有理數(shù)典型例題

數(shù)怎么不夠用了典型例題例1如果向東走8千米記作＋8千米，向西走5千米記作－5千米，那么以下各數(shù)分別表示什么？〔1〕＋4千米；〔2〕千米；〔3〕0千米解：〔1〕＋4千米表示向東走4千米．〔2〕千米表示向西走千米．〔3〕0千米表示原地未動．說明：〔1〕用正數(shù)和負數(shù)可以表示意義相反的量．〔2〕正數(shù)前面可以加上“＋”號，一般地，正數(shù)前面的“＋”號可省略不寫，但有時為了強調(diào)，習慣上在正數(shù)前面要加上“＋”號．〔3〕0除了表示一個也沒有外，還是正數(shù)與負數(shù)的分界；這里在實際問題中有確定的意義．例2用有理數(shù)表示下面各量．〔1〕如果收入200元記作＋200元，那么如何表示支出100元？〔2〕如果海平面以下100米記作－100米，那么如何表示海平面以上1000米？〔3〕如果向南行100米記作＋100米，那么向北行200米如何表示？〔4〕如果比標準重量重10千克記作＋10千克，那么比標準重量少5克應如何表示？分析該題中每兩個量都是意義相反的兩個量，為了區(qū)別意義相反的量我們應用不同符號的數(shù)來表示．解〔1〕支出100元表示為－100元；〔2〕海平面以上1000米應表示為＋1000米；〔3〕向北行200米表示為－200米；〔4〕比標準重量少5克表示為－5克．注意〔1〕一個量是用正數(shù)表示，還是用負數(shù)表示是人們規(guī)定的，但在表示中也應尊重人們在多年生活中形成的習慣．如：零上溫度一般規(guī)定為正；海平面以上一般規(guī)定為正等；〔2〕正數(shù)前面的“＋”號是可以省略不寫的．例3判斷正誤〔正確的打√，錯誤的打×〕．〔1〕-a一定是負數(shù)．〔〕〔2〕零是自然數(shù)．〔〕〔3〕沒有最小的正有理數(shù)．〔〕解：〔1〕×〔2〕√〔3〕√說明：應緊扣互為相反數(shù)、負數(shù)、零、正有理數(shù)的概念來解此類題，主要是應想到我們已經(jīng)學到了代數(shù)領域了．應時時注意到字母a可能為：負數(shù)、零、正數(shù)．例4〔1〕在知識競賽中，如果＋10表示加10，那么扣20分怎樣表示？〔2〕某人轉動轉盤，如果用＋5表示沿用逆時針方向轉了5圈，那么沿順時針方向轉了12圈怎樣表示？〔3〕在某次乒乓球質量檢測中，一只乒乓球超出標準質量0.02克記作＋0.02，那么－0.03克表示什么？解：〔1〕扣20分記作－20分；〔2〕順時針方向轉了12圈記作－12圈；〔3〕－0.03克表示乒乓球的質量低于標準質量0.03克．說明：通過三個實例說明如何用正負數(shù)表示這種具有相反意義的量．例5把以下各數(shù)填在相應的括號內(nèi)：-16，26，-12，-0.92，，0，，0.1008，-4.95〔思考：小數(shù)是分數(shù)嗎!〕．正數(shù)集合{}；負數(shù)集合{}；整數(shù)集合{}；正分數(shù)集合{}；負分數(shù)集合{}；分析：根據(jù)正數(shù)、負數(shù)、整數(shù)和分數(shù)的定義，嚴格區(qū)別．注意零既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，但是整數(shù)．解：正數(shù)集合{26，，，0.1008，……}；負數(shù)集合{-16，-12，-0.92，-4.95，……}；正分數(shù)集合{，，0.1008，……}；負分數(shù)集合{-0.92，-4.95，……}．說明：用大括號表示集合時，要注意省略號的使用．如“正數(shù)集合”指的是包含所有正數(shù)的一個“集體”，因為是“所有的”，而具體填時僅能填寫一局部，所以后面應加省略號．習題精選一、選擇題1．下面說法中正確的選項是〔〕．A．一個數(shù)前面加上“－”號，這個數(shù)就是負數(shù)B．0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)C．有理數(shù)是由負數(shù)和0組成D．正數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)2．如果海平面以上200米記作＋200米，那么海平面以上50米應記作〔〕．A．－50米B．＋50米C．可能是＋50米，也可能是－50米D．以上都不對3．下面的說法錯誤的選項是〔〕．A．0是最小的整數(shù)B．1是最小的正整數(shù)C．0是最小的自然數(shù)D．自然數(shù)就是非負整數(shù)二、填空題1．如果后退10米記作－10米，那么前進10米應記作________；2．如果一袋水泥的標準重量是50千克，如果比標準重量少2千克記作－2千克，那么比標準重量多1千克應記為________；3．車輪如果逆時針旋轉一周記為＋1，那么順時針旋轉兩周應記為______.三、判斷題１．0是有理數(shù)．〔〕２．有理數(shù)可以分為正有理數(shù)和負有理數(shù)兩類．〔〕３．一個有理數(shù)前面加上“＋”就是正數(shù)．〔〕４．0是最小的有理數(shù)．〔〕四、解答題1．寫出5個數(shù)〔不許重復〕，同時滿足下面三個條件．〔1〕其中三個數(shù)是非正數(shù)；〔2〕其中三個數(shù)是非負數(shù)；〔3〕5個數(shù)都是有理數(shù)．2．如果我們把海平面以上記為正，用有理數(shù)表示下面問題．一架飛機飛行高于海平面9630米；〔2〕潛艇在水下60米深．3．如果每年的12月海南島的氣溫可以用正數(shù)去表示，那么這時哈爾濱的氣溫應該用什么數(shù)來表示？4．某種上市股票第一天跌0.71％，第二天漲1.25％，各應怎樣表示？5．如果海平面以上我們規(guī)定為正，地面的高度是否都可以用正數(shù)為表示？6．一學生參加一次智力競賽，其中考五個題，記分標準是這樣定的，如果答對一題得1分，答錯或不答都扣1分，該生得了3分，問其答對了幾個題？數(shù)軸習題精選一、選擇題1．一個數(shù)的相反數(shù)是它本身，那么這個數(shù)是〔〕A．正數(shù)B．負數(shù)C．0D．沒有這樣的數(shù)2．數(shù)軸上有兩點E和F，且E在F的左側，那么E點表示的數(shù)的相反數(shù)應在F點表示的數(shù)的相反數(shù)的〔〕A．左側B．右側C．左側或者右側D．以上都不對3．如果一個數(shù)大于另一個數(shù)，那么這個數(shù)的相反數(shù)〔〕A．小于另一個數(shù)的相反數(shù)B．大于另一個數(shù)的相反數(shù)C．等于另一個數(shù)的相反數(shù)D．大小不定二、填空題1．如果數(shù)軸上表示某數(shù)的點在原點的左側，那么表示該數(shù)相反數(shù)的點一定在原點的________側；2．任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的________表示；3．與原點的距離是5個單位長度的點有_________個，它們分別表示的有理數(shù)是_______和_______；4．在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)___________．三、判斷題1．在數(shù)軸離原點4個單位長度的數(shù)是4．〔〕2．在數(shù)軸上離原點越遠的數(shù)越大．〔〕3．數(shù)軸就是規(guī)定了原點和正方向的直線．〔〕4．表示互為相反數(shù)的兩個點到原點的距離相等．〔〕四、解答題1．寫出符合以下條件的數(shù)〔1〕大于而小于1的整數(shù)；〔2〕大于－4的負整數(shù)；〔3〕大于－0.5的非正整數(shù)．2．在數(shù)軸上表示以下各數(shù)，并把各數(shù)用“＜”連結起來．〔1〕7，－3.5，0，－4.5，5，－2，3.5；〔2〕－500，－250，0，300，450；〔3〕0.1，，0.9，，1，0．3．找出以下各數(shù)的相反數(shù)〔1〕－0.05〔2〕〔3〕〔4〕－10004．如圖，說出數(shù)軸上A、B、C、D四點分別表示的數(shù)的相反數(shù)，并把它們分別用標在數(shù)軸上．5．在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是－1，假設點B也是數(shù)軸上的點，且AB的長是4個單位長度，那么點B表示的數(shù)是多少？絕對值典型例題例1求以下各數(shù)的絕對值，并把它們用“＞”連起來．，，0，－1.2分析首先可根據(jù)絕對值的意義，即正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0來求出各數(shù)的絕對值．在比擬大小時可以根據(jù)“兩個負數(shù)比擬大小，絕對值大的反而小”比擬出，其他數(shù)的比擬就容易了．解說明：利用絕對值只是比擬兩個負數(shù)．例2求以下各數(shù)的絕對值：〔1〕－38；〔2〕0.15；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕．分析：欲求一個數(shù)的絕對值，關鍵是確定絕對值符號內(nèi)的這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，然后根據(jù)絕對值的代數(shù)定義去掉絕對值符號，(6)題沒有給出a與b的大小關系，所以要進行分類討論．解：〔1〕|-38|＝38；〔2〕|+0.15|＝0.15；〔3〕∵＜0，∴||＝－；〔4〕∵b＞0，∴3b＞0，|3b|＝3b；〔5〕∵＜2，∴-2＜0，|-2|＝-(-2)＝2-；〔6〕說明：分類討論是數(shù)學中的重要思想方法之一，當絕對值符號內(nèi)的數(shù)(用含字母的式子表示時)無法判斷其正、負時，要化去絕對值符號，一般都要進行分類討論．例3一個數(shù)的絕對值是6，求這個數(shù)．分析根據(jù)絕對值的意義我們可以知道，絕對值是6的數(shù)應該是．說明：互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等．例4計算以下各式的值〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕分析這些題中都帶有絕對值符號，我們應先計算絕對值再進行其他計算．解〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕說明：在去掉絕對值之后，要注意能簡算的要簡算，如〔2〕題．例5數(shù)的絕對值大于，那么在數(shù)軸上表示數(shù)的點應在原點的哪側？分析確定表示的點在原點的哪側，其關鍵是確定是正數(shù)還是負數(shù)．由于負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)正數(shù)，所以可確定是負數(shù)．解由于負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，所以負數(shù)的絕對值大于這個負數(shù)；又因為0和正數(shù)的絕對值都是它本身，所以是負數(shù)，故表示數(shù)的點應在原點的左側．說明：只有負數(shù)小于其本身的絕對值，而0和正數(shù)都等于自己的絕對值．絕對值習題精選一、選擇題1．如果，那么〔〕A．B．C．D．2．下面說法中正確的選項是〔〕A．假設，那么B．假設，那么C．假設，那么D．假設，那么3．下面說法中正確的選項是〔〕A．假設和都是負數(shù)，且有，那么B．假設和都是負數(shù)，且有，那么C．假設，且，那么D．假設都是正數(shù)，且，那么4．數(shù)軸上有一點到原點的距離是5，那么〔〕A．這一點表示的數(shù)的相反數(shù)是5B．這一點表示的數(shù)的絕對值是5C．這一點表示的數(shù)是5D．這一點表示的數(shù)是－5二、填空題1．某數(shù)的絕對值是，那么是______或_______；2．絕對值最小的有理數(shù)是________；3．一個數(shù)的相反數(shù)是8，那么這個數(shù)的絕對值是_________；4．數(shù)軸上有一點到原點的距離是3，那么這點所表示的數(shù)的絕對值是________，這點所表示的數(shù)是________．三、判斷題1．有理數(shù)的絕對值總是正數(shù)．〔〕2．有理數(shù)的絕對值就等于這個有理數(shù)的相反數(shù)．〔〕3．兩個有理數(shù)，絕對值大的數(shù)反而小．〔〕4．兩個正有理數(shù)，絕對值大的數(shù)較?。病?．〔〕四、解答題1．求以下各數(shù)的絕對值，并把它們用“＜”連起來－2.37，0，，－385.7．2．把以下一組數(shù)用“＞”連起來－999，，，0.01，．3．計算以下各式的值〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕4．如圖，比擬和的絕對值的大?。?．計算下面各式的值〔1〕－〔－2〕；〔2〕－〔＋2〕．水位的變化典型例題例1小明業(yè)余時間進行飛鏢訓練，上周日訓練的平均成績是8.5環(huán)，而這一周訓練的平均成績變化如下表：正號表示比前一天提高，負號表示比前一天下降〔1〕問本周哪一天的平均成績最高，它是多少環(huán)？〔2〕問本周哪一天的平均成績最低，它是多少環(huán)？〔3〕本周日的成績和上周日的成績比是提高了，還是下降了，其變動的環(huán)數(shù)是多少？分析這題的關鍵問題是求出本周每天訓練的平均環(huán)數(shù)，而要求出一天的平均環(huán)數(shù)只需知道前一天的平均環(huán)數(shù)，而上周日的平均環(huán)數(shù)。解本周訓練每天的平均環(huán)數(shù)如下：周一：8.5＋1＝9.5；周二：9.5＋0.2＝9.9；周三：9.7＋〔－0.5〕＝9.2；周四：9.2＋0.3＝9.5；周五：9.5＋0.2＝9.7；周六：9.7＋〔－0.7〕＝9；周日：9＋〔－0.1〕＝8.9。由此可知本周二和本周五訓練的平均成績最高，是9.7環(huán)，本周日訓練的平均成績最低，是8.9環(huán)，本周日的平均成績和上周日的平均成績比是提高了，提高了〔8.9－8.5＝0.4〕0.4環(huán)。說明：此題中正數(shù)和負數(shù)的標準是以前一天的平均環(huán)數(shù)為標準，而不是都以上周日的平均環(huán)數(shù)為標準；注意在計算類似于這樣的題時首先要把正、負的標準弄清楚。例2下表是一個水文站在雨季在某條河一周內(nèi)水位變化情況的記錄．其中，水位上升用正數(shù)表示，水位下降用負數(shù)表示．注：①表中記錄的數(shù)據(jù)為每天12時的水位與前一天12時水位的變化量．②上周日12時的水位高度為2米．〔1〕請你通過計算說明本周末水位是上升了還是下降了．〔2〕用折線圖表示本周每天的水位，并根據(jù)折線圖說明水位在本周內(nèi)的升降趨勢．分析計算這七天水位變化量的和，看結果是正、還是負，假設是正，說明周末水位上升了；假設是負；說明水位下降了．解〔1〕∴本周末水位下降了．〔2〕如下圖．說明：本例是有理數(shù)的加法和統(tǒng)計圖知識交匯綜合題．水位的變化習題精選1．小胖去年年末稱體重是75千克，今年一月份小胖開始減肥，下面是小胖今年上半年體重的變化情況：負數(shù)表示比上月減少，正數(shù)表示比上月增加〔1〕小胖1～6月中哪個月的體重最重，是多少？〔2〕小胖1～6月中哪個月的體重最輕，是多少？〔3〕小胖6月份的體重較比去年年末是增加了還是減少了，是多少？2．某校初一抽出5名同學測量體重，小明體重是55千克，其他4名同學的體重和小明體重的差數(shù)如下表：比小明重記為正，比小明輕記為負〔1〕哪幾名同學的體重比小明重，重多少？〔2〕哪幾名同學的體重比小明輕，輕多少？〔3〕寫出最重和最輕的兩個同學的體重，并說明這兩名同學之間的體重相差多少？3．某百貨商場的某種商品預計在今年平均每月售出500千克，一月份比預計平均月售出額多10千克記為＋10千克，以后每月銷售量和其前一個月銷售量比擬，其變化如下表〔前11個月〕：〔1〕每月的銷售量是多少？〔2〕前11個月的平均銷售是多少？〔3〕要到達預計的月平均銷售量，12月份還需銷售多少千克？有理數(shù)的乘法典型例題例1計算：〔1〕〔－2〕×〔－7〕；〔2〕．分析〔1〕和〔2〕都是兩個有理數(shù)相乘，我們根據(jù)法那么先來確定乘積的符號，再把絕對值相乘．解〔1〕〔－2〕×〔－7〕＝＋〔2×7〕＝14．〔2〕．說明：〔1〕為了使結果不出現(xiàn)過失，初學者做題時，中間的步驟是必要的．〔2〕我們不必死記法那么，只需知道兩個數(shù)相乘如何確定符號，其他就和小學的乘法一樣了．例2計算：時，應首先〔〕A．把小數(shù)化為分數(shù)，或者把分數(shù)化為小數(shù)B．利用符號法那么確定乘積的符號C．把帶分數(shù)化為假分數(shù)D．考慮怎樣使用乘法結合律或者交換律分析有理數(shù)乘法與小學所學乘法的區(qū)別在于符號，初學者進行有理數(shù)乘法運算最容易出現(xiàn)的錯誤也在于符號，發(fā)生錯誤的同學往往并不是沒記住有理數(shù)乘法的運算法那么，而在于重視符號的意識不強，所以初學者一定要把確定乘積的符號作為大事，放在首位，也就是說，完成有理數(shù)乘法運算要分兩步走：先是確定乘積的符號，然后再計算乘積的絕對值．解選B．說明進行兩個以上有理數(shù)相乘的運算，首先確定乘積的符號，這樣做不但有減少運算錯誤使運算簡化的作用，與此同時，也能起到培養(yǎng)良好的學習習慣的作用．就此題來講，如果不先確定乘積的符號，可能在運算過程中就必須確定三次符號〔頭兩個因數(shù)相乘，積的符號；與第三個因數(shù)相乘，積的符號；與第四個因數(shù)相乘，積的符號〕，這樣就增加了運算步驟．例3計算：分析這類題目只不過比小學做過的題目多了一個符號問題，應該先確定乘積的符號，之后再考慮怎樣運算更簡便些．此題中，由于“81”是9〔第一個因數(shù)的分母〕的倍數(shù)，“72”是12的倍數(shù)，可以使用乘法交換律與結合律簡化運算．解說明：〔l〕如果運算根底較好，那么完全可以不使用交換律與結合律，而把帶分數(shù)化為假分數(shù)，把小數(shù)化為分數(shù)形式后進行約分．〔2〕上面約分過程中沒有把分母中的100與某個分子約分，是為了把結果化為小數(shù)時方便，這是思維靈活性的表現(xiàn)．概括以上內(nèi)容，就是“符號正負先定好，靈活準確做計算”．例4計算：〔1〕；〔2〕17.6×〔－10〕×〔－0.5〕．分析〔1〕和〔2〕是三個以上有理數(shù)相乘，我們可以根據(jù)乘法法那么兩個兩個相乘，最后求出結果，在進行有理數(shù)的乘法時，過去學過的結合律和交換律仍是適用的．解〔1〕〔2〕17.6×〔－10〕×〔