拋物線的簡單幾何性質(zhì)（原卷版）

3.：拋物線的簡單幾何性質(zhì)【考點梳理】考點一：拋物線的簡單幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點坐標Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)頂點坐標O(0,0)離心率e＝1通徑長2p考點二：直線與拋物線的位置關系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點個數(shù)決定于關于x的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的個數(shù)，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個數(shù)．當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；若Δ＝0，直線與拋物線有一個公共點；若Δ<0，直線與拋物線沒有公共點．當k＝0時，直線與拋物線的軸平行或重合，此時直線與拋物線有1個公共點．考點三：直線和拋物線1．拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為2p.2．拋物線的焦點弦過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的一條直線與它交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).重難點技巧：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準距）（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則.【題型歸納】題型一：拋物線的簡單性質(zhì)（頂點、焦點、范圍）1．（2023·全國·高二專題）對拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．開口向右，焦點為 D．開口向右，焦點為2．（2022·高二課時練習）若拋物線y2＝2px（p＞0）上任意一點到焦點的距離恒大于1，則p的取值范圍是（

）A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞23．（2017秋·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中校考期中）已知拋物線：，點為拋物線上任意一點，過點向圓作切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為A． B． C． D．4．（2023春·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）為拋物線的焦點，直線與拋物線交于兩點，則為（

）A． B． C． D．題型二：拋物線的對稱性5．（2023·全國·高二專題練習）已知為坐標原點，垂直拋物線的軸的直線與拋物線交于兩點，，則，則（）A．4 B．3 C．2 D．16．（2023秋·高二課前預習）是拋物線上的兩點，為坐標原，且的面積為，則（

）A． B． C． D．題型三：拋物線的弦長問題7．（2023春·云南楚雄·高二?？茧A段練習）過拋物線的焦點作直線，交拋物線于，兩點，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·全國·高二專題練習）設拋物線焦點為，準線與對稱軸交于點，過的直線交拋物線于，兩點，對稱軸上一點滿足，若的面積為，則到拋物線準線的距離為（

）A． B． C． D．9．（2023·全國·高二專題練習）已知A，B，M，N為拋物線上四個不同的點，直線AB與直線MN互相垂直且相交于焦點F，O為坐標原點，若的面積為2，則四邊形AMBN的面積為（

）A． B． C． D．題型四：拋物線的焦點弦性質(zhì)問題10．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線：的焦點為，是拋物線在第一象限的一點，過作的準線的垂線，垂足為，的中點為，若直線經(jīng)過點，則直線的斜率為（

）A．1 B．2 C． D．311．（2023春·江西吉安·高二江西省萬安中學?？计谥校┻^拋物線C：的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段AB的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M，若，則l的斜率為（

）A．2 B． C．1 D．12．（2023春·全國·高二期中）已知拋物線的焦點為F，準線為l，過F且斜率為的直線與C交于A，B兩點，D為AB的中點，且于點M，AB的垂直平分線交x軸于點N，四邊形DMFN的面積為，則（

）A． B．4 C． D．題型五：拋物線中的參數(shù)范圍13．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線上三點A，B，C，且當點B移動時，點C的橫坐標的取值范圍是（

）A． B． C． D．14．（2022春·北京·高二北京二中校考期末），是拋物線上的兩個動點，為坐標原點，當時，的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．6415．（2022·全國·高二專題練習）設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且，則直線OM的斜率的最大值為（

）A．1 B． C． D．題型六：拋物線的定值、定點問題16．（2023秋·全國·高二期中）如圖，設直線與拋物線(為常數(shù))交于不同的兩點，且當時，拋物線的焦點到直線的距離為.過點的直線交拋物線于另一點，且直線過點，則直線過點（

）A． B． C． D．17．（2023秋·高二單元測試）已知O為坐標原點，拋物線，點，設直線l與C交于不同的兩點P，Q.(1)若直線軸，求直線的斜率的取值范圍；(2)若直線l不垂直于x軸，且，證明：直線l過定點．18．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的左、右焦點分別為，過作與軸垂直的直線交雙曲線于兩點，的面積為12，拋物線以雙曲線的右頂點為焦點.(1)求拋物線的方程；(2)如圖，點為拋物線的準線上一點，過點作軸的垂線交拋物線于點，連接并延長交拋物線于點，求證：直線過定點.【雙基達標】單選題19．（2023·全國·高二專題練習）直線與拋物線交于、兩點，若，其中為坐標原點，則的準線方程為（）A． B． C． D．20．（2023秋·高二課時練習）已知圓與拋物線的準線相切，則（

）A． B． C．8 D．221．（2023秋·高二課時練習）直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點．若，則（

）A．4 B． C．8 D．22．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學?？茧A段練習）已知雙曲線E：，若拋物線的焦點到雙曲線E的漸近線的距離為，過焦點傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點，則的值為（

）A． B． C．8 D．23．（2023秋·高二課時練習）過拋物線：上一點作兩條直線分別與拋物線相交于，兩點，若直線的斜率為2，直線，的斜率倒數(shù)之和為3，則（

）A． B．5 C． D．1524．（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，圓，過圓心的直線與拋物線和圓相交于四點，從左往右依次為，若成等差數(shù)列，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．25．（2023秋·高二課時練習）已知過拋物線的焦點F的直線交拋物線于，兩點.求證：(1)，；(2)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.26．（2023·全國·高二隨堂練習）如圖，是拋物線對稱軸上一點，過點M作拋物線的弦AB，交拋物線于A，B.(1)若，求弦AB中點的軌跡方程；(2)過點M作拋物線的另一條弦CD，若AD與y軸交于點E，連接ME，BC，求證：.【高分突破】一、單選題27．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線C：的焦點為F，A是C上一點，O為坐標原點，若，則的面積為（

）A． B．3 C． D．628．（2023春·河北石家莊·高二正定中學校考階段練習）已知點為雙曲線的漸近線和拋物線的一個公共點，若到拋物線焦點的距離為5，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．229．（2023·全國·高二專題練習）過拋物線的焦點作直線，交拋物線于，兩點，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．430．（2023春·湖南長沙·高二長沙一中?？茧A段練習）已知點M，N是拋物線：和動圓C：的兩個公共點，點F是的焦點，當MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，則當變化時，的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．631．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）設F為拋物線的焦點，點P在拋物線上，點Q在準線l上，滿足軸．若，則（

）A．2 B． C．3 D．32．（2023秋·全國·高二期中）已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，點在上且位于第一象限，于點，過點作QF的平行線交軸于點，若，且四邊形PQKR的面積為，則直線QR的方程為（

）A． B．C． D．二、多選題33．（2023春·全國·高二校聯(lián)考階段練習）已知拋物線的焦點為F，，是C上相異兩點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，且，則C．若，則 D．若，則的最小值為34．（2023秋·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為F，過F且傾斜角為的直線l交拋物線于A，B兩點，以下結(jié)論中正確的有（

）A．直線l的方程為B．原點到直線l的距離為C．D．以AB為直徑的圓過原點35．（2023秋·高二單元測試）如圖，過拋物線的焦點F，斜率為k的直線l與拋物線交于A，B兩點，與拋物線準線交于C點，若B是AC的中點，則（

）A． B．C． D．36．（2023秋·高二課時練習）已知O為拋物線的頂點，直線l交拋物線于M，N兩點，過點M，N分別向準線作垂線，垂足分別為P，Q，則下列說法正確的是（

）A．若直線l過焦點F，則N，O，P三點不共線B．若直線l過焦點F，則C．若直線l過焦點F，則拋物線C在M，N處的兩條切線的交點在某定直線上D．若，則直線l恒過點三、填空題37．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線與直線交于兩點（點在第一象限），的焦點為，則.38．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線C的方程為，若傾斜角為銳角的直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，且，則直線l的傾斜角為．39．（2023秋·四川眉山·高二仁壽一中?？计谀┻^的直線l與拋物線E：交于，兩點，且與E的準線交于點C，點F是E的焦點，若的面積是的面積的3倍，則40．（2023秋·河北唐山·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為，直線與拋物線交于兩點，連接并延長，交拋物線于點，若中點的縱坐標為，則當最大時，．四、解答題41．（2023秋·高二課時練習）已知O為坐標原點，位于拋物線C：上，且到拋物線的準線的距離為2．(1)求拋物線C的方程；(2)已知點，過拋物線焦點的直線l交C于M，N兩點，求的最小值以及此時直線l的方程．42．（2023秋·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦