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福建省華安一中2023-2024學(xué)年高考沖刺押題(最后一卷)數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,又稱(chēng)“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的,如圖(1)),類(lèi)比“趙爽弦圖”,可類(lèi)似地構(gòu)造如圖(2)所示的圖形,它是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)大正六邊形,設(shè),若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為()A. B.C. D.2.已知向量,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.3.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),若,則等于()A.-3 B.-1 C.3 D.05.在正方體中,點(diǎn),,分別為棱,,的中點(diǎn),給出下列命題:①;②;③平面;④和成角為.正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.36.德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個(gè)關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開(kāi)式,該公式于明朝初年傳入我國(guó).在我國(guó)科技水平業(yè)已落后的情況下,我國(guó)數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國(guó)的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開(kāi)始,歷時(shí)近30年,證明了包括這個(gè)公式在內(nèi)的三個(gè)公式,同時(shí)求得了展開(kāi)三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個(gè)新級(jí)數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書(shū),為我國(guó)用級(jí)數(shù)計(jì)算π開(kāi)創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開(kāi)式”計(jì)算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.7.已知函數(shù)若對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知,則()A. B. C. D.9.已知集合,,,則()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù),則的虛部是()A. B. C. D.111.已知變量x,y間存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,其數(shù)據(jù)如下表,回歸直線(xiàn)方程為,則表中數(shù)據(jù)m的值為()變量x0123變量y35.57A.0.9 B.0.85 C.0.75 D.0.512.在三角形中,,,求()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,若,且,則實(shí)數(shù)所有的可能取值構(gòu)成的集合是________.14.已知x,y>0,且,則x+y的最小值為_(kāi)____.15.已知,滿(mǎn)足,則的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____.16.在平面五邊形中,,,,且.將五邊形沿對(duì)角線(xiàn)折起,使平面與平面所成的二面角為,則沿對(duì)角線(xiàn)折起后所得幾何體的外接球的表面積是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定:從2017年秋季高中入學(xué)的新生開(kāi)始,不分文理科;2020年開(kāi)始,高考總成績(jī)由語(yǔ)數(shù)外3門(mén)統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門(mén)選考科目構(gòu)成.將每門(mén)選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為、、、、、、、共8個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則,確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、.選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí),將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī),依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級(jí)成績(jī).某校高一年級(jí)共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試,其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布.(1)求物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機(jī)抽取3人,記表示這3人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(附:若隨機(jī)變量,則,,)18.(12分)已知點(diǎn),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同兩點(diǎn)、,直線(xiàn)、與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn)分別為兩點(diǎn)、,連接,點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn),連接、.(1)證明:;(2)若的面積,求的取值范圍.19.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離.20.(12分)如圖,湖中有一個(gè)半徑為千米的圓形小島,岸邊點(diǎn)與小島圓心相距千米,為方便游人到小島觀光,從點(diǎn)向小島建三段棧道,,,湖面上的點(diǎn)在線(xiàn)段上,且,均與圓相切,切點(diǎn)分別為,,其中棧道,,和小島在同一個(gè)平面上.沿圓的優(yōu)弧(圓上實(shí)線(xiàn)部分)上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長(zhǎng)度,并確定的取值范圍;求當(dāng)為何值時(shí),棧道總長(zhǎng)度最短.21.(12分)如圖是圓的直徑,垂直于圓所在的平面,為圓周上不同于的任意一點(diǎn)(1)求證:平面平面;(2)設(shè)為的中點(diǎn),為上的動(dòng)點(diǎn)(不與重合)求二面角的正切值的最小值22.(10分)已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)在橢圓上,滿(mǎn)足(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),直線(xiàn)與的傾斜角互補(bǔ),且與橢圓交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn),與直線(xiàn)交于點(diǎn)(介于兩點(diǎn)之間),是否存在直線(xiàn),使得直線(xiàn),,的斜率按某種排序能構(gòu)成等比數(shù)列?若能,求出的方程,若不能,請(qǐng)說(shuō)理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
設(shè),則,小正六邊形的邊長(zhǎng)為,利用余弦定理可得大正六邊形的邊長(zhǎng)為,再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè),則,即小正六邊形的邊長(zhǎng)為,所以,,,在中,由余弦定理得,即,解得,所以,大正六邊形的邊長(zhǎng)為,所以,小正六邊形的面積為,大正六邊形的面積為,所以,此點(diǎn)取自小正六邊形的概率.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
投影即為,利用數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為,由題意,得,,所以,向量在向量方向上的投影為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運(yùn)算,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
根據(jù)兩個(gè)函數(shù)相等,求出所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后求和即可.【詳解】令,有,所以或.又,所以或或或,所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4、D【解析】分析:因?yàn)轭}設(shè)中給出了的值,要求的值,故應(yīng)考慮兩者之間滿(mǎn)足的關(guān)系.詳解:由題設(shè)有,故有,所以,從而,故選D.點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的表示方法,解題時(shí)注意根據(jù)問(wèn)題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿(mǎn)足的關(guān)系.5、C【解析】
建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的方法對(duì)四個(gè)命題逐一分析,由此得出正確命題的個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示,,.①,,所以,故①正確.②,,不存在實(shí)數(shù)使,故不成立,故②錯(cuò)誤.③,,,故平面不成立,故③錯(cuò)誤.④,,設(shè)和成角為,則,由于,所以,故④正確.綜上所述,正確的命題有個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面位置關(guān)系的向量判斷方法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.6、B【解析】
執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,逐次循環(huán),找到計(jì)算的規(guī)律,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,可得:第1次循環(huán):;第2次循環(huán):;第3次循環(huán):;第10次循環(huán):,此時(shí)滿(mǎn)足判定條件,輸出結(jié)果,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出,其中解答中認(rèn)真審題,逐次計(jì)算,得到程序框圖的計(jì)算功能是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】分析:先求導(dǎo),再對(duì)a分類(lèi)討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再畫(huà)圖分析轉(zhuǎn)化對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,得到關(guān)于a的不等式組,再解不等式組得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.詳解:由題得.當(dāng)a<1時(shí),,所以函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減,因?yàn)閷?duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,所以,所以故a≥1,與a<1矛盾,故a<1矛盾.當(dāng)1≤a<e時(shí),函數(shù)f(x)在[0,lna]單調(diào)遞增,在(lna,1]單調(diào)遞減.所以因?yàn)閷?duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,所以,所以即令,所以所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調(diào)遞減,所以,所以當(dāng)1≤a<e時(shí),滿(mǎn)足題意.當(dāng)a時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,因?yàn)閷?duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,所以,故1+1,所以故綜上所述,a∈.故選C.點(diǎn)睛:本題的難點(diǎn)在于“對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有”的轉(zhuǎn)化.由于是函數(shù)的問(wèn)題,所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性、最值、極值等)來(lái)分析解答問(wèn)題.本題就是把這個(gè)條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來(lái),完成了數(shù)學(xué)問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化,找到了問(wèn)題的突破口.8、C【解析】
利用誘導(dǎo)公式得,,再利用倍角公式,即可得答案.【詳解】由可得,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意三角函數(shù)的符號(hào).9、A【解析】
求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進(jìn)而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),分子分母同時(shí)乘以,進(jìn)而求得復(fù)數(shù),再求出,由此得到虛部.【詳解】,,所以的虛部為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的虛部,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
計(jì)算,代入回歸方程可得.【詳解】由題意,,∴,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程,解題關(guān)鍵是掌握性質(zhì):線(xiàn)性回歸直線(xiàn)一定過(guò)中心點(diǎn).12、A【解析】
利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角的值,再利用正弦定理可求得的值.【詳解】,由正弦定理得,整理得,由余弦定理得,,.由正弦定理得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理求值,涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】
化簡(jiǎn)集合,由,以及,即可求出結(jié)論.【詳解】集合,若,則的可能取值為,0,2,3,又因?yàn)?,所以?shí)數(shù)所有的可能取值構(gòu)成的集合是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查集合與元素的關(guān)系,理解題意是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】
處理變形x+y=x()+y結(jié)合均值不等式求解最值.【詳解】x,y>0,且,則x+y=x()+y1,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí)x=4,y=2,取得最小值1.故答案為:1【點(diǎn)睛】此題考查利用均值不等式求解最值,關(guān)鍵在于熟練掌握均值不等式的適用條件,注意考慮等號(hào)成立的條件.15、1【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式定理求出,然后再由二項(xiàng)式定理或多項(xiàng)式的乘法法則結(jié)合組合的知識(shí)求得系數(shù).【詳解】由題意,.∴的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,掌握二項(xiàng)式定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.16、【解析】
設(shè)的中心為,矩形的中心為,過(guò)作垂直于平面的直線(xiàn),過(guò)作垂直于平面的直線(xiàn),得到直線(xiàn)與的交點(diǎn)為幾何體外接球的球心,結(jié)合三角形的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】設(shè)的中心為,矩形的中心為,過(guò)作垂直于平面的直線(xiàn),過(guò)作垂直于平面的直線(xiàn),則由球的性質(zhì)可知,直線(xiàn)與的交點(diǎn)為幾何體外接球的球心,取的中點(diǎn),連接,,由條件得,,連接,因?yàn)?,從而,連接,則為所得幾何體外接球的半徑,在直角中,由,,可得,即外接球的半徑為,故所得幾何體外接球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及多面體的外接球的表面積的計(jì)算,其中解答中熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,求得外接球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔試題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)1636人;(Ⅱ)見(jiàn)解析.【解析】
(Ⅰ)根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,可將區(qū)間分為和兩種情況,然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的概率,進(jìn)而可求出相應(yīng)的人數(shù);(Ⅱ)由題意得成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]的概率為,且,由此可得的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)槲锢碓汲煽?jī),所以.所以物理原始成績(jī)?cè)冢?7,86)的人數(shù)為(人).(Ⅱ)由題意得,隨機(jī)抽取1人,其成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]內(nèi)的概率為.所以隨機(jī)抽取三人,則的所有可能取值為0,1,2,3,且,所以,,,.所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】(1)解答第一問(wèn)的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布的三個(gè)特殊區(qū)間表示所求概率的區(qū)間,再根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求解,解題時(shí)注意結(jié)合正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性.(2)解答第二問(wèn)的關(guān)鍵是判斷出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,然后可得分布列及其數(shù)學(xué)期望.當(dāng)被抽取的總體的容量較大時(shí),抽樣可認(rèn)為是等可能的,進(jìn)而可得隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.18、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)設(shè)點(diǎn)、,求出直線(xiàn)、的方程,與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立,求出點(diǎn)、的坐標(biāo),利用直線(xiàn)、的斜率相等證明出;(2)設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)、的距離分別為、,求出,利用相似得出,可得出的邊上的高,并利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算出,即可得出關(guān)于的表達(dá)式,結(jié)合不等式可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)、,則,直線(xiàn)的方程為:,由,消去并整理得,由韋達(dá)定理可知,,,代入直線(xiàn)的方程,得,解得,同理,可得,,,,代入得,因此,;(2)設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)、的距離分別為、,則,由(1)知,,,,,,同理,得,,由,整理得,由韋達(dá)定理得,,,得,設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的高為,則,,,,解得,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與直線(xiàn)平行的證明,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,考查拋物線(xiàn)、直線(xiàn)方程、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、直線(xiàn)的斜率等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是難題.19、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)通過(guò)證明面,即可由線(xiàn)面垂直推證面面垂直;(2)根據(jù)面,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求到面的距離,利用等體積法求點(diǎn)面距離即可.【詳解】(1)因?yàn)槔庵侵比庵?,所以又,所以面又,分別為AB,BC的中點(diǎn)所以//即面又面,所以平面平面(2)由(1)可知////所以//平面即點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離設(shè)點(diǎn)到面的距離為由(1)可知,面且在中,,易知由等體積公式可知即由得所以到平面的距離等于【點(diǎn)睛】本題考查由線(xiàn)面垂直推證面面垂直,涉及利用等體積法求點(diǎn)面距離,屬綜合中檔題.20、,;當(dāng)時(shí),棧道總長(zhǎng)度最短.【解析】
連,,由切線(xiàn)長(zhǎng)定理知:,,,,即,,則,,進(jìn)而確定的取值范圍;根據(jù)求導(dǎo)得,利用增減性算出,進(jìn)而求得取值.【詳解】解:連,,由切線(xiàn)長(zhǎng)定理知:,,,又,,故,則劣弧的長(zhǎng)
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