1.3.1等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式（課件）(第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì))-高二數(shù)學(xué)（北師大版2019選擇性）

1.3.1等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式(第二課時(shí))等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列名稱等差數(shù)列概念常數(shù)性質(zhì)通項(xiàng)通項(xiàng)變形溫故知新從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等同一個(gè)常數(shù)公比(q)q可正可負(fù),但不可為零從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等同一個(gè)常數(shù)公差(d)d可正可負(fù),且可以為零對比記憶

二等比數(shù)列的函數(shù)特性

單調(diào)遞減單調(diào)遞增

單調(diào)遞減單調(diào)遞增不變單調(diào)遞減單調(diào)遞增不變單調(diào)遞增單調(diào)遞減不變

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分析等比數(shù)列an=a1qn-1（q>0）的單調(diào)性，填寫下表.a1a1>0a1<0q的范圍0<q<1q＝1q>10<q<1q＝1q>1{an}的單調(diào)性非增非減非增非減增增減減等比數(shù)列的判定與證明例3在各項(xiàng)為負(fù)數(shù)的數(shù)列{an}中，已知2an=3an+1,且a2·a5=.（2）試問是這個(gè)等比數(shù)列中的項(xiàng)嗎？如果是，指明是第幾項(xiàng)；如果不是，請說明理由.等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例4據(jù)報(bào)載，中美洲地區(qū)毀林嚴(yán)重.據(jù)統(tǒng)計(jì)，在20世紀(jì)80年代末，每時(shí)平均毀林約48hm2,森林面積每年以3.6％～3.9％的速度減少，迄今被毀面積已達(dá)1.3×107hm2,目前還剩1.9×107hm2.請你回答以下幾個(gè)問題：（1）如果以每時(shí)平均毀林約48hm2計(jì)算，剩下的森林經(jīng)過多少年將被毀盡？（2）根據(jù)（1）計(jì)算的年數(shù)n，如果以每年3.6％～3.9％的速度減少，計(jì)算n年后的毀林情況；（3）若按3.6％的速度減少，估算經(jīng)過150年后、經(jīng)過200年后、經(jīng)過250年后及經(jīng)過300年后森林面積的情況，經(jīng)過多少年森林將被毀盡?解（1）如果每時(shí)平均毀林約48hm2，則每年平均毀林48×24×365=420480（hm2）（2）

若以3.6％的速度減少，用計(jì)算器計(jì)算45年后還剩的森林面積為：1.9×107×（1-0.036）45≈3.65×106(hm2);若以3.9％的速度減少，45年后還剩森林面積為：1.9×107×（1-0.039）45≈3.17×106(hm2).（3）經(jīng)過150年后,還剩約7.77×104hm2;經(jīng)過200年后,約剩1.24×104hm2;經(jīng)過250年后,約剩1986hm2;經(jīng)過300年后,約剩317hm2;經(jīng)過512年后，約剩0.134hm2，森林幾乎毀盡.等比中項(xiàng)與等差中項(xiàng)的概念類似，如果在a與b中插入一個(gè)數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列，那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，，G2=ab

,G＝±

(ab>0)，我們稱G為a，b的等比中項(xiàng).在等比數(shù)列中，首末兩項(xiàng)除外，每一項(xiàng)都是它前后兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)．注意：關(guān)于等比數(shù)列中項(xiàng)的理解應(yīng)注意體會(huì)以下幾點(diǎn)：(1)在a、b同號時(shí)，a、b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)；a、b異號時(shí)，沒有等比中項(xiàng)；(2)在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)；(3)“a、G、b成等比數(shù)列”等價(jià)于G2＝ab(ab>0)，可以用它來判斷或證明三數(shù)成等比數(shù)列．同時(shí)還要注意到“a、G、b成等比數(shù)列”與“G＝”是不等價(jià)的．等比數(shù)列中有類似性質(zhì)嗎？？？想一想探究在等比數(shù)列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？

a32=a1.a5是否成立?

你能得到更一般的結(jié)論嗎？證明要積極思考哦且m,n,s,tN+,若m+n=s+t思考am,an,as,at有什么關(guān)系若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1

，公比q，且且m,n,s,tN+

若m+n=s+t,則aman=asat性質(zhì)2：探究已知等比數(shù)列{an}首項(xiàng)a1,公比q，取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，構(gòu)成新的數(shù)列，是否還是等比數(shù)列？取出a1,a4,a7,a11……呢？性質(zhì)2：在等比數(shù)列中，把序號成等差數(shù)列的項(xiàng)按原序列出，構(gòu)成新的數(shù)列，仍是等比數(shù)列你能得到一般性結(jié)論嗎？思考(3)等比數(shù)列中每隔一定項(xiàng)取出一項(xiàng)按原來順序排列構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列．例如am，a2m，a3m也成等比數(shù)列；(4){λan}(λ≠0)，{|an|}皆為等比數(shù)列，公比分別為________；(5)若{an}和{bn}分別是公比為q和p的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}，{}仍是等比數(shù)列，它們的公比分別為________.

×××√鞏固提升2．若三個(gè)正數(shù)1，b，16成等比數(shù)列，則b的值為(

)A．－4

B．4C．8D．±4答案：B解析：由等比中項(xiàng)知b2＝16，又b>0，∴b＝4.故選B.3．在等比數(shù)列{an}中，a4＝6，則a2a6的值為(

)A．4B．8C．36D．32答案：C

±2

例1運(yùn)用等比數(shù)列有關(guān)下標(biāo)和的性質(zhì)填空：在等比數(shù)列中，(2)已知數(shù)列{an}成等比數(shù)列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．解

(1)在等比數(shù)列{an}中，∵a1·a9＝a3·a7，∴由已知可得：a3·a7＝64與a3＋a7＝20聯(lián)立得：例2(1)在遞增等比數(shù)列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．例2(1)在遞增等比數(shù)列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．(2)已知數(shù)列{an}成等比數(shù)列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

例3：有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)．所以，當(dāng)a＝4，d＝4時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16；當(dāng)a＝9，d＝－6時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.故所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.當(dāng)a＝8，q＝2時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16；故所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)．(1)求通項(xiàng)公式an及Sn；(2)設(shè){bn－an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．解

(1)因?yàn)閧an}是首項(xiàng)為19，公差為－2的等差數(shù)列，所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，即an＝－2n＋21；例4

已知{an}是首項(xiàng)為19，公差為－2的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．當(dāng)堂小測

A2.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a3＝3a1＋2a2，則公比q＝(

)A．1 B．2C．3 D．4C3.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)

是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù).一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定，假定某種傳染病的基本傳染數(shù)

，那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到2000人大約需要的傳染輪數(shù)為（

）注：初始感染者傳染

個(gè)人為第一輪傳染，這

個(gè)人再傳染

個(gè)人為第二輪感染.A．5 B．6 C．7 D．8

B

5.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值．(2)若bn＝an－1，試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．解:

(1)因?yàn)镾n＝2an＋n－4，所以當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.(2)證明：因?yàn)镾n＝2an＋n－4，所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以數(shù)列{bn}是以b1＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．6.在等比數(shù)列中，已知