2024年中考數(shù)學(xué)二模試卷（泰州卷）（全解全析）

年中考第二次模擬考試（泰州卷）數(shù)學(xué)·全解全析注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁(yè)．全卷滿分150分．考試時(shí)間為120分鐘．考生答題全部答在答題卡上，答在本試卷上無效．2．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號(hào)是否與本人相符合，再將自己的姓名、考試證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上．3．答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其他位置答題一律無效．4．作圖必須用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫清楚．第Ⅰ卷選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．下列算式，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A、與不是同類項(xiàng)，不能運(yùn)算，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，本選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．2．中國(guó)旅游研究院近期發(fā)布《中國(guó)旅游經(jīng)濟(jì)藍(lán)皮書（）》，預(yù)計(jì)年國(guó)內(nèi)旅游人數(shù)約為億人次，同比增長(zhǎng)，其中“億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：億．故選：A．3．若直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為，，且滿足，則該直角三角形的斜邊上的高為（

）A．5 B．4 C． D．2【答案】C【解析】∵，∴，，∴，，∴∴，由勾股定理得：斜邊，設(shè)該直角三角形的斜邊上的高為h，∴解得．故選：C．4．物理實(shí)驗(yàn)中，小明研究一個(gè)小木塊在斜坡上滑下時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如圖，斜被為，，，小木塊在斜坡上，且，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：，，，，．故選：B．5．下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有（

）個(gè)（1）兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短；（2）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（3）同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系是相交、平行和垂直（4）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；（5）直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【解析】解：（1）兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短，原說法正確；（2）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，原說法正確；（3）同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系是相交或平行，原說法錯(cuò)誤；（4）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，原說法正確；（5）直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離，原說法錯(cuò)誤；∴說法正確的有3個(gè)，故選：B．6．如圖1，矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接、，設(shè)為，為，且關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2所示，則的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由圖知，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，慢慢增大，到點(diǎn)時(shí)，從圖中的拐點(diǎn)可知，此時(shí)，，當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，先減小再增大，直到到達(dá)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最長(zhǎng)，，故選：B．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）7．若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】解：由題意得，．故答案為：．8．因式分解：．【答案】【解析】解：．9．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且，則（填“”或“”）．【答案】【解析】解：∵反比例函數(shù)中的，∴該函數(shù)圖象位于第一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減?。撸啵蚀鸢笧椋海?0．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則的度數(shù)是°．【答案】140【解析】，，，，故答案為：．11．已知實(shí)數(shù)a，b是方程的兩根，則的值為．【答案】【解析】解：∵實(shí)數(shù)a，b是方程的兩根，∴，，∴，故答案為：．12．已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為5，8，，則x的取值范圍是．【答案】【解析】解：∵三角形的三邊長(zhǎng)分別為5，8，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：，解得，故答案為：．13．二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，且圖象對(duì)稱軸為直線，則方程的解為．【答案】1或3【解析】解：由二次函數(shù)圖象可得，拋物線圖象經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，則拋物線一定經(jīng)過點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程的兩個(gè)解為：，．∴方程的解為，；故答案為：1或3．14．如圖，將矩形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，若點(diǎn)C，恰好在同一直線上，且，則的長(zhǎng)為．【答案】/【解析】解：設(shè)，將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，，，，，，，共線，∵，，，即，解得或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解，也符合題意，的長(zhǎng)為；故答案為：．15．如圖，把矩形沿折疊，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)A在線段上，若，則．【答案】/【解析】解：如圖，設(shè)交于點(diǎn)，，，，四邊形為矩形，，，，由折疊可知，，，，，在中，，，，，，，，即，，，，，，，，即，，，．故答案為：．16．如圖，已知中，，，．點(diǎn)M是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)N經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是．

【答案】/【解析】解：如圖所示，過點(diǎn)A作分別交于H、E，∵，∴，設(shè)，由勾股定理得，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴；取的中點(diǎn)O，連接，∵，∴點(diǎn)M在以點(diǎn)O為圓心，為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最大時(shí)，最小，即此時(shí)最小，又∵當(dāng)圓O與相切時(shí)才有最小，∵當(dāng)圓O與相切時(shí)，最大，∴此時(shí)，同理可設(shè)，∴，∵，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到圓O與相切時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到最大時(shí)的位置，M繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)N從最大時(shí)的位置運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的位置，∴整個(gè)過程中點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為，故答案為：．

三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共102分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）（12分）17．（1）計(jì)算：．（2）化簡(jiǎn)：．【解析】解：（1）原式；（2）原式．（8分）18．某電商根據(jù)市場(chǎng)需求購(gòu)進(jìn)一批兩種型號(hào)的電腦小音箱進(jìn)行銷售，每臺(tái)型音箱的進(jìn)價(jià)比A型音箱的進(jìn)價(jià)多元，用元購(gòu)進(jìn)A型音箱與用元購(gòu)進(jìn)B型音箱的臺(tái)數(shù)相同．(1)求A，兩種型號(hào)的電腦小音箱每臺(tái)的進(jìn)價(jià)：(2)該電商計(jì)別購(gòu)進(jìn)A，B兩種型號(hào)的電腦小音箱共臺(tái)進(jìn)行銷售，其中A型音箱臺(tái)數(shù)不少于B型音箱臺(tái)數(shù)的倍，A型音箱每臺(tái)售價(jià)為元，B型音箱每臺(tái)售價(jià)為元，怎樣安排進(jìn)貨才能使售完這臺(tái)電腦小音箱所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【解析】（1）解：設(shè)每臺(tái)A型音箱的進(jìn)價(jià)為元，每臺(tái)型音箱的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，，答：每臺(tái)A型音箱的進(jìn)價(jià)為元，則每臺(tái)型音箱的進(jìn)價(jià)為元；（2）解：設(shè)所獲利潤(rùn)是元，購(gòu)進(jìn)臺(tái)A型音箱，則購(gòu)進(jìn)臺(tái)型音箱，根據(jù)題意得：，型音箱臺(tái)數(shù)不少于型音箱臺(tái)數(shù)的倍，，解得，，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，w取最大值，最大值為．答：購(gòu)進(jìn)臺(tái)A型音箱，購(gòu)進(jìn)臺(tái)型音箱所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元．（8分）19．某公司的午餐采用自助的形式，并倡導(dǎo)員工“適度取餐，減少浪費(fèi)”．該公司共有15個(gè)部門，且各部門的人數(shù)相同．為了解午餐的浪費(fèi)情況，公司從這15個(gè)部門中隨機(jī)抽取了，兩個(gè)部門，進(jìn)行了連續(xù)四周（20個(gè)工作日）的調(diào)查，得到這兩個(gè)部門每天午餐浪費(fèi)飯菜的重量，以下簡(jiǎn)稱“每日餐余重量”（單位：千克），并對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．部門每日餐余重量的頻數(shù)分布直方圖如圖（數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，）；b．部門每日餐余重量在這一組的是：；c．部門每日餐余重量如下：第1周1.42.86.97.81.9第2周6.92.67.56.99.5第3周9.73.14.66.910.8第4周7.88.48.39.48.8d．，兩個(gè)部門這20個(gè)工作日每日餐余重量的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：部門平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)6.47.06.67.2根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)寫出表中，的值，______，______；(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，在，這兩個(gè)部門中，你認(rèn)為“適度取餐，減少浪費(fèi)”做得較好的部門是哪個(gè)？請(qǐng)說明理由．(3)結(jié)合，這兩個(gè)部門20個(gè)工作日每日餐余重量的數(shù)據(jù)，估計(jì)這兩個(gè)部門在一年（按240個(gè)工作日計(jì)算）中餐余重量不低于8千克的總天數(shù)．【解析】（1）根據(jù)題意，中位數(shù)落在，前面數(shù)據(jù)為8個(gè)，中位數(shù)是第10個(gè)，11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)（千克），千克出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)（千克），故答案為：．（2）在A，B這兩個(gè)部門中，“適度取餐，減少浪費(fèi)”做得較好的部門是A，理由是A部門每日餐余重量的平均數(shù)和中位數(shù)都小于B部門每日餐余重量的平均數(shù)和中位數(shù)；故選擇A．（3）根據(jù)題意，得A部門餐余重量不低于8千克的總天數(shù)為6天．B部門餐余重量不低于8千克的總天數(shù)為7天．根據(jù)題意，得（天）．（8分）20．某班主任對(duì)班里學(xué)生錯(cuò)題整理情況進(jìn)行調(diào)查，反饋結(jié)果分為A、B、C、D四類，其中A類表示“經(jīng)常整理”；B類表示“有時(shí)整理”；C類表示“很少整理”；D類表示“從不整理”，并把調(diào)查結(jié)果制成如下所示不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖：請(qǐng)你根據(jù)上圖提供的信息解答下列問題：(1)扇形統(tǒng)計(jì)圖中類別C所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為_______°；(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)類別D的4名學(xué)生中有3名男生和1名女生，班主任想從這4名學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生進(jìn)行訪談，請(qǐng)用列舉法（畫樹狀圖或列表）求所選取的2名學(xué)生恰好都是男生的概率．【解析】（1）解：參加這次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為（人，類別的學(xué)生人數(shù)為（人，類別所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為：．故答案為：54；（2）解：補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：；（3）解：根據(jù)題意列表得：男1男2男3女男1男2男1男3男1女男1男2男1男2男3男2女男2男3男1男3男2男3女男3女男1女男2女男3女由表格可知，共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的，其中都是男生的有6種可能．所以所選取的2名學(xué)生恰好都是男生的概率為．（10分）21．如圖，在中，，用剪刀沿其邊上的中線將剪成兩部分，將沿進(jìn)行折疊，得到，連接交于F點(diǎn)．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，求的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：四邊形為菱形；理由如下：∵為的中線，∴，由折疊可知：∴∴四邊形為菱形；（2）解：∵四邊形為菱形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（10分）22．如圖，根據(jù)小孔成像的科學(xué)原理，當(dāng)像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰的高度）不變時(shí)，火焰的像高（單位：）是關(guān)于物距（小孔到蠟燭的距離）（單位：）的反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，請(qǐng)你解答下列問題．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式．(2)若火焰的像高為，求小孔到蠟燭的距離．【解析】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)，把，代入，得，關(guān)于的函數(shù)解析式為．（2）解：把代入，得，小孔到蠟燭的距離為．（10分）23．如圖，四邊形內(nèi)接于，，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，．(1)若為的直徑，求證：是的切線；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：如圖，連接，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）如圖，過點(diǎn)B作，垂足為F，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∵，∴，在中，，∴，化為整式方程得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，∴，，∴，在中，，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴的長(zhǎng)為．（10分）24．圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側(cè)面示意圖．已知屋面的傾斜角為，長(zhǎng)為3米的真空管與水平線的夾角為，安裝熱水器的鐵架豎直管的長(zhǎng)度為0.5米．參考數(shù)據(jù)：(1)真空管上端到水平線的距離．(2)求安裝熱水器的鐵架水平橫管的長(zhǎng)度．【解析】（1）解：過作于．在中，，則（米）．答：真空管上端到的距離約為1.8米；（2）解：在中，，則（米），，，，四邊形是矩形．，，米，米，在中，，則（米），（米），答：安裝熱水器的鐵架水平橫管的長(zhǎng)度約為0.9米．（12分）25．【問題思考】如圖1，等腰直角，，點(diǎn)O為斜邊中點(diǎn)，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)（不與B重合），將射線繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)E．學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，不論點(diǎn)D在邊上如何運(yùn)動(dòng)，始終成立．請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論；

【問題遷移】如圖2，，，，點(diǎn)O為斜邊中點(diǎn)，點(diǎn)E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)D恰好落的延長(zhǎng)線上，求的值；【問題拓展】如圖3，等腰中，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，連接，，取的中點(diǎn)M，連接，若時(shí)，求的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：連接，

是等腰直角三角形，，，點(diǎn)O為斜邊中點(diǎn)，，，，，，，，；（2）解：連接，，

點(diǎn)O是斜邊的中點(diǎn)，，，，，，將線段繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，，，，；（3）解：取的中點(diǎn)F，連接，，

，，，，，是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，，，，，，，，，．（14分）26．對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果函數(shù)的自變量與函數(shù)值滿足：當(dāng)時(shí)，（為實(shí)數(shù)，且，我們稱這個(gè)函數(shù)在上是“民主函數(shù)”．比如：函數(shù)在上是“民主函數(shù)”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函數(shù)”．(1)反比例函數(shù)是上的“民主函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說明理由：(2)若一次函數(shù)在上是“民主函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式（可用含的代數(shù)式表示）；(3)若拋物線在上是“民主函數(shù)”，且在上的最小值為，設(shè)拋物線與直線交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．若的內(nèi)心為，外心為，試求的長(zhǎng)．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，則：，∵