2024屆湖南省衡陽市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2湖南省衡陽市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以.故選：A.2.下列函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，A項，在中，，，最小正周期為，當(dāng)單調(diào)遞增時，，解得：，∴在上不單調(diào)遞減，A錯誤；B項，在中，，最小正周期為，當(dāng)單調(diào)遞增時，，解得：∴在上不單調(diào)遞減，B錯誤；C項，在中，，周期,∴函數(shù)在，即上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，C正確；D項，在中，，故D錯誤.故選：C.3.某旅游團(tuán)計劃去湖南旅游，該旅游團(tuán)從長沙?衡陽?郴州?株洲?益陽這5個城市中選擇4個（選擇的4個城市按照到達(dá)的先后順序分別記為第一站?第二站?第三站?第四站），且第一站不去株洲，則該旅游團(tuán)四站的城市安排共有（）A.96種 B.84種 C.72種 D.60種〖答案〗A〖解析〗因為第一站不去株洲，所以第一站可以從長沙?衡陽?郴州?益陽這4個城市中選擇1個，共有4種選擇，余下的三站可以從剩下的4個城市中選擇3個，所以該旅游團(tuán)四站的城市安排共有種.故選：A.4.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，是方程的兩個不同的復(fù)數(shù)根，則的值為（）A.1 B. C.2 D.或2〖答案〗D〖解析〗由，得.因為，所以或，當(dāng)或，；當(dāng)或，.故選：D.5.星等是衡量天體光度的量.為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕佮斯在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個概念，例如：2等星的星等值為2.已知兩個天體的星等值和它們對應(yīng)的亮度滿足關(guān)系式，則（）A.3等星的亮度是0.5等星亮度的倍B.0.5等星的亮度是3等星亮度的倍C.3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍D.0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍〖答案〗D〖解析〗本題考查對數(shù)運(yùn)算的實際應(yīng)用，考查應(yīng)用意識與邏輯推理的核心素養(yǎng).當(dāng)時，，則，則，所以0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍，故D正確.故選：D.6.已知是拋物線上的兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，，點(diǎn)到軸的距離為，則的最小值為（）A.9 B.10 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時，等號成立，所以的最小值為9，故選：A7.若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，則曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A.4 B.6 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，設(shè)，則，所以為R上的增函數(shù)，因為，所以.又，則，所以曲線在點(diǎn)A處的切線方程為，令，得，令，得，則所求三角形的面積為.故選：B.8.在正三棱臺中，，二面角為，則該三棱臺的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在正三棱臺中，令的中點(diǎn)分別為，連接，則，于是二面角的平面角為，即，設(shè)上底面與下底面的中心分別為，連接，則，過點(diǎn)作，垂足為，則，則，則，所以該三棱臺的體積為.故選：B.二?多選題9.已知半徑為的圓的圓心在直線上，且圓與直線相切，則圓的圓心坐標(biāo)可能為（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗依題意可設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，則，解得或，所以圓的圓心坐標(biāo)為或.故選：AC.10.若三個不同的平面兩兩相交，且，則交線的位置關(guān)系可能是（）A.重合 B.相交于一點(diǎn) C.兩兩平行 D.恰有兩條交線平行〖答案〗ABC〖解析〗如圖，作出一個長方體.對于A項，可把平面依次取為平面，它們兩兩相交于共同的交線,故A項正確；對于B項，可把平面依次取為平面，此時，,,,而易得三條交線交于同一點(diǎn)D，故B項正確；對于C項，可把平面依次取為平面,此時，,,,而易得三條交線兩兩平行，故C項正確；對于D項，可把平面依次取為平面,此時，,,,若只有因平面，而平面，則平面,又平面,而平面平面=，則有,即交線的位置關(guān)系不可能是恰有兩條交線平行，故D項錯誤.故選：ABC.11.已知平行四邊形的面積為，且，則（）A.的最小值為2B.當(dāng)在上的投影向量為時，C.的最小值為D.當(dāng)在上的投影向量為時，〖答案〗ACD〖解析〗因為，所以.設(shè)，則，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，A正確.因為，所以，所以,,,，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為,C正確.如圖，過點(diǎn)作，垂足為，則在上的投影向量為，當(dāng)在上的投影向量為時，.因為，所以，得，則,故B錯誤，D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)），則必有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對A、B、D：由條件可知，因為，所以，且，可得，所以，所以A、B、D均正確.對C：取，則，此時滿足是定義在上的奇函數(shù)，，所以未必成立，故C錯誤.故選：ABD.三?填空題13.若，則__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，因為，所以，即.故〖答案〗為：.14.已知橢圓的周長，其中分別為橢圓的長半軸長與短半軸長.現(xiàn)有如圖所示的橢圓形鏡子，其外輪廓是橢圓，且該橢圓的離心率為，長軸長為，則這面鏡子的外輪廓的周長約為__________cm.（取3.14，結(jié)果精確到整數(shù)）〖答案〗211〖解析〗因為，所以,因為長軸長為，所以，故.故〖答案〗為：211.15.某中學(xué)高一?高二?高三學(xué)生人數(shù)比例為，假設(shè)該中學(xué)高一?高二?高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率分別為，若從該中學(xué)三個年級的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率不大于0.233，已知該中學(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗若從該中學(xué)三個年級的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率為，解得.因為該中學(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率，所以.故的取值范圍是.故〖答案〗為：.16.若為正整數(shù)，記集合中的整數(shù)元素個數(shù)為，則數(shù)列的前62項和為__________.〖答案〗3841〖解析〗因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，因為，所以，又，所以，則；故數(shù)列的前62項和為.四?解答題17.已知某超市銷售的袋裝食用鹽的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且0.15.某次該超市稱量了120袋食用鹽，其總質(zhì)量為的值恰好等于這120袋食用鹽每袋的平均質(zhì)量（單位：）.（1）若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選取2袋，設(shè)這2袋中質(zhì)量不小于的袋數(shù)為，求的分布列；（2）若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選?。檎麛?shù)）袋，記質(zhì)量在的袋數(shù)為，求滿足的的最大值.解：（1）依題意可得，則，的可能取值為，，，所以的分布列為0120.250.50.25（2）因為，所以.依題意可得，所以.因為，所以，又為正整數(shù)，所以的最大值為199.18.在平面四邊形中，平分.（1）證明：與相等或互補(bǔ).（2）若，求內(nèi)切圓的半徑.（1）證明：在中，，在中，.因為平分，所以.又，所以，為三角形的內(nèi)角，所以與相等或互補(bǔ).（2）解：假設(shè)與相等，又平分，則，，，故與全等，則，這與已知矛盾.所以假設(shè)錯誤，與不相等，故與互補(bǔ).在中，，在中，，所以.又，所以，則.所以的面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑的，則，故.19.在數(shù)列中，且.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）設(shè)的前項和為，證明：.證明：（1）因為，所以，所以，所以是公差為1的等差數(shù)列.（2）因為，所以，由（1）知，則.設(shè)數(shù)列的前項和為，則，則，所以，則，所以.20.在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn).（1）求的長；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.依題意可得，解得.所以.（2）因為，所以，所以.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.21.在平面直角坐標(biāo)系中，，動點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡記為曲線.（1）求的方程.（2）已知，過點(diǎn)直線（斜率存在且斜率不為0）與交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，若為圓上的動點(diǎn)，試問是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.解：（1）因為，所以根據(jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實軸長為6的雙曲線的左支.由，得，所以的方程為.（2）由題意可設(shè)的方程為，設(shè)，聯(lián)立，得，滿足，則.直線，直線，聯(lián)立與，得，解得，故點(diǎn)在定直線上.因為圓的圓心到直線的距離為，所以的最小值為.22.已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時，對恒成立.（2）若存在，使得，比較與大小，并說明理由.（1）證明：設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，，所以為增函數(shù)，所以，所以，因為，所以，當(dāng)時，，所以，所以在上為增函數(shù)，故，即當(dāng)時，對恒成立.（2）解：，證明如下：不妨設(shè)，由，得，要證明，只需證，即證，即證，設(shè)函數(shù)，則，（方法一）設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，所以，由（1）可知，所以，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，則，從而得證.（方法二）設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以，所以，因為此連不等式的兩個等號的取等條件不同，所以，從而，所以，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，則，從而得證.湖南省衡陽市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以.故選：A.2.下列函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，A項，在中，，，最小正周期為，當(dāng)單調(diào)遞增時，，解得：，∴在上不單調(diào)遞減，A錯誤；B項，在中，，最小正周期為，當(dāng)單調(diào)遞增時，，解得：∴在上不單調(diào)遞減，B錯誤；C項，在中，，周期,∴函數(shù)在，即上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，C正確；D項，在中，，故D錯誤.故選：C.3.某旅游團(tuán)計劃去湖南旅游，該旅游團(tuán)從長沙?衡陽?郴州?株洲?益陽這5個城市中選擇4個（選擇的4個城市按照到達(dá)的先后順序分別記為第一站?第二站?第三站?第四站），且第一站不去株洲，則該旅游團(tuán)四站的城市安排共有（）A.96種 B.84種 C.72種 D.60種〖答案〗A〖解析〗因為第一站不去株洲，所以第一站可以從長沙?衡陽?郴州?益陽這4個城市中選擇1個，共有4種選擇，余下的三站可以從剩下的4個城市中選擇3個，所以該旅游團(tuán)四站的城市安排共有種.故選：A.4.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，是方程的兩個不同的復(fù)數(shù)根，則的值為（）A.1 B. C.2 D.或2〖答案〗D〖解析〗由，得.因為，所以或，當(dāng)或，；當(dāng)或，.故選：D.5.星等是衡量天體光度的量.為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕佮斯在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個概念，例如：2等星的星等值為2.已知兩個天體的星等值和它們對應(yīng)的亮度滿足關(guān)系式，則（）A.3等星的亮度是0.5等星亮度的倍B.0.5等星的亮度是3等星亮度的倍C.3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍D.0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍〖答案〗D〖解析〗本題考查對數(shù)運(yùn)算的實際應(yīng)用，考查應(yīng)用意識與邏輯推理的核心素養(yǎng).當(dāng)時，，則，則，所以0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍，故D正確.故選：D.6.已知是拋物線上的兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，，點(diǎn)到軸的距離為，則的最小值為（）A.9 B.10 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時，等號成立，所以的最小值為9，故選：A7.若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，則曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A.4 B.6 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，設(shè)，則，所以為R上的增函數(shù)，因為，所以.又，則，所以曲線在點(diǎn)A處的切線方程為，令，得，令，得，則所求三角形的面積為.故選：B.8.在正三棱臺中，，二面角為，則該三棱臺的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在正三棱臺中，令的中點(diǎn)分別為，連接，則，于是二面角的平面角為，即，設(shè)上底面與下底面的中心分別為，連接，則，過點(diǎn)作，垂足為，則，則，則，所以該三棱臺的體積為.故選：B.二?多選題9.已知半徑為的圓的圓心在直線上，且圓與直線相切，則圓的圓心坐標(biāo)可能為（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗依題意可設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，則，解得或，所以圓的圓心坐標(biāo)為或.故選：AC.10.若三個不同的平面兩兩相交，且，則交線的位置關(guān)系可能是（）A.重合 B.相交于一點(diǎn) C.兩兩平行 D.恰有兩條交線平行〖答案〗ABC〖解析〗如圖，作出一個長方體.對于A項，可把平面依次取為平面，它們兩兩相交于共同的交線,故A項正確；對于B項，可把平面依次取為平面，此時，,,,而易得三條交線交于同一點(diǎn)D，故B項正確；對于C項，可把平面依次取為平面,此時，,,,而易得三條交線兩兩平行，故C項正確；對于D項，可把平面依次取為平面,此時，,,,若只有因平面，而平面，則平面,又平面,而平面平面=，則有,即交線的位置關(guān)系不可能是恰有兩條交線平行，故D項錯誤.故選：ABC.11.已知平行四邊形的面積為，且，則（）A.的最小值為2B.當(dāng)在上的投影向量為時，C.的最小值為D.當(dāng)在上的投影向量為時，〖答案〗ACD〖解析〗因為，所以.設(shè)，則，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，A正確.因為，所以，所以,,,，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為,C正確.如圖，過點(diǎn)作，垂足為，則在上的投影向量為，當(dāng)在上的投影向量為時，.因為，所以，得，則,故B錯誤，D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)），則必有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對A、B、D：由條件可知，因為，所以，且，可得，所以，所以A、B、D均正確.對C：取，則，此時滿足是定義在上的奇函數(shù)，，所以未必成立，故C錯誤.故選：ABD.三?填空題13.若，則__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，因為，所以，即.故〖答案〗為：.14.已知橢圓的周長，其中分別為橢圓的長半軸長與短半軸長.現(xiàn)有如圖所示的橢圓形鏡子，其外輪廓是橢圓，且該橢圓的離心率為，長軸長為，則這面鏡子的外輪廓的周長約為__________cm.（取3.14，結(jié)果精確到整數(shù)）〖答案〗211〖解析〗因為，所以,因為長軸長為，所以，故.故〖答案〗為：211.15.某中學(xué)高一?高二?高三學(xué)生人數(shù)比例為，假設(shè)該中學(xué)高一?高二?高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率分別為，若從該中學(xué)三個年級的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率不大于0.233，已知該中學(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗若從該中學(xué)三個年級的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率為，解得.因為該中學(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率，所以.故的取值范圍是.故〖答案〗為：.16.若為正整數(shù)，記集合中的整數(shù)元素個數(shù)為，則數(shù)列的前62項和為__________.〖答案〗3841〖解析〗因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，因為，所以，又，所以，則；故數(shù)列的前62項和為.四?解答題17.已知某超市銷售的袋裝食用鹽的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且0.15.某次該超市稱量了120袋食用鹽，其總質(zhì)量為的值恰好等于這120袋食用鹽每袋的平均質(zhì)量（單位：）.（1）若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選取2袋，設(shè)這2袋中質(zhì)量不小于的袋數(shù)為，求的分布列；（2）若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選?。檎麛?shù)）袋，記質(zhì)量在的袋數(shù)為，求滿足的的最大值.解：（1）依題意可得，則，的可能取值為，，，所以的分布列為0120.250.50.25（2）因為，所以.依題意可得，所以.因為，所以，又為正整數(shù)，所以的最大值為199.18.在平面四邊形中，平分.（1）證明：與相等或互補(bǔ).（2）若，求內(nèi)切圓的半徑.（1）證明：在中，，在中，.因為平分，所以.又，所以，為三角形的內(nèi)角，所以與相等或互補(bǔ).（2）解：假設(shè)與相等，又平分，則，，，故與全等，則，這與已知矛盾.所以假設(shè)錯誤，與不相等，故與互補(bǔ).在中，，在中，，所以.又，所以，則.所以的面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑的，則，故.19.在數(shù)列中，且.（1）證