高中物理競(jìng)賽-話題20：“彈弓效應(yīng)”問(wèn)題

PAGEPAGE1話題20：“彈弓效應(yīng)”問(wèn)題一、小球垂直碰撞反彈模型在一個(gè)高度為的高樓上，有個(gè)質(zhì)量依次減小的小球，以，，，，的次序緊密相隨做自由落體運(yùn)動(dòng)，小球與地面碰撞或彼此碰撞都為彈性碰撞。到達(dá)地面時(shí)的速度為，經(jīng)與地面碰撞后，反彈向上，在零時(shí)間與正在垂直向下的相碰撞，使反彈向上，并依次在零時(shí)間發(fā)生各球間的相互碰撞。、當(dāng)，證明:如果時(shí)，則有.如果時(shí)，則有.在,即個(gè)小球的情況下,二球在沒(méi)有碰撞前都有向下的速度（如圖）如取向上為正方向，與地碰撞前后的速度分別是和，大小相同方向相反（圖和），設(shè)和碰撞后的速度為,與碰撞后的速度為，見(jiàn)圖.對(duì)和碰撞前后應(yīng)用動(dòng)量和動(dòng)能守恒定律，有由式，有由式，有式除以式，得即由式代入式得.如果，則有.小球反彈能達(dá)到的最大高度為.如果時(shí)，則有，由于，故小球反彈能達(dá)到的最大高度為.其效果就如同被大球這個(gè)“彈弓”彈射出去的一樣。、當(dāng)，證明:如果時(shí)，則有.如果時(shí)，則有.如果時(shí)，則有.在時(shí),如圖示出各小球的速度。從地面反彈時(shí)，速度為;和的速度都為,見(jiàn)圖;和碰撞后，二者的速度為和，見(jiàn)圖;和碰撞后的速度為和，見(jiàn)圖.當(dāng)以向上，與向下的相碰撞時(shí)，由式和式，分別得，。由式：,代入式得用式消去式中的，解得如果,則;如果,則;小球反彈能達(dá)到的最大高度為.如果,則;如果,則有;反彈后能達(dá)到的最大高度為.、當(dāng)取個(gè)小球，如果時(shí)，則有.上升高度為.第個(gè)小球的動(dòng)能，對(duì)于的值取得非常大時(shí)，是的動(dòng)能的倍如果第個(gè)小球反彈獲得的速度為，方向垂直向上。、如在高度為的塔樓做這實(shí)驗(yàn)，為使小球獲得第二宇宙速度,最少應(yīng)用使用幾個(gè)小球？通過(guò)估算知道，如用,則有所以用個(gè)球時(shí)，小球可以達(dá)到第二宇宙速度。例1：如圖示是一個(gè)物理演示實(shí)驗(yàn)，它顯示圖中自由落體的物體和經(jīng)反彈后，能上升到比初始位置高得多的地方．是某種材料做成的實(shí)心球，質(zhì)量,在其頂部的凹的坑中插著質(zhì)量的木棍，只是松松地插在凹坑中，其下端與坑底之間有小空隙．將此裝置從下端離地板的高度處由靜止釋放．實(shí)驗(yàn)中，觸地后在極短時(shí)間內(nèi)反彈，且速度大小不變；接著木棍脫離球開(kāi)始上升，而球恰好停留在地板上，求木棍上升的高度，重力加速度．解析:實(shí)心球和木棍開(kāi)始做自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們就要落地的瞬間速度為，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式由題意，觸地后在極短的時(shí)間內(nèi)反彈，速度變?yōu)橄蛏希笮〔蛔?，仍為，而木棍由于松松地插在凹坑中，其下端與坑底間有空隙，受到的作用力的沖量可忽略，可認(rèn)為速度大小，方向不變．由于的速度變?yōu)橄蛏?，的速度仍向下?相向運(yùn)動(dòng)，之間接著產(chǎn)生很強(qiáng)的作用力，對(duì)作用力的沖量使的速度方向變?yōu)橄蛏?，設(shè)大小為,而對(duì)的沖量使的速度由減為零，恰好停留在地板上，這一過(guò)程屬于碰撞模型，可認(rèn)為在豎直方向,系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，取向上為正，由動(dòng)量守恒定律得：以后，脫離以初速度做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)木棍上升的最大高度為，由機(jī)械能守恒定律得：,由以上幾式聯(lián)立，解得：二、太空中的“彈弓效應(yīng)”．在太空中，也會(huì)有這種“彈弓效應(yīng)”．如圖，設(shè)相對(duì)恒星，大行星的速度為，衛(wèi)星(質(zhì)量遠(yuǎn)小于行星)以速度經(jīng)歷了一次與大行星的彈性碰撞——在萬(wàn)有引力作用下靠近行星，后又遠(yuǎn)離，碰撞后的分離速度大小是，則對(duì)恒星而言，衛(wèi)星以大小為的速度被行星“彈射”出去，這種類(lèi)似的“彈弓效應(yīng)”，已被應(yīng)用于空間探測(cè)，研究太陽(yáng)系中諸多行星的大環(huán)游．例2：空間探測(cè)器從行星旁繞過(guò)時(shí)，由于行星的引力作用，可以使探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)速率增大，這種現(xiàn)象被稱(chēng)之為“彈弓效應(yīng)”。在航天技術(shù)中，“彈弓效應(yīng)”是用來(lái)增大人造小天體運(yùn)動(dòng)速率的一種有效方法。如圖所示的是“彈弓效應(yīng)”示意圖：質(zhì)量為的空間探測(cè)器以相對(duì)于太陽(yáng)的速度飛向質(zhì)量為的行星，此時(shí)行星相對(duì)于太陽(yáng)的速度為，繞過(guò)行星后探測(cè)器相對(duì)于太陽(yáng)的速度為，此時(shí)行星相對(duì)于太陽(yáng)的速度為，由于,，，，的方向均可視為相互平行，試寫(xiě)出探測(cè)器與行星構(gòu)成的系統(tǒng)在上述過(guò)程中“動(dòng)量守恒”及“始末狀態(tài)總動(dòng)能相等”的方程，并在的條件下，用和來(lái)表示.若上述行星是質(zhì)量為的土星，其相對(duì)于太陽(yáng)的軌道速率，而空間探測(cè)器的質(zhì)量，相對(duì)于太陽(yáng)迎向土星的速率，則由于“彈弓效應(yīng)”，該探測(cè)器繞過(guò)土星后相對(duì)于太陽(yáng)的速率將增為多大？若探測(cè)器飛向行星時(shí)其速度與行星的速度同方向，則是否仍能產(chǎn)生使探測(cè)器速率增大的“彈弓效應(yīng)”，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。解：以探測(cè)器初始時(shí)速度的反方向?yàn)樗俣鹊恼较蛴蓜?dòng)量守恒定律有：由動(dòng)能守恒有：得