2022年山西省晉城市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考真題(含答案)

2022年山西省晉城市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考

真題（含答案）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

1.

.設(shè)y=cosa、則嚴(yán)=（）

A.—coszB.COSHC.—sirLrD.sirtr

2.

已知43,C,I均為2）階方陣，其中/為單位矩陣，若力BC=/,則下列各式

中總成立的是()

hBCA=IB.ACB=IC.BAC=ID.CBA=I

3.

設(shè)曲線y=—/（、r）在［a,瓦］上連續(xù)，則由曲線v=—/（/）,直線x==b及1軸

圍成的圖形的面積A=()

A.if(.x)dxB.—f/(jr)dxC.[|/(x)|diD.Iff(.x)dxI

JavavaIJa

4.

若y(.r)=尸',則j/"(ln.r)dz=()

A.--+CB.—+CC.ln.r+CD.-ln.r+C'

x.r

5.

在空間直角坐標(biāo)系中,若向量a與Or軸和軸正向的夾角分別為45°和60°,則向量

a與Oy軸正向的夾角為（）

A.30°B.60°

C.45°D.60°或120°

6.

設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇0,1],則函數(shù)/(Inx)的定義域?yàn)?

A.(―8,+8)B.[1,e]c.Loa]D.(O.e]

7.

.設(shè)/'(1)在口.21上可積.且/(1)=1"(2)=1.j/Q、)cLr=-1,則]工/'(i)di=

()

A.-1B.OC.1D.2

8.

=cosZ,

曲線1在/=子處的法線方程為()

\y=sin2/

A.m=gB.y=1

C.？=e+1D.3=z—1

9.

若C為單位圓周|之|=1?則下列積分中，值不為零的是()

Afd-Rfd之

,Jccosz，Jr之2+2之+2

「fe'dznf蟲

Jez2+5^+6Jcz

10.

?直線上7=弓」■尹與平面21+?=0的位置關(guān)系是()

一1LO

A.直線在平面內(nèi)B.平行

C.垂直D.相交但不垂直

11.

已知函數(shù)在閉區(qū)間[一：%；%]上連續(xù)，則定積分C■/■“sinzdz=()

：-?：??!：｝■?(..…第:領(lǐng)f“.?：

A,-1.—...,,?B.0-----""W'F—1梵!：!,:D.不確定

12.

(y=sinf?-

曲線廣(/為參數(shù))在？=■對應(yīng)點(diǎn)處切線的方程為()

kr=2cos/4

A.匯=1B.y=1C.y=▲、+1D.y=i-1

13.

當(dāng)z-0時(shí)，無窮小量e2，一l是無窮小量sin3①的()

A.低階無窮小B.高階無窮小

C.等價(jià)無窮小D.同階但非等價(jià)無窮小

14.

—sin-#40,

設(shè)f(x)=?*3要使/(才)在(一8,+oo)上連續(xù).則a=()

ax=0,

A.0B.1C.-i-D.3

o

15.

由方程中一siny=1所確定的隱函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)包=()

dx

Xx

A.-----------B.---------c.——D.

cosy-ycosj^-xx-cosycosx-J

枝"hm()

i尸+12

C.1

A.UH.一7

16.4

17.

函數(shù)J(T)=er—e—的一個(gè)原函數(shù)是)

A.F(Jt)=er-eB.F(^)=er+e-

r

C.PE)=6r-e-D.F(a)=—e—e

18.

.設(shè)/(了)=1.且f(0)=1,則=()

A.x+CB.-5-x2+x+C

C.>+z+CD.yj-2+C

19.

微分方程y'=y-l滿足初始條件y\xm0=2的特解是()

A.y=1+CexB.歹=1+6”C.y=2exD.y=l+e-“

20.

則/述2dx=(

設(shè)函數(shù)/(x)=er,)

JX

A.------FCB.-Inx+CC.—卜CD.Inx+C

Xx

21.

DO[℃>100/CO3

下列級數(shù)￡丁^~￡一，z—，中，共有()個(gè)級數(shù)發(fā)散.

金皿〃+1)喜〃M〃n=i4

A.1B.2C.3D.4

22.

1

y(x)=與二，則x=o是/(*)的()

e7+l

A.可去間斷點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C.第二類間斷點(diǎn)D.連續(xù)點(diǎn)

23.

下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()

A.y=M+logs(1一、r)B.y=jrsiru、

C.y=ln(y1+.r+.r)D.y

24.

設(shè)/(%)的一個(gè)原函數(shù)為sin2M則，(①)dr

A.cos2xB.sin2jrC.CQS2N+CD.sin2/+C

25.

微分方程計(jì)+如=0的通解是

yx

2

A.x+y=25B.3J-+4y=C

C.x2+y2=CD.VT=7

26.

若函數(shù)f(z+1)=/,則/(j)=()

AdB.(x+1)2

C.(x-I)2D.x2-1

27.

已知函數(shù)N=exln,r.則dy=

A.—d.?-B.卜，ln.r+巳產(chǎn)TC.e'ln-rd.z、D.fjdx

28.

由曲線V=cos2z(z>0)軸，y軸所圍成的平面圖形面積為)

7t

A.

1

B.

7T

C.

2

I

D.

29.

卜列哪個(gè)式子是不正確的

A.limc-'=0B.lime'"=1

n?+8n

1D.lim(1+=e

n-0

30.

如果級數(shù)￡，，”收斂.則它的和是()

A.?]+〃？++u,B.lim〃“

(一

，t

C.D.以上都不是

二、填空題(20題)

xf(jr2)ff(*)djr=

31.

32.

已知L是拋物線>=H2上點(diǎn)0(0.0)與B(l,l)之間的一段弧，則[rds

(sin2K、八

------■H>0?

已知函數(shù)/(/)=v1在i=0點(diǎn)連續(xù),則a=

+a■1<0

33.

參數(shù)方程<*-5c°s'，所確定曲線在，=口.處的切線方程為

34Iy=3sin/4

35.

設(shè)積分區(qū)域D為十44），*則d,rdv=

登3"+5”“

Z---------工的收斂區(qū)間為_

36.”1n

37微分方程—4“+4）=0的通解了（才）=

sin^.r

JT金0,

設(shè)函數(shù)/(l)=?,是常數(shù)）為連續(xù)函數(shù),則“=

a?.r=0

38.

lim/—sin?/一〃sin—\=

I7177)

39.

若3=cos孕+isin”,則1+TC,2+w,=

40.

設(shè)f(jc)=JC(JC+1)(1+2),,,(x+M)，則/“(0)=

41.

42由曲線）=e-y=e及y軸圍成的圖形的面積是

43匕V(-〃----+-1-)-(〃---+--2-)-

ear—atN<0?

函數(shù)/(x)=是連續(xù)函數(shù),則a=

.?COS2JT+I>0

44.

y2

(:r'—T+1)sinjd.r=

45.'

設(shè)函數(shù))?='arctanx,貝!|丁”=

46.

基級數(shù)的收斂域是.

47."Tn3

48設(shè)/(k,_y)=ln(.rz+y2)co&ry?,則f,(1,0)=

49.

設(shè)f(t)dt=jc2+Injr—1,則f(x)=

Ji

設(shè)函數(shù)/(ln.r)-2i+1.則/coin()

三、計(jì)算題（15題）

求極限如（短一答卜

51.

、口(X:1)2(II2)3e，

設(shè)y=—,--------2ky-

52,，工+3(.rH-4)

53.

求微分方程e'cosydr-沙2⑦=0滿足初始條件y心。=0時(shí)的特解.

54.

/sin—+sin2z,i￥0,

設(shè)函數(shù)/(i)=1i用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算/(0).

0,1=0,

已知n=八yzTy",e>),/可微.求學(xué)字.

55.3x辦

56.

設(shè)函數(shù)/(x)=/一j：/(z)dz,求世工)在區(qū)間[0.2]上的最大值與最小值.

設(shè)y=cos[f(12)],其中/'具有二階導(dǎo)數(shù).求也.

57.

設(shè)/(X)的一個(gè)原函數(shù)為一，求

58.

59.

求函數(shù)U=玄//在點(diǎn)p(lJJ)處的梯度和沿該梯度方向的方向?qū)?shù).

將f(j)=-展開為(.r-2)的幕級數(shù).

60.工

求由曲線y=%2與y=x+2所圍成的平面圖形的面積.

61.

62設(shè)函數(shù)y=.y〈i)由方程y=(ini)"?.4確定，求

?rsinxdz

求極限limS—5-------,

°—°x'(er-1)

63.

64.

X=t,

求函數(shù)在點(diǎn)2)處沿曲線Jy=2/,在點(diǎn)M處的切線方

，工2+一+?

z-2?

向的方向?qū)?shù).

65.

已知函數(shù)，=.r(.y)由方程arctan上=In，d+所確定,求乎?.

xdy

四、證明題(10題)

66.

設(shè)函數(shù)下H)=/(］)/(&)(1>o),其中“工)在區(qū)間［”.+8)上連續(xù)，/”(外在

x-a

(a,+8)內(nèi)存在且大于零,求證：FQ)在(a,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

67.

證明：/x/(sin.r)d.r=/(sin.r)cLr,并十卜算—ls^nz—d.r.

Jo4JoJo1+cosjr

證明函數(shù)f(x)=InQ-+46+1)為奇函數(shù).

68.

69.

涯如⑴在M上連家靦好：?！唬萆系娜未W(wǎng)誦微信/⑴血

0</(《w1,證明:在［0,1］上至少有一點(diǎn)&使得/(f)=&

70.

證明不等式：當(dāng)a>b>e時(shí)，2<也'<：(?々2.71828).

aIn。b

71.

已知方程.r11—x7—x3+.r=0有一正根r=1.證明方程1124°—7才，—3T2+1=0

必有一個(gè)小于1的正根.

72.

設(shè)/(x)在［0,c］上可導(dǎo)J(H)單調(diào)遞減且/(0)=0,用拉格朗日中值定理證明：對任

意a.b,04aW64a+6=C,恒有/(?+/>)</(a>

-dzdz

已知二元函數(shù)z=xex,證明：X—+y—=X

73.小川

74.

已知明?。2.%是Ar=b的解,證明:。=3ai—a2—2%為齊次線性方程組Ar=0的解.

75.

已知方程4①+3工?3—V=0有一負(fù)根w=-2,證明方程4+9］2—5w*=0必有一個(gè)

大于一2的負(fù)根.

五、應(yīng)用題(10題)

76.

已知曲線y=a行(a>0)與曲線y=InC在點(diǎn)Q'o，%)處有公切線，試求:

(1)常數(shù)a和切點(diǎn)(4,外);

(2)兩曲線與1軸圍成的平面圖形的面積S.

77.

設(shè)函數(shù)/U)=(.r+2『/(.r),其中/(“在［-2,5］具有二階導(dǎo)致出/(5)=0,

證明:存在Je(-2,5),使尸"⑶=0.

78.

已知D是拋物線L：y=2x和直線z=,所圍成的平面區(qū)域.試求：

(1)區(qū)域Q的面積；

(2)區(qū)域。繞OH軸旋轉(zhuǎn)所形成空間旋轉(zhuǎn)體的體積.

79.

曲線》=￡3(］＞0),直線々+),=2以及.V軸圍成一平面圖形D,試求平面圖形D繞

y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

80.

現(xiàn)有邊長為96厘米的正方形紙板，將其四角各剪去一個(gè)大小相同的小正方形.折做成

無蓋紙箱.問剪區(qū)的小正方形邊長為多少時(shí)做成的無蓋紙箱的容積最大？

81.

由曲線》=(1一1)(X-2)和二軸圍成一平面圖形，求此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所

成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

82.

設(shè)平面圖形D由曲線y=-和直線.y=n=2及］軸圍成.求:

（1）平面圖形D的面積；

（2）這圖形繞I軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

83.

欽做一個(gè)容積為Vn?的無蓋圓柱形儲盤桶，底用鋁制，蟾用械制，已知每平方米

鋁價(jià)是械價(jià)的5倍洞怎樣做才能使費(fèi)用最少.

84.

求由拋物線y=F與直線y=x所圍成的平面圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周

所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

85.

將長為〃的鐵線成兩段，一段圍成正方形，另一段圍成圓形，問這兩段鐵吆長各是多

少時(shí)，正方形與圓形的面積之和最??？

六、綜合題（2題）

已知函數(shù)/（X）=3x—1—fi,

Jo1+r

（1）求/（x）在［0,1］上的最大值；

（2）證明：方程f（j-）=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)根.

86.

設(shè)函數(shù)/(x)=ax3+for2+cz-9具有如下件質(zhì)：

(1)在點(diǎn)x=-1的左側(cè)臨近單調(diào)減少；

(2)在點(diǎn)1r=-1的右側(cè)臨近單調(diào)增加；

(3)其圖形在點(diǎn)(1,2)的兩側(cè)凹凸性發(fā)生改變,

試確定常數(shù)的值.

參考答案

1A因?yàn)?cos.r)3=cos/z+等)，

則(cos.r)‘z。⑻=cos(才+)=cos(.r+10094)=-cos.r,故應(yīng)選A.

2.A

A解析：考查逆矩陣及矩陣乘積.因?yàn)?8C=/,故*=BC,因此3c4=/成立.

3c【精析】由定積分的幾何意義知C正確.

【精析】/"(#)=-c-J,/"(In.r)=-----?

.r

*r1

/(lnj)d.r------------dz=—Irur4-C.故應(yīng)選D.

4.D,'

5.D

設(shè)所求的夾角為夕.則有cos30+cosz45°4-cos260°=I,得cos。=±J.8=60°

或120°,應(yīng)選D.

6.B

［答案1B

【精析】/(.r)的定義域?yàn)椋?,1］,對于來說應(yīng)滿足0&ln.r=1,即14zWe,

故應(yīng)選B.

7.D

［答案］D

【精析】.r/'(.r)cLr=［jd/(a)=J/(j)|—f/(.r)cLr

=2/(2)—/(1)—j/(j-)d.r=2—1—(—1)=2.

故應(yīng)選D.

8.A

［答案］A

【精析】半2cos2fdv

=0?

dx—sin?da”=i

切線斜率A=0,故法線方程為k=cos?=§.故應(yīng)選A.

T/

9.D

1答案」D

【精析】I）項(xiàng)中.函數(shù)/（2）=C在單位圓周內(nèi)有奇點(diǎn)Z=。，而其他二項(xiàng)中的函數(shù)在單

位圓周內(nèi)均解析.故由柯西積分定理知.選項(xiàng)1）中的積分值不為零.

10.B

［答案1B

【精析】直線的方向向量為s=<-1,2,3}.平面的法向量”={2,1,0},由于

s?”=0,直線上的點(diǎn)（0,1,-2）不在平面上，故直線與平面平行,應(yīng)選B.

11.B

由于被積函數(shù)/si；為奇函數(shù)I,「Sbsinjrdj：=0.

12.B

［答案］B

d.v

*n

當(dāng)

O叱

【精析】由于半=d7石-V

2-

一

dr

I>

SI

切線方程為了=1.JLJ.

【精析】lim111=lim件=日，

10sin"LO3、r3

所以與是同階非等價(jià)無窮小.故應(yīng)選

13De?'-1sin3TD.

14.C

【精析】limLinf=lim1f=1f(O)=a.根據(jù)連續(xù)的定義可知a=J.

LO3J-O1333

15.B

B

【評注】本題考查由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)可得

dydy?dyy

y+X'---cosj/--=0,—=------x.

dxdxdrcos7

16.B

17.B

【精析】J/(jJdk=](e"—ef)d_r=|e'dj：-+Je-'d(—h)=e"++C,結(jié)合選項(xiàng)

可知B正確.

18.B

[答案1B

【精析】由/'(幻=1,/'(0)=1可知/(H)=.r+1，所以j/(x)d,r=J(T+1)d.r=

}>+?+(：.應(yīng)選B.

B

【評注】y'=yy'-y-,

y=e^~ldxJ-l-e^~ltkcb:+C=ex(e-x+C)-Cex+1,

v)

將4Ko=2代入y得C=l,y=l+e”.

19.B1

C

【評注】f￡S^dx='(lnx)+C=4+C.

20.C'%x

21.B

B

?1001003

【評注】由p級數(shù)的斂散性知最發(fā)散；由比較判別法知g記扁發(fā)散；袋收

斂；由萊布尼茨判別法知

22.B

23.B

［答案］B

【精析】因?yàn)?(-x>=(-x)sin(-r)==JQ、).所以y=jsinj,是偶函數(shù).

24D【精析】由原函數(shù)及不定積分的定義知，應(yīng)選D.

25.C

【精析】由也十業(yè)=。,得也=一業(yè)，分離變量得一共壯=川”

yXyx

兩邊積分.得)./+G=另即/+V=C為原微分方程的通解，故應(yīng)選C.

26.C

【精析】令，=1+1,則z=f—1,/(,r+1)=f(t)=(f—1產(chǎn).則/(z)=(.x—1)2.

應(yīng)選C.

27.B

rp

dy=d(eJlnjr)=eJdlar+lnxdex=(丁+e'lni)dw,故選B.

28.D

【精析】平面圖形的面積$=「cos2/d.r=皿薯*=】.故應(yīng)選口.

JoZoZ

29.C

—9-1)=物41=全故應(yīng)選。

30.C

［答案1C

【精析】級數(shù)收斂則其和為〃-8時(shí)部分和數(shù)列《5」的極限，即limS“=lim?*?故

LL:―?

應(yīng)選C.

31.

4

【精析】py(a-2)=y|/(.r2)f"(J'')d(.r2)

=yj/(-r2)d[/(.r2)]

=4?產(chǎn)(/)+c

4

32.

^(5V5-1)

【精析】由題意得，

fxds=[-rI(2工4dz=[x，1+da,djr=-j^(l+4x3)7I=心(51).

[答案12

【精析】rh函數(shù)在口=0處連續(xù)，可知)=/(O),

j--U.，T

即Iini(2.r-u)=limS'n*"^=2Iini=a.即a=2.

33,2……”…

34.

y=——x+3V2

35.

4K

[答案]4n

【精析】由二重積分的幾何意義知\±rdy即為積分區(qū)域的面積,

所以JJclrdy=以=4兀.

D

36.

，，ELni'3"+5"w+1n(3/5)"+11

【評注】收斂半徑R=hm---------rr=Inn---lun^--^――=-

n3+5…3(3/5)”+55

?⑶"1⑶"

181+-?181+-

當(dāng)x=-上時(shí)，級數(shù)Z（TT,*收斂，當(dāng)x=±時(shí)，級數(shù)Z發(fā)散,

5gn5*in

所以收斂區(qū)間為卜

37.

2r2r

(；e+C2.re

【精析】微分方程對應(yīng)的特征方程為r2-4r+4=0,得r=2為二重特征根.故通解

2j2l

為為才）Cie+C2xe,Ci,C2為任意常數(shù).

38.

b

［答案］b

【精析】函數(shù)在0時(shí)為初等函數(shù)，在其定義區(qū)間是連續(xù)的，故若函數(shù)為連續(xù)函數(shù),

只需使其在廣=0處也連續(xù)即可,即要滿足=八。），所以a=lim業(yè)也

ri.sin4r,

hhrn-......=IK

”--bx

39.

-1

【精析】考察重要極限lim打竺=1的應(yīng)用.

一0JC

1

sin一

1.1

lim—sin〃-zzsin——=lim—sin??—lim/zsin-=0-lim—L=-i

“f8n“f871；J-*007l“f8_L

n

40.0

［答案］o

【精析】1+w2+w4=1+cos率+isin苧+cos粵十isin=1--y+

OMOM乙

爭=0-

41.

〃！

匚答案1〃！

【精析】=lim,(')---=lim(.r+1)(.r+2)…()+”)=〃!.

j-*uJCz-*0

42.

1

根據(jù)定積分的應(yīng)用?知所求面積為A=f'(e-eJ)d.r=(e.r-e")=1.

Jo0

43.1

［答案11

【精析】￡(；+i，+2)=￡(備-德-1T+H+…

本=一圭七洋尸1,故級數(shù)的和為1.

44.

X

2

，［答案］1

【精析】lim/(x)=lim(e—?)=1—limfix)=lim(?cos2x+JT)=a?由/(x)的

.r-U,r?“.r?n".，-u'

連續(xù)性?知1—4=a?即a=-y.

45.

1—ySinZ

乙

［答案］1-Jsin2

【精析】|/Il)sin2.rd.r=|sinJ.rcLr

=21sin2.rclr=f(1—cos2.r)(lr

Jt>J0

=(x—《sin2H、=1—4~由12.

46.

2

(1+x2)2

解：J，'=arctan'+)，"=1、+"二=?、、

^1+.V-1+X-(1+X-)(1+廣)2

47.

[-33)

[-33)

]

【評注】哥級數(shù)的系數(shù)a,滿足回信=!如色半二=；,所以收斂半徑

方

當(dāng)x=3,級數(shù)變?yōu)檎{(diào)和級數(shù)岸，所以發(fā)散；當(dāng)x=-3,級

8f-IV1

數(shù)變?yōu)榻诲e(cuò)級數(shù)令與=一，因?yàn)?>〃“M，且lim%=O,根據(jù)交錯(cuò)級數(shù)

wne

審斂法(萊布尼茨定理)，級數(shù)￡匕且收斂；所以級數(shù)之二的收斂域?yàn)閇-3,3).

“=4〃"3

48.2

/(x?0)=瓜產(chǎn)，/：(1,0)=(In/)，=1?2]=—=2.

49.

2JC+—

x

m裁加油二d+buT兩酬』求導(dǎo)可得J⑺=(￥+huT)，二

1

2H-.

1

50.

2ex

【精析】因?yàn)?f'(hu)=2.r|1=2e國門，所以『(工)=2eJIl,/(z)=2e\…,

/⑺⑴=2d,所以/<2019)(z)=2e二

51.

lim匚披絲”

【精析】原式=

x*sin.7'

x-ysin2j：

lim-----------

LQJC

1-cos2x

lim

x-0

1(2x)2

2

52.

【精析】兩邊同取自然對數(shù)，得

1nly=21n(工+1)十31n(z+2)--1-ln(x+3)—In(工+4),

乙

兩邊分別對1求導(dǎo)，得

J_，=2,311

7-工+1十4+220+3)一彳+4'

，=工+2-「2上3_]_1：

J工十3(z+4)..*+11+22(x+3)*+4.

53.

解：微分方程可化為電=衛(wèi)；即xe'dx=tanK^，

dxtany

兩端積分可得（x-l^+C^-lnlcosyl，將vLo=O代入，得-1+G=O,即

G=1.故所求特解為ln|cosM=er-xe，-l.

54.

2

sin—+sin2Al

=j/(0+Aa-)-/(0)Ai

【精析】/(0)imlim

Ar-0Al

zA.2?sin2Ai\

lim(Aisin—H----------)=0+1ml嗎

Ar-oA.rAIALOAVT

orsin2Ar

=Llim------=L.0

2Az

55.

【精析】設(shè)〃=+>，D=€，則N=f(U.V),

■■■1?，~?e3?

a工du{E+ydvy

=:---/+-e>/v*

dzdzVc?N工/JT

—=—?—尸—j—?e*??-石

dya”(w+dv\y

56.

【精析】設(shè)y(x)djr=k,

Jc

對/(?的等式兩邊同時(shí)取從0到2的定積分，得「/(力d*=(1<Lr—「Ad八

JGJ0J0

于是k=[/(x)<Lc=掾-2K

JQa

由上式解得k=1■，故/Gr>=/-J，

令f(x)=2x=0得駐點(diǎn)x=Ot

當(dāng)了e(0.2)時(shí)?恒有"n>o?表明/(X)在區(qū)間(0,2)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加.

所以/<0>=-卷是函數(shù)JXG在[0,2]的最小值.

/(2)=是函數(shù)/(x)在[0,2]的最大值.

57.

【精析】據(jù)題意=-sint/(x2)]?/\jr2)?2x=-2ar/，(x2)$inr/(x2)]?

dk

=[-2/"(x2)—4//(12)]5由1/(/)]—4>[八]2)1cos]/(工I)].

58.

【精析】原式=令廠一，:

1t1f]

=*/(，)--y/a)dt

L0ZJo

12

-T1/<1)-Tex01

=T/<1)-Te+T,

又/(.r)=(e/)'=2ie/，/(l)=2e,

所以--1-e+y.

59.

【精析】易見函數(shù)〃在整個(gè)R3中可微，因?yàn)間rad”=（/￡,24爐，2個(gè)葭）,

所以grad”=（1.2.2）,

函數(shù)在點(diǎn)（1,1,1）處沿梯度方向的方向?qū)?shù)為該點(diǎn)處梯度的模：

grad”=JI?+2?+2?=3.

60.

【精析】…

=：*(-1)"(三3”

4n-04

「(jr—2Y

=<o,4).

w-04

61.

2,2(Y2、232°

解：S=j］(x+2)dx-J］，dx=—+2x----=—.

62.

【精析】y=?jr,nz+(1皿/?(x'orY

=?2”+(顯>?(ef

,,ln<Lr)Dtr

=e"rin(lnj-)4-J??r^-?—I-x'+(lnj)?e^'?2lru-?—

iikrxJx

=(In工廠?-ln(lnr)+土］?工聯(lián)+2(1皿尸】?工31

63.

￡sinrd?r-2c

o1-N"sin.L?Lx

原式=lim1_

~7^----=hm-----j----,

/—*0XL。oJy

64.

【精析】曲線在M<1,2,一2)點(diǎn)處對應(yīng)t=1,故切線的方向向量為I(1,4/,

—8/2)|=(1.4,—8)，其單位向量

!(1,4,—8)=

由

2

票|=—^3>(x2+y+z2)-^

OJC|(1.2,-2)11.2.-2)行'

=[(X2+:/十/)一'—y2(x2十十之21I5

=27f

dyI(i,2,-2)I1U2.-2)

=4

-zy(x2+y+z*)-7

(1.2.-2)27

Ju1,4du8du14

于是\—?-----—?—

813,2.<l.2>2>9dy(i.2,2)93z<1,2?2)243,

65.

【精析】方程arctan}=InVx2H-v2兩邊對y求導(dǎo)，得

]

].2m+21y

y/x2-+v22/N+9

X

即=-g—■—f,x-y=