2019年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末模擬考試題庫(kù)200題（含參考答案）

2019年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末測(cè)試復(fù)習(xí)題200題［含

答案］

一、選擇題

1.設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且均服從［0,1］上的均勻分布，則服從均勻分布的是

(B)。

A.XYB.(X,Y)C.X—YD.X+Y

2.已知隨機(jī)變量X的概率密度為/x(x),令y=-2X+3,則丫的概率密度力S)為

(A)o

一；/x(-與馬一與與丁…)D.…)

A.2，B，，

3.設(shè)總體X服從參數(shù)為彳的指數(shù)分布，辦，工2,七，'當(dāng)是一組樣本值，求參數(shù)”的最大

似然估計(jì)。

2=，行"公=》屋亭InL=nIn2-AEx,.

解：似然函數(shù)/=1i=l

dinLnn

——Zx,=0

~dT2日'

4.設(shè)總體X服從參數(shù)為萬(wàn)的指數(shù)分布，苞，工2，七，'七，是一組樣本值，求參數(shù)。的最大

似然估計(jì)。

n1-Xi

L=n-e0

解:，=i0

dinLn14=o(9=1￡X.=X

ni=i

5.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

2x,xG(0,A)

/(X)=

0,其它

求(1)A；(2)分布函數(shù)F(x)；(3)P(-O.5<X<1)?)

(1)Jf(x)dx-￡2xdx-A2-1

解：A=1

(2)當(dāng)x<O0寸，E(x)=J：/QMr=O

當(dāng)0K工<1時(shí)，F(xiàn)(x)=「f(J)dt=「2tdt=x2

J-coJ0

當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)=f=1

J-00

0,x<0

故F(x)=<x2,0<x<1

1,x>1

(3)P(-O.5<X<1)=F⑴一F(-0.5)=l

6.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

/W=j\ok,x+\.0<其x<它2

求⑴k；(2)分布函數(shù)F(x)；(3)P(1.5<X<2.5)

(1)J/(x)tZx=￡(kx+\)dx-^x2+x)|；=2Z+2=1

解：k=-1/2

V

(2)當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(X)=1/(r)J/=O

X2

當(dāng)0Vx<2時(shí)，F(xiàn)(x)=[*x,f(t)dt=c\x(-0.5/+l)J/=——+x

J-gJo4

當(dāng)x>,F(A:)=ff(t)dt=1

J-OO

0,x<0

,x2

故F(x)=<-■—+x,0<x<2

1,x>2

(3)P(1.5<X<2.5)=F(2.5)—F(1.5)=l/16

7.設(shè)某校女生的身高服從正態(tài)分布，今從該校某班中隨機(jī)抽取9名女生，測(cè)得數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算

如下：元=162.6%機(jī)，s=4.2Q7、求該校女生身高方差人的置信度為095的置信區(qū)

間。

2

(已知:笈g2⑻=17.535,a9752(8)=2.18；Zo,^(9)=19.02,Zo.975(9)=2.7)

解：因?yàn)閷W(xué)生身高服從正態(tài)分布，所以

r(〃—1)S~2/1、

UF一~Z()”今一叱八心州2(8)}=0.95

(/?-l)S2(?-l)S2

〃的置信區(qū)間為：1%。25(〃-1)熱975(〃T)J，的置信度0.95的置信區(qū)間為

’8x4.228x4.22、

,17.53552.180)即(8.048,64.734)

7'軍警發(fā)生/=1，2,-,100,

8.設(shè)①(“)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，10'心貝U且

100

y=￡x,.

P(A)=0.6,X|,、2,…，X⑼相互獨(dú)立。令,=1則由中心極限定理知y的分布

函數(shù)尸(y)近似于(B)。

中(*①(*)

A.①⑺B,V24c①(V-60)D.24,

9.一批螺絲釘中，隨機(jī)抽取9個(gè)，測(cè)得數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算如下：元=16.10C7〃，S=2.10CVM。設(shè)螺

絲釘?shù)拈L(zhǎng)度服從正態(tài)分布，試求該批螺絲釘長(zhǎng)度方差b?的置信度為0.95的置信區(qū)間。

222

(已知:備02s2(8)=17.535,ZO.975(8)=2.18；ZOO25(9)=19.02,Zo.975(9)=2.7)

解：因?yàn)槁萁z釘?shù)拈L(zhǎng)度服從正態(tài)分布，所以

〃一2/八

T"_(—1)5Z22

F一~()P{ZO.O25(8)<W<ZO,975(8)}=O.95

(?-l)S2(?-l)S2

/的置信區(qū)間為：〔總。25(〃一1)忘.975(〃-6

’8x2.1028x2.102、

〃的置信度0.95的置信區(qū)間為117.5352,180)即(2.012,16.183)

)X

10.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間［1,2］上服從均勻分布，求Y=e-的概率密度f(wàn)(y)0

1

［答案：當(dāng)仁“yWe”時(shí)，f(y)=2y,當(dāng)y在其他范圍內(nèi)取值時(shí)，f(y)=o.］

11.設(shè)隨機(jī)變量X?N(口，9),Y?N(u,25),記

Pi=P{XK4_3},〃2={丫24+5},則(B)。

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl與p2的關(guān)系無(wú)法確定

12.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

丫_〃，事件A發(fā):生

7=jo,否則,=1'2,…，1?！?，且P（A）=0.7

X],X2,…，X]0G相

100

y=￡x,.

互獨(dú)立。令-='，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)/（）'）近似于（B）。

①（二2）①（匕衛(wèi)）

A.①⑴B,V21c①（k70）D.21）

13.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（x）,則Y=7—5X的密度函數(shù)為（B）

1y-71v-7

A.--A-2—)B.)

5555

C._〈/(一?

)D.)

55

14.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

H事件A發(fā)生.?,

X.=<一,z=1,2,…

0,小則且P（A）=p,X],X29'X”相互獨(dú)

y這X,

立。令（-=）,則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)/（>）近似于（B）。

①（廠叩）①

A.①（y）B.<〃PQ-P）c.①D,秋（i-p）

15.設(shè)X]，X2是任意兩個(gè)互相獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為工（X）和

人（X）,分布函數(shù)分別為片（X）和工（X）,則（B）。

A./（X）+&（X）必為密度函數(shù)B,耳（幻,工（X）必為分布函數(shù)

Cf]（x）+8（X）必為分布函數(shù)D./（x）"2（x）必為密度函數(shù)

16.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

fl,事件A發(fā)生.

A.=<一,Z=1,2,???，九，

0,pj則且P（A）=p,X],X2,,Xn相互獨(dú)

r=￡x,.

立。令-=',則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)尸⑶)近似于(B)。

例廣叩)①(上")

A.①(y)B,，秋(1一，)C.①(丁一”〃)D.〃p(l-p)

17.設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)聯(lián)合密度為

\6x,0<x<y<l;

*、［o,其它.

f(x,y)=I

(1)求(X,Y)分別關(guān)于X和Y的邊緣概率密度f(wàn)X(x),fY(y)；

(2)判斷X,Y是否獨(dú)立，并說(shuō)明理由。

解：(1)當(dāng)x<0或x>l時(shí)，fX(x)=O；

當(dāng)O&W1時(shí)，僅伏尸匚力羽田力可向…武一).

6x-6x2,0<x<1,

因此，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度f(wàn)X(x0)=其丹匕它?

當(dāng)y<0或y>l時(shí)，fY(y)=O；

當(dāng)OWyWl時(shí)，"所口(國(guó)網(wǎng)小城=3/格=3優(yōu)

3y2,0<y<l,

其中

因此，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn)Y(y)=1U0'丹匕.

(2)因?yàn)閒(l/2,1/2)=3/2,而fX(l/2)fY(l/2)=(3/2)*(3/4)=9/8Wf(l/2,1/2),

所以，X與Y不獨(dú)立。

18.若A.B相互獨(dú)立，則下列式子成立的為(A)。

AP(AB)-P(A)P(B)B.P(A8)=OcP(A\B)=P(B\A)D

P(A|B)=P(B)

19.若E(xr)=E(x)E(y),則⑴).

A.X和丫相互獨(dú)立B.X與y不相關(guān)c.D(XY)=D(X)D(Y)D.

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

20.在假設(shè)檢驗(yàn)中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(C)。

A.乩真時(shí)拒絕乩稱為犯第二類錯(cuò)誤。B.凡不真時(shí)接受乩稱為犯第一類錯(cuò)誤。

C.設(shè)P｛拒絕"I"。具）=%P｛接受4I%不真｝=尸，則a變大時(shí)￡變小。

D.二.夕的意義同（C）,當(dāng)樣本容量一定時(shí)，&變大時(shí)則萬(wàn)變小。

1,事件A發(fā)生

xi=i=l,2,…，100,

21.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，0,否則日

I旦

100

y=JX.

P（A）=0.3,X|,X2,…，相互獨(dú)立。令/=1則由中心極限定理知y的分布

函數(shù)Ry）近似于（B）。

7

C.21JD①U-30)

A.①(y)

22.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望EX=口，方差DX=o2,XI,X2,X3,X4是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)

單隨機(jī)樣本，則下列U的估計(jì)量中最有效的是(D)

A.—X\X)HXR4XqB.—X|H—X)H—Xq

616233333'3233

C.-X、H—X1XaX&D.-X]+-XrHX34—XA

515253544'424344

23.隨機(jī)抽取某種炮彈9發(fā)做實(shí)驗(yàn)，測(cè)得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=3（m/s）,設(shè)炮口速度服

從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的方差0的置信度為0.95的置信區(qū)間。

2

（已知:8通⑻=17.535,ZO975（8）=2.18;⑼=0⑴，心975）⑼=2.7）

因?yàn)榕诳谒俣确恼龖B(tài)分布，所以

4力(〃1)P{篇二(8)<WM%O,9752(8)}=O.95

'(rt-l)S2(rt-l)S2、

的置信區(qū)間為:

f8x98x9

b?的置信度0.95的置信區(qū)間為117.535'2.180即(4.106,33.028)

’76、

24.已知隨機(jī)向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為6I。9)

求隨機(jī)向量(X+Y,X-Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)=7+9+2*6=28

D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=7+9?2*6=4

Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=7-9=-2

_G?v(x+y,x-y)__2_-i

Px+YX-Y~jz)(x+y)j￡)(x-y)-V28*V4-V28

"28-2、

-24

所以，(X+Y,X—Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為I"和

fl*

V28

A1

25.連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)必滿足條件(C)。

A.0</(x)<lB.在定義域內(nèi)單調(diào)不減

C.ff[.x}dx=1D.limf(x)=1

J-ocXf+00

26.某廠由甲.乙.丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為3：2：1,各車間產(chǎn)品的

不合格率依次為8%,9%,12%o現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意抽取一件，求：(1)取到不合格產(chǎn)

品的概率；(2)若取到的是不合格品，求它是由甲車間生產(chǎn)的概率。(同步45頁(yè)三.1)

解：設(shè)Al,A2,A3分別表示產(chǎn)品由甲.乙.丙車間生產(chǎn)，B表示產(chǎn)品不合格，則Al,A2,

A3為一個(gè)完備事件組。P(A1)=1/2,P(A2)=l/3,P(A3)=l/6,

P(B|Al)=0.08,P(B|A2)=0.09,P(B|A3)=0.12。

由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|Al)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.09

由貝葉斯公式：P(A1|B)=P(A1B)/P(B)=4/9

27.正常人的脈搏平均為72次/分，今對(duì)某種疾病患者9人，測(cè)得其脈搏為(次/分)：

28.715.114.815.015.314.915.214.615.1

已知方差不變。問(wèn)在°=805顯著性水平下，新機(jī)器包裝的平均重量是否仍為15?

(已知：%05a5)=2.131,%0s(14)=2.145,U0025=1.960)

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是〃一八選擇統(tǒng)計(jì)量在〃。成立時(shí)

U~N(0,l)

?{|。1>的皿}=0.05取拒絕域w={IU?L960}

9MD一0.3/3-°-33|“<L960

x==14.967

經(jīng)計(jì)算7

接受“。，即可以認(rèn)為袋裝的平均重量仍為15克。

29.已知某味精廠袋裝味精的重量X?N(M，4),其中〃=54=0.09,技術(shù)革新

后，改用新機(jī)器包裝。抽查9個(gè)樣品，測(cè)定重量為(單位：克)

30.已知某煉鐵廠在生產(chǎn)正常的情況下，鐵水含碳量X服從正態(tài)分布N(4?55,0.1F)。現(xiàn)

抽測(cè)了9爐鐵水，算得鐵水含碳量的平均值亍=4445,若總體方差沒(méi)有顯著差異，即

0-2=0.11\問(wèn)在。=°。5顯著性水平下，總體均值有無(wú)顯著差異？

(已知：

/005(9)=2.262,Z005(8)=2.306,UO()25=1.960)

u=x

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是"。：4=4.5選擇統(tǒng)計(jì)量b/血在"。成立時(shí)

U~N(0,l)

尸{|U|>w0025)=0.05取拒絕域w={?1>1-960}

山二尸"二4.445-甜=2.864

由樣本數(shù)據(jù)知\(y/4n\0.11/3M>L96()拒絕名,即

認(rèn)為總體均值有顯著差異。

31.某廠生產(chǎn)銅絲，生產(chǎn)一向穩(wěn)定，現(xiàn)從其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10段檢查其折斷力，測(cè)得

10

x=287.5,Za一?！?1605

I。假定銅絲的折斷力服從正態(tài)分布，問(wèn)在顯著水平

[=°」下，是否可以相信該廠生產(chǎn)的銅絲折斷力的方差為16?

22

(已知：%.052(10)=18.31,ZO95(1O)=3.94;ZO.O5(9)=16.9,4095?(9)=3.33)

,明(-

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是選擇統(tǒng)計(jì)量b?在“。成立時(shí)

⑼

也2小9)>卬>人95⑼}=0.90

取拒絕域w={W>16.92,W<3.33}

,W=1=1003

由樣本數(shù)據(jù)知(〃-IB=160.51616.92>10.03>3.33

接受“。，即可相信這批銅絲折斷力的方差為16。

32.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

X=?，事件A發(fā)生；,=12…1（K）

1o,否則。且尸（A）=0.1,X|,Xi（）o相互獨(dú)

100

y這x,

立。令,則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)E（y）近似于（B）。

①（鐘

A.①⑶）B.3c①（3y+l0）D.①（9>+1°）

33.設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件，則下列等式中（C）是不正確的。

AP（AB）=P（A）P（B），其中A,B相互獨(dú)立B.P（A3）=P（3）PW）,其中

P（B）HO

C.P（AB）=P（A）P（B）,其中A,B互不相容D,尸⑺與=P（A）P（@A）,其中

P（A）H0

34設(shè)①（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

X=『，事件A發(fā)生；,=12…io。

10,否則。且P（A）=0.1,X],X2f-,Xg相互獨(dú)

y=￡1x00,.

立。令（=），則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)/（>）近似于（B）。

①厘）

A.①⑴B.3'c①（3y+l°）D①（9y+l0）

35.設(shè)①（燈為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

vfl,事件A發(fā)生；.?c,A

Xi=<】=1,2,???，100,

0，否人（J；且P（A）=0.8,X],XZ,…,X]0G相

100

Y=XXi

互獨(dú)立。令，則由中心極限定理知y的分布函數(shù)尸⑶）近似于（B）o

①（—0）

A.力（y）B.4'c.①（16y+80）D①（4y+80）

36.設(shè)（X|，X2，…,X,,）為總體N（1,22）的一個(gè)樣本，滅為樣本均值，則下列結(jié)論中正

確的是（D）。

v_11“y_1

----廣~-1尸~尸（〃，1）—f=~產(chǎn)~N（0,l）

A.2/AM；B.4占;c.；D.

-1J”(X,-1)2~z2(n)

41=1；

37.設(shè)隨機(jī)變量X?N(u,9),Y?N(N,25),記

｛｝則(

px=P[X<JU-3｝，P2=y>//+5>B)°

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl與p2的關(guān)系無(wú)法確定

38.在假設(shè)檢驗(yàn)中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(C)。

A."1真時(shí)拒絕乩稱為犯第二類錯(cuò)誤。B.凡不真時(shí)接受乩稱為犯第一類錯(cuò)誤。

C.設(shè)「｛拒絕?"。真｝=0,P｛接受“01”o不真｝=尸，則a變大時(shí)夕變小。

D.的意義同(C),當(dāng)樣本容量一定時(shí)，。變大時(shí)則僅變小。

39.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/(x)=ce國(guó)，貝|」c=。

J__1_

(A)-2(B)0(C)2(D)1

40.設(shè)A,B為隨機(jī)事件，P(8)>0,P(A|B)=1,則必有(A)。

A尸(AU8)=P(A)B.An8C,玖&=尸(或D.尸(AB)=P(A)

41.若E(xr)=E(x)E(y),則⑴)o

A.X和丫相互獨(dú)立B.X與y不相關(guān)c.D(XY)=D(X)D(Y)D

o(x+y)=￡>(x)+z)(y)

42.設(shè)隨機(jī)事件A與B互不相容，且P(A)>P(5)>0,則(口)。

AP(A)=1—P(8)B.P(AB)=P(A)P(B)c.尸(AuB)=lD

P(AB)=1

43.拋擲3枚均勻?qū)ΨQ的硬幣，恰好有兩枚正面向上的概率是

O

(A)0.125,(B)0.25,(C)0.375,(D)0.5

44.若A.B相互獨(dú)立，則下列式子成立的為(A)。

AP(AB)=P(A)P(B)B.尸(A5)=0cP(A\B)=P(B\A)D

P(A|B)=P(B)

45.某廠生產(chǎn)某種零件，在正常生產(chǎn)的情況下，這種零件的軸長(zhǎng)服從正態(tài)分布，均值為

0.13厘米。若從某日生產(chǎn)的這種零件中任取10件，測(cè)量后得元=°146

厘米，S=0.016厘米。問(wèn)該日生產(chǎn)得零件得平均軸長(zhǎng)是否與往日一樣？（a=0.05）

（同步52頁(yè)四.2）【不一樣】

46.設(shè)隨機(jī)變量X?N(U,81),Y?N(U,16),記

0=P{X9},2={卜2〃+4},則(B)。

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl與p2的關(guān)系無(wú)法確定

47.設(shè)某校學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，今從該校某班中隨機(jī)抽查10名女生，測(cè)得數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)

算如下：元=16267,.1=18.43。求該校女生平均身高的95%的置信區(qū)間。

T=?-1）,

解：S;&，由樣本數(shù)據(jù)得〃=10,亍=16267,s~=18.43,2=0.05

查表得：t0.05（?）=2.2622,故平均身高的95%的置信區(qū)間為

（元Tow⑼吃，元+<05⑼為=（159.60,165.74）

48.設(shè)總體x的概率密度為

(e+i)d,0<x<l

f(x)=

0,其他

其中未知參數(shù)。>-1,X】，X2，一?X“是取自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，用極大似然估計(jì)法求

e的估計(jì)量

〃。)=口(。+1)非(0<X,.<1;?=1,2,.??,?)

解：設(shè)似然函數(shù)Z=1

對(duì)此式取對(duì)數(shù)即

lnL（6）=〃ln（e+l）+e>JnXjd\nL

且dO

n

0=-\

d\nL八x

--------=0,ZIn'

令dO可得i,此即°的極大似然估計(jì)量。

49.袋裝食鹽，每袋凈重為隨機(jī)變量，規(guī)定每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為500克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克，一箱

內(nèi)裝100袋，求一箱食鹽凈重超過(guò)50250克的概率。（課本117頁(yè)41題）

50.已知隨機(jī)變量X和y相互獨(dú)立，且它們分別在區(qū)間［-1,3］和［2,4］上服從均勻分

布，則鳳XK)=(A)。

A.3B.6C.10D.12

51.有」個(gè)球，隨機(jī)地放在n個(gè)盒子中(yWn),則某指定的Y個(gè)盒子中各有一球的概率

為。

/!crZl匹C"—

(A)(B)”(C)7"(D)//“

52.工廠生產(chǎn)一種零件,其口徑X(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(〃，b2),現(xiàn)從某日生產(chǎn)的零件

中隨機(jī)抽出9個(gè)，分別測(cè)得其口徑如下：

53.其平均壽命為1070小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=109小時(shí)。問(wèn)在a=°Q5顯著性水平下，檢

測(cè)燈泡的平均壽命有無(wú)顯著變化？

(已知：

/005(9)=2.262,Z005(8)=2.306,UO()25=1.960)

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)為%：〃=U2°

T.一〃

V

選擇統(tǒng)計(jì)量/樂(lè)當(dāng)"。成立時(shí)，T?t(8)81丁乜05(8)}=。05

取拒絕域亞={⑺>2306}由已知

1070-1120

=1.376

喝

|T|<2.306接受”。，即認(rèn)為檢測(cè)燈泡的平均壽命無(wú)顯著變

化。

54.某手表廠生產(chǎn)的男表表殼在正常情況下，其直徑(單位:mm)服從正態(tài)分布N(20,1)。在

某天的生產(chǎn)過(guò)程中，隨機(jī)抽查4只表殼，測(cè)得直徑分別為：19.519.820.020.5.

問(wèn)在a=0.05顯著性水平下，這天生產(chǎn)的表殼的均值是否正常？

(已知:如5(4)=2.776,%5(3)=3/82,C7oa25=1.960)

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)為“。：〃=20選擇統(tǒng)計(jì)量/yin當(dāng)"。成立時(shí)，u?

P{|UI>％.=0.05

14

亍=一2：芍=19.95|U|<1.960

取拒絕域w={|t/|>L960}經(jīng)計(jì)算4,=l

接受”。，即認(rèn)為表殼的均值正常。

55.已知某煉鐵廠在生產(chǎn)正常的情況下，鐵水含碳量X服從正態(tài)分布，其方差為0.03。在

某段時(shí)間抽測(cè)了10爐鐵水，測(cè)得鐵水含碳量的樣本方差為0.0375?試問(wèn)在顯著水平

a=0.05下，這段時(shí)間生產(chǎn)的鐵水含碳量方差與正常情況下的方差有無(wú)顯著差異？

(已知:力00252a0)=20.48,a975?。。)=3.25,%,02s2⑼=19.02,%。二⑼=2.7)

STU

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是=80選擇統(tǒng)計(jì)量/在“。成立時(shí)

⑼

22

^{ZO,O25(9)>W>ZO.975(9)}=O.95

取拒絕域亞=嚴(yán)>及023,W<2.7()。}

W=("1)S2=9X0.0375=]]25

003

由樣本數(shù)據(jù)知。一

19.023>11.25>2.700

接受“。，即可相信這批鐵水的含碳量與正常情況下的方差無(wú)顯著差異。

56.某巖石密度的測(cè)量誤差X服從正態(tài)分布"("，0?),取樣本觀測(cè)值*個(gè)，得樣本方差

S?=0.04,試求cr2的置信度為95%的置信區(qū)間。

2

(已知：ZO.O25(16)=28.845,&9752a6)=6.908；400252a5)=27.488,%09752a5)=6.262)

解：由于x~Ms)所以

...(〃—1)S~2/八

w=-----，---/■(?-!)P優(yōu).2a5)WW〈友-(15)}=0.95

O--025

22

((H-DS(n-D5

)

2力0.025-1)為0.975("-1)

。一的置信區(qū)間為:

'15x0.0415x0.04

即(0.022,0.096)

ae的置信度0.95的置信區(qū)間為:、27.488'6.262

57.已知某批銅絲的抗拉強(qiáng)度X服從正態(tài)分布'（〃，。?）。從中隨機(jī)抽取9根，經(jīng)計(jì)算得

其標(biāo)準(zhǔn)差為8.069。求人的置信度為0.95的置信區(qū)間。

（已知:您必⑼=19.023,總%（9）=27/必⑻=17.535,Z^5（8）=2.180）

解：由于抗拉強(qiáng)度服從正態(tài)分布所以，

(〃-1)S2/

W=----；----22

(y~^ZO.O25(8)<W<Z0,975(8)}=0.95

(H-1)52(?-1)52

()

Zo.025(〃—1)40.975(〃—1)

的置信區(qū)間為:

’8x8.06928x8.0692

的置信度為0.95的置信區(qū)間為I05352.180(29.705,238.931)

(nn

y~，b|J

58.614.715.114.914.815.015.115.214.7

已知零件口徑X的標(biāo)準(zhǔn)差=°.15,求〃的置信度為0.95的置信區(qū)間。

(已知：/005(9)=2.262,/005(8)=2.306,￡70025=1.960)

U=x-*~N(0,1)

解：由于零件的口徑服從正態(tài)分布，所以b/冊(cè)P{|U|</3人0.95

9

=

(X一“0.025~r，X+WOO25_7=^X==2X]=14.9

所以〃的置信區(qū)間為：7"經(jīng)計(jì)算T

M的置信度為0.95的置信區(qū)間為(14.9-1.96*券,14.9+1.96、竽即

(14,802,14.998)

59.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

X2

F(x)-<+Be2,x>0

[0,其它

求(1)A,B；(2)密度函數(shù)f(x)；(3)P(1<X<2)?

(1)limF(x)=A=]

Xf+oo

lim1'(x)=A+8=0

.10*

解：8=T

(2)

x2/2

、口，/、\xe-,x>0

f(x)=F(x)=<

0,x<()

-2

⑶P(1<X<2)=F(2)—F(l)=e

60.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

0<x<\

/(x)="

Io,其它

求(1)a；(2)X的分布函數(shù)F(x)；(3)P(X>0.25)?

(1)f(x)dx=￡a\[xdx=go=1

解:a=3/2

(2)當(dāng)x<0時(shí),F(x)=「f(t)dt=O

J-co

當(dāng)04x<l時(shí),F(x)=]=皆&dt=x3/2

當(dāng)x210寸,F(x)=\\f(t)dt=\

0,x<0

故F(x)=<0<x<l

1,x>\

⑶P(X>l/4)=1—F(l/4)=7/8

61.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x),則Y=5—2X的密度函數(shù)為(B)

y-5■V-5

A.--/(-)B.—/(-)

2222

y+5y+5

C.--/(-)D.—/(-)

2222

P(2)=—

62.設(shè)總體X服從參數(shù)為％的泊松分布*(%=0,1,),其中4>°為

未知參數(shù)，玉，工2，工3，，當(dāng)是一組樣本值，求參數(shù)力的最大似然估計(jì)。

n

匕=口"”Jr

i=l%!

n%,.!InL=Vx(.ln/l-y^ln(x;!)-n2

解：似然函數(shù)i=l/=1

^LL=ii_n=Q

daAn

63.設(shè)X”X2是任意兩個(gè)互相獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為工（工）和

力（無(wú)），分布函數(shù)分別為耳（X）和B（x）,則（B）。

A.工@）+%（X）必為密度函數(shù)B,耳（%）.工（無(wú)）必為分布函數(shù)

C.尸（1幻+居（幻必為分布函數(shù)D,工（X）,人（X）必為密度函數(shù)

「92、

21

64.已知隨機(jī)向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為'”')

求隨機(jī)向量(X+Y,X-Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=9+1+2*2=14

D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=9+l-2*2=6

Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=9-1=8

_Cov(X+y,X—y)_8_4

Px+Y-x-Y~j￡>(x+y)jo(x-y)--V21

q4、

所以，（X+Y,X-Y）的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為186；和

4

1

V21

4

、不1

65.已知隨機(jī)變量X?N（0,1）,求Y=|X|的密度函數(shù)。

解：當(dāng)yWO時(shí)，F(xiàn)Y（y）=P（YWy）=P（|X|Wy）=O；

當(dāng)y>0時(shí),FY(y)=P(YWy)=P(|X|Wy)=「㈠&X"y)

-x2,1dx=2~x2,2dx

因此，fY（y）=1°，

66設(shè)二元隨機(jī)變量（XY）的聯(lián)合密度是

10Tx+y)

x>0,y>0

f(x,y)=2500

0others

求：(1)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)fX(x)；(2)P{X250,Y250}

(同步52頁(yè)三.4)

[Ax0<x<2

f(x)={

67.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為I0°thers

求：(1)常數(shù)入；(2)EX；(3)P{1<X<3|；(4)X的分布函數(shù)F(x)(同步47頁(yè)三.2)

r+00廣2

f(x)dx=Axdx=1

解：(1)由jo得到入=1/2

2

EX-Jxf(x)dx=(gx=g

3r：

P{l<x<3f(x)dx=J也時(shí)=3

(3)24

F(x)=['Qdt=0

(4)當(dāng)x<0時(shí)，J-

F(x)=ff(t)dt-[Odlr+f—tdt=—x2

當(dāng)0?x<2時(shí)，J"晨J。24

當(dāng)x22時(shí)，F(xiàn)(x)=1

0%<0

1,

F(x)=<~x20<x<2

68.設(shè)X-是來(lái)自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則最有效的無(wú)偏估計(jì)是(A)。

111213

〃=-X1+—X,

12^=-X.1+-X2p=-X.1+-X,2

A.22B,33c,44D.

23

〃=-+—X,

5152

69.已知某鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.112),現(xiàn)在測(cè)定了9爐鐵水，含

碳量平均數(shù)元=4.445,樣本方差S2=0.0169。若總體方差沒(méi)有變化，即。2=0.121,

問(wèn)總體均值U有無(wú)顯著變化？(a=0.05)(同步50頁(yè)四.1)

解：原假設(shè)HO：u=4.55

元—4.55

u=

0.11/J5,當(dāng)H0成立時(shí)，U服從N（0,

統(tǒng)計(jì)量1）

對(duì)于a=0.