高中數(shù)學(xué)第七章-7.5-正態(tài)分布

§7.5正態(tài)分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.利用實(shí)際問(wèn)題的頻率分布直方圖，了解正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義.2.了解變量落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率大小.3.會(huì)用正態(tài)分布去解決實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一正態(tài)曲線(xiàn)與正態(tài)分布1．我們稱(chēng)f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，為正態(tài)密度函數(shù)，稱(chēng)其圖象為正態(tài)分布密度曲線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線(xiàn)．2．若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．3．若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過(guò)x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積．思考1正態(tài)曲線(xiàn)f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈R中的參數(shù)μ，σ有何意義？答案μ可取任意實(shí)數(shù)，表示平均水平的特征數(shù)，E(X)＝μ；σ>0表示標(biāo)準(zhǔn)差，D(X)＝σ2.一個(gè)正態(tài)密度函數(shù)由μ，σ唯一確定，π和e為常數(shù)，x為自變量，x∈R.思考2若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則X是離散型隨機(jī)變量嗎？答案若X～N(μ，σ2)，則X不是離散型隨機(jī)變量，由正態(tài)分布的定義：P(a<X≤b)為區(qū)域B的面積，X可取(a，b]內(nèi)的任何值，故X不是離散型隨機(jī)變量，它是連續(xù)型隨機(jī)變量．知識(shí)點(diǎn)二正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)1．對(duì)?x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．2．曲線(xiàn)與x軸之間的面積為1.3．曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)．4．曲線(xiàn)在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).5．當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線(xiàn)無(wú)限接近x軸．6．當(dāng)σ一定時(shí)，曲線(xiàn)的位置由μ確定，曲線(xiàn)隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.7．當(dāng)μ一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由σ確定，σ較小時(shí)曲線(xiàn)“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；σ較大時(shí)，曲線(xiàn)“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.知識(shí)點(diǎn)三正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值及3σ原則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.盡管正態(tài)變量的取值范圍是(－∞，＋∞)，但在一次試驗(yàn)中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱(chēng)為3σ原則．1．正態(tài)曲線(xiàn)中參數(shù)μ，σ的意義分別是樣本的均值與方差．(×)2．正態(tài)曲線(xiàn)是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的．(×)3．正態(tài)曲線(xiàn)可以關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．(√)4．若X～N(μ，σ2)，則P(X<μ)＝eq\f(1,2).(√)一、正態(tài)曲線(xiàn)例1(1)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線(xiàn)如圖所示，則總體的均值μ＝，方差σ2＝.(2)(多選)一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中，甲、乙、丙三科考試成績(jī)的正態(tài)分布密度曲線(xiàn)如圖所示，下列說(shuō)法中不正確的是()A．甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小B．丙科總體的平均數(shù)最小C．乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都比甲小，比丙大D．甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同答案(1)202(2)BCD解析(1)從給出的正態(tài)曲線(xiàn)可知，該正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x＝20對(duì)稱(chēng)，最大值是eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20，eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2)，因此總體的均值μ＝20，方差σ2＝(eq\r(2))2＝2.(2)由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等，由正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的性質(zhì)，可知σ越大，正態(tài)曲線(xiàn)越“矮胖”，σ越小，正態(tài)曲線(xiàn)越“瘦高”，故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、丙．反思感悟利用正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)求參數(shù)μ，σ(1)正態(tài)曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)，由此特點(diǎn)結(jié)合圖象求出μ.(2)正態(tài)曲線(xiàn)在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))，由此特點(diǎn)結(jié)合圖象可求出σ.跟蹤訓(xùn)練1(多選)下面給出的關(guān)于正態(tài)曲線(xiàn)的4個(gè)敘述中，正確的有()A．曲線(xiàn)在x軸上方，且與x軸不相交B．當(dāng)x>μ時(shí)，曲線(xiàn)下降，當(dāng)x<μ時(shí)，曲線(xiàn)上升C．當(dāng)μ一定時(shí)，σ越小，總體分布越分散，σ越大，總體分布越集中D．曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)x＝μ時(shí)，位于最高點(diǎn)答案ABD解析只有C錯(cuò)誤，因?yàn)楫?dāng)μ一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由σ確定，σ越小，曲線(xiàn)越“瘦高”，總體分布越集中；σ越大，曲線(xiàn)越“矮胖”，總體分布越分散．二、利用正態(tài)分布求概率例2設(shè)ξ～N(1,22)，試求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)．解∵ξ～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2，(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827；(2)∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，∴P(3≤ξ≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]≈eq\f(1,2)(0.9545－0.6827)＝0.1359.延伸探究若本例條件不變，求P(ξ>5)．解P(ξ>5)＝P(ξ<－3)＝eq\f(1,2)[1－P(－3≤ξ≤5)]＝eq\f(1,2)[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)]≈eq\f(1,2)(1－0.9545)＝0.02275.反思感悟利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求概率由于正態(tài)曲線(xiàn)是關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)的，且概率的和為1，故關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相等．跟蹤訓(xùn)練2已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)等于()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2答案C解析∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，∴μ＝2，對(duì)稱(chēng)軸是ξ＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故選C.三、正態(tài)分布的應(yīng)用例3有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(20,4)．若這批零件共有5000個(gè)，試求：(1)這批零件中尺寸在18～22mm間的零件所占的百分比；(2)若規(guī)定尺寸在24～26mm間的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個(gè)？解(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，于是尺寸在18～22mm間的零件所占的百分比大約是68.27%.(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在24～26mm間的零件所占的百分比大約是eq\f(99.73%－95.45%,2)＝2.14%.∴尺寸在24～26mm間的零件大約有5000×2.14%＝107(個(gè))．反思感悟求正態(tài)變量X在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法(1)根據(jù)題目中給出的條件確定μ與σ的值．(2)將待求問(wèn)題向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化．(3)利用X在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和曲線(xiàn)與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練3在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)在已知該班同學(xué)中成績(jī)?cè)?0～85分的有17人，該班成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)有多少人？解∵成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,52)，∴μ＝80，σ＝5，則μ－σ＝75，μ＋σ＝85.∴成績(jī)?cè)赱75,85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的68.27%，成績(jī)?cè)赱80,85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的34.135%.設(shè)該班有x名同學(xué)，則x×34.135%＝17，解得x≈50.∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成績(jī)?cè)赱70,90]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.45%，成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的2.275%.即有50×2.275%≈1(人)，即成績(jī)?cè)?0分以上的僅有1人．根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求正態(tài)曲線(xiàn)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率典例已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)等于()A．0.477B．0.954C．0.628D．0.977答案B解析畫(huà)出正態(tài)曲線(xiàn)如圖所示，結(jié)合圖象知，P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝1－2×0.023＝0.954.[素養(yǎng)提升]借助圖象較直觀的分析出P(ξ>2)與P(－2≤ξ≤2)概率的關(guān)系，提升了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)．1．設(shè)有一正態(tài)總體，它的正態(tài)曲線(xiàn)是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝eq\f(1,\r(8π))，則這個(gè)正態(tài)總體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是()A．10與8 B．10與2C．8與10 D．2與10答案B解析由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知，總體的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.2．正態(tài)分布N(0,1)在區(qū)間(－2，－1)和(1,2)上取值的概率為P1，P2，則二者大小關(guān)系為()A．P1＝P2B．P1<P2C．P1>P2D．不確定答案A解析根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)，圖象關(guān)于x＝0對(duì)稱(chēng)，可得在區(qū)間(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．3．已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.45%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%答案B解析P(3<ξ<6)＝eq\f(1,2)[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]≈eq\f(1,2)(95.45%－68.27%)＝13.59%.故選B.4．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，則c＝.答案2解析∵ξ～N(2,9)，又P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，∴eq\f(c＋1＋c－1,2)＝2，∴c＝2.5．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則X在(0,2)內(nèi)取值的概率為．答案0.8解析如圖，易得P(0<X<1)＝P(1<X<2)，故P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2×0.4＝0.8.1．知識(shí)清單：(1)正態(tài)曲線(xiàn)及其特點(diǎn)．(2)正態(tài)分布．(3)正態(tài)分布的應(yīng)用，3σ原則．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合．3．常見(jiàn)誤區(qū)：概率區(qū)間轉(zhuǎn)化不等價(jià)．1．關(guān)于正態(tài)分布N(μ，σ2)，下列說(shuō)法正確的是()A．隨機(jī)變量落在區(qū)間長(zhǎng)度為3σ的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件B．隨機(jī)變量落在區(qū)間長(zhǎng)度為6σ的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件C．隨機(jī)變量落在[－3σ，3σ]之外是一個(gè)小概率事件D．隨機(jī)變量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一個(gè)小概率事件答案D解析∵P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973，∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈1－0.9973＝0.0027，∴隨機(jī)變量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一個(gè)小概率事件．2．(多選)已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)φi(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))(x∈R，i＝1,2,3)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()A．σ1＝σ2 B．μ1>μ2C．μ1＝μ2 D．σ2<σ3答案AD解析由圖可知μ2＝μ3>μ1，σ1＝σ2<σ3，故AD正確．3．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ<4)＝0.84，則P(ξ≤0)等于()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84答案A解析∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，∴μ＝2，∵P(ξ<4)＝0.84，∴P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16.4．若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線(xiàn)上的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，則該隨機(jī)變量的方差等于()A．10B．100C.eq\f(2,π)D.eq\r(\f(2,π))答案C解析由正態(tài)分布密度曲線(xiàn)上的最高點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))知eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2)，∴D(X)＝σ2＝eq\f(2,π).5.如圖所示是當(dāng)σ取三個(gè)不同值σ1，σ2，σ3的三種正態(tài)曲線(xiàn)N(0，σ2)的圖象，那么σ1，σ2，σ3的大小關(guān)系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3答案D解析當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，正態(tài)曲線(xiàn)f(x)＝eq\f(1,\r(2π))在x＝0處取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)，當(dāng)μ一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由σ確定，σ越小，曲線(xiàn)越“瘦高”，反之越“矮胖”．故選D.6．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，則實(shí)數(shù)a的值為．答案1解析∵X服從正態(tài)分布N(a,4)，∴正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x＝a對(duì)稱(chēng)，又P(X≤1)＝0.5，故a＝1.7．已知隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，如圖所示，若P(X<a)＝0.32，則P(a≤X≤4－a)＝.答案0.36解析∵隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，∴μ＝2，由正態(tài)分布圖象的對(duì)稱(chēng)性可得曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)，∴P(X>4－a)＝P(X<a)＝0.32，∴P(a≤X≤4－a)＝1－P(X<a)－P(X>4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36.8．已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.6827，則σ＝，P(|X－2|<4)＝.答案20.84解析∵X～N(4，σ2)，∴μ＝4.∵P(2<X<6)≈0.6827，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＋σ＝6，,μ－σ＝2，))∴σ＝2.∴P(|X－2|<4)＝P(－2<X<6)＝P(－2<X<2)＋P(2<X<6)＝eq\f(1,2)[P(－2<X<10)－P(2<X<6)]＋P(2<X<6)＝eq\f(1,2)P(－2<X<10)＋eq\f(1,2)P(2<X<6)＝0.84.9．已知隨機(jī)變量X～N(3，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0.68，求P(X>4)的值．解∵隨機(jī)變量X～N(3，σ2)，∴正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x＝3對(duì)稱(chēng)，又P(2≤X≤4)＝0.68，可得P(X>4)＝eq\f(1,2)×[1－P(2≤X≤4)]＝eq\f(1,2)×(1－0.68)＝0.16.10．一投資者在兩個(gè)投資方案中選擇一個(gè)，這兩個(gè)投資方案的利潤(rùn)X(萬(wàn)元)分別服從正態(tài)分布N(8,32)和N(7,12)，投資者要求“利潤(rùn)超過(guò)5萬(wàn)元”的概率盡量大，那么他應(yīng)該選擇哪一個(gè)方案？解對(duì)于第一個(gè)方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝eq\f(1－P5<X≤11,2)＋P(5<X≤11)＝eq\f(1＋P5<X≤11,2)≈0.84135；對(duì)于第二個(gè)方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，P(X>5)＝eq\f(1＋P5<X≤9,2)≈0.97725，顯然第二個(gè)方案“利潤(rùn)超過(guò)5萬(wàn)元”的概率比較大，故他應(yīng)該選擇第二個(gè)方案．11．在某市2020年3月份的高三線(xiàn)上質(zhì)量檢測(cè)考試中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布N(98,100)．已知參加本次考試的全市學(xué)生有9455人，如果某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)是108分，那么他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約排在全市第()A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名答案A解析因?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N(98,100)，所以P(X>108)＝eq\f(1,2)[1－P(88≤X≤108)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0.6827)＝0.15865.所以0.15865×9455≈1500.12．一批電阻的電阻值X(單位：Ω)服從正態(tài)分布N(1000,52)，現(xiàn)從甲、乙兩箱出廠的成品中各隨機(jī)抽取一個(gè)電阻，測(cè)得電阻值分別為1011Ω和982Ω，可以認(rèn)為()A．甲、乙兩箱電阻均可出廠B．甲、乙兩箱電阻均不可出廠C．甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠D．甲箱電阻不可出廠，乙箱電阻可出廠答案C解析∵X～N(1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.∵1011∈(985,1015)，982?(985,1015)，∴甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠．13．某工廠生產(chǎn)一種螺栓，在正常情況下，螺栓的直徑X(單位：mm)服從正態(tài)分布X～N(100,1)．現(xiàn)加工10個(gè)螺栓的尺寸(單位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.根據(jù)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，概率低于0.003視為小概率事件，工人隨機(jī)將其中的8個(gè)交與質(zhì)檢員檢驗(yàn)，則質(zhì)檢員認(rèn)為設(shè)備需檢修的概率為()A.eq\f(44,45)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(41,45)答案B解析10個(gè)螺栓的尺寸，只有103.2不在區(qū)間[97,103]內(nèi)，∴工人隨機(jī)將其中的8個(gè)交與質(zhì)檢員檢驗(yàn)，質(zhì)檢員認(rèn)為設(shè)備需檢修的概率為eq\f(C\o\al(7,9),C\o\al(8,10))＝eq\f(4,5)，故選B.14．已知隨機(jī)變量X～N(2,22)，且aX＋b(a>0)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則a＝，b＝.答案eq\f(1,2)－1解析∵隨機(jī)變量X～N(2,22)，∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4.∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，又a>0，∴a＝eq\f(1,2)，b＝－1.15．(多選)設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)如圖所示．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)>P(Y≤t)D．對(duì)任意正數(shù)t，P(X>t)>P(Y>t)答案ABD解析由題圖可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A錯(cuò)；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B錯(cuò)；當(dāng)t為任意正數(shù)時(shí)，由題圖可知P(X≤t)>P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X>t)，P(Y≤t)＝1－P(Y>t)，∴P(X>t)<P(Y>t)，故C正確，D錯(cuò)．16．十九大以來(lái)，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康．經(jīng)過(guò)不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了制定提升農(nóng)民收入力爭(zhēng)早日脫貧的工作計(jì)劃，該地扶貧辦統(tǒng)計(jì)了2019年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入eq\x\to(x)(單位：千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)；(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民收入X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為年平均收入eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計(jì)算得s2＝6.92，利用該正態(tài)分布，求：①在扶貧攻堅(jiān)工作中，若使該地區(qū)約有84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？②為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實(shí)情況，扶貧辦隨機(jī)走訪(fǎng)了1000位農(nóng)民．若每位農(nóng)民的年收入互相獨(dú)立，記這1000位農(nóng)民中的年收入高于12.14千元的人數(shù)為ξ，求E(ξ)．附參考數(shù)據(jù)：eq\r(6.92)≈2.63，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解eq\x\to(x)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)，故估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入eq\x\to(x)為17.40千元．(2)由題意知X～N(17.40,6.92)，①P(X>μ－σ)＝0.5＋eq\f(0.6827,2)≈0.8414，所以μ－σ＝17.40－2.63＝14.77時(shí)，滿(mǎn)足題意，即最低年收入大約為14.77千元．②由P(X>12.14)＝P(X>μ－2σ)＝0.5＋eq\f(0.9545,2)≈0.9773，每個(gè)農(nóng)民的年收入高于12.14千元的事件的概率為0.9773，則ξ～B(1000，p)，其中p＝0.9773，所以E(ξ)＝1000×0.9773＝977.3.高考數(shù)學(xué)：試卷答題攻略

一、“六先六后”，因人因卷制宜?？忌梢雷约旱慕忸}習(xí)慣和基本功，選擇執(zhí)行“六先六后”的戰(zhàn)術(shù)原則。1.先易后難。2.先熟后生。3.先同后異。先做同科同類(lèi)型的題目。4.先小后大。先做信息量少、運(yùn)算量小的題目，為解決大題贏得時(shí)間。5.先點(diǎn)后面。高考數(shù)學(xué)解答題多呈現(xiàn)為多問(wèn)漸難式的“梯度題”，解答時(shí)不必一氣審到底，應(yīng)走一步解決一步，步步為營(yíng)，由點(diǎn)到面。6.先高后低。即在考試的后半段時(shí)間，如估計(jì)兩題都會(huì)做，則先做高分題;估計(jì)兩題都不易，則先就高分題實(shí)施“分段得分”。二、一慢一快，相得益彰，規(guī)范書(shū)寫(xiě)，確保準(zhǔn)確，力爭(zhēng)對(duì)全。審題要慢，解答要快。在以快為上的前提下