人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)教案：1等腰三角形

課題：§13.3.1等腰三角形（一）

教學(xué)目標(biāo)

（-）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1.等腰三角形的概念.

2.等腰三角形的性質(zhì).

3.等腰三角形的概念及性質(zhì)的應(yīng)用.

（二）能力訓(xùn)練要求

1.經(jīng)歷作（畫(huà)）出等腰三角形的過(guò)程，?從軸對(duì)稱的角度去體會(huì)

等腰三角形的特點(diǎn).

2.探索并掌握等腰三角形的性質(zhì).

（三）情感與價(jià)值觀要求

通過(guò)學(xué)生的操作和思考，使學(xué)生掌握等腰三角形的相關(guān)概念，并

在探究等腰三角形性質(zhì)的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真思考的習(xí)慣.

教學(xué)重點(diǎn)

1.等腰三角形的概念及性質(zhì).2.等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應(yīng)用.

教學(xué)方法：探究歸納法.

教具準(zhǔn)備：生：硬紙、剪刀.

教學(xué)過(guò)程

一、提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境

［師］在前面的學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識(shí)了軸對(duì)稱圖形，探究了軸對(duì)稱的

性質(zhì)，?并且能夠作出一個(gè)簡(jiǎn)單平面圖形關(guān)于某一直線的軸對(duì)稱圖形,

?還能夠通過(guò)軸對(duì)稱變換來(lái)設(shè)計(jì)一些美麗的圖案.這節(jié)課我們就是從

軸對(duì)稱的角度來(lái)認(rèn)識(shí)一些我們熟悉的幾何圖形.來(lái)研究：①三角形是

軸對(duì)稱圖形嗎？②什么樣的三角形是軸對(duì)稱圖形？

［生］有的三角形是軸對(duì)稱圖形，有的三角形不是.

［師］那什么樣的三角形是軸對(duì)稱圖形？

［生］滿足軸對(duì)稱的條件的三角形就是軸對(duì)稱圖形，?也就是將三

角形沿某一條直線對(duì)折后兩部分能夠完全重合的就是軸對(duì)稱圖形.

［師］很好，我們這節(jié)課就來(lái)認(rèn)識(shí)一種成軸對(duì)稱圖形的三角形——

等腰三角形.

二、導(dǎo)入新課

［師］同學(xué)們通過(guò)自己的思考來(lái)做一個(gè)等腰三角形.

A

B*

I

作一條直線L,在L上取點(diǎn)A,在L外取點(diǎn)B,作出點(diǎn)B關(guān)于直

線L的對(duì)稱點(diǎn)C,連結(jié)AB、BC、CA,則可得到一個(gè)等腰三角形.

［生乙］在甲同學(xué)的做法中，A點(diǎn)可以取直線L上的任意一點(diǎn).

［師］對(duì)，按這種方法我們可以得到一系列的等腰三角形.現(xiàn)在同

學(xué)們拿出自己準(zhǔn)備的硬紙和剪刀，按自己設(shè)計(jì)的方法，也可以用課本

P49探究中的方法，?剪出一個(gè)等腰三角形.

［師］按照我們的做法，可以得到等腰三角形的定義：有兩條邊相

等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊,

兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角.同學(xué)們?cè)谧约鹤鞒?/p>

的等腰三角形中，注明它的腰、底邊、頂角和底角.

［師］有了上述概念，同學(xué)們來(lái)想一想.

1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？請(qǐng)找出它的對(duì)稱軸.

2.等腰三角形的兩底角有什么關(guān)系？

3.頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎？

4.底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎？?底邊上

的高所在的直線呢？

［生甲］等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.它的對(duì)稱軸是頂角的平分線所

在的直線.因?yàn)榈妊切蔚膬裳嗟?，所以把這兩條腰重合對(duì)折三

角形便知：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是頂角的平分線所

在的直線.

［師］同學(xué)們把自己做的等腰三角形進(jìn)行折疊，找出它的對(duì)稱軸,

并看它的兩個(gè)底角有什么關(guān)系.

［生乙］我把自己做的等腰三角形折疊后，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的兩個(gè)

底角相等.

［生丙］我把等腰三角形折疊，使兩腰重合，這樣頂角平分線兩旁

的部分就可以重合，所以可以驗(yàn)證等腰三角形的對(duì)稱軸是頂角的平分

線所在的直線.

［生丁］我把等腰三角形沿底邊上的中線對(duì)折，可以看到它兩旁的

部分互相重合，說(shuō)明底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸.

［生戊］老師，我發(fā)現(xiàn)底邊上的高所在的直線也是等腰三角形的對(duì)

稱軸.

［師］你們說(shuō)的是同一條直線嗎？大家來(lái)動(dòng)手折疊、觀察.

［生齊聲］它們是同一條直線.

［師］很好.現(xiàn)在同學(xué)們來(lái)歸納等腰三角形的性質(zhì).

［生］我沿等腰三角形的頂角的平分線對(duì)折，發(fā)現(xiàn)它兩旁的部分互

相重合，由此可知這個(gè)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，?而且還可以知

道頂角的平分線既是底邊上的中線，也是底邊上的高.

［師］很好，我們來(lái)總結(jié)等腰三角形的性質(zhì)：

1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）.

2.等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、?底邊上的高互相

重合（通常稱作“三線合一”）.

［師］由上面折疊的過(guò)程獲得啟發(fā)，我們可以通過(guò)作出等腰三角形

的對(duì)稱軸，得到兩個(gè)全等的三角形，從而利用三角形的全等來(lái)證明這

些性質(zhì).同學(xué)們現(xiàn)在就動(dòng)手來(lái)寫(xiě)出這些證明過(guò)程）.

［生甲］如右圖，在AABC中，AB=AC,作底邊BC的中線AD,

因?yàn)?/p>

AB=AC,

<BD=CD,

AD=AD,

所以△BADZ/\CAD(SSS).

所以NB=NC.

［生乙］如右圖，在aABC中，AB=AC,作頂角NBAC的角平分

線AD,因?yàn)?/p>

AB=AC,A

<ZBAD=ACAD,入

AD=AO,/\

所以4BAD之4CAD.BDC

所以BD=CD,ZBDA=ZCDA=1ZBDC=90°.

2

［師］很好，甲、乙兩同學(xué)給出了等腰三角形兩個(gè)性質(zhì)的證明，過(guò)

程也寫(xiě)得很條理、很規(guī)范.下面我們來(lái)看例題.

［例1］如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD,

求：AABC各角的度數(shù).

A

［師］同學(xué)們先思考一下，我們?cè)賮?lái)分析這個(gè)題.A

［生］根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，我們可以得到

BC

ZA=ZABD,ZABC=ZC=ZBDC,?

再由ZBDC=ZA+ZABD,就可得到ZABC=ZC=ZBDC=2ZA.

再由三角形內(nèi)角和為180。，?就可求出aABC的三個(gè)內(nèi)角.

［師］這位同學(xué)分析得很好，對(duì)我們以前學(xué)過(guò)的定理也很熟悉.如

果我們?cè)诮獾倪^(guò)程中把NA設(shè)為x的話，那么NABC、NC都可以用

x來(lái)表示，這樣過(guò)程就更簡(jiǎn)捷.

［例］因?yàn)锳B=AC,BD=BC=AD,

所以ZABC=ZC=ZBDC.

ZA=ZABD（等邊對(duì)等角）.

設(shè)NA=x,則

NBDC=NA+NABD=2x,

從而NABC=NC=NBDC=2x.

于是在aABC中，有

ZA+ZABC+ZC=x+2x+2x=1800,

解得x=36°.

在AABC中，ZA=35°,ZABC=ZC=72°.

［師］下面我們通過(guò)練習(xí)來(lái)鞏固這節(jié)課所學(xué)的知識(shí).

三、隨堂練習(xí)

（一）課本P77練習(xí)1、2、3.

（二）閱讀課本P75?P77,然后小結(jié).

四、課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課我們主要探討了等腰三角形的性質(zhì)，并對(duì)性質(zhì)作了簡(jiǎn)單的

應(yīng)用.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角），

等腰三角形的對(duì)稱軸是它頂角的平分線，并且它的頂角平分線既是底

邊上的中線，又是底邊上的高.

我們通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，首先就是要理解并掌握這些性質(zhì)，并且

能夠靈活應(yīng)用它們.

五、課后作業(yè)

（一）課本P81—1、3、4、8題.

（二）1.預(yù)習(xí)課本P71?P78.

2.預(yù)習(xí)提綱：等腰三角形的判定.

六、活動(dòng)與探究

如右圖，在AABC中，過(guò)C作NBAC的平分線AD的垂線，垂

足為D,DE〃AB交AC于E.

求證：AE=CE.

過(guò)程：通過(guò)分析、討論，讓學(xué)生進(jìn)一步了解全等三角形的性質(zhì)和

判定，?等腰三角形的性質(zhì).

結(jié)果：

證明：延長(zhǎng)CD交AB的延長(zhǎng)線于P,如右圖，在4ADP和4ADC

Zl=Z2,

<AD=AD,

ZADP=ZADC,

/.△ADP^AADC.

二.ZP=ZACD.

又：DE〃AP,

/.Z4=ZP.

；.Z4=ZACD.

；.DE=EC.

同理可證：AE=DE.

；.AE=CE.

備課資料

參考練習(xí)

一、選擇題

1.如果AABC是軸對(duì)稱圖形，則它的對(duì)稱軸一定是（）

A.某一條邊上的高;B.某一條邊上的中線

C.平分一角和這個(gè)角對(duì)邊的直線；D.某一個(gè)角的平分線

2.等腰三角形的一個(gè)外角是100°,它的頂角的度數(shù)是（）

A.80°B.20°C.80°和20°D.80°或50°

答案：1.C2.C

二、已知等腰三角形的腰長(zhǎng)比底邊多2cm,并且它的周長(zhǎng)為16cm.

求這個(gè)等腰三角形的邊長(zhǎng).

解：設(shè)三角形的底邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意，得

2（.

七、教學(xué)反思：“授人以魚(yú)，不如授人以漁”，最有價(jià)值的知識(shí)是

關(guān)于方法的知識(shí)，首先教師應(yīng)創(chuàng)造一種環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生從已知的、熟

悉的知識(shí)入手，讓學(xué)生自己在某一種環(huán)境下不知不覺(jué)中運(yùn)用舊知識(shí)的

鑰匙去打開(kāi)新知識(shí)的大門，進(jìn)入新知識(shí)的領(lǐng)域，從不同角度去分析、

解決新問(wèn)題，發(fā)掘不同層次學(xué)生的不同能力，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生思維

能力和自學(xué)能力的目的，發(fā)掘?qū)W生的創(chuàng)新精神.

課題：§13.3.1等腰三角形（二）

教學(xué)目標(biāo)：

（一）（知識(shí)與技能）

探索等腰三角形的判定定理.

（二）（過(guò)程與方法）

探索等腰三角形的判定定理，進(jìn)一步體驗(yàn)軸對(duì)稱的特征，發(fā)展空

間觀念.

（三）（情感、態(tài)度與價(jià)值觀）

通過(guò)對(duì)等腰三角形的判定定理的探索，讓學(xué)生體會(huì)探索學(xué)習(xí)的樂(lè)

趣，并通過(guò)等腰三角形的判定定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，加深對(duì)定理的理解.從

而培養(yǎng)學(xué)生利用已有知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)：等腰三角形的判定定理及其應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：探索等腰三角形的判定定理.

教學(xué)方法：講練結(jié)合法.

教具準(zhǔn)備：三角板

教學(xué)過(guò)程

一、提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境

［師］上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)，現(xiàn)在大家來(lái)回憶一下,

等腰三角形有些什么性質(zhì)呢？

［生甲］等腰三角形的兩底角相等.

［生乙］等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高

互相重合.

［師］同學(xué)們回答得很好，我們已經(jīng)知道了等腰三角形的性質(zhì)，那

么滿足了什么樣的條件就能說(shuō)一個(gè)三角形是等腰三角形呢？這就是

我們這節(jié)課要研究的問(wèn)題.

二、導(dǎo)入新課

［師］同學(xué)們看下面的問(wèn)題并討論：

思考：如圖，位于在海上A、B兩處的兩艘救生船接到0處遇險(xiǎn)

船只的報(bào)警，當(dāng)時(shí)測(cè)得NA=NB.如果這兩艘救生船以同樣的速度同

時(shí)出發(fā)，?能不能大約同時(shí)趕到出事地點(diǎn)（不考慮風(fēng)浪因素）？

在一般的三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什

么關(guān)系？

［生甲］應(yīng)該能同時(shí)趕到出事地點(diǎn).因?yàn)閮伤揖壬乃俣认嗤?/p>

同時(shí)出發(fā)，?在相同的時(shí)間內(nèi)走過(guò)的路程應(yīng)該相同，也就是OA=OB,

所以兩船能同時(shí)趕到出事地點(diǎn).0^

［生乙］我認(rèn)為能同時(shí)趕到O點(diǎn)的位置很重要，也/

AB

就是NA如果不等于NB,?那么同時(shí)以同樣的速度就

不一定能同時(shí)趕到出事地點(diǎn).

［師］現(xiàn)在我們把這個(gè)問(wèn)題一般化，在一般的三角形中，如果有兩

個(gè)角相等，?那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？

［生丙］我想它們所對(duì)的邊應(yīng)該相等.

［師］為什么它們所對(duì)的邊相等呢？同學(xué)們思考一下，給出一個(gè)簡(jiǎn)

單的證明.

［生?。菸沂沁\(yùn)用三角形全等來(lái)證明的.

A

［例1］已知：在AABC中，NB=NC（如圖）.

求證：AB=AC.-----------—

BDC

證明：作NBAC的平分線AD.

在4BAD和4CAD中

Z1=Z2,

<NB=NC,

AD=AD,

/.△BAD^ACAD(AAS).

；.AB=AC.

［師］太好了.從丁同學(xué)的證明結(jié)論來(lái)看，在一個(gè)三角形中，如果

有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也是相等，也就說(shuō)這個(gè)三角形就是

等腰三角形.這個(gè)結(jié)論也回答了我們一開(kāi)始提出的問(wèn)題.也就是如何

來(lái)判定一個(gè)三角形是等腰三角形.

等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這

兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”）.

［師］下面我們通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)初步學(xué)習(xí)等腰三角形判定定理的簡(jiǎn)

單運(yùn)用.

［例2］求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，

那么這個(gè)三角形是等腰三角形.

［師］這個(gè)題是文字?jǐn)⑹龅淖C明題，?我們首先得將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化

成相應(yīng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，再根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的幾何圖形.￡

已知：NCAE是△ABC的外角，Z1=Z2,AD〃BC/

（如圖）.k-

求證：AB=AC./\

［師］同學(xué)們先思考，再分析.L—

［生］要證明AB=AC,可先證明NB=NC.

［師］這位同學(xué)首先想到我們這節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，很好！

［生］接下來(lái)，可以找NB、NC與Nl、N2的關(guān)系.

［師］我們共同證明，注意每一步證明的理論根據(jù).

證明：:AD〃BC,

.-.Z1=ZB（兩直線平行，同位角相等），

N2=NC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

又TN1=N2,

；.ZB=ZC,

，AB=AC（等角對(duì)等邊）.

［師］看小黑板，同學(xué)們?cè)囍瓿蛇@個(gè)題.

已知：如圖，AD〃BC,BD平分NABC.

求證：AB=AD.

證明：VAD/7BC,

，NADB=NDBC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

又〈BD平分NABC,

二.NABD=NDBC,

/.ZABD=ZADB,

；.AB=AD（等角對(duì)等邊）.

［師］下面來(lái)看另一個(gè)例題.

［例3］如圖（1）,標(biāo)桿AB的高為5米，為了將它固定，需要由它

的中點(diǎn)C?向地面上與點(diǎn)B距離相等的D、E兩點(diǎn)拉兩條繩子，使得

D、B、E在一條直線上，量得DE=4米，?繩子CD和CE要多長(zhǎng)？

［師］這是一個(gè)與實(shí)際生活相關(guān)的問(wèn)題，解決這類型問(wèn)題，需要將

實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型.本題是在等腰三角形中已知等腰三角形的

底邊和底邊上的高，求腰長(zhǎng)的問(wèn)題.

解：選取比例尺為1：100(即為1cm代表1m).

(1)作線段DE=4cm；

(2)作線段DE的垂直平分線MN,與DE交于點(diǎn)B；

(3)在MN上截取BC=2.5cm；

(4)連接CD、CE,4CDE就是所求的等腰三角形，量出CD

的長(zhǎng)，?就可以算出要求的繩長(zhǎng).

［師］同學(xué)們按以上步驟來(lái)做一做，看結(jié)果是多少.

三、隨堂練習(xí)

(一)課本P531、2、3.

四、課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們主要探究了等腰三角形判定定理，?并對(duì)判定定理的

簡(jiǎn)單應(yīng)用作了一定的了解.在利用定理的過(guò)程中體會(huì)定理的重要

性.在直觀的探索和抽象的證明中發(fā)現(xiàn)和養(yǎng)成一定的邏輯推理能力.

五、課后作業(yè)

(一)課本P56—2、4、5、9、13題.

（二）預(yù)習(xí)P53-P54.

六、活動(dòng)與探究

［探究1］等腰三角形兩底角的平分線相等.

過(guò)程：利用等腰三角形的性質(zhì)即等邊對(duì)等角，全等三角形的判定

及性質(zhì).

結(jié)果：

已知：如圖，在aABC中，AB=AC,BD、CE是aABC的平分

線.

求證：BD=CE.卜

證明：VAB=AC,

AZABC=ZACB（等邊對(duì)等角）.

VZ1=11ZABC,Z2=1ZACB,---------普、

22BC

/.Z1=Z2.

在4BDC和4CEB中，

VZACB=ZABC,BC=CB,Z1=Z2,

.,.△BDC^ACEB（ASA）.

；.BD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

［探究2］等腰三角形兩腰上的高相等.

過(guò)程：同探究1.

結(jié)果：

已知：如圖，在AABC中，AB=AC,BE、CF分別是AABC的

高.

求證：BE=CF.

A

證明：VAB=AC,

AZABC=ZACB(等邊對(duì)等角).E/\D

又TBE、CF分別是AABC的高，

BC

/.ZBFC=ZCEB=90°.

在ABFC和ACEB中，

VZABC=ZACB,ZBFC=ZCEB,BC=CB,

.,.△BFC^ACEB(AAS).

BE=CF.

［探究3］等腰三角形兩腰上的中線相等.

過(guò)程：同探究1.

結(jié)果：

已知：如圖，在AABC中，AB=AC,BD、CE分別是兩腰上的

中線.

求證：BD=CE.

證明：VAB=AC,nA

ZABC=ZACB(等邊對(duì)等角).E0

XVCD=-2AC,BE=2-AB,zA><A\

.,.CD=BE./7

BC

在aBEC和ACDB中，

VBE=CD,NABC=NACB,BC=CB,

/.△BEC^ACDB(SAS).

；.BD=CE.

七、教學(xué)反思：

本節(jié)課按照質(zhì)疑、猜想、驗(yàn)證、推理的學(xué)習(xí)過(guò)程，遵循學(xué)生的認(rèn)

知規(guī)律，讓學(xué)生感受由實(shí)踐到理論再到實(shí)踐的學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生通過(guò)

“會(huì)學(xué)”最終達(dá)到“學(xué)會(huì)”.

教學(xué)一開(kāi)始，學(xué)生通過(guò)回顧總結(jié)等腰三角形的性質(zhì)為學(xué)習(xí)等腰三角形

的判定做了知識(shí)鋪墊.之后我將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)展示給學(xué)生，讓學(xué)

生做到心中有數(shù)，讓學(xué)生帶著問(wèn)題看書(shū)，加強(qiáng)自主探索的能力.通過(guò)

學(xué)生觀察、思考例題，自然地滲透分類討論的數(shù)學(xué)解題思想.

課題：§13.3,2等邊三角形（一）

教學(xué)目標(biāo)

（一）（知識(shí)與技能）

經(jīng)歷探索等腰三角形成為等邊三角形的條件及其推理證明

過(guò)程.

（二）（過(guò)程與方法）

2.經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推

理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn).

（三）（情感、態(tài)度與價(jià)值觀）

1.積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲.

2.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立

自信心.

教學(xué)重點(diǎn)：等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明.

教學(xué)難點(diǎn)：

1.等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明.

2.引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問(wèn)題.

教學(xué)方法：探索發(fā)現(xiàn)法.

教具準(zhǔn)備：三角板

教學(xué)過(guò)程

一、提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境

［師］我們?cè)谇皟晒?jié)課研究證明了等腰三角形的性質(zhì)和判定定理,

我們知道，在等腰三角形中有一種特殊的等腰三角形——三條邊都相

等的三角形，叫等邊三角形.回答下面的三個(gè)問(wèn)題.

1.把等腰三角形的性質(zhì)用到等邊三角形，能得到什么結(jié)論？

2.一個(gè)三角形滿足什么條件就是等邊三角形？

3.你認(rèn)為有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？?

你能證明你的結(jié)論嗎？把你的證明思路與同伴交流.

（教師應(yīng)給學(xué)生自主探索、思考的時(shí)間）

［生甲］由等邊對(duì)等角的性質(zhì)可知，等邊三角形的三個(gè)角相等，又

由三角形三內(nèi)角和定理可知，等邊三角形的三個(gè)角相等，并且都等于

60°.

［生乙］等腰三角形已有兩邊分別相等，所以我認(rèn)為只要腰和底邊

相等，等腰三角形就是等邊三角形了.

［生丙］等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且分別都等于60。，我認(rèn)

為等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°,也就是說(shuō)這個(gè)等腰三角形就

是等邊三角形了.

（此時(shí)，部分同學(xué)同意此生看法，部分同學(xué)不同意此生看法，引

起激烈的爭(zhēng)論，?教師可讓同學(xué)代表發(fā)表自己的看法）

［生丁］我不同意這個(gè)同學(xué)的看法，?因?yàn)槿魏我粋€(gè)三角形滿足這

個(gè)條件都是等邊三角形.根據(jù)等角對(duì)等邊，三個(gè)內(nèi)角都是60°,所

以它們所對(duì)的邊一定相等，但這一問(wèn)題中“已知是等腰三角形，滿足

什么條件時(shí)便是等邊三角形”，?我覺(jué)得他給的條件太多，浪費(fèi)！

［師］給三個(gè)角都是60。，這個(gè)條件確實(shí)有點(diǎn)浪費(fèi)，那么給什么條

件不浪費(fèi)呢？?下面同學(xué)們可以在小組內(nèi)交流自己的看法.

二、導(dǎo)入新課

探索等腰三角形成等邊三角形的條件.

［生］如果等腰三角形的頂角是60。，那么這個(gè)三角形是等邊三角

形.

［師］你能給大家陳述一下理由嗎？

［生］根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，頂角是60?°,?等腰三角形的兩

個(gè)底角的和就是180。-60。=120。，再根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角是相

等的，?所以每個(gè)底角分別是120。+2=60°,則三個(gè)內(nèi)角分別相等，

根據(jù)等角對(duì)等邊，.則此時(shí)等腰三角形的三條邊是相等的，即頂角為

60°的等腰三角形為等邊三角形.

［生］等腰三角形的底角是60。，那么這個(gè)三角形也是等邊三角形,

同樣根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等角對(duì)等邊、等邊對(duì)等角的性質(zhì).

［師］從同學(xué)們自主探索和討論的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：?在等腰三角形

中，?不論底角是60。，還是頂角是60°,那么這個(gè)等腰三角形都是

等邊三角形.?你能用更簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言描述這個(gè)結(jié)論嗎？

［生］有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

（這個(gè)結(jié)論的證明對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)可能有一定的難點(diǎn)，難點(diǎn)是意識(shí)到

分別討論60°的角是底角和頂角兩種情況.這是一種分類討論的思

想，教師要關(guān)注學(xué)生得出證明思路的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思

考問(wèn)題，并有意識(shí)地向?qū)W生滲透分類的思想方法）

［師］你在與同伴的交流過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)了什么或受到了何種啟示？

［生］我發(fā)現(xiàn)我的證明過(guò)程沒(méi)有意識(shí)到“有一個(gè)角是60°”，在等

腰三角形中有兩種情況：（1）這個(gè)角是底角；（2）這個(gè)角是頂角.也

就是說(shuō)我們思考問(wèn)題要全面、周到.

［師］我們來(lái)看有多少同學(xué)意識(shí)到分別討論60°的角是底角和頂

角的情況，?我們鼓掌表示對(duì)他們的鼓勵(lì).

今天，我們探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等邊三角形的判定定理；有一個(gè)

角等于60。的等腰三角形是等邊三角形，我們A

BC

在證明這個(gè)定理的過(guò)程中，還得出了三角形為等邊三角形的條件，是

什么呢？

［生］三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

［師］下面就請(qǐng)同學(xué)們來(lái)證明這個(gè)結(jié)論.

已知：如圖，在aABC中，ZA=ZB=ZC.

求證：aABC是等邊三角形.

證明：VZA=ZB,

/.BC=AC（等角對(duì)等邊）.

又?.?NA=NC,

BC=AC（等角對(duì)等邊）.

二.AB=BC=AC,即△ABC是等邊三角形.

［師］這樣，我們由等腰三角形的性質(zhì)和判定方法就可以得到.

等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°；

三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

［師］有了上述結(jié)論，我們來(lái)學(xué)習(xí)下面的例題，體會(huì)上述定理.

例4（書(shū)P54）

［例5］如圖，課外興趣小組在一次測(cè)量活動(dòng)中，測(cè)得NAPB=60。，

AP=BP=200m,?他們便得出一個(gè)結(jié)論：A、B之間距離不少于200m,

他們的結(jié)論對(duì)嗎？

分析：我們從該問(wèn)題中抽象出^APB,由已知條件NAPB=60。

且AP=BP,?由本節(jié)課探究結(jié)論知AAPB為等邊三角形.

P

解：在4APB中，AP=BP,ZAPB=60°,

所以NPAB=NPBA=L(180°-ZAPB)=-(180°-60°)=60°.

22

于是NPAB=NPBA=NAPB.

從而AAPB為等邊三角形，AB的長(zhǎng)是200m,?由此可以得出興

趣小組的結(jié)論是正確的.

三、隨堂練習(xí)

(一)課本P80練習(xí)1、2.

(二)補(bǔ)充練習(xí)

如圖，4ABC是等邊三角形，ZB和NC的平分線相交于D,BD、

CD?的垂直平分線分別交BC于E、F,求證：BE=CF.A

證明：連結(jié)DE、DF,貝I]BE=DE,DF=CF./\

由AABC是等邊三角形，BD平分NABC,得N

1=30°,故N2=30°,從而NDEF=60°.S訃再

同理NDFE=60°,

故4DEF是等邊三角形.

DE=DF,

因而B(niǎo)E=CF.

四、課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課，我們自主探索、思考了等腰三角形成為等邊三角形的條

件，?并對(duì)這個(gè)結(jié)論的證明有意識(shí)地滲透分類討論的思想方法.這節(jié)

課我們學(xué)的定理非常重要，在我們今后的學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用.

五、課后作業(yè)A

DE

BC

（一）課本P82—5、6、7、10題.

（二）預(yù)習(xí)P8O-P81.

六、活動(dòng)與探究

探究：如圖，在等邊三角形ABC的邊AB、AC上分別截取

AD=AE.4ADE是等邊三角形嗎？試說(shuō)明理由.

過(guò)程：通過(guò)分析、討論，讓學(xué)生進(jìn)一步了解等邊三角形的性質(zhì)及

判定.

結(jié)果：

已知：三角形ABC為等邊三角形.D、E為邊AB、AC上兩點(diǎn)，

且AD=AE.判斷4ADE?是否是等邊三角形，并說(shuō)明理由.

解：4ADE是等邊三角形，

「△ABC是等邊三角形，

/.ZA=60°.

XVAD=AE,

「.△ADE是等腰三角形.

二.△ADE是等邊三角形（有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊

三角形）.

備課資料

等腰三角形（含等邊三角形）的性質(zhì)與判定.

性質(zhì)判定的條件

等邊對(duì)等角等角對(duì)等邊

等腰三“三線合一”即等腰三角形有一角是60°的等腰三角

角頂角平分線，底邊上的中線、形是等邊三角形

形（含等高互相重合

邊三角等邊三角形的三個(gè)角都相三個(gè)角都相等的三角形是

形）等，且每個(gè)角都是60°等邊三角形

參考例題

1.已知，如圖，房屋的頂角NBAC=100°,過(guò)屋頂

A的立柱AD_LBC.屋椽AB=AC,求頂架上NB、NC、

/BAD、NCAD的度數(shù).

解：在AABC中，

VAB=AC（已知），

AZB=ZC（等邊對(duì)等角）.

ZB=ZC=-（180°-ZBAC）=40°（三角形內(nèi)角和定理）.

2

又-AD_LBC（已知）,

；.ZBAD=ZCAD（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高互相

重合）.

；.ZBAD=ZCAD=50°.

2.已知：如圖，4ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC

至IE,使CE=CD.

求證：DB=DE.

證明：?「△ABC是等邊三角形，且BD是中線,

；.BD±AC,ZACB=60°,ZDBC=30°.

又?.?CD=CE,

/.ZCDE=ZE=1ZACB=30°.

2

ZDBC=ZE.

；.DB=DE.

3.已知：如圖，Z^ABC是等邊三角形，DE〃BC,交AB、AC

于D、E.

求證：AADE是等邊三角形.

證明：?:△ABC是等邊三角形（已知），

ZA=ZB=ZC（等邊三角形各角相等）.

VDE^BC,

；.ZADE=ZB,ZAED=ZC（兩直線平行，同位角相等）.

ZA=ZADE=ZAED.

二.△ADE是等邊三角形（三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形）.

七、教學(xué)反思：

讓學(xué)生自己閱讀教材，提出疑問(wèn)，學(xué)生集體討論，我做最后訂正.

使學(xué)生能感知知識(shí)的起點(diǎn)，前后的承接.在研究直角三角形中一個(gè)角

是30度，則30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半.這個(gè)定理的證明，

讓學(xué)生在課本知識(shí)的基礎(chǔ)上，廣開(kāi)思路，思考更多的解題方法，把這

個(gè)定理的證明設(shè)計(jì)成開(kāi)放式題形，激發(fā)學(xué)生的求勝心，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極

思考.一改以往直接給出結(jié)論的傳統(tǒng)教學(xué)方法，精心設(shè)計(jì)適宜的教學(xué)

情景，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論，這種做法不僅能使學(xué)生“感

到自然、好接受”，更重要的是它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育既重視證明又重視

猜想的正確教學(xué)觀.另外，教師在選取例題的過(guò)程中是源于教材勝于

教材，注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

課題：§13.3.2等邊三角形（二）

教學(xué)目標(biāo)

（一）（知識(shí)與技能

1.探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明直角三角形中有一個(gè)角為30。

的性質(zhì).

2.有一個(gè)角為30°的直角三角形的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

（二）（過(guò)程與方法）

1.經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過(guò)程，?引導(dǎo)學(xué)生

體會(huì)合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系.

2.培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)的習(xí)慣和能力.

（三）（情感、態(tài)度與價(jià)值觀）

1.鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.

2.體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)新、感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

教學(xué)重點(diǎn)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明.

教學(xué)難點(diǎn)

1.含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明.

2.引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問(wèn)題.

教學(xué)方法：探索發(fā)現(xiàn)法.

教具準(zhǔn)備：兩個(gè)全等的含30°角的三角尺；

教學(xué)過(guò)程

一、提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境

［師］我們學(xué)習(xí)過(guò)直角三角形，今天我們先來(lái)看一個(gè)特殊的直角三

角形，看它具有什么性質(zhì).大家可能已猜到，我讓大家準(zhǔn)備好的含

30°角的直角三角形，?它有什么不同于一般的直角三角形的性質(zhì)

呢？

問(wèn)題：用兩個(gè)全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一個(gè)怎

樣的三角形？?能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊與斜邊有

怎樣的大小關(guān)系？你能證明你的結(jié)論嗎？

二、導(dǎo)入新課

（讓學(xué)生經(jīng)歷拼擺三角尺的活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)

到，通過(guò)實(shí)際操作探索出來(lái)的結(jié)論，還需要給予證明）

［生］用含30°角的直角三角尺擺出了如下兩個(gè)三角形.

其中，圖（1）是等邊三角形，因?yàn)?ABD之Z\ACD,所以AB=AC,

又因?yàn)镽taABD中，ZBAD=60°,所以NABD=60°,有一個(gè)角是

60°的等腰三角形是等邊三角形.

［生］圖（1）中，ZB=ZC=60°,ZBAC=ZBAD+ZCAD=30°

+30°=60°，所以NB=NC=NBAC=60°，即aABC是等邊三角形.

［師］同學(xué)們從不同的角度說(shuō)明了自己拼成的圖（1）是等邊三角

形.由此你能得出在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)

系嗎？

［生］在直角三角形中，30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半.

［師］我們僅憑實(shí)際操作得出的結(jié)論還需證明，你能證明它嗎？

［生］可以，在圖（1）中，我們已經(jīng)知道它是等邊三角形，所以

AB=BC=AC.?而NADB=90°,即AD1BC.根據(jù)等腰三角形“三

線合一”的性質(zhì)，可得BD=DC=』BC.所以BD」AB,?即在RtA

22

ABD中，ZBAD=30°,它所對(duì)的邊BD是斜邊AB的一半.

［師生共析］這位同學(xué)能結(jié)合前后知識(shí)，把問(wèn)題思路解釋得如此清

晰，很了不起.?下面我們一同來(lái)完成這個(gè)定理的證明過(guò)程.

定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,?那么它所對(duì)

的直角邊等于斜邊的一半.

已知：如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,ZBAC=30°.

求證：BC=-AB.

2

AA

CBBCD

分析:從三角尺的擺拼過(guò)程中得到啟發(fā)，延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,

連接AD.

證明：在4ABC中，ZACB=90°,NBAC=30°,貝＞JNB=6O°.

延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,連接AD（如下圖）

VZACB=60°,AZACD=90°.

VAC=AC,

A△ABCADC（SAS）.

/.AB=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

.'.△ABD是等邊三角形（有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊

三角形）.

.\BC=-BD=-AB.

22

［師］這個(gè)定理在我們實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，因?yàn)樗山堑奶?/p>

殊性，揭示了直角三角形中的直角邊與斜邊的關(guān)系，下面我們就來(lái)看

一個(gè)例題.

［例5］右圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立

柱BC、DE垂直于橫梁AC,AB=7.4m,ZA=30°,立柱BD、

DE要多長(zhǎng)？

分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在RtAAED與RtAACB中,

由于NA=30°,所以DE=』AD,BC=-AB,又由D是AB的中點(diǎn),

22

所以DE=，AB.

4

解：因?yàn)镈E_LAC,BC±AC,ZA=30°,由定理知

BC=-AB,DE=」AD,

22

所以BD=』X74=3.7(m).

2

又AD'AB,

2

所以DE='AD=LX3.7=1.85(m).

22

答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7m,DE的長(zhǎng)是1.85m.

［師］再看下面的例題.

［例］等腰三角形的底角為15°,腰長(zhǎng)為2a,求腰上的高.

已知：如圖，在4ABC中，AB=AC=2a,ZABC=ZACB=15°,

CD是腰AB上的高.

求：CD的長(zhǎng).

分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，在RtZXADC中，AC=2a,

而NDAC是aABC的一個(gè)外角，?貝i］NDAC=15。X2=30°,根據(jù)在

直角三角形中，30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半，?可求出CD.

解：VZABC=ZACB=15°,

ZDAC=ZABC+ZBAC=30°.

...CD=』AC=a（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那

2

么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）.

［師］下面我們來(lái)做練習(xí).

三、隨堂練習(xí)

（一）課本P81練習(xí)

（二）補(bǔ)充練習(xí)

1.已知：如圖，4ABC中，ZACB=90°,CD是高，ZA=30°.

求證：BD=-AB.

4

證明：在Rt^ABC中，ZA=30°,

；.BC=-AB.

2

在RtABCD中，ZB=60°,

/.ZBCD=30°.

；.BD=-BC.ABD=-AB.

24

2.已知直角三角形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)銳角的2倍，這個(gè)角

的平分線把對(duì)邊分成兩條線段.

求證：其中一條是另一條的2倍.

已知：在RtaABC中，ZA=90°,ZABC=2ZC,BD是NABC

的平分線.

求證：CD=2AD.

證明：在RtaABC中，ZA=90°,ZABC=2ZC,

D

ZABC=60°,ZC=30°.

BC