奧數(shù)比和比例含答案講解學習

奧數(shù)比和比例含答案

比和比例

月一日姓名

【知識要點】

一、比和比例的性質(zhì)

性質(zhì)

1若

a:b=ctd,貝IJ(Q+C)：(b+d)=a：b=c：d\

性質(zhì)

2若

a:b=czd,則(o-c)：(b-d)=azb=c：d；

性質(zhì)

3若

：貝!)(Q+XC)：：：；為常數(shù))

性質(zhì)

若a:b=cd,(b+xd)=ab=cd(x

4-a:b=c：d,則〃xd=〃xc；(即外項積等于內(nèi)項積)

正比例：如果。邦=?%為常數(shù))，則稱。、Z?成正比；

反比例：如果axbM(左為常數(shù))，則稱〃、匕成反比.

二、主要比例轉(zhuǎn)化實例

①土，ny=L;i=y;4，；②n史，；“吧(其中〃件o)；

ybxac1bxyybmybymb

③xa=x_a.x+y_a+b.

ybx+ya+bxax-ya-b

xaycxac...

?—=一,—=—=—=—;x:y:z=ac:bc:ba;

ybzcizbd

⑤》的￡等于)，的幺則x是y的㈣，)，是X的丑.

abbead

三、按比例分配與和差關系

⑴按比例分配

例如：將x個物體按照的比例分配給甲、乙兩個人，那么實際上甲、乙兩個人各自分配到的物

體數(shù)量與X的比分別為“：(〃+〃)和從S+6),所以甲分配到‘上個，乙分配到三個.

a+ba+b

⑵已知兩組物體的數(shù)量比和數(shù)量差，求各個類別數(shù)量的問題

例如：兩個類別A、B,元素的數(shù)量比為(這里〃＞匕)，數(shù)量差為x,那么A的元素數(shù)量為

—,8的元素數(shù)量為其，所以解題的關鍵是求出包-與與a或人的比值.

a-ba-b

四、比例題目常用解題方式和思路

解答分數(shù)應用題關鍵是正確理解、運用單位“/”。題中如果有幾個不同的單位“1”，必須

根據(jù)具體情況，將不同的單位“1”，轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“1”，使數(shù)量關系簡單化，達到解決問

題的效果。在解答分數(shù)應用題時，要注意以下幾點：

1.題中有幾種數(shù)量相比較時，要選擇與各個已知條件關系密切、便于直接解答的數(shù)量為單位

“1”。

2.若題中數(shù)量發(fā)生變化的，一般要選擇不變量為單位“1”。

3.應用正、反比例性質(zhì)解答應用題時要注意題中某一數(shù)量是否一定，然后再確定是成正比

例，還是成反比例。找出這些具體數(shù)量相對應的分率與其他具體數(shù)量之間的正、反比例關

系，就能找到更好、更巧的解法。

4.題中有明顯的等量關系，也可以用方程的方法去解。

5.賦值解比例問題

【典型例題】比例轉(zhuǎn)化

【例1】已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲等于乙、丙兩數(shù)和的1,乙等于甲、丙兩數(shù)和的工，丙等于

32

甲、乙兩數(shù)和的H求甲:乙:丙.

7

【例2】已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的2,那么甲的2、乙的2

33

倍、丙的一半這三個數(shù)的比為多少？

【例3】如下圖所示，圓8與圓C的面積之和等于圓A面積的且圓A中的陰影部分面積占圓

A面積的,，圓B的陰影部分面積占圓8面積的！，圓C的陰影部分面積占圓C面積的

65

求圓A、圓3、圓C的面積之比.

3

【例4】某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是3:2,分為甲、乙、丙三組.已知甲、乙、丙三組的

人數(shù)比是10:8:7,甲組中男、女會員的人數(shù)之比是3:1,乙組中男、女會員的人數(shù)之比

是5:3.求丙組中男、女會員人數(shù)之比.

【鞏固】一項公路的修建工程被平均分成兩份承包給甲、乙個工程隊建設，兩個工程隊建設了相

同多的一段時間后，分別剩下60%、40%的任務沒有完成，已知兩個工程隊的工作效率

(建設速度)之比3:1,求這兩個工程隊原先承包的修建公路長度之比.

【例5】某團體有100名會員，男女會員人數(shù)之比是14:11,會員分成三組，甲組人數(shù)與乙、丙兩

組人數(shù)之和一樣多，各組男女會員人數(shù)之比依次為12:13、5:3、2:1,那么丙組有多少

名男會員？

【例6】A、B、C三項工程的工作量之比為1:2:3,由甲、乙、丙三隊分別承擔.三個工程隊

同時開工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作

量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，則甲、

乙、丙隊的工作效率的比是多少？

【鞏固】某次數(shù)學競賽設一、二、三等獎.已知：①甲、乙兩校獲一等獎的人數(shù)相等；②甲校獲

一等獎的人數(shù)占該校獲獎總人數(shù)的百分數(shù)與乙校相應的百分數(shù)的比為5:6;③甲、乙兩

校獲二等獎的人數(shù)總和占兩校獲獎人數(shù)總和的20%;④甲校獲三等獎的人數(shù)占該校獲獎

人數(shù)的50%;⑤甲校獲二等獎的人數(shù)是乙校獲二等獎人數(shù)的4.5倍.那么，乙校獲一等

獎的人數(shù)占該校獲獎總人數(shù)的百分數(shù)等于多少？

【例7】①某校畢業(yè)生共有9個班，每班人數(shù)相等.②已知一班的男生人數(shù)比二、三班兩個班的

女生總數(shù)多1;③四、五、六班三個班的女生總數(shù)比七、八、九班三個班的男生總數(shù)多

1.那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少？

隨堂小測

'隨堂力口］由立占

【按比例分配與和差關系】

(-)量倍對應

【例8】一些蘋果平均分給甲、乙兩班的學生，甲班比乙班多分到16個，而甲、乙兩班的人數(shù)比

為13:11,求一共有多少個蘋果？

【鞏固】小新、小志、小剛三人擁有的藏書數(shù)量之比為3:4:6,三人一共藏書52本，求他們?nèi)?/p>

各自的藏書數(shù)量.

【鞏固】在抗洪救災區(qū)活動中，甲、乙、丙三人一共捐了80元.已知甲比丙多捐18元，甲、乙

所捐資的和與乙、丙所捐資的和之比是10:7,則甲捐多少元，乙捐多少元，丙捐多少

元.

【鞏固】有120個皮球，分給兩個班使用，一班分到的！與二班分到的工相等，求兩個班各分到多

32

少皮球？

【例9】一班和二班的人數(shù)之比是8:7,如果將一班的8名同學調(diào)到二班去，則一班和二班的人

數(shù)比變?yōu)?:5.求原來兩班的人數(shù).

【例10】幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生.已知大班男生數(shù)與女生數(shù)的比為5:3,中

班男生數(shù)與女生數(shù)的比為2:1,那么大班有女生多少名？

【鞏固】參加植樹的同學共有720人，已知六年級與五年級人數(shù)的比是3:2,六年級比四年級多

80人，三個年級參加植樹的各有多少人？

【鞏固】圓珠筆和鉛筆的價格比是4：3,20支圓珠筆和21支鉛筆共用71.5元.問圓珠筆的單

價是每支多少元？

【例11】甲、乙兩只螞蟻同時從A點出發(fā)，沿長方形的邊爬去，結果在距8點2厘米的C點相

遇，已知乙螞蟻的速度是甲的1.2倍，求這個長方形的周長.

【例12】甲乙兩車分別從4,5兩地出發(fā)，相向而行.出發(fā)時，?甲

甲、乙的速度比是5：4,相遇后，甲的速度減少20%,-------------------------------

乙的速度增加20%,這樣，當甲到達B地時，乙離A地

還有10千米.問：A,B兩地相距多少千米？!

【例13】師徒二人加工一批零件，師傅加工一個零件用9分鐘，乙C

徒弟加工一個零件用15分鐘.完成任務時，師傅比徒弟-----------------B

多加工100個零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個零

件？

【鞏固】師徒二人共加工零件400個，師傅加工一個零件用9分鐘，徒弟加工一個零件用15分

鐘.完成任務時，師傅比徒弟多加工多少個零件？

【例14】A、B、C三個水桶的總容積是1440公升，如果A、B兩桶裝滿水，。桶是空的；若將

A桶水的全部和8桶水的L或?qū)桶水的全部和A桶水的」倒入。桶，C桶都恰好裝

53

滿.求A、B、C三個水桶容積各是多少公升？

【鞏固】正方向教育學校四五六年級共有615名學生，已知六年級學生的1,等于五年級學

2

生的2,等于四年級學生的3。這三個年級各有多少名學生學生？

57

瓜/家長留言：

門；由甲等于乙、丙兩數(shù)和的1，得到甲等于三個數(shù)和的」-=■,同樣的乙等于甲、

同樣的丙等于甲、乙兩個數(shù)和的工=』,所以甲:乙:丙=LL?=3:4:5.

2+137+5124312

2、甲的一半、乙的2倍、丙的2這三個數(shù)的比為所以甲、乙、丙這三個數(shù)的比為

3

++即2:g:|,化簡為4:1:3,那么甲的|、乙的2倍、丙的一半這三個數(shù)的比為

（4x|）：（lx2）（3xg）即|：2弓，化簡為16:12:9.

3、設A與3的共同部分的面積為x,A與C的共同部分的面積為y,則根據(jù)題意有

A=*（B+C）=6（x+y）,x=-,y=-,于是得到2（8+0=6仁+色），這條式子可化簡為8=15C,

4534V53）

所以A=j8+C）=20C.最后得到A:8:C=20:15:l.

4、以總人數(shù)為1,則甲組男會員人數(shù)為」且=2,女會員為圭xL=L,乙組男會員為

10+8+73+11010310

=女會員為！x3=」；丙組男會員為2/二+4=_L,女會員為

10+8+75+3555253+21105J10

—+=所以，丙組中男、女會員人數(shù)之比為工：2=5：9.

3+211025）501050

【解析】（法一）甲工程隊以3倍乙工程隊建設速度，僅完成了40%的承包任務，而乙工程隊完成了

60%,所以甲工程隊承包任務的40%等于乙工程隊承包任務的60%x3=180%,所以甲工

程隊的承包的任務是乙工程隊承包任務的180%—40%=450%,所以兩個工程隊承包的修

建公路長度之比為450%:1=9:2.

(法二)兩個工程隊完成的工程任務(修建公路長度)之比等于工作效率之比，等于3:1,而他們分別

完成了各自任務的40%和60%,所以兩個工程隊承包的修建公路長度之比為

(3+40%):(1+60%)=9:2.

【解析】會員總人數(shù)100人，男女比例為14:11,則可知男、女會員人數(shù)分別為56人、44人；又已

知甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，則可知甲組人數(shù)為50人，乙、丙人數(shù)之和為

50人，可設丙組人數(shù)為x人，則乙組人數(shù)為(50-6人，又已知甲組男、女會員比為

12:13,則甲組男、女會員人數(shù)分別為24人、26人，又已知乙、丙兩組男、女會員比

例，則可得：24+-(50-x)+-x=56,解得x=18.即丙組會員人數(shù)為18人，又已知男、

83

女比例，可得丙組男會員人數(shù)為18x2=12人.

3

【解析】根據(jù)題意，如果把A工程的工作量看作1,則8工程的工作量就是2,C工程的工作量就

是3.

設甲、乙、丙三個工程隊的工作效率分別為x、y、z.經(jīng)過4天，則：

將⑶代入⑵，得妗,=學(4),

將⑷代入⑴，得2"=2-引x=—,

37k

將x=&代入⑴，得產(chǎn)巨.代入⑶，得z=3.

7k7k7k

甲、乙、丙三隊的.工作效率的連比是&:巨：3=4:6:3.

7%Ik1k

【鞏固】某次數(shù)學競賽設一、二、三等獎.已知：①甲、乙兩校獲一等獎的人數(shù)相等；②甲校獲

一等獎的人數(shù)占該校獲獎總人數(shù)的百分數(shù)與乙校相應的百分數(shù)的比為5:6;③甲、乙兩

校獲二等獎的人數(shù)總和占兩校獲獎人數(shù)總和的20%;④甲校獲三等獎的人數(shù)占該校獲獎

人數(shù)的50%;⑤甲校獲二等獎的人數(shù)是乙校獲二等獎人數(shù)的4.5倍.那么，乙校獲一等

獎的人數(shù)占該校獲獎總人數(shù)的百分數(shù)等于多少？

【解析】由①、②可知甲、乙兩校獲獎總人數(shù)的比為6:5,不妨設甲校有60人獲獎，則乙校有50

人獲獎.由③知兩校獲二等獎的共有(60+50)x20%=22人；由⑤知甲校獲二等獎的有

22+(4.5+1)x45=18人；由④知甲校獲一等獎的有60-60x50%-18=12人，那么乙校獲一

等獎的也有12人，從而所求百分數(shù)為12+50x100%=24%.

【解析】如下表所示，由②知，一、二、三班的男生總數(shù)比二、三班總人數(shù)多1;由③知，四至九

班的男生總數(shù)比四、五、六班總人數(shù)少1.

一班男生比二、三班女生多1

加」：二、三班男生二、三班男生

一、二、三班男生比二、三班總人數(shù)多1

七、八、九班男生比四、五、六班女生少1

加上四、五、六班男生四、五、六班男生

四、五、六、七、八、九班比四、五、六班總人少1

男生數(shù)

因此，一至九班的男生總數(shù)是二、三、四、五、六共五個班的人數(shù)之和，由于每班人數(shù)均相等,

則女生總數(shù)等于四個班的人數(shù)之和.所以，男、女生人數(shù)之比是5:4.

模塊二、按比例分配與和差關系

(一)量倍對應

【解析】一共有16-5-（13-11）x（13+11）=192個蘋果.

【鞏固】小新、小志、小剛三人擁有的藏書數(shù)量之比為3:4:6,三人一共藏書52本，求他們?nèi)?/p>

各自的藏書數(shù)量.

【解析】根據(jù)題意可知，他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)量分別占三人藏書總量的二一、」一、

3+4+63+4+6

」一，所以小新?lián)碛械牟貢鴶?shù)量為52x=一=12本，小志擁有的藏書數(shù)量為

3+4+63+4+6

52x—±_=16本，小剛擁有的藏書數(shù)量為52x」一=24本.

3+4+63+4+6

【鞏固】在抗洪救災區(qū)活動中，甲、乙、丙三人一共捐了80元.已知甲比丙多捐18元，甲、乙

所捐資的和與乙、丙所捐資的和之比是10:7,則甲捐一元，乙捐一元，丙捐

元.

【解析】由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐資的和比乙、丙所捐資的和多18元，那么甲、乙

所捐資的和為：18+（10-7）x10=60（元），乙、丙所捐資的和為60-18=42元.所以，甲捐

了80—42=38（元），乙捐了60—38=22（元），丙捐了38—18=20（元）.

【鞏固】有120個皮球，分給兩個班使用，一班分到的1與二班分到的！相等，求兩個班各分到多

32

少皮球？

【解析】根據(jù)題意可知一班與二班分到的球數(shù)比1』=3:2,所以一班分到皮球120x-^-=72個，

233+2

二班分到皮球120-72=48個.

【解析】原來一班的人數(shù)為兩班總人數(shù)的上=9,調(diào)班后一班的人數(shù)是兩班人數(shù)的」一=d,調(diào)

8+7154+59

班前后一班人數(shù)的比值為卷［=6:5,所以一班原來的人數(shù)為8+（6-5）x6=48人，二班原

來的人數(shù)為48+8x7=42人.

【解析】由于男、女生人數(shù)有比例關系，而且知道總數(shù)，所以可以用雞兔同籠的方法.假設18名

女生全部是大班，則大班男生數(shù)：女生數(shù)=5:3=30:18,即男生應有30人，實際上男生

有32人，相差2個人；又中班男生數(shù)：女生數(shù)=2:1=6:3,以3個中班女生換3個大班

女生，每換一組可增加1個男生，所以需要換2組；所以，大班女生有

18-3x2=12（名）.

【解析】假設四年級和六年級人數(shù)同樣多，則參加植樹的同學共有720+80=800人，四、五、六三

個年級的人數(shù)比為3:2:3,知道三個量的和及它們的比，就可以按比例分配，分別求出

三個年級參加植樹的人數(shù).六年級：800x---=300人；五年級：800x---=200

3+2+33+2+3

人；四年級：300-80=220人.

【解析】設圓珠筆的價格為4,那么鉛筆的價格為3,則20支圓珠筆和21支鉛筆的價格為20X

4+21X3=143,則單位“1”的價格為71.5+143=0.5元.所以圓珠筆的單價是。5X

4=2（元）.

【解析】兩只螞蟻在距3點2厘米的C點相遇，說明乙比甲一共多走了2x2=4（厘米）.又知乙螞蟻

的速度是甲螞蟻的L2倍，相同時間內(nèi)乙螞蟻爬的路程與甲螞蟻爬的路程比為：1.2：1=

6：5,

所以甲爬的路程是4+（6-5）x5=20（厘米），乙爬的路程是20+4=24（厘米），長方形的周長為

20+24=44（厘米）.

【解析】甲、乙原來的速度比是5：4,相遇后的速度比是：［5X（1—20%）］：［4X（1+20%）］

=4：4.8=5：6.相遇時，甲、乙分別走了全程的*和f。設全程x千米，剩下的部分

99

甲行的長度和乙行的長度之比為5：6,其中相遇后甲行駛了全長的4/9,所以乙行駛了

全長的3+5x6=9,所以乙一共行了全長±+*_=e，還剩1-絲=’，沒有走所以

915915454545

A、8全長為450千米.

【解析】師傅與徒弟的工作效率之比是工工=5:3,工作時間相同，工作量與工作效率成正比，所

915

以師傅與徒弟分別完成總量的工和A