2018年高考文科數(shù)學(xué)分類匯編：A單元集合與常用邏輯用語(yǔ)

A單元集合與常用邏輯用語(yǔ)

A1集合及其運(yùn)算

l.Al［2018?全國(guó)卷I］已知集合4={0,2},8={-2,-1,0,1,2},則")8=()

A.{0,2}B.{1,2}

C.{0}D.{-2,-l,0,l,2}

l.A［解析］4n8={0,2}。{-2,-1,0,1,2}={0,2},故選A.

2.A1［2O18?全國(guó)卷□］已知集合八={：1,3,5,7},8={2,3,4,5},則418=()

A.{3}B.{5}

C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7)

2.C［解析］4nB={l,3,5,7}n{2,3,4,5}={3,5},故選C.

l.Al［2018?全國(guó)卷ID］已知集合八=W〃-120},8={0,1,2},貝1］/^8=()

A.{0}B.{1}

C.{1,2}D.{0,1.2}

1.C［解析］:A={xlx>l},B={0,l,2},.'.Af\B={l,2}.

l.Al［2018?北京卷］已知集合人心|岡<2},8={-2,0,1,2},則418=()

A.{0,1}B.{-l,0,l)

C.{-2,0,l,2}D.{-1,0,1,2}

［解析「

l.AJA={x11x|<2}={x|-2<x<2},B={-2,0>1,2},/.Afl8={0,l}.

l.Al［2018?天津卷］設(shè)集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={xeR|-14x<2},則(AUB)nC=(

A.{-1,1}B.{0,l}

C.{-l,0,l}D.{2,3,4}

l.C［解析］先求人g={-1,0,1,2,3,4},再求(*8)4>{-1,0,1}.故選心

l.Al［2018?浙江卷］已知全集U={l,2,3,4,5},A={l,3}〃JCuA=()

A.0B.{1,3}

C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}

l.C［解析］由補(bǔ)集的定義可知,CuA={2,4,5},故選C.

1.Al［2018?江蘇卷］已知集合力={0,1,2,8},決{-1,1,6,8},那么A^B=

1.{1,8}［解桐由題意得,而8={1,8}.

A2命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件

4.A2［2018?北京卷］設(shè)a,b,c,d是非零實(shí)數(shù)，則"ad=bc”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

4.B［解桐當(dāng)ad=bc時(shí)例如1*8=4*2,但1,4,2,8不能構(gòu)成等比數(shù)列，故充分性不成立;反之,

由等比數(shù)列的性質(zhì)易得必要性成立.

11

ll.A2［2018?北京卷］能說(shuō)明“若a>b,則，為假命題的一組a,b的值依次為.

11.1,-1（答案不唯一）［解桐當(dāng)a>O>b時(shí),■<*不成立.

3.A2R018?天津卷］設(shè)xeR,則“X3>8”是“|x|>2"的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.A［解桐由x3>8,解得x>2,此時(shí)一定有|x|>2；反之，由|x|>2,解得x>2或x<-2,不一定能得出

x3>8.故。3>8”是“|x|>2"的充分而不必要條件.故選A.

A3基本邏輯聯(lián)結(jié)詞及量詞

A4單元綜合

2.［2018?桂林、賀州聯(lián)考］若集合岫x|log2X<1},集合歸儂2-140},則除心()

A.{A|1<X<2}

B.{M0-1}

C.{A|-1O<1}

D.{x|-1<x<2}

2.B［解析］:加力如^^^閆松^^上歸加^④閆必-作碎

9.［2018?河南中原名校聯(lián)考］設(shè)全集4m3,1d-2a+1},集合4={1,3},(：必加)},則a的值為

()

A.OB.1

C.-2D.-1

9.B［解桐由已知可得0靖4Oea.ia2-2a+1=O,解得a=1.故選B.

11.［2018?淄博模擬］下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.命題汨AbeR吊-府-2=0”的否定是“VASR,X2-X-2*0"

B.在A/18C中,“sinA>cosB,是'^ABC為銳角三角形”的充要條件

C.命題“若a=0,則數(shù)=0"的否命題是''若會(huì)0,則必*0"

D.若pvq為假命題，則0,q均為假命題

11.B［解析］命題“mxoeR,。府-2=0”的否定是“VxeR,/-x-2*0”,A說(shuō)法正確；：sin30°>cos

120°,.?.在“8C中,"sinGcosB'是""8C為銳角三角形”的必要不充分條件,B說(shuō)法錯(cuò)誤;命題

“若a=0,則ab=O”的否命題是“若a*0,則ab*O",C說(shuō)法正確;若0/g為假命題，則2g均為假命

題,D說(shuō)法正確.

13J2018?沈陽(yáng)期末］“a=-1"是''直線A：x+ay冊(cè)=0與直線〃:(a-2)x+3y+2a=0平行’的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

13.C［解桐根據(jù)題意，若川色則有專事量解得a=-1;反之，當(dāng)a=-1時(shí)，直線/x-%6或其斜

率為1,直線4：-3x+3%2=0,其斜率為1,且/i與々不重合廁同也故選C.

16J2018?青海西寧五中月考］由命題？MeRW+2刈+30”是假命題，求得實(shí)數(shù)6的取值范圍

是(a,+8),則實(shí)數(shù)a=.

16.1［解析］由題意得命題"VASR,**2X，/77>0”是真命題，所以△=44。<0,即m>1,故實(shí)數(shù)

m的取值范圍是(1,+8),從而得實(shí)數(shù)a的值為1.

B單元函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

B1函數(shù)及其表示

13.B1［2O18?全國(guó)卷I］已知函數(shù)/(x)=log2(x2+a),若/⑶=1,則a=.

13.-7［解析］由/(3)=log2(9+a)=l,得9+a=2,即a=-7.

5.B1,B7［2O18?江蘇卷］函數(shù)的定義域?yàn)?

flyx120.

5.［2,+oc)［解析］要使函數(shù)仆)有意義，必須滿足解得在2,則函數(shù)仆)的定義域?yàn)?/p>

［2,+分

B2反函數(shù)

B3函數(shù)的單調(diào)性與最值

,"MO.

12.B3[2018逢國(guó)卷I]設(shè)函數(shù)/(x)=ll=>°，則滿足/(x+l)42x)的x的取值范圍是()

A.(-8,-i]B.(0,+°°)

C.(-l,0)D.(-0o,0)

產(chǎn)+lMO,

12.D［解桐/(x)的圖像如圖所示.當(dāng)匕1cM°。即x<-l時(shí),若滿足/(x+l)J(2x),則滿足x+l>2x,

p+1>0.

即x<l,此時(shí)xV-l；當(dāng)匕“<■即-l<x<0時(shí),/(x+l)</(2x)恒成立.綜上,x的取值范圍是x<0.故選

D.

B4函數(shù)的奇偶性與周期性

16.B4［2018?全國(guó)卷ID］已知函數(shù)/(x)=ln("l+Y-xHl/gAd,則/(-a)=.

16.-2［解桐由題，(-x)=ln(VT"+x)+l.

/(x)+/(-*)=ln(Vl+x2-x)+l+ln(Vl+x2+x)+l=ln(l+x2-x2)+2=2,

f(a)+f(-a)=2,.-.f(-a)=-2.

5.B4［2018?浙江卷］函數(shù)y=2%in2x的圖像可能是()

5.D［解桐令Kx),則/(-x)=2/*/sin(-2x)=-2/*/sin2x=-/(x),故/(x)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱，排除A,B.當(dāng)雁

p^+Zx+^jfSO.

14.B5［2018?天津卷］已知aeR,函數(shù)/(x)=L/+2H-2ar>0.若對(duì)任意向3+8)/(刈43恒

成立，則。的取值范圍是

Il葉———成立，即恒成立，因

為x>0時(shí),-x2+x的最大值為■，所以當(dāng)-34x40時(shí)/(x)=x2+2x+a-2,此時(shí)只需x2+2x+a-24-x恒成

立，即a<-x2-3x+2恒成立，因?yàn)樵诓?,0］上,-X2-3X+2的最小值為2,所以。42.故a的取值范圍為

?2

B6指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

7.，

5.B6、B7R018?天津卷］已知a=log3%=G),c=lo孽，則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

py?更￥

a

5.D［解析］根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得=1,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得Iog3>l,lo2S=log35>l,且

7

Iog3'<log35,所以c>a>b.故選D.

B7對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

7.B7［2018?全國(guó)卷田］下列函數(shù)中,其圖像與函數(shù)y=lnx的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱的()

A.y=ln(l-x)B.y=ln(2-x)

C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

7.B［解析］y=lnx的圖像過(guò)點(diǎn)(1,0),點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)還是(1,0),將(1,0)代入選項(xiàng),

只有B項(xiàng)滿足，故選B.

B8幕函數(shù)與函數(shù)的圖像

B9函數(shù)與方程

pc4d

15.B9［2018?浙江卷］已知/R,函數(shù)/(x)上三虹+3,<A■當(dāng)^2時(shí),不等式/(x)<0的解集

是.若函數(shù)/(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則A的取值范圍是.

15.(1,4)(1,3］U(4,+8)

［解相當(dāng)A=2時(shí)，函數(shù)/(x)的圖像如圖所示J(x)<0的解集為(1,4).

當(dāng)A<1時(shí)/(x)只有1個(gè)零點(diǎn)為4；當(dāng)1<A<3時(shí),/(x)有2個(gè)零點(diǎn)為1和4；當(dāng)3〈心4時(shí)J(x)有3個(gè)

零點(diǎn)為1,3和4；當(dāng)A>4時(shí),/(x)有2個(gè)零點(diǎn)為1和3.故當(dāng)1<心3或A>4時(shí)J(x)有2個(gè)零點(diǎn).

B10函數(shù)模型及其應(yīng)用

ll.B10［2018?浙江卷］我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問(wèn)題：“今有雞翁一，值

錢(qián)五;雞母一，值錢(qián)三;雞雛三，值錢(qián)一.凡百錢(qián)，買(mǎi)雞百只，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁,雞母,

r+y+z=100.

.當(dāng)z=8i時(shí),x=,=.

{5x+3y+*=100y

fx+y=19,仔=8.

11,811［解桐把z=81代入方程組，得除+3y=73,解得(y=ll.

B11導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算

6.B11［2O18?全國(guó)卷I］設(shè)函數(shù)/(x)=x3+(a；)x2+ax.若/(x)為奇函數(shù)廁曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的

切線方程為()

A.y=-2xB.y=-x

C.y=2xD.y=x

6.D［解析］因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，所以a-l=0,即a=l,所以/(x)=x3+x,所以r(x)=3x2+l.因?yàn)閺V(0)=1,

所以曲線y成x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x.故選D.

21.B11,B12［2O18?全國(guó)卷I］已知函數(shù)/(x)=aeFnx-l.

⑴設(shè)x=2是/)的極值點(diǎn)，求°,并求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

1

⑵證明:當(dāng)應(yīng)e時(shí)憚0.

1

21.解:(l)/(x)的定義域?yàn)?0,+8)/(x)=aex)

由題設(shè)知/(2)=0,所以a=w.

x/x

從而f(x)二—匚e-lnx-1,/(x)=—匚e--

(2e2)(2/)x

當(dāng)0<x<2時(shí),/'(x)<0；當(dāng)x>2時(shí),(x))0.

所以/(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,單調(diào)遞增.

1S

⑵證明:當(dāng)a>EBi：,f(x)>e-lnx-l.

Ev

設(shè)g(x)=e-lnx-1,則g'(x)=--——.

ex

當(dāng)0<x<l時(shí),g<x)<0；

當(dāng)X>1時(shí),g<x)>0.所以x=l是g(x)的最小值點(diǎn).

1

故當(dāng)x>0時(shí),g(x)Ng(l)=0.因止匕，當(dāng)應(yīng)15時(shí)/(x)*.

13.B11［2O18?全國(guó)卷口］曲線y=2lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為.

22

13.2x-y-2=0［解桐因?yàn)?上所以曲線y=2lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線斜率為工2,所以切線方程為

y-0=2(x-l),SP2x-y-2=0.

1

21.B11,B12［2O18?全國(guó)卷口］己知函數(shù)/(x)=3x3-a(x2+x+l).

⑴若。=3,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明:/(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

21.解:⑴當(dāng)。=3時(shí)/(X)=A3-3X2-3X-3/(X)=X2-6X-3.

令f(x)=o,解得x=3-2^或x=3+26.

當(dāng)xe(-8,3-2H)U(3+2H,+8)時(shí)/僅)>0;

當(dāng)xe(3-2第,3+2舛時(shí)/(x)vO.

故/(x)在(-8,3一2迎),(3+2迎,+8)單調(diào)遞增，在(3.26,3+26)單調(diào)遞減.

⑵證明:由于x2+x+l>0,所以/(x)=0等價(jià)于Jn-3a=o.

設(shè)g(x)=7^^-3a,則g'(x)=NO,僅當(dāng)x=0時(shí)9。)二0,所以9?)在卜8,#8)單調(diào)遞墻故g(x)

至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而/(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).

?fa-lV??

又/(361)=-6。2+2。-3=-6,〃/<0,/(3。+1)=3>0,故/(x)有一個(gè)零點(diǎn).

綜上J(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

19.B11,B12[2018?北京卷]設(shè)函數(shù)/(x)=[ax2-(3a+l)x+3a+2]e'.

(1)若曲線y寸(x)在點(diǎn)(2/⑵)處的切線斜率為。，求a;

(2)若/(x)在x=l處取得極小值，求a的取值范圍.

19.解:⑴因?yàn)?(x)=[ax2-(3a+l)x+3a+2]ex,

所以/'(x)=[ax2-(a+l)x+l]ex,/'(2)=(2o-l)e2.

1

由題設(shè)知/'(2)=0,即(2a-l)e2=0,解得oZ

⑵(法一)由⑴得F(x)=[ax2-(a+l)x+l]e*=(ax-l)(x-l)e".

若a>l,則當(dāng)xe(Ll)時(shí),/'(x)<0；當(dāng)xe(l,+8)時(shí)/(x)>0.

所以/(x)在x=l處取得極小值.

若aMl,則當(dāng)x40,l)時(shí),ax-lWx-l<0,所以r(x)>0.

所以1不是/(x)的極小值點(diǎn).綜上可知,a的取值范圍是(1,+8).

(法二)_f(x)=(ax-D(x-l)e".

①當(dāng)a=0時(shí)，令/'(x)=0得x=l.

r(x)/(x)隨x的變化情況如下表:

X(-8,1)1(1,+8)

r(x)+o-

M,極大值、

所以/(X)在X=1處取得極大值，不合題意.

②當(dāng)o>0時(shí)，令r(x)=O得XI=?,X2=L

(i)當(dāng)Xi=X2,即a=l時(shí)/(x)=(x-l)2e"20,

所以f(x)在R上單調(diào)遞增，所以/(X)無(wú)極值，不合題意.

(ii)當(dāng)X1>X2,即0<a<l時(shí)/(x),/(x)隨X的變化情況如下表：

x(7)19.？；&十.

f(x)+0-0+

/(X)7極大值、極小值/

所以/(X)在X=1處取得極大值，不合題意.

(iii)當(dāng)X1<X2,即a>l時(shí)/(x),/(x)隨x的變化情況如下表：

'(-3:gl)1(1,+河

f'(x)+0-0+

/(X)7極大值\極小值/

所以/(X)在x=l處取得極小值，即a>l滿足題意.

(3)當(dāng)a<0時(shí)，令r(x)=0得Xi=",X2=l.

/'(x)J(x)隨x的變化情況如下表：

f'(x)0+0-

f(x)、極小值/極大值、

所以/(X)在X=1處取得極大值，不合題意.

綜上所述,a的取值范圍為(1,+8).

1O.B11[2O18?天津卷]己知函數(shù)/(x)=e、lnx『(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則廣(1)的值為

lO.e［解析］r(x)=e*lnx+\所以/'⑴=e.

2O.B11>B12R018,天津卷］設(shè)函數(shù)/(x)=(x-h)(x-t2)(x-t3),其中hh匕wR,且h,31是公差為d

的等差數(shù)列.

⑴若t2=O,d=l,求曲線y寸(x)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程；

(2)若”3,求*x)的極值;

(3)若曲線y寸(x)與直線y=-(x-t2)-6百有三個(gè)互異的公共點(diǎn)，求d的取值范圍.

20.解:(1)由己知，可得f(x)=x(x-l)(x+l)=x3-x,故F(x)=3x2-1.

因此/(0)=0/(0)=-1,又因?yàn)榍€y獷x)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程為y-/(O)=f(O)(x-O),故所求切線

方程為x+y=O.

332

⑵由已知可得/(x)=(x-f2*3)(x-t2)(x-f2-3)=(x-t2)-9(x-t2)=x-3t2x^(3^-9)x-^^9t2.

,2t

故/(x)=3x-6t2x+3^-9.

令/'(x)=0,解得XW-遮或x$+6.

當(dāng)x變化時(shí),r(x)/(x)的變化情況如下表：

X(-8,6-)t2_(t2-,t2+)t2+、(t2+,+8)

f(x)+oo+

/(x)/極大值、極小值/

所以函數(shù)/(X)的極大值為*2-H)=(-V5)3-9X(-H)=6V5；

函數(shù)/(x)的極小值為*2+H)=(H)3-9x(V5)=-6遮.

⑶曲線y寸(x)與直線y=-(x-t2)-6H有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于x的方程

(x-t2^d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)+6^-0有三個(gè)互異的實(shí)數(shù)解.

令"=x-t2,可得u3+(l-c/2)u+6^0.

設(shè)函數(shù)g(x)=x3+(l-d2)x+6H,則曲線y或x)與直線片有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于函

數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn).

g'(x)=3x2+(l-d2).

當(dāng)d2<l時(shí)，(x)NO,這時(shí)g(x)在R上單調(diào)遞增，不合題意.

當(dāng)d2>l時(shí)，令g'(x)=O,解得x-有叢2=).

易得,g(x)在(-8,刈)上單調(diào)遞增，在［x］,X2］上單調(diào)遞減，在的,+8)上單調(diào)遞增,g(x)的極大值

若g(X2)",由g(x)的單調(diào)性可知函數(shù)g(x)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

2

若g(x2)<0,即(d-l>>27,也就是ld/>V10，此時(shí)/d/>X2,g(/d/)=/d/+64>0,且

?2/d/<Xi,g(-2/d/)=-6/d/3-2/d/+6返〈-62“^心后<0,從而由g(x)的單調(diào)性，可知函數(shù)g(x)在區(qū)

間卜2/d/,xi),(xi,X2),(X2,/d/)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意.

所以,d的取值范圍是(?8「同)U(同,+引.

B12導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

9.B12［2018逢國(guó)卷?。莺瘮?shù)廳-/儀2+2的圖像大致為()

9.D［解析］y'=-4x3+2x=-2x(俱⑴(俱+1),易知當(dāng)x>。時(shí)，函數(shù)在(.今上單調(diào)遞增,

在惇4)

上單調(diào)遞減,又函數(shù)y為偶函數(shù)，故選D.

21.B12［2018?全國(guó)卷已知函數(shù)/(x)=

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程；

(2)證明:當(dāng)aZl時(shí),/(x)+e*.

啟歷*1.+7

21.解:⑴/僅=*/9)=2.

因此曲線y=/(x)在(0,-1)處的切線方程是2x-y-l=0.

⑵證明:當(dāng)a>l時(shí),/(x)+eN(x2+x-l/ex+i)e*.

令g(x)=x2+x-l+e"L則g'(x)=2x+l+ex+1.

當(dāng)x<-l時(shí),g〈x)v0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>-l時(shí),g〈x)>0,g(x)單調(diào)遞增.所以g(x)>g(-l)=0.

因止匕f(x)+eN0.

22.B12[2018?浙江卷]已知函數(shù)f(x)=Rlnx.

⑴若/(X)在X=X1,X2(X1*X2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：/(xiW(X2)>8?8ln2;

(2)若aW3-4ln2,證明:對(duì)于任意k>0,直線y=kx+a與曲線y=/(x)有唯一公共點(diǎn).

11

22.證明:⑴函數(shù)段)的導(dǎo)函數(shù)片力3尸，

工111

由F(X1)=F(X2)得麗工

J_J_1

因?yàn)镸*X2,所以gg='

由基本不等式得5”1:歷+瘍22眄藥，

因?yàn)閤#X2,所以XIX2>256.

1____

bU-三0K1的

由題意得/(xi)tf(^2)=vsi-lnxi-M/^a-lnX2=-ln(xiX2).

-VS

設(shè)g(x)=2-Inx,

則g?x盧申4),

所以

X(0.16)16(16,十可

g'(x)-0+

g(x)2-4ln2z

所以g(x)在(256,+8)上單調(diào)遞增，故g(xix2)>g(256)=8-8ln2,

即/(xi)+f(x2)>8-8ln2.

(2)令m=e-W),"=‘k'+1,則/(團(tuán))?癡?0>/4/+心-應(yīng)0/(。)?質(zhì)?0<7?^^.》丙<0,

所以，存在xo《m,r))使/(xo)=kxo+o,

所以，對(duì)于任意的OER及依(0,+8),直線y=kx+a與曲線y=/(x)有公共點(diǎn).

^Blnr-a

由f(x)=kx+a得k=*.

設(shè)h(x)=*，則h1(x)=-7=1-，其中g(shù)(x)=2-lnx.

由(1)可知g(x)Ng(16),又a<3-4ln2,故?g(x)?：l+a￡g(16)-l+o=?3+4ln2+a<0,

所以/7僅40,即函數(shù)除)在(0,+8)上單調(diào)遞減，因此方程f(x)-kx-o=0至多有1個(gè)實(shí)根.

綜上，當(dāng)o?3-4ln2時(shí)，對(duì)于任意k>0,直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn).

11.B12［2O18?江蘇卷］若函數(shù)0)之芹-a*+1(%R)在(0,+8)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)在

卜1,1］上的最大值與最小值的和為.

11.-3［解析］由題意得,f(x)=6*?2ax=2M3x-a).當(dāng)小。時(shí)，對(duì)任意於(0,+8),f(x)>0,則函數(shù)f(x)

在(0,+8)上是增函數(shù)，則f(x)>f(0)W,則f(x)在(0,+8)上沒(méi)有零點(diǎn)，不滿足題意，舍去.當(dāng)a>0時(shí)，

令f(x)=0及x>0彳導(dǎo)x4,則當(dāng)於(0；)時(shí),外用<0,當(dāng)法(>J時(shí),外用乂),因此函數(shù)f(x)的單調(diào)

遞減區(qū)間是(0；),單調(diào)遞增區(qū)間是(3+8),在X題0)取得極小值以二方*.而函數(shù)的在

(0,+oc)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以+1=0,解得a=3,因此＜刃=2*3-3*+1,則

a?=2M3x-3).令左)=0,結(jié)合得x=O或x=1.而當(dāng)於(-1,0)時(shí),(月＞0,當(dāng)XG(0,1)

時(shí),CM<0,則函數(shù)內(nèi)0在(-1,0)上是增函數(shù)，在(0,1)上是減函數(shù)，所以f(X)max=f(0)=1.又

f(-1)=-4,f(1)=0,所以f(X)min=-4,故在［-1,1］上的最大值與最小值的和為3

17.C9,B12［2O18?江蘇卷］某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖1-5所示,它的邊界由圓O的一段圓弧

例尸M尸為此圓弧的中點(diǎn))和線段仞V構(gòu)成?已知圓。的半徑為40米，點(diǎn)尸到〃/V的距離為50

米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚,大棚胸的地塊形狀為矩形Z8C2大棚/煙的地塊

形狀為A。尸，要求48均在線段例/V上,C,。均在圓弧上.設(shè)。。與例/V所成的角為6.

(1)用8分別表示矩形Z8CD和ACA尸的面積,并確定sin6的取值范圍；

(2)若大棚兩種植甲種蔬菜，大棚/兩種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比

為4:3,求當(dāng)6為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

圖1-5

億解:⑴連接尸。并延長(zhǎng)交MN千〃則PHLMN,所以0*10.

過(guò)。作OE工BC于￡則例兒所以/COE=a

故(9E=40cos0,￡C=4Osin6,

則矩形為8C。的面積為2,40cosa40sin8+10)=800(4sin6tos6代os0),

△?！ㄊ拿娣e為工應(yīng)必。^^0(4O-4Osin3=1600(cos8-sinaos0).

過(guò)/V作GM例N分別交圓弧和的延長(zhǎng)線于G和/<則GK=KNfO.

令NGOK=4，則sin仇二’,4€(0,工).

當(dāng)兵［比:)時(shí)，才能作出滿足條件的矩形Z8C。，

所以sin。的取值范圍是艮).

答:矩形48CA的面積為800(4sin6bos0-fcos4平方米,尸的面積為1600(cos8-sin

Ocos。平方米,sin8的取值范圍是

(2)因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4.3

設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k,乙的單位面積的年產(chǎn)值為3《七＞0),

則年總產(chǎn)值4kM00(4sin比os，9os功+3A*1600(cos6-sin/osS=8000k(sinaos6gos3),

生［&：).

設(shè)46)=sin/os69os6,a［4：)，

貝ijf［0)=cos20-sin20-sin8=《2sin264in8-1)=32sine-1)(sin8+1).

令4。割得加1

當(dāng)生［比外時(shí)同功X),所以43為增函數(shù)；

當(dāng)住(連)時(shí)，(功＜0,所以《功為減函數(shù).

因此，當(dāng)(9專時(shí),曾取到最大值.

答:當(dāng)8至?xí)r，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

19.B12,B14［2O18?江蘇卷］記《月國(guó)⑺分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若存在府eR,滿足

心⑷力府)且外府)引(加),則稱府為函數(shù)4月與儀才的一個(gè)"S點(diǎn)".

(1)證明:函數(shù)心()中與或短x2不存在"S點(diǎn)"；

(2)若函數(shù)AA)=3A2-1與4吊6X存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)3的值;

1

⑶已知函數(shù)外)=/3以用=.，對(duì)任意a>0,判斷是否存在b>0,使函數(shù)KM與/用在區(qū)間(0,+s)

內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說(shuō)明理由.

19.解:⑴證明:函數(shù)外)=X4M=*+2*-2,則f\^)=\,g[^)=Q.x+2.

[*=x2+2z-2.

由外)=水見(jiàn)且ZWRIW得h=2w+2.此方程組無(wú)解，

因此,與儀切不存在“S點(diǎn)”.

⑵函數(shù)4H=a*-1，dx）=lnx,則f[^=Q.ax,g[^:^.

fazQ-l=lnz（x

21110=-,件-l=lno

設(shè)加為/W與內(nèi)）的“S點(diǎn)”，由《松）帶（%）且"府）=g（府）海,即12M='（）

1J—

得In府=-■，即府=“，則3,，吟1石.

eel

當(dāng)aW時(shí)，刈=滿足方程組()即的為由)與p(x)的“S點(diǎn)”.

因此舊的值為最

⑶對(duì)任意aX),設(shè)KB=*3*?ax+a.

因?yàn)??(0)=4>0,餌1)=1-3刃七二-2<0,且餌用的圖像是不間斷的，

所以存在府[0,1),使得h(XQ)=O.

.一

令加93,則z?x).函數(shù)1用

則(H=-2x,g(M=1.

產(chǎn)+T產(chǎn)+。=晶三

由且am=g(a得''即1一中京41,(*)

此時(shí),也滿足方程組(巧，即小是函數(shù)外)與4m在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個(gè)“s點(diǎn)”.

因此,對(duì)任意a>0,存在。乂）,使函數(shù)仆）與雙力在區(qū)間。心）內(nèi)存在“S點(diǎn)”.

B13定積分與微積分基本定理

B14單元綜合

3.B14[2018?全國(guó)卷口]函數(shù)/（x）=T的圖像大致為（）

尸W

3.B［解析］由題易知x*0.因?yàn)?(-x)='=-/(x),所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，所以A錯(cuò);當(dāng)x>0

1

時(shí),e、>e",此時(shí)段)>0,所以D錯(cuò);當(dāng)x=l時(shí)J(l)=eF>2,所以C錯(cuò).故選B.

12.B14R018?全國(guó)卷U］已知知)是定義域?yàn)?4,+可的奇函數(shù)，滿足/(Lx)=/(l+x).若/⑴=2,

則f(l)田(2)加3)+…然50)=()

A.-50B.OC.2D.50

12.C［解桐因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，所以的)=0,且即又由成1+x)

得/(x+l)=-/(x-l),所以/化+2)=-/(*)/仕+4)=次*+2)=-［負(fù)刈4(刈,所以/口)是以4為周期的周期函數(shù).

因?yàn)?(1)=2,/(2)=/(1+1)=/(1-1)=/(0)=0,/(3)=/(-1)=-/(1)=-2,/(4)=/(0)=0,所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

故/(1)42)+/(3)+…+/(50)=/(1)+/(2)=2,故選C.

9.B14,C1［2O18?江蘇卷］函數(shù)4A)滿足f(x+4)=f(x)(xeR),且在區(qū)間(-2,2］

'coS芋QVmMZ,

上,f(x)42則f(f(15))的值為.

9.T［解析］由f(x+4)=f(x)(xeR),得f(15)=f(-1+4x4)=f(-1),又-1e(-2,0］,所以

*15)=4-1)=I-1+W2而%(0,2］,所以^15))=^=cos(l^)=cosi=T

5.［2018?濟(jì)寧期末］已知函數(shù)①上^^則?'胡)=()

A.OB.3

1

C.1D3

5.D［解析］由函數(shù)的解析式可得￡)=log2；=-1,則"?)={-1)=3-14.

14.(2018?天津一中月考］已知奇函數(shù)4R在R上是增函數(shù),?=xg若

a帶(4og25.1),?？?2。,8),6和(3),則a,Z>,c的大小關(guān)系為()

A.a〈b〈cB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

14.C［解析］因?yàn)椤禭)是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù),所以當(dāng)x>0時(shí)從而是R

上的偶函數(shù)，且在(0,%)上是增函數(shù).因?yàn)閍帶(』og25.1)=aiog25.1),且4<5.1<8,所以

2<log25.1<3,所以0<208<log25.1<3,所以p(208)<y(log25.1)<y(3),6PZJQVC,故選C.

8.［2018?北京四中期末］設(shè)函數(shù)外)的定義域?yàn)?。，若存在正?shí)數(shù)刀,使得對(duì)任意法。,都有

外力7?)>仆),則稱/W為。上的“6型增函數(shù)”.已知函數(shù)封)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0

時(shí)/力二侯,7(弟R),若4X)為R上的“20型增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)3的取值范圍是()

A.aX)B.a<5

C.a<10D.a<20

8.B［解析］「函數(shù)封)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>Q時(shí)品淤=1x-a卜式aw

睚5

為R上的"20型增函數(shù)”,.:仆+20)>4。當(dāng)x=0時(shí),/20-a/-a>0,解得

a<10,又個(gè)0)>(10)，即/10-a/-a>-/-10+a/+a,解得a<5,結(jié)合選項(xiàng)知選B.

產(chǎn)丹加

8.［2018?天津一中月考］已知函數(shù)4X)工若函數(shù)/H=/Q0/-3x+。有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍為

匾

8.(e,￡)uGH［解析］函數(shù)外)=若函數(shù)或KTAB/Qx+b有三個(gè)零點(diǎn)，則

x

fx-?X>4t

“A)=/4A)/-3X的圖像與直線y=-b有3個(gè)交點(diǎn).“月i”畫(huà)出函數(shù)“m的大致圖像，如

圖所示.

當(dāng)x<0時(shí),*3啟6,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)，由圖可知3>6,可得/?<￡;當(dāng)0<A<4時(shí),x-8與,當(dāng)

X』時(shí)取得最大值，故滿足條件的

4.[2018?北京東城區(qū)期末]已知函數(shù)｛M=Ynx.

⑴求曲線片外)在點(diǎn)(1/1))處的切線方程;

(2)求4A｝的單調(diào)區(qū)間;

(3)若對(duì)于任意的都有AMvax1求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.解:⑴因?yàn)楹瘮?shù)/M=Alnx,所以(A)=lnx+1,當(dāng)x=1時(shí),41)=ln1+1=1/1)0,所以曲線片回

在點(diǎn)(1,個(gè)))處的切線方程為y=x-1.

(2)函數(shù)4Mfinx的定義域?yàn)?0,+8),(A)=lnx+1.令「用=0彳導(dǎo)x=S.當(dāng)x變化時(shí)，/6月月的變化

情況如下表:

XQ一3+?)

fM0+

幅，極小值/

所以人力的單調(diào)遞增區(qū)間是3+-）,單調(diào)遞減區(qū)間是

（3）當(dāng)上ge時(shí),"《HVax-1"等價(jià)于"aNlnxj".令p（A）Mnx￡xeE#］廁g（M±占與,ASEH當(dāng)x&

GH時(shí),gt?<0,所以久>0在區(qū)間6」）上單調(diào)遞減.當(dāng)Ae（1,e）時(shí),gt?>0,所以儀才在區(qū)間（1,e）上

單調(diào)遞增.而描=』11e-*e=e-1>1.5,5（e）=lne+；=1+；<1.5,所以［刃在區(qū)間上的最大值為

星）F-1.所以當(dāng)a>e-1時(shí)，對(duì)于任意的法都有.

C單元三角函數(shù)

ci角的概念及任意角的三角函數(shù)

11.C112018?全國(guó)卷I】已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與工軸的非負(fù)半軸重合，終邊

2

上有兩點(diǎn)4(1,d),B(2,b),且cos2a=—,則f=()

A1a有「2小n.

A.―D.C.---------U.1

555

1LB【解析】假設(shè)角a為第一象限角，如圖,

即cosa=漏，所以cosa="^=",解得a=5；cos0(=而”=",

由cos2a=3,得2cos2a-l=3,

解得b==.所以|a-b|=T

7.C112018?北京卷】在平面坐標(biāo)系中，45,?！辏?反,6"是圓/+/=1上的四段?。ㄈ?/p>

圖），點(diǎn)P在其中一段上，角a以0x為始邊，0P為終邊，若1而￡/<以光。<5m。，

則P所在的圓弧是（）

(C)EF(D)GH

7.C【解析】(法一)由三角函數(shù)線知，在第一象限內(nèi)，同角的正切線最長(zhǎng)，排除A,B；當(dāng)角a

的終邊位于第三象限時(shí)，正切值為正，正弦、余弦值為負(fù)，排除選項(xiàng)D.

(法二)設(shè)角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),由任意角的三角函數(shù)定義得，xvy,若

I9.3)

x<0,則由，x得y>x2,排除選項(xiàng)D,由，y可得,>0,進(jìn)而得x,y異號(hào).故選C

C2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

16.C2,C5,C6【2018?江蘇卷】已知0為銳角，tan。#,cos(a+p)=-—s.

(1)求cos2a的值；

(2)求tan(a-p)的值.

4■

16.M:(1)因?yàn)閠ana=*tan所以sino="cosa.

2

因?yàn)镾in20+COS2c(=1,所以cos20

7

因止匕cos2a=2cos2a-1=-25

(2)因?yàn)椤＃珺為銳角，所以。+隹(0,TT).

[(a+pF萼

又因?yàn)閏os(a+p)=-5,所以sin(a+p)=V=5,

因此tan(a+p)=-2.

42tzM

因?yàn)閠ano(=*所以tan因=I=%=-7

因此，tan(a-[3)=tan[2a-(a+p)]=1+-2a^=-11

C3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

6.C3【2018?全國(guó)卷m】函數(shù)f(x)J』。的最小正周期是()

?■

A*B2C.nD.2n

1KX1h

6.C【解析】因?yàn)閒(x)Jl^sin2x,所以其最小正周期為彳=兀

7.C3,C412018?江蘇卷】已知函數(shù)丫=$皿(2x+(p)(-Lp<”的圖像關(guān)于直線x4對(duì)稱，則

(P的值為.

7.-N【解析】由題意得，sin(2xj+(p)=±1,貝!]3+(p=f+kTT(keZ),所以(p=-Z+kn(keZ),又

??■

-5<(p<5,故

C4函數(shù)y=Asin(3+0)的圖象與性質(zhì)

10.C4【2018?全國(guó)卷II】若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是減函數(shù)，則a的最大值是()

A*B'C.4D.R

10.C【解析】f(x)=cosx-sinx=^cos^+^,由ZknVx+Ln+ZkTt(keZ),得函數(shù)f(x)的

單調(diào)遞減區(qū)間為L(zhǎng)2kTV，(keZ).由f(x)上單調(diào)遞減，得a的最大值為

.故選C.

16.C7、C4【2018?北京卷】已知函數(shù)f(x)=sinzx+V3sinxcosx.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在區(qū)間[-3,m]上的最大值為工求m的最小值.

更更11/-\-

16.解：(1)f(x)=3+2sin2x=2sin2x-'cos2x+'=sin(2X-6)+4

h

所以f(x)的最小正周期為T(mén)=z=it.

*1

(2)由⑴知f(x)=sin(2x-")+'.

因?yàn)閤e[-*,m],所以2x鼻2m-，l

要使f(x)在rrJ上的最大值為'，即sin(2x。)在m_l上的最大值為1,

只需2m-，'，即m居所以m的最小值為L(zhǎng)

?W

6.C4[2018?天津卷】將函數(shù)y=sin(2x+$)的圖像向右平移五個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像對(duì)應(yīng)的函

數(shù)()

A.在區(qū)間I彳’I上單調(diào)遞增

B在區(qū)間用01

上單調(diào)遞減

惇,加單調(diào)遞增

C.在區(qū)間

D.在區(qū)場(chǎng)聯(lián)單調(diào)遞減

6.A【解析】將函數(shù)y=sin(2x+$)的圖像向右平移五個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)丫=如2x的圖像,

該函數(shù)在區(qū)間L''.」上單調(diào)遞增.故選A.

7.3【解析】由題意得，sin（2x1+（p）=±1,則3+kiT（MZ）,所以（p=?\kTT（"立），又

■■■

-J<（p<5,故（p="6.

C5兩角和與差的正弦、余弦、正切

16.C5、C6、C8【2018?天津卷】在MBC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知

bsinA=acos

(1)求角B的大??；

(2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.

■b

16.解：（1）在AABC中，由正弦定理知可得bsinA=asinB,

又bsinA=acosB-&),所以asinB二acos(B-6即sinB=cos(B-6),可得tanB二有

又因?yàn)锽w(0,n),所以B=1

■

(2)在aABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B/，有b?=a2+c2-2accosB=7,故b=

由bsinA二acos(B-"),可得sinA二亞

因?yàn)閍vc,故cosA二v.

姐1

因此sin2A=2sinAcosA=7,cos2A=2cos2A-l=7

11^33^

所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=7x2-7x1=14.

18.C5,C7,C9【2018?浙江卷】已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)0重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重

3

-，

合，它的終邊過(guò)點(diǎn)p

(1)求sin(a+n)的值;

（2）若角B滿足sin（a+P）=",求cosB的值.

18.解:（1）由角a的終邊過(guò)點(diǎn)P

4

所以sin(a+n)=-sina=s.

（2）由角a的終邊過(guò)點(diǎn)Pcosa=-,

512

由sin(a+p)="得cos(