2021-2022學(xué)年北京市延慶區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2021-2022學(xué)年北京市延慶區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

i.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定位置填寫本人準考證號、姓名等信息.考

生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、

姓名是否一致.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.非選擇題答案用0.5毫米黑色墨水簽字

筆在答題卡上相應(yīng)位置書寫作答，在試題卷上答題無效.

3.作圖可先使用2B鉛筆畫出，確定后必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆描黑.

一、選擇題

1.下列圖形都是由兩個全等三角形組合而成，其中是軸對稱圖形的是（）

2.若如圖中的兩個三角形全等，圖中的字母表示三角形的邊長，則/I的度數(shù)為（）

a/10

4o°

A.40°B.50°

若，=一1,則下列分式的值為（）的是（）

下列各式中與四是同類二次根式的是（）

A.\/6B.79D./18

5,下列計算錯誤的是（）

A.y（-3）2=3B.V3XV2=VGc.+=D.瓜?瓜=瓜

6,下列運算正確的是（）

r6B-W1+3x^±y=-i

A.§=D.

V+3yx-y

7.以下列各組數(shù)為邊長，不能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.5,12,13B.1,2,VsC.1,存2D.4,5,6

8.如圖所示在△48。中，邊上的高線畫法正確的是（）

BHC

9.

10.

11.為慶祝建黨100周年，某郵政局推出紀念封系列，且所有紀念封均采用形狀、大小、

質(zhì)地都相同的卡片，背面分別印有“改革、開放、民族、復(fù)興”的字樣，正面完全

相同.如下圖，現(xiàn)將6張紀念封洗勻后正面向上放在桌子上，從中隨機抽取一張,

抽出的紀念封背面恰好印有“改革”字樣的可能性大小是

改革民族開放復(fù)興改革復(fù)興

12.如圖，線段43,相交于點O,AO=BO,添

加一個條件，能使△40。三△8。0,所添加的條件

的是.

13,等腰三角形一邊長為5,另一邊長為8,則其周長是

14.小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)，只

用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的

平分線.如圖：一把直尺壓住射線OB,另一把直尺

壓住射線并且與第一把直尺交于點P,小明說:

“射線OP就是的角平分線.“小明的做法,

其理論依據(jù)是.

第2頁，共23頁

15.小麗同學(xué)在學(xué)習(xí)了利用勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的方法后，進行如下操作：首

先畫數(shù)軸，原點為O,在數(shù)軸上找到表示數(shù)2的點4,然后過點工作

且4B=1；再以。為圓心，OB的長為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點P,如圖，

那么點P表示的數(shù)是.

16.在瓦中，/。=90°，Z,B=30°，BC=4,點。是邊的中點，點E

是邊43上的動點，點F是邊4C上的動點，則DE+EF的最小值是.

17.計算：

(1)\/12-^27+|-閨；

⑵2百x;西+4郎.

18.已知：如圖，點4,F,C,。在同一條直線上，點3和點E在直線的兩側(cè),

且=BC//FE,N4=/D.

求證：AB=DE.

E

2x?7

19.解方程:--------1-1=--------

n+3+6

21

20.計算：學(xué)習(xí)了分式運算后，老師布置了這樣一道計算題：-----甲、乙

兩位同學(xué)的解答過程分別如下：

甲同學(xué)：

21

X2—1X—1

=------------------①

(X+1)(1—1)X—1

21

=-------------------------------(2)

(2+1)(力—1)(x+1)(①—1)

2-1

=(，+])("1)③

=------------------

(4+1)3-1產(chǎn)

乙同學(xué)：

21

X2—1X—1

=------------------------

(1+l)(x—1)X—1°

=_____?____________.+1____②

(力+1)(力-1)(N+1)(N-1)

=2—+1)③

=1-x@

老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過程都有錯誤.

請你從甲、乙兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過程，幫助他分析錯因，并加以改

正.

第4頁，共23頁

⑴我選擇同學(xué)的解答過程進行分析.(填“甲”或“乙”)

⑵該同學(xué)的解答從第_____步開始出現(xiàn)錯誤(填序號)，錯誤的原因是

(3)請寫出正確解答過程.

1T+1x—1

21.當，=四一1時，求代數(shù)式______!___________________的值.

x—2*J;2—4a?+4x1

22.如圖，點。是等邊△48。的邊475上一點，過點。作

BC的平行線交47于點石.

(1)依題意補全圖形；

(2)判斷△4DE的形狀，并證明.

23.列方程解應(yīng)用題：

第24屆冬季奧林匹克運動會將于2022年2月4日至2月20日在中國北京和張家口

市聯(lián)合舉行.北京冬奧會的配套設(shè)施“京張高鐵”-北京至張家口高速鐵路，已經(jīng)

全線通車，全長約175千米.原京張鐵路是1909年由“中國鐵路之父”詹天佑主持

設(shè)計建造的中國第一條干線鐵路，全長約210千米，用“人”字形鐵軌鋪筑的方式

解決了火車上山的問題.京張高鐵的平均速度是原京張鐵路的5倍，可以提前5小

時到達，求京張高鐵的平均速度.

24.如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小正方形的頂點叫做格點，點A,

B,。均落在格點上.

(1)計算線段的長度

⑵判斷的形狀

(3)寫出△48。的面積

⑷畫出△4BC關(guān)于直線I的軸對稱圖形△4氏。1.

?-----~\—?r1

!B

第6頁，共23頁

25.如圖，△ABC中，ZABC=45°?F是高4。和高BEA

的父點，AC=y/5，BD=2.

求線段OF的長度.

26.尺規(guī)作圖:

已知：如圖1,直線MN和直線MN外一點P.

P

圖1

求作：直線PQ,使直線PQ〃川N.

小智的作圖思路如下：

①如何得到兩條直線平行？

小智想到，自己學(xué)習(xí)線與角的時候，有4個定理可以證明兩條直線平行，其中

有“內(nèi)錯角相等，兩條直線平行”.

②如何得到兩個角相等？

小智先回顧了線與角的內(nèi)容，找到了幾個定理和1個概念，可以得到兩個角

相等.小智又回顧了三角形的知識，也發(fā)現(xiàn)了幾個可以證明兩個角相等的

定理.最后，小智選擇了角平分線的概念和“等邊對等角”.

③畫出示意圖：

M.4N

④根據(jù)示意圖，確定作圖順序.

在直線上取點H-，作射線，作角平分線(尺規(guī)作圖

——?作出P0=R4交45于點°——，作直線PQ

(1)使用直尺和圓規(guī)，按照小智的作圖思路補全圖形1(保留作圖痕跡)；

⑵完成下面的證明：

證明：?「AB平分/PAN,

NPAB=ZNAB.

PA^PQ,

：.NPAB=NPQA().

NNAB=ZPQA.

PQ//MN().

(3)參考小智的作圖思路和流程，另外設(shè)計一種作法，利用直尺和圓規(guī)在圖2中完

成.

?P

MN

圖2

(溫馨提示：保留作圖痕跡，不用寫作法和證明)

第8頁，共23頁

27.如圖，ZAOB=45°,O。是/40B的角平分線，點。是射線OB上的一點，點W

為線段的中點，過點M作OD的垂線，交射線。/于點E,交射線OC于點E,

連接E。，交OC于點G.

(1)依題意補全圖形；

(2)猜想和EG的數(shù)量關(guān)系并證明；

(3)求證：ED+EF=2EM.

備用圖

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

8、是軸對稱圖形，故此選項正確；

C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

。、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

故選：B.

根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對

稱圖形進行分析即可.

此題主要考查了軸對稱圖形的概念，關(guān)鍵是正確找出對稱軸的位置.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

在左圖中，先利用三角形內(nèi)角和計算出邊。所對的角為50。，然后根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得到/I的度數(shù).本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三

角形的對應(yīng)角相等.

【解答】

解：在左圖中，邊a所對的角為180°-60°—70°=50°,

因為圖中的兩個三角形全等，

所以/I的度數(shù)為50°.

故選艮

3.【答案】D

【解析】解：/選項，原式=-],故該選項不符合題意；

B選項，x+l=0,分式?jīng)]有意義，故該選項不符合題意；

C選項，原式=—^=2,故該選項不符合題意；

一1

。選項，原式=0,故該選項符合題意；

第10頁，共23頁

故選：D.

根據(jù)分式的值為()的條件是分子等于0且分母不等于0即可得出答案.

本題考查了分式的值為()的條件,掌握分式的值為0的條件是分子等于0且分母不等于0

是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】C

【解析】解：A.述與否不是同類二次根式；

B.y/9=3與逐不是同類二次根式；

C.y/12=2通與g是同類二次根式；

D=3方與四不是同類二次根式.

故選：C.

先化簡二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義判定即可.

本題考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是二次根式的化簡.

5.【答案】C

【解析】解：4、原式=|—3|=3,所以工選項的計算正確；

B、原式=存公=述，所以B選項的計算正確；

C、通與四不能合并，所以。選項的計算錯誤；

D、原式=及，所以。選項的計算正確.

故選C.

根據(jù)二次根式的性質(zhì)對4進行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對B進行判斷；根據(jù)二

次根式的加減法對。進行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對。進行判斷.

本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式

的乘除運算，再合并即可.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二

次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

6.【答案】D

【解析】解：/加3,

二選項A不符合題意;

x2+y2,

---―：—加+y，

x+y

選項8不符合題意；

..N+3/

■y+3

二選項c不符合題意；

-x+y-(x-y)

-------=---------="1

x—yx-y

.??選項。符合題意；

故選：D.

對每個選項逐個判斷，即可得出答案.

本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

7.【答案】D

【解析】解：4、???52+122=132,二能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤；

夙???/+22=(g)2,.?.能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤；

C、?.?12+(通)2=22,.?.能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤；

；52+42/62,.?.不能構(gòu)成直角三角形，故本選項正確.

故選：D.

由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長。，b,C滿足a2+/=c2,

那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

8.【答案】B

【解析】解：在△43。中，43邊上的高線畫法正確的是3,

故選：B.

直接利用高線的概念得出答案.

此題主要考查了三角形高線的作法，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

9.【答案】H23

第12頁，共23頁

【解析】解：根據(jù)題意得4—320,

解得c23.

故答案為：H23.

根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式進行計算即可求解.

本題考查了二次根式有意義的條件，知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù).

10.【答案】40°

【解析】解：=60°，AB=20°，

ZX=AACD-ZB=60°-20°=40°.

故答案為：40°.

根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解.

本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

11.【答案】1

O

【解析】解：?.?背面印有“改革”字樣的卡片有2張，共有6張卡片，

從中隨機抽取一張，抽出的紀念封背面恰好印有“改革”字樣的可能性大小是:2=1

63

故答案為：

分別求出背面印有“改革”字樣的卡片數(shù)和總的卡片數(shù)，再根據(jù)概率公式計算即可.

此題考查了概率，用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比,是一道基礎(chǔ)題，

比較容易.

12.【答案】CO=DO

【解析】解：添加。。=DO,

(AO=BO

在△40。和ABOD中IAAOC=NBOD,

[CO=DO

故答案為：CO=DO.

添加。0=0。，再加上條件40=30,對頂角/AOC=/3OO,然后利用S4S判

定△AOC三△BO。即可.

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS，

力S4、AAS.HL.

注意：444、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參

與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

13.【答案】18或21

【解析】解：當5為底邊時，腰長為8,則這個等腰三角形的周長=5+8+8=21；

當8為底邊時，腰長為5,則這個等腰三角形的周長=5+5+8=18；

故這個等腰三角形的周長是18或21.

故答案為：18或21.

由于等腰三角形的底邊與腰不能確定，故應(yīng)分5為底邊與8為底邊兩種情況進行討論.

本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解.

14.【答案】在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上

【解析】解：如圖所示：過兩把直尺的交點P作PEL49,PF1.BO,

?.?兩把完全相同的長方形直尺，

PE=PF,

,OP平分角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），

故答案為：在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

過兩把直尺的交點P作PE_LAO,PF_L80,根據(jù)題意可得PE=P歹，再根據(jù)角

的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上，可得0P平分NAOB.

第14頁，共23頁

此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這

個角的平分線上.

15.【答案】a

【解析】解：在母△OAB中，。4=2,AB=1,

：,OB=y/OA2+AB2=/22+12=x/5.

以點。為圓心，03為半徑與正半軸交點P表示的數(shù)為西.

故答案為：瓜

根據(jù)勾股定理可計算出OB的長度，即點P在數(shù)軸正半軸表示的數(shù).

本題考查勾股定理的應(yīng)用及數(shù)軸上點的坐標的表示，根據(jù)題意先計算的長度是解題

關(guān)鍵.

16.【答案】3

【解析】解：如圖.作點。關(guān)于4B的對稱點。，過點。作。PJ.4C于點E,交AB

于點E,連接OE.

則。E=D'E，DE+EF=D'E+EF=D'F,

當。時，O'F取最小值，即。E+EF取最小值.

?二8。=4,點。是邊的中點，Z.B=30°

:.BD=；BC=2,BC=^>/3,AB=^s/3,

ZB=30°,/C=90°，

=60°,

ZFEA=30°,Z.D'EB=30°-ADEB=30°,

：,DE=BD=2,D'E=2，

EB-y/SBD-2\/3,

EA=AB-BE=|\/3-2瓜=|\/3,

1

FA=—v^3,

o

EF=V3EA=\/3x=1,

o

D'F=D'E+EF=2+1=3.

.?.DE+EF的最小值是3.

故答案為3.

作點。關(guān)于43的對稱點。，過點。作。尸，力。于點E,交4B于點E,連接。E.

則DE=D'E,DE+EF=D'E+EF=D'F,當。'FJ_4C時，D'F取最小值，

即。E+EF取最小值，據(jù)此解答即可.

本題考查了最短路線問題，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握特殊直角三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

17.【答案】解：（1）原式=2通—3+遍

=3\/3-3；

（2）原式=2x-x-1/20x5x-

44V5

=1x\/20

O

_\/|

=丁

【解析】（1）直接利用二次根式以及立方根的性質(zhì)分別化簡得出答案;

⑵直接利用二次根式的乘除運算法則計算得出答案.

此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

18.【答案】證明：???6?！ㄊ?

...ZBCA=4DFE.

：AF=DC,

AF+FC=DC^CF.

：,AC=DF.

在△ABC和△OEF中，

第16頁，共23頁

ABCA=4DFE

AC=DF,

AA=AD

/\ABC三/\DEF{ASA).

:.AB=DE.

【解析】根據(jù)已知條件得出△ABC三△OFF,即可得出4B=OE.

本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)

和全等三角形的判定解答.

19.【答案】解：去分母得：4l+21+6=7,

移項合并得：6i=1,

解得：2=

6

經(jīng)檢驗，①=1是分式方程的解.

0

【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到立的值，經(jīng)檢驗即可

得到分式方程的解.

此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整

式方程求解.解分式方程一定注意要驗根.

20.【答案】甲②通分時，第二個分式，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子也應(yīng)該乘

以(a;+1)

【解析】解：(1)選擇甲同學(xué)或乙同學(xué)均可；

故答案為：甲(答案不唯一，也可以填乙)；

(2)甲同學(xué)從第②步開始出現(xiàn)錯誤，

其錯誤原因是：通分時，第二個分式，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子也應(yīng)該乘以

(2+1);

故答案為：②，通分時，第二個分式，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子也應(yīng)該乘以

3+1);

乙同學(xué)從第③步開始出現(xiàn)錯誤，

其錯誤原因是：同分母分式相減，分母不變，把分子相減；

故答案為：③，同分母分式相減，分母不變，把分子相減；

(3)原式—(力+1)(/一])(/+])(]_1)

2一比一1

(X+1)(/—1)

_1—X

(力+1)(1-1)

]

N+1

⑴分析甲或乙同學(xué)的解答過程均可；

⑵根據(jù)分式的基本性質(zhì)分析甲同學(xué)的錯誤，根據(jù)同分母分式加減法運算法則分析乙同

學(xué)的錯誤；

⑶先通分，然后再計算.

本題考查異分母分式的加減，掌握通分和約分的技巧是解題關(guān)鍵.

21.【答案】解：原式.立立—土二1

x—2x+1x+1

x—2x—1

x+1z+1

]

X+1'

當x=>/2—1時，

【解析】直接利用分式的混合運算法則將原式化簡，再將工的值代入計算可得.

本題主要考查分式的化簡求值，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要統(tǒng)一為乘

法運算.

22.【答案】解：⑴圖形如圖所示:

(2)結(jié)論：△4DE是等邊三角形.

理由：?；△ABC是等邊三角形，

第18頁，共23頁

ZX=ZB=ZC=60%

DE//BC,

：.NADE=ZB=60°,

ZAED=ZC=60°,

ZX=ZADE=ZAED=60°,

.?.△4ZZE是等邊三角形.

【解析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；

（2）結(jié)論：△力OE是等邊三角形.根據(jù)三個角是60°的三角形都是等邊三角形證明即可.

本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所

學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

23.【答案】解：設(shè)原京張鐵路的平均速度為立千米/時，則現(xiàn)在京張鐵路的平均速度為

5工千米/時.

210175一

依寇息，1^：---=----F5,

x5x

解得：a;=35,

經(jīng)檢驗：H=35是所列方程的解，并且符合題意.

5z=5x35=175,

答：京張高鐵的平均速度為175千米/時.

【解析】設(shè)原京張鐵路的平均速度為c千米/時，則現(xiàn)在京張鐵路的平均速度為5工千米

/時.由題意：原京張鐵路是1909年由“中國鐵路之父”詹天佑主持設(shè)計建造的中國第

一條干線鐵路，全長約210千米，用“人”字形鐵軌鋪筑的方式解決了火車上山的問

題.京張高鐵的平均速度是原京張鐵路的5倍，可以提前5小時到達，列出分式方程，

解方程即可.

本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

24.【答案】VW等腰直角三角形5

【解析】解：（X）AB=\/12+32=710>

故答案為：v^lO；

⑵根據(jù)網(wǎng)格可知：AB=AC=VW'/BAG=90°,

△AB。是等腰直角三角形；

故答案為：等腰直角三角形；

(2t)/\ABC的面積=—xxy/10=5,

故答案為：5;

⑷如圖，△4BQ1即為所求.

(1)根據(jù)勾股定理即可求出AB的長度；

(2)根據(jù)網(wǎng)格即可判斷ZVIBC的形狀；

⑶結(jié)合⑵即可求出LABC的面積；

⑷根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可畫出△4BC關(guān)于直線I的軸對稱圖形.

本題考查了軸對稱變換，勾股定理，勾股定理的逆定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱

的性質(zhì).

25.【答案】解：?二和BE是△ABC的高，

AADB=AADC=4BEC=90°.

ZC+ADAC=90°,ZC+ADBF=90°,

ADAC=4DBF,

-1?ZABC=45°,

：.ZDAB=45°.

NABC=NDAB.

：,DA=DB,

在么?!。。與△BDF中，

(NADC=NBDF

<DA=DB,

[ADAC=ZDBF

;./\ADC=