江蘇省大豐市實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

江蘇省大豐市實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，則的值等于（）A． B． C． D．2．由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則“a1>0”是“S9>S8”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上是增函數(shù)的是（）．A． B．C． D．4．已知，則下列不等式正確的是（）A． B．C． D．5．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且點(diǎn)到該漸近線的距離為，則雙曲線的實(shí)軸的長為A． B．C． D．6．為了貫徹落實(shí)黨中央精準(zhǔn)扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過統(tǒng)計(jì)繪制如圖，其中各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)不重復(fù)．若該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．該市總有15000戶低收入家庭B．在該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1800戶C．在該市無業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶D．在該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有800戶7．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題；“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次后腳痛遞減半，六朝才得到其關(guān)，要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其意思為：“有一個(gè)人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，求該人每天走的路程.”由這個(gè)描述請算出這人第四天走的路程為（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里8．已知為一條直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9．過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)滿足，且時(shí)，，則（）A．2 B． C．1 D．11．若的展開式中的系數(shù)為150，則（）A．20 B．15 C．10 D．2512．棱長為2的正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，過正方體中兩條異面直線，的中點(diǎn)作直線，則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為（）A． B． C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為1的正方體中，記平面為，平面為，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，.給出下列四個(gè)結(jié)論：①為的重心；②；③當(dāng)時(shí)，平面；④當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為.其中，所有正確結(jié)論的序號是________________.14．已知多項(xiàng)式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝________，a5＝________．15．展開式中的系數(shù)為________．16．設(shè)向量，，且，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的面積為，且.（1）求角的大小及長的最小值；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，且，的平分線交于點(diǎn)，求線段的長.18．（12分）如圖，正方形是某城市的一個(gè)區(qū)域的示意圖，陰影部分為街道，各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等，處為紅綠燈路口，紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下：先直行綠燈30秒，再左轉(zhuǎn)綠燈30秒，然后是紅燈1分鐘，右轉(zhuǎn)不受紅綠燈影響，這樣獨(dú)立的循環(huán)運(yùn)行.小明上學(xué)需沿街道從處騎行到處（不考慮處的紅綠燈），出發(fā)時(shí)的兩條路線（）等可能選擇，且總是走最近路線.（1）請問小明上學(xué)的路線有多少種不同可能？（2）在保證通過紅綠燈路口用時(shí)最短的前提下，小明優(yōu)先直行，求小明騎行途中恰好經(jīng)過處，且全程不等紅綠燈的概率；（3）請你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值，為小明設(shè)計(jì)一條最佳的上學(xué)路線，且應(yīng)盡量避開哪條路線？19．（12分）如圖，在平行四邊形中，，，現(xiàn)沿對角線將折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，點(diǎn)M，N分別在直線，上，且A，B，M，N四點(diǎn)共面.（1）求證：；（2）若平面平面，二面角平面角大小為，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）如圖，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）健身館某項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每次60元，現(xiàn)推出會(huì)員優(yōu)惠活動(dòng)：具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：現(xiàn)隨機(jī)抽取了100為會(huì)員統(tǒng)計(jì)它們的消費(fèi)次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：假設(shè)該項(xiàng)目的成本為每次30元，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題：（1）估計(jì)1位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率（2）某會(huì)員消費(fèi)4次，求這4次消費(fèi)獲得的平均利潤；（3）假設(shè)每個(gè)會(huì)員每星期最多消費(fèi)4次，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率，從會(huì)員中隨機(jī)抽取兩位，記從這兩位會(huì)員的消費(fèi)獲得的平均利潤之差的絕對值為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望22．（10分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)，試討論的單調(diào)性；（2）若，，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得，【詳解】∵其中為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選：B【點(diǎn)睛】函數(shù)奇偶性的運(yùn)用即得結(jié)果，小記，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)有：①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)；②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)；⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)2、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：若{an}是等比數(shù)列，則，

若，則，即成立，

若成立，則，即，

故“”是“”的充要條件，

故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵.3、B【解析】

奇函數(shù)滿足定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且，在上即可.【詳解】A：因?yàn)槎x域?yàn)?，所以不可能時(shí)奇函數(shù)，錯(cuò)誤；B：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足奇函數(shù)，又，所以在上，正確；C：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足奇函數(shù)，，在上，因?yàn)?，所以在上不是增函?shù)，錯(cuò)誤；D：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，滿足奇函數(shù)，在上很明顯存在變號零點(diǎn)，所以在上不是增函數(shù)，錯(cuò)誤；故選：B【點(diǎn)睛】此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，注意奇偶性的前提定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，屬于簡單題目.4、D【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合條件的選項(xiàng)，得到符合條件的選項(xiàng)．【詳解】已知，賦值法討論的情況：（1）當(dāng)時(shí)，令，，則，，排除B、C選項(xiàng)；（2）當(dāng)時(shí)，令，，則，排除A選項(xiàng).故選：D.【點(diǎn)睛】比較大小通常采用作差法，本題主要考查不等式與不等關(guān)系，不等式的基本性質(zhì)，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項(xiàng)，得到符合條件的選項(xiàng)，是一種簡單有效的方法，屬于中等題．5、B【解析】

雙曲線的漸近線方程為，由題可知．設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，解得，所以，解得，所以雙曲線的實(shí)軸的長為，故選B．6、D【解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計(jì)圖表，對選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，即可得到正確答案.【詳解】解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%，則該市總有低收入家庭900÷6%＝15000（戶），A正確，該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（戶），B正確，該市無業(yè)人員中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（戶），C正確，該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有15000×4%＝600（戶），D錯(cuò)誤．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查對統(tǒng)計(jì)圖表的認(rèn)識(shí)和分析，這類題要認(rèn)真分析圖表的內(nèi)容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

設(shè)第一天走里，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由題意得，求出（里，由此能求出該人第四天走的路程．【詳解】設(shè)第一天走里，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由題意得：，解得（里，（里．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的某一項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．8、D【解析】A.若，則或，故A錯(cuò)誤；B.若，則或故B錯(cuò)誤；C.若，則或，或與相交；D.若，則，正確.故選D.9、C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點(diǎn)，∴，則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴，即.∴雙曲線的離心率為故選C.點(diǎn)睛：本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查了離心率的求解，同時(shí)涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關(guān)系應(yīng)用，對于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．10、D【解析】

說明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值．【詳解】由知函數(shù)的周期為4，又是奇函數(shù)，，又，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ)．11、C【解析】

通過二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)分析得到，即得解.【詳解】由已知得，故當(dāng)時(shí)，，于是有，則.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)和系數(shù)問題，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.12、C【解析】

連結(jié)并延長PO，交對棱C1D1于R，則R為對棱的中點(diǎn)，取MN的中點(diǎn)H，則OH⊥MN，推導(dǎo)出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長．【詳解】如圖，MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段連結(jié)并延長PO，交對棱C1D1于R，則R為對棱的中點(diǎn)，取MN的中點(diǎn)H，則OH⊥MN，∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝，∴MH＝＝＝，∴MN＝．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②③【解析】

①點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直，所以直線垂直于平面，而為正三角形，可得為正三角形的重心，所以①是正確的；②取的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)在平面的正投影在上，記為，而平面平面，所以，所以②正確；③若設(shè)，則由可得，然后對應(yīng)邊成比例，可解，所以③正確；④由于，而的面積是定值，所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，而當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)為棱長為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)?，連接，則有平面平面為正三角形，所以為正三角形的中心，也是的重心，所以①正確；由平面，可知平面平面，記，由，可得平面平面，則，所以②正確；若平面，則，設(shè)由得，易得，由，則，由得，，解得，所以③正確；當(dāng)與重合時(shí)，最大，為棱長為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯(cuò)誤.故答案為：①②③【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關(guān)系，求幾何體的體積，考查空間想象能力和推理能力，屬于難題.14、164【解析】

只需令x＝0，易得a5，再由(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3，可得a4＝＋2＋.【詳解】令x＝0，得a5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，而(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)3[(x＋1)2＋2(x＋1)＋1]＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3；則a4＝＋2＋＝5＋8＋3＝16.故答案為：16,4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式展開中的特定項(xiàng)的求解，可以用賦值法也可以用二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式求解，屬于中檔題.15、30【解析】

先將問題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的系數(shù)問題，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的第項(xiàng)，令的指數(shù)分別等于2，4，求出特定項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】由題可得：展開式中的系數(shù)等于二項(xiàng)式展開式中的指數(shù)為2和4時(shí)的系數(shù)之和，由于二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，得展開式的的系數(shù)為，令，得展開式的的系數(shù)為，所以展開式中的系數(shù)，故答案為30.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的問題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積的計(jì)算，以及向量的平方，簡單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：且由所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)計(jì)算，主要考查計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）根據(jù)面積公式和數(shù)量積性質(zhì)求角及最大邊；（2）根據(jù)的長度求出，再根據(jù)面積比值求，從而求出．【詳解】（1）在中，由，得，由，得，所以，所以，，因?yàn)樵谥?，，所以，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），所以長的最小值為；（2）在三角形中，因?yàn)闉橹芯€，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，由?）知，所以，或，，所以，因?yàn)闉榻瞧椒志€，，，或2，所以，或，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算,余弦定理解三角形及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．18、（1）6種；（2）；（3）.【解析】

（1）從4條街中選擇2條橫街即可；（2）小明途中恰好經(jīng)過處，共有4條路線，即，，，，分別對4條路線進(jìn)行分析計(jì)算概率；（3）分別對小明上學(xué)的6條路線進(jìn)行分析求均值，均值越大的應(yīng)避免.【詳解】（1）路途中可以看成必須走過2條橫街和2條豎街，即從4條街中選擇2條橫街即可,所以路線總數(shù)為條.（2）小明途中恰好經(jīng)過處，共有4條路線：①當(dāng)走時(shí)，全程不等紅綠燈的概率；②當(dāng)走時(shí)，全程不等紅綠燈的概率；③當(dāng)走時(shí)，全程不等紅綠燈的概率；④當(dāng)走時(shí)，全程不等紅綠燈的概率.所以途中恰好經(jīng)過處,且全程不等信號燈的概率.（3）設(shè)以下第條的路線等信號燈的次數(shù)為變量，則①第一條：，則；②第二條：，則；③另外四條路線：；；，則綜上，小明上學(xué)的最佳路線為；應(yīng)盡量避開.【點(diǎn)睛】本題考查概率在實(shí)際生活中的綜合應(yīng)用問題，考查學(xué)生邏輯推理與運(yùn)算能力，是一道有一定難度的題.19、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)余弦定理，可得，利用//，可得//平面，然后利用線面平行的性質(zhì)定理，//，最后可得結(jié)果.（2）根據(jù)二面角平面角大小為，可知N為的中點(diǎn)，然后利用建系，計(jì)算以及平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）不妨設(shè)，則，在中,，則，因?yàn)椋裕驗(yàn)?/，且A、B、M、N四點(diǎn)共面，所以//平面.又平面平面，所以//.而，.（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平面，，因?yàn)椋云矫?，，因?yàn)?，平面與平面夾角為，所以，在中，易知N為的中點(diǎn)，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，令，得.設(shè)與平面所成角為，則.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的性質(zhì)定理以及線面角，熟練掌握利用建系的方法解決幾何問題，將幾何問題代數(shù)化，化繁為簡，屬中檔題.20、(1)證明見解析(2)【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，由三角形中位線定理得，由此能證明平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】證明：證明：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)．又是的中點(diǎn)，連接，則．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）由，可得：，即所以又因?yàn)橹崩庵?，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個(gè)法向量為，同理可得平面的一個(gè)法向量為，則所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、