受迫振動中振幅和頻率的討論

關(guān)于受迫振動中振幅和頻率的討論關(guān)于受迫振動的微分方程振子的受力情況：回復(fù)力、阻力、策動力回復(fù)力：阻力：第2頁,共43頁，2024年2月25日，星期天策動力的討論一般情況下策動力需要周期性變化，因此，我們可以用弦類函數(shù)去表示策動力同時策動力一般是有穩(wěn)定的最大值我們看到在受迫振動中，策動力成為振子運動的主要因素。所以策動力的方向應(yīng)該與位移方向相同。第3頁,共43頁，2024年2月25日，星期天幾處要點使用余弦函數(shù)與正弦函數(shù)疊加，是為了使策動力能取到不同的相位。余弦函數(shù)與正弦函數(shù)周期相同，是為了使策動力的最大值在任意一個周期內(nèi)都為一個定值。在余弦函數(shù)與正弦函數(shù)周期一致的情況下，策動力可以使用輔助角公式變?yōu)橐粋€弦類函數(shù)。第4頁,共43頁，2024年2月25日，星期天微分方程這是一個二階非齊次線性常系數(shù)微分方程第5頁,共43頁，2024年2月25日，星期天為了簡化運算，我們做參數(shù)替換方程變?yōu)橐韵滦问降?頁,共43頁，2024年2月25日，星期天對應(yīng)的齊次方程為設(shè)方程的一個解為：代入齊次方程第7頁,共43頁，2024年2月25日，星期天這就是這個二階齊次線性常系數(shù)微分方程的特征方程。我們用一元二次方程的求根公式求解方程。第8頁,共43頁，2024年2月25日，星期天討論根的情況但是，上述兩個解都不含有任意常數(shù)，所以它們都不是方程的通解。我們可以利用常數(shù)變易法去討論在上述方程的解中γ，ω，1均為常數(shù)，但是前兩者由方程給定，只有“1”是我們的假設(shè)。第9頁,共43頁，2024年2月25日，星期天所以，我們可以把“1”，變?yōu)橐粋€與自變量t有關(guān)的變常數(shù)C(t).第10頁,共43頁，2024年2月25日，星期天對方程進行整理，可以得到：第11頁,共43頁，2024年2月25日，星期天γ+λ≠0時，使用積分因子法對方程進行處理第12頁,共43頁，2024年2月25日，星期天兩邊積分，得到：再次積分，得到：第13頁,共43頁，2024年2月25日，星期天代入C(t),得：第14頁,共43頁，2024年2月25日，星期天可以看到：第15頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第16頁,共43頁，2024年2月25日，星期天可以看到，兩者是等價的

因此，解可以合并為：同時，γ與ω的大小關(guān)系也會對方程的形式產(chǎn)生影響第17頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共43頁，2024年2月25日，星期天經(jīng)過整理，可得：第20頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共43頁，2024年2月25日，星期天進行兩次積分，得到：以上為齊次方程的通解情況第23頁,共43頁，2024年2月25日，星期天接下來我們求非齊次方程的特解：第24頁,共43頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)解的疊加原理，待求的非齊次方程的通解，為下列兩個非齊次方程的通解之和。第25頁,共43頁，2024年2月25日，星期天利用待定系數(shù)法求解兩個微分方程第26頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共43頁，2024年2月25日，星期天顯然我們可以看到：第29頁,共43頁，2024年2月25日，星期天同理，我們對方程：第30頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第32頁,共43頁，2024年2月25日，星期天兩個復(fù)數(shù)相等的條件是它們的實部和虛部分別相等第33頁,共43頁，2024年2月25日，星期天得到方程組：第34頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第35頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第36頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第37頁,共43頁，2024年2月25日，星期天這就是非齊次方程的特解。第38頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第39頁,共43頁，2024年2月25日，星期天非齊次方程的通解是對應(yīng)的齊次方程的通解加上一個非齊次方程的特解。第40頁,共43頁，2024年2月25日，星期天此時即為穩(wěn)態(tài)的受迫振動我們看到，穩(wěn)態(tài)受迫振動的角頻率為策動力的角頻率利用輔助角公式可以求得振幅第41頁,共43頁，2024年2月25日，星期天可以看到，當Ω