現(xiàn)代通信原理答案(-羅新民)

第一章緒論1-1英文字母中e出現(xiàn)概率為0.105,c出現(xiàn)的概率為0.023,j出現(xiàn)的概率為0.001。試分別計算它們的信息量。解題思路：考查信息量的基本概念，用公式底數(shù)a一般采用2,這時信息量l.=-log?P?=-log?0.023≈5.44bit,I,=-log?P,=-log?0.001≈9.97bir1-2有一組12個符號組成的消息，每個符號平均有四種電平，設四種電平發(fā)生的概率相等，試求這一組消息所包含的信息量。若每秒傳輸10組消息，則一分鐘傳輸多少信息量?解題思路：考查平均信息量及信息量疊加的概念。每個符號有四種等概電平可能，因此先用計算其平均信息量。整個消息的總信息量是12個符號的各自平均信息量(相等)的和。解：(1)N=12,每個符號的平均信息量為比特/符號，則由12個符號組成的一組消息的信息量為I=N*I=24bit(2)每秒傳輸10組消息，則一分鐘傳輸10×60組信息，因此信息傳輸速率為10×60×24比特/分鐘=14400比特/分鐘1-3消息序列是由4種符號0、1、2、3組成的，四種符號出現(xiàn)的概率分別為3/8、1/4、1/4、1/8,而且每個符號出現(xiàn)都是相互獨立的，求下列長度為58個符號組成的消息序列“2010201303213001203210100321010023102002010312032100120210”的信息量和每個符號的平均信息量。解題思路：考查平均信息量的概念?？梢韵惹蟪雒總€符號的信息量，根據(jù)消息序列中各符號出現(xiàn)的次數(shù)得到消息序列的總信息量，再用符號數(shù)平均從而得到符號平均信息量。也可以先直接求出這四種符號的平均信息量，再根據(jù)消息序列中符號個數(shù)得到消息序列的總平均信息量。解：方法一：0,1,2,3每符號各自攜帶的信息量分別為則這58個符號所帶的總信息量為I=23×I?+14×I?+13×I?+8×I?=23×1.415+14×2+13×2+8×3;=110.545bit而每個符號的平均信息量I=58×H(x)=110.2bit1-4某氣象員用明碼報告氣象狀態(tài)，有四種可能的消息：晴、云、雨、霧。若每個消息是等概率的，則發(fā)送每個消息所需的最少二進制脈沖數(shù)是多少?若該4個消息出現(xiàn)的概率不等，且分別為1/4、1/8、1/8、1/2,試計算每個消息的平均信息量。解題思路：考查從工程角度對信息量的定義。傳輸兩個相互等概的消息時，要區(qū)別這兩種消息，至少需要1位二進制脈沖；若要傳輸4個獨立等概的消息之一，則至少需要2位二進制解：(1)需log?4=2個1-5設數(shù)字信源發(fā)送-1.0V和0.0V電平的概率均為0.15,發(fā)送+3.0V和+4.0V電平的概率均解題思路：考查信源平均信息量計算方法，采用=-(2×0.15×log,0.15+2×0.35×log?0.35)1-6對二進制信源，證明當發(fā)送二進制碼元1的概率和發(fā)送二進制碼元0的概率相同時，信解題思路：設發(fā)“1”的概率和發(fā)“0”的概率分別為P和1-P,則信源熵可表達為P的函數(shù)H(P),問題轉化為求H(P)的最值及取到最值時P的取值。(1)證明：設發(fā)“1”的概率為P,則發(fā)“0”的概率為1-P。這時信源熵為由此得到,求得即當發(fā)送二進制碼元“1”的概率和發(fā)送二進制碼元“0”的概率相同時，信源熵最大。(2)解：將1-7一個由字母A、B、C、D組成的信源，對傳輸?shù)拿恳粋€字母用二進制脈沖編碼：00代表A,01代表B,10代表C,11代表D。又知每個二進制脈沖的寬度為5ms。①不同字母等概率出現(xiàn)時，試計算傳輸?shù)钠骄畔⑺俾室约皞鬏數(shù)姆査俾?；均信息傳輸速率。解題思路：考查信息傳輸速率和符號傳輸速率的概念及其關系。由每個脈沖的時間寬度可得每個字母(符號)的時間寬度，其倒數(shù)就是符號傳輸速率r。無論4個字母等概與否，符號傳輸速率是一定的。根據(jù)教材式(1.10)R=rH(x),分別計算出①、②中的字母(符號)平均信息量H(x),就可以得到平均信息傳輸速率R。解：(1)每個脈沖寬5ms,則每個字母(符號)占時寬為2×5×10-3=10-2秒平均信息速率為R=rH(x)=2×100=200bit/s平均信息速率為1.9855×100=198.55bit/s1-8設數(shù)字鍵盤上有數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,發(fā)送任一數(shù)字的概率都相同。試問應以多快的速率發(fā)送數(shù)字，才能達到2b/s的信息速率?解題思路：仍然考查的是對R=rH(x)的理解。解：信源平均信息量為所以，至少應以0.603符號/秒的速率發(fā)送數(shù)字，才能達到2比特/秒的信息速率。1-9①假設計算機的終端鍵盤上有110個字符，每個字符用二進制碼元來表示。問每個字符需要用幾位二進制碼元來表示?②在一條帶寬為300Hz,信噪比(SNR)為20dB的電話線路上，能以多快的速度(字符/秒)發(fā)送字符?③如果以相同的概率發(fā)送每個字符，試求每個字符包含的信息量。解題思路：②考查信道容量的含義和香農公式的應用。信道容量表示信道的信息量傳輸速率上界。已知信道的信噪比和帶寬，就可以由香農公式求出信道容量C=Rx。再求得每個字符的信息量，由R=rH(x)就可以求得符號傳輸速率r的上界。(2)信噪比每個字符用7位二進制碼元表示。對于110個7位二進制碼元，可以認為每個碼元(“0”或“1”)是等概出現(xiàn)，因此每個二進制碼元的信息量是1比特，所以每個符號的信息量是7比特，因此可以得到(3)等概率發(fā)送時，每個字符的出現(xiàn)概率是,因此每個字符包含的信息量是1-10什么是模擬通信?什么是數(shù)字通信?數(shù)字通信有哪些主要優(yōu)點?你對今后“數(shù)字通信系統(tǒng)將取代模擬通信系統(tǒng)”有什么看法?解：傳遞連續(xù)消息(信號)的通信過程稱為模擬通信。傳遞數(shù)字消息(信號)的通信過程稱為數(shù)字通信。數(shù)字通信的優(yōu)點是①抗干擾能力強，可靠性好；②體積小，功耗低，易于集成；③便于進行各種數(shù)字信號處理；④有利于實現(xiàn)綜合業(yè)務傳輸；⑤便于加密。1-11數(shù)字通信系統(tǒng)模型中各主要組成部分的功能是什么?解：信源一把原始消息轉化為電信號。發(fā)送設備一把信源發(fā)出的電信號轉換為適于信道傳輸?shù)男盘栃问?。信道一傳輸信號的媒質。接受設備一把接收的信號恢復為原信號。信宿一把信號還原為原始消息。1-12由信道容量公式討論C與B和之間的關系，并證明：當B→0時，信息傳輸速率達到信道容量極限，即R=C時，試證明碼元能量與噪聲功率譜密(分貝)是極限最小信噪比。證明：由教材(1.19)式，當B→o且R=C時，S表示信號(碼元)平均功率，表示每比特碼元的時寬T,則S/R=ST=E,表示每比特碼元能量。并且R=C時R取到最大值，對應S/R=ST=E,取到最小值，是極限最小信噪比。1-13一個平均功率受限制的理想信道，帶寬為1MHz,受高斯白噪聲干擾，信噪比為10(倍),①信道容量；②若信噪比降為5(倍),在信道容量相同時的信道帶寬；③若帶寬降到0.5MHz,保持同樣信道容量時的信噪比。解題思路：考查香農公式中帶寬、信噪比和信道容量三個量之間的相互關系。(2)Blog?(1+5)=3.46×101-14具有1MHz帶寬的高斯信道，若信號功率與噪聲的功率譜密度之比為解題思路：考查香農信道公式之外，還考查白噪聲功率譜密度與帶限噪聲功率之間的計算關00系。高斯白噪聲的功率譜在整個頻域(-o到+o)上是常數(shù)，該常數(shù)通常用表示，稱為雙邊功率譜密度。高斯白噪聲通過帶寬為B的理想帶通濾波器后稱為帶限噪聲。這種帶1-15一個系統(tǒng)傳輸四脈沖組，每個脈沖寬度為1ms,高度分別為：0、1V、2V和3V,且等概率出現(xiàn)。每四個脈沖之后緊跟一個寬度為1ms的-1V脈沖(即不帶信息的同步脈沖)把各組脈沖分開。試計算系統(tǒng)傳輸信息的平均速率。解題思路：考查平均信息傳輸速率的概念。包括同步脈沖在內的5個脈沖的時間寬度內傳輸了四脈沖組包含的總信息量。平均信息傳輸速率應為總信息量被傳輸這些信息量所花費的時間除。比特/脈沖，四脈沖組總信息量每組脈沖中，信息脈沖及同步脈沖共5個，占時5ms,傳送8比特信息。故信息傳輸平均速率為1-16設一數(shù)字傳輸系統(tǒng)傳輸二進制碼元，碼元速率為2400Baud,試求該系統(tǒng)的信息傳輸速率。若該系統(tǒng)改為傳輸十六進制碼元，碼元速率為2400Baud,該系統(tǒng)的信息傳輸速率又為多少?解題思路：考查傳信率和傳碼率之間的換算關系，即R,=R。log?M1-17一個多進制數(shù)字通信系統(tǒng)每隔0.8ms向信道發(fā)送16種可能取的電平值中的一個。試問：①每個電平值所對應的比特數(shù)是多少?②符號率(波特)為多少?③比特率為多少?解題思路：①考查信息量的定義；②、③分別考查傳碼率和傳信率的定義。解：(1)電平數(shù)L=16,當各電平等概出現(xiàn)時，每個電平值對應的信息量(平均信息量),即(2)每隔0.8ms向信道發(fā)送一個多進制符號，因此符號率為1-18計算機終端通過電話信道傳輸數(shù)據(jù)，設該終端輸出128個符號，各符號相互獨立。等概出現(xiàn)。已知電話信道帶寬為3.4kHz,信道輸出信噪比為20dB。試求①信道容量；②無誤傳輸?shù)淖罡叻査俾?。解題思路：將信噪比的dB值轉化為比值倍數(shù)，代入香農公式，就可以求得信道容量；信道容量C是信道信息傳輸速率R的最大值，由R=rH(x)就可以求得對應無誤傳輸?shù)淖罡叻猓?1)(2)每個符號的平均信息量為因此無誤傳輸?shù)淖罡叻査俾蕿?-19一通信系統(tǒng)的接收機收到的信號功率為-134dBm,接收到的噪聲功率譜密度為-164dBm/Hz,系統(tǒng)帶寬為2000Hz,求系統(tǒng)無錯誤信息傳送的最大速率。解題思路：將題目所給信號功率和噪聲功率譜密度的dBm帶寬B一起代入香農公式，就可以求得信道容量，也就是信息傳輸速率的最大值。解：信號功率：,由香農公式得到第二章確定信號分析①證明這些函數(shù)在區(qū)間(-4,4)內是相互正交的。③用(2)中的標準正交函數(shù)集將下面的波形展開為標準正交級數(shù)：④利用下式計算(3)中展開的標準正交級數(shù)的均方誤差：⑤對下面的波形重復(3)和(4):⑥解：對③中的s(t),均方誤差為0,圖中所示的三個函數(shù)對s(t)組成完備正交函數(shù)集。對④中的s(t),均方誤差不為0,圖中所示的三個函數(shù)s(t)不構成完備正交函數(shù)集證明：①因為f(t)=f.(-t),fo(t)=-fo(-t)②階越函數(shù)U(t):2-3證明一個偶周期性函數(shù)的指數(shù)傅立葉級數(shù)的系數(shù)是實數(shù)，而一個奇周期函數(shù)的指數(shù)傅立葉級數(shù)的系數(shù)是虛數(shù)。即,得證。f(t)F(o)a.twb.twc.twd.tww利用奇函數(shù)在(-0,+o)上的積分為0、偶函數(shù)在(-o,+o)上的積分是其在(0,+o)上的積∴由①中的(1)式可以得到由①中的(1)式可以得到2-6利用卷積性質，求下面波形的頻譜：3[cos2πf?t]=π[δ(o-2πf?(Ⅱ(f/2B)表示高度為1,寬度為2B,關于縱軸對稱的矩形)=2ABSa(2πBt)=2ABSinc(2驗證：傅里葉變換的對偶性質為一般令t=2B,則應有而2-8求圖E2.2所示的周期信號的傅里葉變換。其中，根據(jù)教材式(2.18),可以得到因此,信號周期T?=8因此2-9證明下式成立：[提示：利用2-10確定下面的信號是能量信號還是功率信號，并計算相應的能量或功率。①o(t)=Ⅱ(t/T?)②o(t)=I(t/T?)coso?1解題思路：根據(jù)能量信號和功率信號的定義來判斷和計算。解：①信號能量,所以該信號是能量信號。②信號能量,所以該信號是能量信號。,所以信號是功率信號，并且信號是周期信號，周期為。信號平均功率為2-11按如下分類方法對下列信號進行分類：(1)功率有限或能量有限，(2)周期或非周期。并且指出功率信號的功率，能量信號的能量，以及周期信號的周期。②exp(-10ltl)③I(t+1/2)-I(t-1/2)⑤cos120πt+cos377t解題思路：根據(jù)信號能量和信號功率的定義進行分類和計算。解：①由余弦信號和正弦信號的時間無限長的特性，可以知道該信號是能量無限信號。同時，該信號是周期信號。令其周期為T,則可以得到信號功率為可以得到信號周期為T?=1。所以信號是功率信號。②該信號是非周期信號。,所以信號是能量信號。③該信號是非周期信號。信號能量為所以信號是能量信號。(函數(shù)Ⅱ(t)是在[-1,+1]上幅度為恒1的門函數(shù))。④該信號是非周期信號。信號能量所以信號是能量信號。⑤該信號是非周期信號，證明如下：cos120πt的最小周期假設和信號T·n=T?·m=T?也就是由余弦信號的時間無限長特性可以知道該信號是能量無限信號。信號功率為所以信號是功率信號。2-12試分別用相關定理及卷積定理推導帕斯瓦爾(Parseval)定理。f(r)*f(-t)→F(o)F(-o)=F(o)F°(o)=|F(o)2,以故可得即為Parseval定理。該截斷信號可看做兩個三角形函數(shù)的和：其中表示底寬為2r',高為1的等腰三角形函數(shù)：其傅里葉變換為因此，可以得到n≠0時周期信號傅里葉級數(shù)展開的系數(shù)為n=0時因此,=x(-t+T)+x(-t-T?)自相關函數(shù)的波形如下圖a所示：圖bh(t)=δ(t-T?12)+δ(t+T?/4),,圖c圖d自相關函數(shù)的波形如下圖e所示：中能得出什么樣的結論?[提示：中能得出什么樣的結論?[提示：解：由所以我們可以得出這樣的結論：高斯函數(shù)的傅里葉變換仍為高斯型函數(shù)。解：(1)由自相關函數(shù)的定義有=A2T22-17設有兩個正弦信號：(1=acos(o+@)及(a)=asin(o+6),試證明f(Z)同理可求得得證既然兩者有相同的自相關函數(shù)，而功率譜密度函數(shù)是自相關函數(shù)的傅里葉變換，因此也有相同的功率譜密度函數(shù)。功率譜密度函數(shù)為平均功率為=25+72cosO?t=25δ(f)+36[δ(f-10?)+δ(f+10③由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，所以積分結果為0。②利用①中的結果求出所給信號f0的解析信號形式：③畫出②中求出的解析信號的幅度譜圖。③畫出②中求出的解析信號的幅度譜圖。②根據(jù)解析信號的定義，可以得到f(t)的解析信號形式為③由因此解析信號的幅度譜為如下圖所示2-21分別求出下列兩個脈沖信號的希爾伯特變換。2-21分別求出下列兩個脈沖信號的希爾伯特變換。解題思路：根據(jù)兩個脈沖信號的時域和頻域特性的不同，對①選擇先求出其希爾伯特變換式的頻譜密度函數(shù)，再做傅里葉反變換求其時域希爾伯特變換式；對②選擇直接在時域求出其F(o)=-jsgn(o)F(o)=-jπsgn(o)e,于是(2)由于③若滿足窄帶條件，寫出其解析信號表達式。解：①可以用兩種方法求f(t)的頻譜密度函數(shù)。②由于向左右搬因此，只要中心頻率③當f(t)滿足窄帶條件時，它的復信號形式就是其解析形式，即這時其解析信號的頻譜密度函數(shù)為出信號的能量譜密度，并確定輸入信號與輸出信號能量之間的關系。解：由于所以輸出信號的頻譜為于是輸出信號的能量譜密度為輸入信號能量為輸出信號能量為顯然，輸出信號的能量小于輸入信號的能量。時，該系統(tǒng)輸入、輸出信號的功率譜密度及平均功率。及解：由于f(t)為周期為T的周期信號，,其一個周期為一底寬為T的三角形信號，因此可以得到其截斷函數(shù)的傅立葉變換為因此，其傅里葉級數(shù)展開的系數(shù)為時，輸入信號功率譜密度：平均輸入功率：輸出信號功率譜密度：平均輸出功率：,,輸入信號功率譜密度：平均輸入功率：輸出信號功率譜密度：P(o)=P(o)|H(o)2平均輸出功率：輸入信號功率譜密度：平均輸入功率：輸出信號功率譜密度：平均輸出功率：P=0的傅里葉變換。信號和和(注：上面的證明用到了兩個常用信號的傅里葉變換。信號和和波形分別如下，00其傅里葉變換分別是,對其進行傅里葉變換，則有再根據(jù)提示：對上式兩邊做傅里葉變換，即得證。件是什么?x(t)=e"cos1000πt=Re[e.e11000]a(t)=e-ltl。③g(t)=exp(-at)U(t)-exp(at)U(-t);解：①當r≥0時(2)當τ≥0時(3)當t≥0時(4)當O≤r≤T時當t≥T時R(t)=0第三章隨機信號與噪聲分析3-1設某微波中繼站由5個站組成，每個站故障率為P,求該線路正常工作的概率及故障概解：每個站的正常工作概率為1-P,則5個站均正常工作即線路正常工作的概率為(1-P)?,線路故障概率為1-(1-P)?。X(t)=At+B①若B為常數(shù)，A在-1和+1之間均勻分布，畫出一些樣本函數(shù)。②若A為常數(shù)，B在0和2之間均勻分布，畫出一些樣本函數(shù)。解：①樣本函數(shù)是一簇通過(0,B)點、均勻分布在圖中虛線確定的區(qū)域I和Ⅱ內的直線。②樣本函數(shù)是一簇斜率均為A、均勻分布在圖中區(qū)域I內的平行直線解題思路：根據(jù)均值的定義可以證明第一問。證明第二問時，由于自相關函數(shù)定義為Z=Y(t,)Y(t?)的分布。再根據(jù)均值的定義就可以求出Z的均值，即Y(t)的自相關函數(shù)。證明：由均值的定義可以得到E[Y(1)]=P(X(1)≤x)×1+P(X(1)>x)×0=P(X(t)≤x)由Y(t)的分布，可以得到因此所以可以得到Y(t)的自相關函數(shù)為=P(X(?)≤xj,X(t?)≤x?)恰為X(t)的二維分布函數(shù)。得證。Y(t)=X(t+a)-X(t)=E[(X(t+a)-X(t)(X(t+a+t)-X(t+t))]=E[X(t+a)X(t+a+t)-X(t+a)X(t+t)-X()X(t+a+t)+X(t)X(t+t)]=R(t+a,t+a+t)-Rx(t+a,t+t)-Rx(t,t+a+t)+Rx(t,t+t)立的正態(tài)隨機變量，而且E[A]=E[B]=0,E[A2]=E[B2]=σ2,試求X(t)的均值和自相關解：直接對X(t)求均值，可以得到將X(t)=Acosot+Bsinot代入其自相關函數(shù)表達式Rx(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)],可以得到Rx(t,t+t)=E[(Acosot+Bsinot)(Acoso(t+t)+Bsino(t+t))]=E[A2]cosotcoso(=E[A2]cosofcoso(t+t)+E[B2]sinorsino(t+t)3-6平穩(wěn)隨機過程X(t)的功率譜密度如圖E3.1所示。試求④對X(t)進行抽樣，若要求抽樣值不相關時，最高抽樣率為多少?這些抽樣值是否統(tǒng)計獨立?②直流功率為③交流功率為④若要抽樣間隔為r的抽樣值之間不相關，則應有此時，最小抽樣間隔為所以最高抽樣速率為fm。這些抽樣值是否獨立取決于隨機過程X(t)的分布。若X(t)服從高斯分布，那么任意間隔r的抽樣值均是高斯變量。當這些抽樣值之間互不相關時，也是統(tǒng)計獨立的。3-7設隨機變量z服從均勻分布，其概率密度函數(shù)為現(xiàn)按下列關系構造兩個新的隨機變量X和Y:X=sinz,Y=cosz①試分別寫出X和Y的概率密度函數(shù)；②試證明X和Y是兩個互不相關的隨機變量；解題思路：根據(jù)分布函數(shù)的定義求出X和Y的分布函數(shù)Fx(x)和F,(y),然后對其求導可以得到各自的概率密度函數(shù)；證明X和Y不相關只需運用互相關的定義即可；由于X和Y是隨機變量z的函數(shù)，當O≤z≤2π時-1≤x≤1、-1≤y≤1,并且兩者的關系是x>1或x<-1②由互相關的定義，可以得到=E[sinzcosz]-E[sinz]E[cosz]③由于X2+Y2=1因此由Z的概率密度函數(shù)可以得到X和Y的聯(lián)合概率密度為所以X和Y不是相互統(tǒng)計獨立。函數(shù)為解題思路：判斷一個隨機過程是否平穩(wěn)，主要是看該隨機過程的數(shù)學期望(均值)是否是常數(shù)，同時其自相關是否僅與時間間隔z有關而與t無關。E[X(t)]=E[sin2πFt]Rx(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)]X(t)=Acos(o?t+θ)E[X(t)]是與t有關的量，因此隨機過程X(t)是非平穩(wěn)的。少少Rx(t)=2e(e'*+e-j)+cosP(o)=S?(o)*S,(o)而②R,(t,t+t)=E{[A?coso?t+n(t)][A?coso?(t+t)+n(t+t)]}=A?coso,tcoso?(t+t)+E[n(t)n(t+t)]+E[n(t)]+E[n(t+t)]R(t)=E[x(t)x(t+t)]=E{[m,+y(t)][m,+y(t+r)]}=m2+m,E[y(t+r)]+m,E[y()]+R,(t,t+r)R,(t,t+t)=R,(t)E[y(t)y(t+t)]=E[y(t)]·E[y(t+t)]=0③由X(t)=Acos(o?t+θ)Rx(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)]3-15若x(t)是周期函數(shù)(或者含有周期成分),證明：R(t,t+t)=E{[x?(t)+x?(t)][x?(t+t)x?(t+t)]}=E[x;(t)x?(t+t)+x;(t)x?(t+t)+x;(t+r)x?(t)+x?(t)x?(t+t)]=R(t)+R?(t)+R??(t)+R?R??(t)=E[x?(t)x?(t+t)]=E[x?(t)x?(t+t+T?)]=R??(t+T?)①證明R,(r)=R,(t)+R,(r)+R(r)+R(r)R,(t,t+t)=E[r(t)r(r+t=E{[s(t)+n(t)][s(t+t)n(t+t)]}=E[s(t)s(t+t)+s(t)n(t+t)+n(t)s(t+t)n(t)n(t+t)]=R,(t)+R,(r)+R(r)+R(r)R(t)=E[s(t)n(t+t)]=E[s(t)]·E[n(t+t)]R(t)=E[n(t)s(t+t)]=E[n(t)]·E[s(t+t)]而n(t)均值為零，即E[n(t)]=因此得證。E3.2解題思路：該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。首先由系統(tǒng)的頻響函數(shù)求得其脈沖響應函數(shù)。根據(jù)平穩(wěn)隨機對其做傅立葉反變換，得RC電路系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)為所以，輸出過程Y(t)的自相關函數(shù)為其均方值為R,(t)=3'[P(o)]E[Z(t)]=E[X(t)Y(t)]=E[X(t)]·E[Y(t)]=mxm與時間t無關。R?(t,t+t)=E[Z(t)Z(t+t)]=E[X(t)Y(t)X(t+t)Y(t+t)]=E[X(t)X(t+t)]·E[Y(t)Y(t+t)]得證。3-20證明若兩隨機過程x(t)和y(t)是相互獨立的，則它們是互不相關的，即R(t)=E[x(t)y(t+t)]x(t)和y(t)的互B(t,t+t)=E{[x(t)-E(x(t))][y(t+t)-E(y(t+t))]}=E[x(t)y(t+t)]-E[x(t)]E[y(t+t)]=R(t,t+t)-E[x(t)]E[y(t+t)]R(t,t+)=E[x(1)y(t+t)]=E[x(I)]E[y(t+r)]=m,m,R(t)=E[x(t?)y(t?)]=10sin(2πt)B(t)=R(t)-E[x(t)]E[y=10sin(2πt)P(o)=2P(o)(1+cosot)。P3.12聞+大寫解題思路：應用“平穩(wěn)隨機過程通過線性系過程的功率譜密度與網(wǎng)絡函數(shù)模平方的乘積”證明。H(o)=1+e-jor=1+coswt-jsinwt其模平方為所以解題思路：利用求出輸出過程的功率譜密度后，對其做傅里葉反變換，得到輸出隨機過程的自相關函數(shù)。此RL電路系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)為密度為P(f)=IH(f)2P(f)AR(r)=3'[P(f)]=N?BSa(2πBt)E[y]=E[y(t?)]=0,E[y?]=E[y(t?)]=0令有R,(t)=E[y;]E[y?]=0R,(t)=31[P(f)]=N?BSa(2πBt)P(f)=IH(f)2Px(f)電流功率為P=P(o)·2B=2BI?q=1.6×10-17WI=√P=4×10°A環(huán)境絕對溫度T=273+27=300K。由式(3.84),均方根電壓為：≈1.29×10-?VU?=√P≈4×10?V3-27由一電阻源產生的有效噪聲功率為P=kTW,其中k=1.38×10-23J/K是波爾茲曼常數(shù)，T為熱力學溫度。請計算在室溫時(T=290K)由電阻產生的有效功率譜密度(每赫解：電阻熱噪聲的頻率范圍為O<f<1013Hz,噪聲功率在該范圍內近似均勻分布，所以=2×10-34W/Hz3-28測得某線性系統(tǒng)輸出噪聲的均方根電壓值為2mV,噪聲為高斯型起伏噪聲，試求噪聲電壓在-4mV～+4mV之間變化的概率為多少?解：設噪聲均值為0。噪聲電壓在-4mV～+4mV之間變化的概率為=①(2)-①(-2)=2φ(2)-1=0.9544隨機變量x具有以下不同的概率密度函數(shù)，試分別求出相應的輸出電壓y的概率密度函數(shù)，①f(x)=10<x<1;②f(x)=e*x>0:解題思路：由概率知識：若隨機變量X的函數(shù)為Y=g(X),X的概率密度函數(shù)為fx(x),函f?(y)=fx[h(y)]lh(y)l。由此可以解出a、c。b、d中y不是x的單調函數(shù)。因此采用其他方法：利用概率分布函數(shù)與概率密度函數(shù)之間的導數(shù)關系，先求出Y的分布函數(shù)(用X的分布函數(shù)表示),然后求導得到Y的概率密度函數(shù)。(a)y=g(x)=ax+b是單調函數(shù)，所以也是單調函數(shù)。(為簡化計算，假設即②fx(x)=e*0<x<1:x>0:b<y<a+b。y>bb)y=ax2F,(y)=P(Y<y)00c)y=g(x)=kx①f(x)=10<x<1:x>0:y>a.同樣由圖分析可以得到3④證明：該瑞利分布的隨機變量的均值為F(x)=P(X≤x)②③欲找到f(x)的最值點，令得到④根據(jù)得證。解：由教材式(3.99)得到R(r)=R,(r)coso?T+R(t)sinoot即R(r)=2R?(r)coso?r|LP對上式做傅里葉變換，有因此所以①試證明該噪聲的均方根電壓值約為0.45V;①電壓功率為②R,(t)=31(P,(f))=0.2Sa(2π×10?t)③=1-0.841345=0.158655=1-0.97725=0.02275④×n,(t)2cos2πft=[n(t)cos2πft-n,(t)sin2π兩者均通過理想低通濾波器后得到的和輸出為η(t)=1.5+n.(t)③=φ(-1)==1-φ(1)=1-0.8413=0.1587④P(η(t)<0)=F?(n<0)=①(-1.5)=1-φ(1.5)=1-0.9332=0.06683-34設理想低通濾波器的輸入是功率譜密度為W/Hz的白噪聲，理想低通濾波器的帶寬為BHz,傳輸函數(shù)的幅度為A,試求：3-35功率譜密度均值為零的高斯白噪聲，通過一個中心頻率為fo、帶寬為2B的理想帶通濾波器，求輸出自相關函數(shù)。解：輸出過程的功率譜密度為的傅里葉反變換為2BSa(2πBt),因此輸出過程的自相關函數(shù)為R?(t)=31[P(f)]①=2ABSa(2πBt)el2πhr+2ABSa②③R,(r)=R(r)coso?t-R(r)sino?rR,(r)=R,(t)coso?t+R(t)sinot3[R(r)]=3[R,(t)]=P(f-f?)+P(f+f?)/LPE[x2(t)]=E[y2(t)]=R(0)=R,(0)=4AB第五章幅度調制系統(tǒng)準幅度調制，試其中n=0,±1,±2,…。②取方波信號一個周期的截斷信號,求得其傅里葉變換為則根據(jù)式(2.17)可以得到方波信號的傅里葉變換為所以已調信號的傅里葉變換為設o?=62,試分別畫出S?(t)和S?(t)的波形圖和頻譜圖。(頻率較高，快變化)、一個為基帶調制信號(頻率較低，慢變化),均可以將慢變化基帶信號看作包絡，快變化載頻看做高頻振蕩載波，以此作圖。F(f)=I(f120)②調制指數(shù)為0.5的AM調制；②由于f(t)=3'[F(f)]=20Sa(20πt)因此A?=405-4已知調制信號f(t)=Acos2πFt,載波c(t)=A.cos2nft,實現(xiàn)DSB調制，試畫出該解：設調制載波為c?(t)=cos(o?t),存在相位誤差的解調載波為cSpsμ(t)=f(t)cos(o?t)Spsp(t)·c(t)/LPF=f(t)coso,tcos(o,t+△θ)/LP(t)是數(shù)字信號時影響解調；包絡檢波器的輸入端。試確定檢波器的輸出波形，并說明輸出波形是否產生失真?若產生失真原因何在?怎么才能作到不失真檢出?f(t)t息還包含在已調信號相位上。當采用包絡檢波時，,只得到了部分幅度信息，因此有失真。要想無失真，應對DSB-SC信號插入同頻大載波A,cosot,Ao≥1f(1)l。5-7用雙音測試信號計算一個50kW(未調制時)的AM廣播發(fā)射機。發(fā)射機外接50Ω負載，②確定90%調制(調幅指數(shù)m=90%)下的A?值③確定90%調制時通過502負載的電流峰值和電流有效值。解：①未調制載波信號為c(t)=A?coso?t,在外接50Ω負載的情況下信號功率為A?≈2236VSm(t)=[A?+m(t)]coso?t因此AM信號包絡為2236+A②根據(jù)定義，調幅指數(shù)可表示為因此A?=0.45A?=1006V③通過502負載的峰值電壓為A?+2A,=1.9A?=4248.4V,因此電流峰值為載波5-8對基帶信號m(t)進行DSB調制，m(t)=cosw?t+2cos2o?t,w?=2πfj,fi=500HZ,載波幅度為1。試：①寫出該DSB信號的表達式，畫出該波形；②計算并畫出該DSB信號的頻譜；③確定已調信號的平均功率。解：①DSB信號的表達式為②該DSB信號的頻譜為+δ(o+0?-0)+δ(w+O?+0)+2δ(o+o?③已調信號的平均功率為5-9設SSB發(fā)射機被一正弦信號m(t)調制，m(t)=5cosw?t,w?=2πfj,f?=500Hz,載波幅度為1。試：①計算m(t)的希爾伯特變換m^(t);②確定下邊帶SSB信號的表達式；③確定SSB信號的均方根(rms)值；⑤確定SSB信號的平均功率。解：①m(t)=5cosw?t,其傅里葉變換為M(o)=5π[δ(o-o?)+δ(o+o)]其希爾伯特變換的頻譜為m(t)=H[m(t)]=5sinot=√5cos(as-a)f⑤SSB信號平均功率為f(t)=cos(2π×1000t)+cos(2π×2000t)載波信號為c(t)=2cos(2π×100×103則DSB信號為=2cos(2π×1000r)cos(2π×100×103t)+2cos(2π×2000r)cos(2π×100×103t)=cos(2π×101×103t)+cos(2π×99×103t)+cos(2π×102×103t)+cos(2π×98×103t)濾去下邊帶，得Susg(t)=cos(202π×103t)+cos(204π×103t);濾去上邊帶，得Susg(I)=cos(196π×103t)+cos(198π×103t)Sus(f)=π[δ(o-202π×102)+δ(o+202π×102)]+π[δ(o-204π×103)+δ(o+204π×103)]Ssg(f)=π[δ(o-196π×102)+6(o+196π×102)]+π[δ(o-198π×103)+δ(o+198π×102)]S,sg(1)=cos(202π×105-11設調制系統(tǒng)如圖E5.2所示，為了在輸出端分別得到f?(t)和f?(t),試確定接收端的2coso?[f(t)coso?t+f?(t)sin=f?(t)(1-cos2o,t)+f(t)5-12設調制信號為f(t)=A,coso,t,載波為C(t)=A?cosoot,用該調制信號對載波進解：已知標準振幅調制信號為其中，載波功率為,邊帶功率;2ooAm=0時，調制信號為0,因此已調信號就是載波，PB=0,Po=PAM。5-13調幅發(fā)射機在500Ω無感電阻上的未調制功率為100W,而當以5V峰值的單音調制信號進行幅度調制時，測得輸出端的平均功率增加了50%,設已調信號可表示為試求①每個邊帶分量的輸出平均功率；S(1)解題思路：本題應注意，β并不是表示對單音調制信號f(t),已調信號可表示為Sm(1)=A,[1+βAcosO,I]cosot。解：①由AM已調信號表達式可知載波為因此