第17講時(shí)變電磁場

大全大全17〔1〕本節(jié)內(nèi)容：1，法拉第電磁感應(yīng)定律2，位移電流3，麥克斯韋方程組4，邊界條件電荷產(chǎn)生電場運(yùn)動(dòng)電荷或者恒定電流產(chǎn)生磁場靜電場和靜磁場獨(dú)立存在，所以可以分開爭論本章將表達(dá)時(shí)變電場和時(shí)變磁場，兩個(gè)場將不在獨(dú)立，而是相互激發(fā)相互轉(zhuǎn)化，構(gòu)成統(tǒng)一的時(shí)變電磁場。和磁場不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且也隨時(shí)間變化。而且變化的磁場要產(chǎn)生電場，時(shí)變的電場也要產(chǎn)生磁場。此時(shí)電場和磁場互為因果，成為統(tǒng)一的電磁場的不行分割的局部。一，法拉第電磁感應(yīng)定律1831年，英國物理學(xué)家法拉第〔Faraday〕總結(jié)大量的試驗(yàn)發(fā)生變化時(shí)，回路中將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，進(jìn)而引起感應(yīng)電流。而且感應(yīng)電動(dòng)勢等于磁通量變化率的負(fù)值。由磁通量增加產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢與電流接通線圈1的開關(guān)K 時(shí)，在線圈2中的感應(yīng)電動(dòng)勢由第2章知道，在導(dǎo)體內(nèi)維持電流必需在導(dǎo)體內(nèi)存在非保守場，我們可以用導(dǎo)體內(nèi)的感應(yīng)電場〔非庫侖電場〕來定義感應(yīng)電動(dòng)勢： C

E dlin假設(shè)空間中同時(shí)存在由靜止電荷產(chǎn)生的保守電場E ，則C總電場EEin

E CEdl (E E)dl E dl C CEdld

in cBdS

C inC dt S上式為電磁場表示的法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式。其中，穿過線圈回路磁通的變化可能是由于：隨時(shí)間變化的磁場穿過〔交鏈〕靜止的線圈，或線圈在均勻磁場中連續(xù)轉(zhuǎn)變普遍適用的公式。假設(shè)線圈是靜止的，則穿過線圈回路的磁通變化只可能是由于磁場隨時(shí)間變化而引起，此時(shí)上式可表示為：

EdlC S

Bt

dS在此之后，英國物理學(xué)家兼數(shù)學(xué)家麥克斯韋〔Maxwell〕質(zhì)，并得出了電場和交變的磁場之間的關(guān)系。他認(rèn)為回路中感應(yīng)電動(dòng)勢是由于交變的磁場激發(fā)了一種非保守的電場的結(jié)果。這個(gè)電場稱為感應(yīng)電場。感應(yīng)電動(dòng)勢與感應(yīng)電場的關(guān)系為： in C

故電磁感應(yīng)定律可表示為：

C St激發(fā)的，不管導(dǎo)體是否存在，只要磁場變化，就要激發(fā)感應(yīng)電場，所以上式不只適合于導(dǎo)體回路，對(duì)任一閉合回路都是成立的。由斯托克斯公式，上式可改寫為：

C S

St E

t

dS0即： S 由于S 任意，所以：

t交變磁場和感應(yīng)電場間的關(guān)系。電場的源有兩種：靜止電荷，時(shí)變磁場變化的磁場會(huì)產(chǎn)生電場，那么變化的電場能否產(chǎn)生磁場呢？答復(fù)是確定的。麥克斯韋把恒定磁場中的安培定律用于時(shí)變場時(shí)消滅了位移電流的假說就是變化的電場產(chǎn)生磁場的結(jié)果?？疾彀才喹h(huán)路定律在時(shí)變場狀況下是否成立。SlSlSi1電容器的位移電流源的兩端，ll為邊界的曲面S 與導(dǎo)線相交，則由安培環(huán)路定律：11l

S1

ii—導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流S

不與導(dǎo)線相交而通過兩極板之間，則：2 Hdl0l這樣磁場強(qiáng)度沿同一閉合路徑的線積分消滅了兩種結(jié)果，這說明安培環(huán)路定律用于時(shí)變場要產(chǎn)生沖突。培環(huán)路定律與時(shí)變條件下的電流連續(xù)性方程之間的沖突。安培環(huán)路定律：

而在時(shí)變場中，電流連續(xù)性方程是：

t二者是沖突的。我們知道，電荷守恒定律是一般正確的，而安培環(huán)路定律在時(shí)變場狀況下必需加以修正。Maxwell認(rèn)為，在時(shí)變狀況下，高斯定理和磁通連續(xù)性原 Dr,t r,t

,t

S Br,t 0

Br,tdS0S這樣電流連續(xù)性方程可寫為：t

t

0大全大全 DJt0即： 0

但矢量 t的散度等于0，假設(shè)用此矢量代替安培環(huán)路定律中的，即得：

t大全大全D這樣，它與電流連續(xù)性方程就是相容的了。式中t稱為位移電流密度，其單位為〔A/m2。引入位移電流之后，一開頭的例中的沖突也就不復(fù)存在，由于：

t

t

dSidl S2 S2在兩極板之間，電流以位移電流的形式存在，從而保持了電流的連續(xù)性。上式還說明，變化的電場也將激發(fā)磁場。麥克斯韋依據(jù)電場和磁場相互激發(fā)，預(yù)言了電磁波的存在，這一預(yù)言在后來得到了試驗(yàn)的證明。磁場可以由電流來產(chǎn)生，也可以由變化的電場產(chǎn)生。例 計(jì)算銅中的位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度的比值。設(shè)銅中的電場為E0

sin

銅的電導(dǎo)率 5.80

s/m, 。0J EEc

sintJ

E

costd t

t 01Jd

109

9.61019fJ 5.8107c例：證明通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流的總量為零。HJDt可知，通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流為J

dS

(H)dS S c

t S(H)dS(H)dV0S V三，麥克斯韋方程組1862變的電場也能產(chǎn)生磁場。這說明白電場與磁場之間的嚴(yán)密聯(lián)系，二者相互依存，又相互制約，成為統(tǒng)一的電磁場的兩個(gè)方面。上述兩個(gè)方程構(gòu)成了Maxwell方程組的核心，同時(shí)麥克斯是成立的，它們和上述二方程組成麥克斯韋方程組：H

t Et B0 D對(duì)應(yīng)的積分形式為：

t tC

J S

dS

d

dC dtSS

0 DdSS

dVQV在各向同性的線性媒質(zhì)中，各場量之間的關(guān)系是：

——媒質(zhì)的本構(gòu)方程或稱電磁場的關(guān)心方程從以上方程不難看出，前面爭論過的靜電場，恒定電場和d 0恒定磁場的根本方程都不過是Maxwell方程組在dt 時(shí)的特例。Maxwell方程組的正確性已為試驗(yàn)所證明，它適用于描述全部的宏觀電磁現(xiàn)象，包括運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中的電磁現(xiàn)象。它構(gòu)成了宏觀電磁理論的框架，電磁問題的求解最終都可歸結(jié)為求Maxwell麥克斯韋方程的物理意義：1變磁場產(chǎn)生電場之一重要事實(shí)?？臻g形成電磁波。2荷都成立。說明電場是有通量源的場。3于正電荷終止于負(fù)電荷。而磁場的散度恒為零，旋度不為電力線相互交鏈。4函數(shù)，又是時(shí)間的函數(shù)，假設(shè)場矢量不隨時(shí)間變化，上述方程退化為靜態(tài)場方程。5疊加原理。四，交變電磁場的邊界條件1，磁場強(qiáng)度的邊界條件2th△l1大全 ,2 2

,2 ,,1 1 1大全大全由麥克斯韋第一方程：

l S S t H lH lJbhl2t 1t

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hl大全大全文檔H H∴ 2t

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有限，所以其次項(xiàng)為0 H H∴ 2t

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hl∵t有限，而

h0∴E E 0∴2t 1t即：E E

——電場強(qiáng)度切向重量連續(xù)t 2t nE E 02 13，磁感應(yīng)強(qiáng)度

的邊界條件2h△S1h△S1,,1 1 12 2 2大全由麥克斯韋第三方程〔磁通連續(xù)性原理： BdS0S與恒定磁場類似的爭論可得：B B1n2n ——磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向重量連續(xù)1n2n ——磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向重量連續(xù)或： 2 1大全3，電感應(yīng)強(qiáng)度的邊界條件2h△S1h△S1,,1 1 12 2 2大全大全由麥克斯韋第四方程〔高斯定理： QS與靜電場類似爭論可得：2n1nD D 2n1nS S或：n

D D 2 1 S2S綜上所述，交變電磁場中的邊界條件可歸納為：2SH H

22t 1t Sb2E E

01t 2tB B1n 2nD D

或

D2D

01D 2n 1n S 2 1 S下面爭論一特例——抱負(fù)導(dǎo)體外表上交變場的邊界條件。所謂抱負(fù)導(dǎo)體是指的導(dǎo)體。對(duì)于很大的良導(dǎo)體，當(dāng)頻率很高時(shí)，電磁場只能存在于導(dǎo)體外表很小的薄層內(nèi)，這種現(xiàn)象稱為集膚效應(yīng)〔以后在均勻平面波局部具體講越大，集膚效應(yīng)越顯著，透入深度越小〔如在10GHz，透入銅的深度為6.6105

cm， 時(shí)，透入深度為0，即在抱負(fù)導(dǎo)體內(nèi)部電磁場處處為0。由高斯定理和安培環(huán)路定律可知，電荷和電流只能存在于抱負(fù)導(dǎo)體的外表上。S依據(jù)上述邊界條件，在抱負(fù)導(dǎo)體外表上：SH J

ttE0t

Sb 0B 0

0nD n

或矢量形式 nn 可見，在抱負(fù)導(dǎo)體外表上，電場只有法向重量，磁場只有切向重量。[例]兩無限大抱負(fù)導(dǎo)體板相距為a強(qiáng)度為

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