2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識梳理第6章數(shù)列第4講數(shù)列求和

第四講數(shù)列求和知識梳理知識點(diǎn)一公式法求和1.如果一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))注意等比數(shù)列公比q的取值情況，要分q＝1，q≠1.知識點(diǎn)二分組求和法一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減.如若一個數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，則可用分組求和法求其前n項(xiàng)和.知識點(diǎn)三倒序相加法如果一個數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等且等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.知識點(diǎn)四錯位相減法如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.知識點(diǎn)五裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.知識點(diǎn)六并項(xiàng)求和法在一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩合并求解，則稱之為并項(xiàng)求和.如{an}是等差數(shù)列，求數(shù)列{(－1)nan}的前n項(xiàng)和，可用并項(xiàng)求和法求解.形如an＝(－1)nf(n)類型，可考慮采用兩項(xiàng)合并求解.歸納拓展1.常見的裂項(xiàng)公式(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；(3)eq\f(1,n2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))；(4)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；(5)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)；eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))；(6)eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2)))；(7)eq\f(2n,2n＋12n＋1＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋1＋1).雙基自測題組一走出誤區(qū)1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和為Sn＝eq\f(a1－an＋1,1－q).(√)(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和.(√)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得.(×)(4)當(dāng)n≥2時，eq\f(1,n2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1))).(√)(5)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)＋2n＋3))的前n項(xiàng)和可用分組求和.(√)[解析](1)因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1.則其前n項(xiàng)和為Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－a1qn,1－q)＝eq\f(a1－an＋1,1－q).(2)因?yàn)閟in21°＋sin289°＝sin22°＋sin288°＝sin23°＋sin287°＝sin244°＋sin246°＝2sin245°＝1，所以sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和.(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1討論求解.(4)因?yàn)閑q\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(1,2)·eq\f(n＋1－n－1,n－1n＋1)＝eq\f(1,n2－1).題組二走進(jìn)教材2.(選修2P51T2改編)在數(shù)列{an}中，an＝eq\f(1,nn＋1)，若{an}的前n項(xiàng)和為eq\f(2025,2026)，則項(xiàng)數(shù)n＝(C)A.2023 B．2024C.2025 D．2026[解析]an＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴Sn＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)＝eq\f(2025,2026)，∴n＝2025.故選C.3.(選修2P56T11改編)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝nsineq\f(nπ,3)，則a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝(D)A.1011eq\r(3) B．－eq\f(5,2)eq\r(3)C.eq\f(5,2)eq\r(3) D．－1011eq\r(3)[解析]因?yàn)閒(n)＝sineq\f(nπ,3)的周期為T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6，所以a6k－5＋a6k－4＋a6k－3＋a6k－2＋a6k－1＋a6k＝(6k－5)×eq\f(\r(3),2)＋(6k－4)×eq\f(\r(3),2)＋(6k－3)×0＋(6k－2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＋(6k－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＋6k×0＝－3eq\r(3)，然后求和即可.因?yàn)閒(n)＝sineq\f(nπ,3)的周期為T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6，a6k－5＋a6k－4＋a6k－3＋a6k－2＋a6k－1＋a6k＝(6k－5)×eq\f(\r(3),2)＋(6k－4)×eq\f(\r(3),2)＋(6k－3)×0＋(6k－2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＋(6k－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＋6k×0＝－3eq\r(3)，k∈N*，則a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝a1＋a2＋a3＋…＋a2021＋a2022－a2022＝337×(－3eq\r(3))－2022sineq\f(2022π,3)＝－1011eq\r(3)，故選D.4.(選修2P40T3改編)Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(3,8)＋…＋eq\f(n,2n)等于(B)A.eq\f(2n－n－1,2n) B．eq\f(2n＋1－n－2,2n)C.eq\f(2n－n＋1,2n) D．eq\f(2n＋1－n＋2,2n)[解析]解法一：由Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(n,2n)①得eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,22)＋eq\f(2,23)＋…＋eq\f(n－1,2n)＋eq\f(n,2n＋1)②①－②得，eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)，＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))－eq\f(n,2n＋1)，∴Sn＝eq\f(2n＋1－n－2,2n).解法二：此類問題可先考慮排除法，令n＝1即得B正確.5.(選修2P56T10改編)(2024·河北“五個一”名校質(zhì)檢)若f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))＋f(1)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2(n＋1).[解析]由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(0)＋f(1)＝4，…，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))＝4，所以2an＝[f(0)＋f(1)]＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))))＋…＋[f(1)＋f(0)]＝4(n＋1)，即an＝2(n＋1).題組三走向高考6.(2017·課標(biāo)Ⅱ，15,5分)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，S4＝10，則eq\i\su(k＝1,n,)eq\f(1,Sk)＝eq\f(2n,n＋1).[解析]本題主要考查等差數(shù)列基本量的計算及裂項(xiàng)相消法求和.設(shè)公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝3，,4a1＋6d＝10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝1，))∴an＝n.∴前n項(xiàng)和Sn＝1＋2＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，∴eq\f(1,Sn)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\