最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)-小學(xué)生5年級數(shù)學(xué)奧數(shù)

最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)一、根本概念和知識1.公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12的約數(shù)有：1，2，3，4，6，12；18的約數(shù)有：1，2，3，6，9，18。12和18的公約數(shù)有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公約數(shù)，記作〔12，18〕=6。2.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：12的倍數(shù)有：12，24，36，48，60，72，84，…18的倍數(shù)有：18，36，54，72，90，…12和18的公倍數(shù)有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍數(shù)，記作[12，18]=36。3.互質(zhì)數(shù)如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

二、例題例1用一個數(shù)去除30、60、75，都能整除，這個數(shù)最大是多少？分析∵要求的數(shù)去除30、60、75都能整除，∴要求的數(shù)是30、60、75的公約數(shù)。又∵要求符合條件的最大的數(shù)，∴就是求30、60、75的最大公約數(shù)。解：∵〔30，60，75〕=5×3=15這個數(shù)最大是15。例2一個數(shù)用3、4、5除都能整除，這個數(shù)最小是多少？分析由題意可知，要求的數(shù)是3、4、5的公倍數(shù)，且是最小的公倍數(shù)。解：∵［3，4，5］=3×4×5=60，∴用3、4、5除都能整除的最小的數(shù)是60。例3有三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米和300厘米.現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米？一共可以截成多少段？分析∵要截成相等的小段，且無剩余，∴每段長度必是120、180和300的公約數(shù)。又∵每段要盡可能長，∴要求的每段長度就是120、180和300的最大公約數(shù).〔120，180，300〕=30×2=60∴每小段最長60厘米。120÷60+180÷60+300÷60=2＋3＋5=10〔段〕答：每段最長60厘米，一共可以截成10段。例4加工某種機器零件，要經(jīng)過三道工序.第一道工序每個工人每小時可完成3個零件，第二道工序每個工人每小時可完成10個，第三道工序每個工人每小時可完成5個，要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個工人？分析要使加工生產(chǎn)均衡，各道工序生產(chǎn)的零件總數(shù)應(yīng)是3、10和5的公倍數(shù).要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍數(shù)。［3，10，5］=5×3×2=30∴各道工序均應(yīng)加130個零件。30÷3=10〔人〕30÷10=3〔人〕30÷5=6〔人〕答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。例5一次會餐供有三種飲料.餐后統(tǒng)計，三種飲料共用了65瓶；平均每2個人飲用一瓶A飲料，每3人飲用一瓶B飲料，每4人飲用一瓶C飲料.問參加會餐的人數(shù)是多少人？分析由題意可知，參加會餐人數(shù)應(yīng)是2、3、4的公倍數(shù)。解：∵[2，3，4]=12∴參加會餐人數(shù)應(yīng)是12的倍數(shù)。又∵12÷2+12÷3+12÷4=6+4+3=13〔瓶〕，∴可見12個人要用6瓶A飲料，4瓶B飲料，3瓶C飲料，共用13瓶飲料。又∵65÷13=5，∴參加會餐的總?cè)藬?shù)應(yīng)是12的5倍，12×5=60〔人〕。答：參加會餐的總?cè)藬?shù)是60人。例6一張長方形紙，長2703厘米，寬1113厘米.要把它截成假設(shè)干個同樣大小的正方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大.問：這樣的正方形的邊長是多少厘米？分析由題意可知，正方形的邊長即是2703和1113的最大公約數(shù).在學(xué)校，我們已經(jīng)學(xué)過用短除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，但有時會遇到類似此題情況，兩個數(shù)除了1以外的公約數(shù)一下不好找到.但又不能輕易斷定它們是互質(zhì)數(shù).怎么辦？在此，我們以例6為例介紹另一種求最大公約數(shù)的方法。對于例6，可做如下列圖解：從圖中可知：在長2703厘米、寬1113厘米的長方形紙的一端，依次裁去以寬〔1113厘米〕為邊長的正方形2個.在裁后剩下的長1113厘米，寬477厘米的長方形中，再裁去以寬〔477厘米〕為邊長的正方形2個.然后又在裁剩下的長方形〔長477厘米，寬159厘米〕中，以159厘米為邊長裁正方形，恰好裁成3個，且無剩余.因此可知，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的約數(shù).所以裁成同樣大的，且邊長盡可能長的正方形的邊長應(yīng)是159厘米.所以，159厘米是2703和1113的最大公約數(shù)。讓我們把圖解過程轉(zhuǎn)化為計算過程，即：2703÷1113，商2余477；1113÷477，商2余159；477÷159，商3余0?；蛘邔憺?703=2×1113+477，1113=2×477+159，477=3×159。當余數(shù)為0時，最后一個算式中的除數(shù)159就是原來兩個數(shù)2703和1113的最大公約數(shù).可見，477=159×3，1113=159×3×2+159=159×7，2703=159×7×2+477=159×7×2+159×3=159×17。又∵7和17是互質(zhì)數(shù)，∴159是2703和1113的最大公約數(shù)。我們把這種求最大公約數(shù)的方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法此處的概念，請通俗描述。并舉例說明.輾轉(zhuǎn)相除法的優(yōu)點在于它能在較短的時間內(nèi)求出任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)。此處的概念，請通俗描述。并舉例說明例7用輾轉(zhuǎn)相除法求4811和1981的最大公約數(shù)。解：∵4811=2×1981+849，1981=2×849+283，849=3×283，∴〔4811，1981〕=283。補充說明：如果要求三個或更多的數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求其中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的最大公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結(jié)果.也可以直接觀察，依次試公有的質(zhì)因數(shù)。例8求1008、1260、882和1134四個數(shù)的最大公約數(shù)是多少？解：∵〔1260，1008〕=252，〔882，1134〕=126，又〔252，126〕=126，∴〔1008，1260，882，1134〕=126。求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？請看例9.例9兩個數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，其中一個數(shù)是28，另一個數(shù)是多少？∴x=4×y28=4×7∴28x=4×y×4×7又∵4是x和28的最大公約數(shù)，〔y，7〕=1，∴4×y×7是x和28的最小公倍數(shù)。∴x×28=4×252∴x=4×252÷28=36∴要求的數(shù)是36。通過例9的解答過程，不難發(fā)現(xiàn)：如果用a和b表示兩個自然數(shù)，那么這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：〔a，b〕×[a，b]=a×b。這樣，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的問題，即可轉(zhuǎn)化成先求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再用最大公約數(shù)除兩個數(shù)的積，其結(jié)果就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。例10求21672和11352的最小公倍數(shù)。解：∵〔21672，11352〕=1032〔1032可以用輾轉(zhuǎn)相除法求得〕∴[21672，11352]=21672×11352÷1032=238392。答：21672和11352的最小公倍數(shù)是238392.

習題1.甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是54，甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？2.一塊長方形地面，長120米，寬60米，要在它的四周和四角種樹，每兩棵之間的距離相等，最少要種樹苗多少棵？每相鄰兩棵之間的距離是多少米？3.兩個自然數(shù)的積是5766，它們的最大公約數(shù)是31.求這兩個自然數(shù)。4.兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同時在十月一日回家，下一次三人再見面是哪一天？5.將長25分米，寬20分米，高15分米的長方體木塊鋸成完全一樣的盡可能大的立方體，不能有剩余，每個立方體的體積是多少？一共可鋸多少塊？6.一箱地雷，每個地雷的重量相同，且都是超過1的整千克數(shù)，去掉箱子后地雷凈重201千克，拿出假設(shè)干個地雷后，凈重183千克.求一個地雷的重量？

習題解答1.甲數(shù)是18，乙數(shù)是54。2.每兩棵之間的距離是60米，最少要種樹苗6棵。3.解：設(shè)這兩個自然數(shù)為A和B。[A，B]=5766÷31=186?！?86=2×3×31，∴這兩個自然數(shù)為31和186或62和93。4.10月25日。5.每個立方體的體積是125立方分米.一共可鋸60塊。6.3千克.

練習：1、有四個不同的自然數(shù)，它們的和是1649，如果要求這四個數(shù)的公約數(shù)盡可能大，那么這四個數(shù)中，最大的那個數(shù)是多少？2、1路車、2路車和5路車都從東站發(fā)車，1路車每隔10分鐘發(fā)一輛，2路車每隔15分鐘發(fā)一輛，而5路車每隔20分鐘發(fā)一輛。當這三種路線的車同時發(fā)車后，至少要過多少分鐘又這三種路線的車同時發(fā)車？3、一條公路由A經(jīng)B到C，一只AB相聚360米，B、C相距616米?，F(xiàn)在路邊植樹，，要求相鄰兩樹間距離相等，并在B點及AB、BC的中點上都要植一棵，那么兩數(shù)間距離最多有多少米？4、有一條長400米地環(huán)形跑道，甲、乙二人同時同地出發(fā)，反向而行，1分鐘后第一次相遇；假設(shè)二人同時同地出發(fā)同向而行，那么10分鐘后第一次相遇，甲比乙快，球二人的速度。5、一環(huán)形跑道長240米，甲、乙、丙從同一處同方向騎車而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米，至少經(jīng)過幾分鐘，三人再次從原出發(fā)點出發(fā)同時出發(fā)？6、92個小朋友圍成一圈，從某個小朋友開始進行1~20報數(shù)，如果報數(shù)一圈一圈的循環(huán)進行下去，問至少有多少的小朋友沒報過數(shù)字1？有沒有人同時報過5和10？最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)練習題之一1〕有一個自然數(shù)，被6除余1，被5除余1，被4除余1，這個自然數(shù)最小是幾？2〕把長120厘米，寬80厘米的鐵板裁成面積相等，最大的正方形而且沒有剩余，可以裁成多少塊？3〕把長132厘米，寬60厘米，厚36厘米的木料鋸成盡可能大的，同樣大小的正方體木塊，鋸后不能有剩余，能鋸成多少塊？4〕一盒鋼筆可以平均分給2、3、4、5、6個同學(xué)，這盒鋼筆最小有多少枝？5〕用96朵紅花和72朵白花做成花束，如果各花束里紅花的朵數(shù)相同，白花的朵數(shù)也相同，每束花里最少有幾朵花？6〕從小明家到學(xué)校原來每隔50米安裝一根電線桿，加上兩端的兩根一共是55根電線桿，現(xiàn)在改成每隔60米安裝一根電線桿，除兩端的兩根不用移動外，中途還有多少根不必移動？7〕在一根長100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一個紅點，同時自右到左每隔5厘米染一個紅點，染后沿紅點將木棍逐段鋸開，那么長度是1厘米的短木棍有多少根？8〕每筐梨，按每份兩個梨分多1個，每份3個梨分多2個，每份5個梨分4個，那么筐里至少有多少個梨？9〕現(xiàn)在有香蕉42千克，蘋果112千克，桔子70千克，平均分給幼兒園的幾個班，每班分到的這三種水果的數(shù)量分別相等，那么最多分給了多少個班？每個班至少分到了三種水果各多少千克？10〕有三根鐵絲，一根長54米，一根長72米，一根長36米，要把它們截成同樣長的小段，不許剩余，每段最長是多少米？練習1.兩個數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，其中一個數(shù)是28，另一個數(shù)是多少？2.兩個自然數(shù)的積是5766，它們的最大公約數(shù)是31.求這兩個自然數(shù)。3.兩個自然數(shù)的和是54，并且它們