定積分不定積分是不定出上、下限的積分，可寫成第6頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天式中C

為常量，可根據(jù)具體問題所給的條件定出此常量已知曲線的切線斜率為若曲線經(jīng)過點(diǎn)求此曲線方程。[例](1)求曲線方程；[解](1)設(shè)曲線方程為已知故第7頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天不同的C

對(duì)應(yīng)不同的曲線。曲線經(jīng)過點(diǎn)把代入曲線方程，則曲線方程為:第8頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、基本積分公式第9頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、矢量定義二、矢量的合成附錄1.2矢量第10頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、矢量定義

物理量可以按其是否具有空間方向性來(lái)分類。

矢量的大小—矢量的模?模等于1的矢量—單位矢量?需要以大小和方向表示的物理量—矢量，如：速度、加速度、力。?只有大小而無(wú)方向的量—標(biāo)量，如：溫度、質(zhì)量、體積。第11頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天用圖表示矢量—用有向線段表示：長(zhǎng)度表示其大小，箭頭表示其方向。矢量平移時(shí)大小和方向不變。第12頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、矢量的合成1.三角形法則：余弦定理

幾何關(guān)系

第13頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天若兩個(gè)以上的矢量相加

所有的矢量首尾相連第14頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.解析法將矢量沿直角坐標(biāo)軸分解，各分矢量叫分量

只需用帶正號(hào)或負(fù)號(hào)的代數(shù)值表示

第15頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、矢量的標(biāo)積(點(diǎn)乘)兩矢量相乘得到一個(gè)標(biāo)量

標(biāo)積。其定義為：投影第16頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)標(biāo)積定義

推論：(3)

若兩矢量垂直

(4)

直角坐標(biāo)系的單位矢量具有正交性

第17頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、矢量的矢積(叉乘)兩矢量相乘得到一個(gè)矢量

矢積。寫成：若則根據(jù)矢積定義

推論：

規(guī)定：若則第18頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天五、矢量的導(dǎo)數(shù)設(shè)矢量為時(shí)間t的函數(shù)，規(guī)定其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為：在直角坐標(biāo)中，為常矢量

第19頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天一般情況下有以下性質(zhì)：第20頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天六、矢量的積分一般采用直角坐標(biāo)分量式計(jì)算。

矢量的線積分：矢量的面積分,就是計(jì)算矢量通過曲面的通量N:在正法線方向的分量

第21頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、函數(shù)有兩個(gè)互相聯(lián)系的變量x和y，每當(dāng)x取了某一數(shù)值后，按照一定的規(guī)律就可以確定y的值，就稱y是x的函數(shù)，記作y＝f（x）或

y＝y(tǒng)（x），x為自變量，y叫因變量。

自由落體運(yùn)動(dòng):物體從離地面為h0高度處開始下落，則物體與地面的距離依賴于時(shí)間

t

的規(guī)律是：1.1.1

導(dǎo)數(shù)第22頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天這里t

為自變量，h為因變量，也可記為：二、極限當(dāng)自變量x無(wú)限趨于某一數(shù)值x0(記作x

x0

)時(shí)，函數(shù)f(x)的數(shù)值無(wú)限趨于某一確定的數(shù)值a，則a叫做x

x0

時(shí)函數(shù)f(x)的極限值，記作：第23頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天

在三角函數(shù)中，當(dāng)x無(wú)限向正向增大時(shí)，

arctanx無(wú)限接近，用極限表示：類似有：三、導(dǎo)數(shù)當(dāng)自變量x由一個(gè)數(shù)值x0變到另一個(gè)數(shù)值x1

時(shí)，后者減去前者叫作該自變量的增量，記作函數(shù)

x＝x1－x0.第24頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天增量可正可負(fù)，

y與自變量的增量

x密切相關(guān)，兩者之比：稱增量比。與此對(duì)應(yīng)，因變量y的數(shù)值由y0＝

f(x0)變到

y1＝

f(x1)，增量為：第25頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天存在，則該極限就稱為函數(shù)f(x

)在x點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為，f'(x

)或y'

。定義：如果極限四、導(dǎo)數(shù)的意義(1)導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)(而不是一個(gè)區(qū)間里)的變化率，物理中的瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度即導(dǎo)數(shù)的例子。第26頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)

幾何意義：函數(shù)的曲線上任意一點(diǎn)的切線的

斜率，就是函數(shù)在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在曲線上取一點(diǎn)A，A'是曲線上另一點(diǎn)，割線AA'

和x

軸的夾角記為

。當(dāng)A'點(diǎn)沿著曲線趨近于A時(shí)，割線AA’趨近于某一極限位置AT，顯然，直線AT就是曲線在A點(diǎn)的切線，AT與x

軸所成的夾角

即為變角

的極限。導(dǎo)數(shù)的幾何意義第27頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天

曲線上橫坐標(biāo)為x0的一點(diǎn)A處的切線斜率就是函數(shù)

f(x

)在x0處的導(dǎo)數(shù)值f'(x0)。第28頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算舉例1.1.2

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求[解]第29頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天求及[解]當(dāng)時(shí)，

第30頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、常用初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式第31頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則以下設(shè)u,v為x的函數(shù)，且導(dǎo)數(shù)u’,v’存在(1)和（差）的導(dǎo)數(shù)，由極限的加法法則：(2)積的導(dǎo)數(shù)：(3)商的導(dǎo)數(shù)：第32頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天(4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則，設(shè)y＝f(v)，v＝

(x)

均有導(dǎo)數(shù)，則或求[解][例1]第33頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天求[解][例2]求[解][例3]第34頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天求雙曲線在任意點(diǎn)的切線斜率。[解][例4]切線斜率為，在方程中逐項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)于是，此即曲線在坐標(biāo)為(x,y)的點(diǎn)的切線斜率。

第35頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、微分概念定義：若f(x)

在x處有導(dǎo)數(shù)，則稱f'(x)dx

為f(x)在

x處的微分，記為dy＝f'(x)dx

。P，C是曲線上兩點(diǎn)，1.1.3

單變量函數(shù)的微分二、微分的幾何意義函數(shù)微分自變量微分導(dǎo)數(shù)

微商

第36頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)微分定義，可直接由導(dǎo)數(shù)公式求微分，相應(yīng)地，微分運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則相同，如：三、微分運(yùn)算法則(2)(1)函數(shù)在

x處的微分dy就是曲線在x點(diǎn)的切線的縱坐標(biāo)的增量。第37頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天(5)

若