高三數(shù)學(xué)-解析：廣東省廣州市2023屆高三上學(xué)期8月階段測試數(shù)學(xué)試題(解析版)

數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由題意可得，故，故選：C2.已知，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是A.0 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】【詳解】解：∵x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可知：a+b=x+y，cd=xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取“=”，3.記“方程表示橢圓”，“函數(shù)無極值”，則p是q的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先利用命題和命題各自推出的范圍，接著利用小集合推出大集合得到答案【詳解】由可得，解得且，所以的取值范圍為且由“函數(shù)無極值”可得結(jié)合開口向上，可得拋物線與軸最多一個交點(diǎn)，所以，解得所以的取值范圍為因?yàn)榍宜允堑某浞植槐匾獥l件故選：B4.2008年北京奧運(yùn)會游泳中心(水立方)的設(shè)計靈感來于威爾·弗蘭泡沫，威爾·弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進(jìn)，開爾文體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成(其中每一個頂點(diǎn)處有一個正方形和兩個正六邊形)，已知該多面體共有24個頂點(diǎn)，且棱長為1，則該多面體表面積是（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得最多有6個正方形，最少有4個正六邊形，1個正六邊形與3個正方形相連，所以該多面體有6個正方形，正六邊形有個，分別求得正方形和正六邊形的面積可得答案.【詳解】棱長為1的正方形的面積為，正六邊形的面積為，又正方形有4個頂點(diǎn)，正六邊形有6個頂點(diǎn)，該多面體共有24個頂點(diǎn)，所以最多有6個正方形，最少有4個正六邊形，1個正六邊形與3個正方形相連，所以該多面體有6個正方形，正六邊形有個，所以該多面體的表面積為，故選：C.5.四名同學(xué)各擲骰子五次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）．A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C.平均數(shù)為2，方差為2.4 D.中位數(shù)為3，方差為2.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意舉出反例，即可得出正確選項(xiàng)．【詳解】解：對于A，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A錯誤；對于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故B錯誤；對于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點(diǎn)，則方差S2＞（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均數(shù)為2，方差為2.4時，一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故C正確；對于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時，滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為：＝（1+2+3+3+6）＝3方差為S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D錯誤．故選：C．6.的展開式中的系數(shù)是（）A.45 B.84 C.120 D.210【答案】C【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，組合數(shù)的性質(zhì)，求得含項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】解：的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為，故選：C．7.若空間中經(jīng)過定點(diǎn)O的三個平面，，兩兩垂直，過另一定點(diǎn)A作直線l與這三個平面的夾角都相等，過定點(diǎn)A作平面和這三個平面所夾的銳二面角都相等.記所作直線l的條數(shù)為m，所作平面的個數(shù)為n，則（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正方體的對稱性可知，正方體的四條對角線滿足與三個平面，，所成角都相等，將不過點(diǎn)的三條對角線平移到過即可求出，過A分別作與正四面體四個面平行的平面即可，根據(jù)題意可求出，即可得出答案.【詳解】將，，放入正方體，根據(jù)對稱性可知，對角線分別與三個平面，，所成角都相等，對角線分別與三個平面，，所成角都相等，因?yàn)槠矫嫫矫妫詫蔷€分別與三個平面，，所成角都相等，同理對角線分別與三個平面，，所成角都相等，過點(diǎn)A分別作的平行線，則所作四條平行線分別與三個平面，，所成角都相等，所以.如下圖，正方體的內(nèi)接正四面體的四個平面與，，所夾的銳二面角都相等，所以過A分別作與正四面體四個面平行的平面即可，所以.故選：B8.設(shè)，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】觀察4個數(shù)易得均與0.1有關(guān)，故考慮，，，在時的大小關(guān)系，故利用作差法，分別構(gòu)造相減的函數(shù)判斷單調(diào)性以及與0的大小關(guān)系即可.【詳解】設(shè)，，，，易得.設(shè)，則令有，故在上單調(diào)遞增.①因?yàn)?，即，故，即，故，?②設(shè)，則，設(shè)，則.設(shè)，則，故為增函數(shù)，故，即.故，當(dāng)時，為增函數(shù)，故，故當(dāng)時為增函數(shù)，故，故.③設(shè)，，易得當(dāng)時，故，即.綜上故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性分析函數(shù)大小的問題，需要根據(jù)題中所給的信息判斷出需要構(gòu)造的函數(shù)，再求導(dǎo)適當(dāng)放縮分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)值的大小即可.屬于難題.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.下列說法正確的是（）A.若，則或B.復(fù)數(shù)與分別對應(yīng)向量與，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為9+iC.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn).若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為【答案】BCD【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義對四個選項(xiàng)依次判斷即可．【詳解】對于選項(xiàng)A，設(shè)，只需即可，故錯誤；對于選項(xiàng)B，復(fù)數(shù)與分別表示向量與，表示向量的復(fù)數(shù)為，故正確；對于選項(xiàng)C，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則對應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限，故正確；對于選項(xiàng)D，若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，內(nèi)圓半徑為1，外圓半徑為的圓環(huán)上，故所構(gòu)成的圖形面積為，故正確；故選：BCD．10.若，則下列說法正確的有（）A.的最小正周期是B.方程是的一條對稱軸C.的值域?yàn)镈.，，對都滿足，（a，b是實(shí)常數(shù)）【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)，可判斷A,根據(jù)可判斷B,根據(jù)周期性以及三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C,根據(jù)圖象可判斷D.【詳解】對A,因?yàn)椋?，故是的一個周期，故最小正周期是是錯誤的，對B，因?yàn)?，故是的一條對稱軸是正確的，對C,當(dāng)時，，由，則，故因此，由A知是的周期，故的值域?yàn)?，C正確，對D,因?yàn)楫?dāng)時，，且是的周期，故畫出的圖象如圖：

由圖可知，沒有對稱中心，故不存在，使得，故D錯誤.故選：BC11.已知拋物線上的四點(diǎn)，，，，直線，是圓的兩條切線，直線、與圓分別切于點(diǎn)、，則下列說法正確的有（）A.當(dāng)劣弧的弧長最短時， B.當(dāng)劣弧的弧長最短時，C.直線的方程為 D.直線的方程為【答案】BD【解析】【分析】對于AB選項(xiàng)，當(dāng)劣弧最短時，即最小，最大，最小，根據(jù)二倍角公式及三角函數(shù)可得，設(shè)點(diǎn)，求的最小值即可得解；對于CD選項(xiàng)，根據(jù)相切可得直線與的方程，進(jìn)而可得點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得直線.【詳解】由已知得拋物線過點(diǎn)，即，所以，即拋物線為，對于AB選項(xiàng)，如圖所示，設(shè)點(diǎn)當(dāng)劣弧的弧長最短時，最小，又，所以最大，即最小，又，又圓，所以圓心，半徑，，又，所以當(dāng)時，取最小值為，此時最小為，所以A選項(xiàng)錯誤，B選項(xiàng)正確；對于CD選項(xiàng)，設(shè)過點(diǎn)作圓切線的方程為，即，所以，解得，則直線的方程為：，即，直線的方程為：，即，聯(lián)立直線與拋物線，得，故，，，同理可得，所以，直線的方程為，即，所以C選項(xiàng)錯誤，D選項(xiàng)正確；故選：BD.12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，對任意的，，恒有，則下列說法正確的有（）A. B.必為奇函數(shù)C. D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】賦值法求的值，判斷A；賦值法結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)奇偶性的定義，判斷B；賦值法結(jié)合換元法判斷C;利用賦值法求得的值有周期性，即可求得的值，判斷D.【詳解】對于A，令，則由可得，故或，故A錯誤；對于B,當(dāng)時，令，則，則，故，函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；令，則，則，當(dāng)時，，則為奇函數(shù)，綜合以上可知必為奇函數(shù)，B正確；對于C，令，則，故。由于,令,即，即有，故C正確；對于D，若，令，則，則，故令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，由此可得的值有周期性，且6個為一周期，且，故，故D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性和特殊值以及求函數(shù)值的和的問題，涉及到導(dǎo)數(shù)問題，綜合性強(qiáng)，對思維能力要求高，解答的關(guān)鍵是利用賦值法確定的周期性.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，滿足，，則___________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)求出，故求出，求出【詳解】，所以，因?yàn)椋?，所以，，所以故答案為?4.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【解析】【分析】由題意可得角是第一象限的角，且，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，不妨取，代入中利用兩角和的正切變形公式化簡可求出的值【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以因?yàn)?，，所以角是第一象限的角，所以，不妨取，則，所以，所以，所以，所以，故答案為：15.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可得到答案【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，其對稱軸方程為設(shè)，所以又根據(jù)題意，故答案為：16.折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù)，明德小學(xué)在課后延時服務(wù)中聘請了民間藝術(shù)傳人給同學(xué)們教授折紙.課堂上，老師給每位同學(xué)發(fā)了一張長為10cm，寬為8cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊.若折痕（線段）將紙片分為面積比為1:3的兩部分，則折痕長度的取值范圍是___________cm.【答案】【解析】【分析】由已知可確定，分別在三種折疊方式下利用面積建立關(guān)于折痕的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)和對勾函數(shù)的單調(diào)性可求得最值，由此可得結(jié)果．【詳解】由題意得：長方形紙片的面積為，又，，當(dāng)折痕如下圖MN所示時，

設(shè)，則，解得：，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，故；當(dāng)折痕如下圖所示時，

設(shè)，則，解得：，，當(dāng)時，取得最小值64，當(dāng)或5時，取得最大值89，則；當(dāng)折痕如下圖所示時，

設(shè)，則，解得：，則，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，；綜上所述：折痕長的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的應(yīng)用問題，涉及到求函數(shù)最值以及對勾函數(shù)二次函數(shù)的性質(zhì)問題，綜合性強(qiáng)，計算量大，要注意分類討論的思想方法.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知集合，，將A與B中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列（若有相同元素，按重復(fù)方式計入排列）為1，3，3，5，7，9，9，11，….,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）若，求m的值；（2）求的值.【答案】（1）或17（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時，確定此時含有A中的元素以及含有B中的元素，即可得答案；（2）確定數(shù)列中前50項(xiàng)中含有A中的元素以及含有B中的元素，分組求和，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可得答案.【小問1詳解】因?yàn)椋詳?shù)列中前項(xiàng)中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，共有14項(xiàng)，數(shù)列中前項(xiàng)中含有B中的元素為3，9，27，共有3項(xiàng)，排列后為1，3,3,，5，7，9，9，…，27，27，29，…，所以或17.【小問2詳解】因?yàn)?，，，所以?shù)列中前50項(xiàng)中含有B中的元素為3，9，27，81共有4項(xiàng)，它們都是正奇數(shù)，均屬于A，所以數(shù)列中前50項(xiàng)中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，29，…，79，81，83，…，，共有46項(xiàng)，所以.18.某校所在省市高考采用新高考模式，學(xué)生按“”模式選科參加高考：“3”為全國統(tǒng)一高考的語文?數(shù)學(xué)?外語3門必考科目；“1”由考生在物理?歷史2門中選考1門科目；“2”由考生在思想政治?地理?化學(xué)?生物學(xué)4門中選考2門科目.（1）為摸清該校本屆考生的選科意愿，從本屆750位學(xué)生中隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位學(xué)生，得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù)分布：選物理方向選歷史方向合計男生3040女生合計50100請在答題卡的本題表格中填好上表中余下的5個空，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該?！皩W(xué)生選科的方向”與“學(xué)生的性別”有關(guān)；（2）記已選物理方向甲?乙兩同學(xué)在“4選2”的選科中所選的相同的選科門數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）填表答案見解析，有99.9%的把握認(rèn)為該?！皩W(xué)生選科的方向”與“學(xué)生的性別”有關(guān)（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】【分析】（1）根據(jù)題意即可填表，得到列聯(lián)表，計算的值，即可得到結(jié)論；（2）確定變量的取值，計算每個值對應(yīng)的概率，可得其分布列，根據(jù)期望的計算公式可得答案.【小問1詳解】根據(jù)題意可得列聯(lián)表，如圖：選物理方向選歷史方向合計男生301040女生204060合計5050100則，由于，故而有99.9%的把握認(rèn)為該校“學(xué)生選科的方向”與“學(xué)生的性別”有關(guān)【小問2詳解】可能取值為0，1，2，則；；（或），；分布列如下表：012所以.19.在中，設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求證：；（2）求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由已知及余弦定理可推出,利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡可得，即可證明結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論將邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，由基本不等式可求得答案.【小問1詳解】證明：在中，由已知及余弦定理，得，即,由正弦定理，得，又，故.∵，∴,∵，∴，故.小問2詳解】由（1）得，∴，，由（1），得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以當(dāng)時，的最小值為.20.如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让鍭1ABB1．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若直線AC與平面A1BC所成的角為θ，二面角A1-BC-A的大小為φ，試判斷θ與φ的大小關(guān)系，并予以證明．【答案】（Ⅰ）證明見解析．（Ⅱ），證明見解析．【解析】【詳解】（Ⅰ）證明：如右圖，過點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作AD⊥A1B于D，則由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1，且平面A1BC側(cè)面A1ABB1=A1B，得AD⊥平面A1BC，又BC平面A1BC，所以AD⊥BC．因?yàn)槿庵鵄BC—A1B1C1是直三棱柱，則AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1AD=A，從而BC⊥側(cè)面A1ABB1，又AB側(cè)面A1ABB1，故AB⊥BC．（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知是直線AC與平面A1BC所成的角，是二面角A1—BC—A的平面角，即于是在中，在中，，由，得，又，所以．解法2：由（1）知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在的直線分軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，于是，．設(shè)平面的一個法向量為，則由得可取，于是與的夾角為銳角，則與互為余角．所以，，所以．于是由，得，即，又所以．第（1）問證明線線垂直，一般先證線面垂直，再由線面垂直得線線垂直；第（2）問若用傳統(tǒng)方法一般來說要先作垂直，進(jìn)而得直角三角形．若用向量方法，關(guān)鍵在求法向量．21.設(shè).（1）求在上極值；（2）若對，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極小值為，極大值為（2）【解析】【分析】（1）直接求導(dǎo)計算即可．（2）將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)在上單調(diào)遞增即可，然后參變分離或者分類討論都可以．【小問1詳解】由，得的單調(diào)減區(qū)間是，，同理，的單調(diào)增區(qū)間是.故的極小值為，極大值為.【小問2詳解】由對稱性，不妨設(shè)，則即為.設(shè)，則在上單調(diào)遞增，故在上恒成立.方法一：（含參討論）設(shè)，則，，解得.，，.①當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減；此時，，在上單調(diào)遞增，故，符合條件.②當(dāng)時，同①，當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減；∵，，∴由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理及單調(diào)性知，，.于