人教版八年級下冊二次根式教案

16.31二次根式

教學內(nèi)容

二次根式得概念及其運用

教學目標

理解二次根式得概念，并利用&(a20)得意義解答具體題目.

提出問題，根據(jù)問題給出概念，應用概念解決實際問題.

教學重難點關(guān)鍵

1.重點：形如&(a20)得式子叫做二次根式得概念；

2.難點與關(guān)鍵：利用(a20)“解決具體問題.

教學過程

一、復習引入

(學生活動)請同學們獨立完成下列三個課本P2得三個思考題：

二、探索新知

很明顯6、回、都就是一些正數(shù)得算術(shù)平方根.像這樣一些正數(shù)得算術(shù)平方

根得式子，我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如夜(a，0)得式子叫做

二次根式，稱為二次根號.

(學生活動)議一議：

1.-1有算術(shù)平方根嗎？

2.0得算術(shù)平方根就是多少？

3.當a<0,&有意義嗎？

老師點評：(略)

例1.下列式子，哪些就是二次根式，哪些不就是二次根式：母、班、L、&(x>0)、

X

V5、娠、?&、-----、Jx+y(x20,yNO).

x+y

分析：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“?”；第二，被開方數(shù)就是正

數(shù)或0.

解：二次根式有：垃、4x(x>0)>>/0>-V2>Jx+y(x20,y20)；不就是

二次根式得有：次、痣、一L.

xx4-y

例2.當x就是多少時，，3x—1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

分析：由二次根式得定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以3x-l>0,13x-1

才能有意義.

解:由3x?120,得：x——

3

當X》［時，］3x7在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

3

三、鞏固練習

教材P5練習1、2、3.

四、應用拓展

例3.當x就是多少時，J2X+3+—L在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

分析：要使j2x+3+」一在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時滿足,2x+3中得20與

X+1

」一中得X+1W0.

x+1

?2x+3>0

解：依題意，得4

［x+lwO

3

由①得：x2—

2

由②得：x#-l

當X2--且x#-l時，j2x+3+——在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

2x+1

例4（1）已知y=j2-x+，x-2+5,求二得值.（答案:2）

y

（2）若+求aZW+b?004得值.（答案［）

五、歸納小結(jié)（學生活動，老師點評）

本節(jié)課要掌握：

1.形如夜（a20）得式子叫做二次根式，“、廠”稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)就是非負數(shù).

六、布置作業(yè)

1.教材P51,2,3,4

2.選用課時作業(yè)設計.

第一課時作業(yè)設計

一、選擇題

1.下列式子中，就是二次根式得就是（）

A.-不B.近C.y/xD.x

2.下列式子中，不就是二次根式得就是()

A.\/?B.>/16C.y/sD.一

x

3.己知一個正方形得面積就是5,那么它得邊長就是()

A.5B.V5C."D.以上皆不對

二、填空題

1.形如得式子叫做二次根式.

2.面積為a得正方形得邊長為.

3.負數(shù)平方根.

三、綜合提高題

1.某工廠要制作一批體積為In?得產(chǎn)品包裝盒，其高為0、2m,按設計需要，底面

應做成正方形，試問底面邊長應就是多少？

2.當x就是多少時，+*2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

X

3.若V3—x+Jx-3有意義，則\lx=

4、使式子J-。-5)2有意義得未知數(shù)x有()個.

A.0B.1C.2D.無數(shù)

5、己知a、b為實數(shù)，且Ja-5+2J10-勿=b+4,求a、b得值.

第一課時作業(yè)設計答案：

一、1.A2.D3.B

二、1.4a(a20)2.4a3.沒有

三、1.設底面邊長為x,則0、2x2=1,解答：x=火.

3

2x+3>0x>

2.依題意得:2

xw0

3

當x>-—且xKO時,+x2在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義.

2X

1

3>-4.B5.a=5,b=-4

3

16、1、2二次根式⑵

教學內(nèi)容

1.4a(a20)就是一個非負數(shù);

2.(y[a)2=a(a>0).

教學目標

理解&(a>0)就是一個非負數(shù)與(&)2=a(a20),并利用它們進行計算與化簡.

通過復習二次根式得概念，用邏輯推理得方法推出&(a20)就是一個非負數(shù)，用具

體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根得意義導出(&)2=a(a20)；最后運用結(jié)論嚴謹解題.

教學重難點關(guān)鍵

1.重點：4a(a20)就是一?個非負數(shù)；(、/^)2=a(a20)及其運用.

2.難點、關(guān)鍵：用分類思想得方法導出(a20)就是一個非負數(shù)；用探究得方法

導出(sfa)2=a(a'O).

教學過程

一、復習引入

(學生活動)口答

1.什么叫二次根式？

2.當a與0時，叫什么？當a<0時，有意義嗎？

老師點評(略).

二、探究新知

議一議：(學生分組討論，提問解答)

4a(a20)就是一個什么數(shù)呢？

老師點評：根據(jù)學生討論與上面得練習，我們可以得出

8(aNO)就是一個非負數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根得意義填空：

(A/?)2=;(V2)2=;(V9)，=；(A/3)2=

◎J——；(即=——；(Cl——

老師點評："就是4得算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根得意義，"就是一個平方等于

4得非負數(shù)，因此有(V?)

同理可得：(5/2)2=2,(>/9)一=9,(A/3)2=3,(—)~=—,(.一)~=—,

V33V22

(Vo)2=0,所以

(y[a)2=a(a'O)

例1計算

1.(舊)22.(3后23.(島24.(弓)2

分析：我們可以直接利用（右）2=a（a》0）得結(jié)論解題.

解：(')2=g,(3后)2=32.(75)M2-5=45,

2_訴=7

224

三、鞏固練習

計算下列各式得值:

《2

(V18)2（Vo）2

皆24-

(3A/5)2-(5V3)2

四、應用拓展

例2計算

1.(Vx+T)2(x，0)2.(\jd~)3.(Ji/'+2a+1)

4.(“/一12%+9)2

分析：（1）因為x'O,所以x+l>0：(2)a2>0；(3)a2+2a+l=(a+1)20；

(4)4X2-12X+9=(2X)2-2?2x?3+3?=(2x-3)2>0.

所以上面得4題都可以運用（&）2=a（a20）得重要結(jié)論解題.

解：(1)因為x20,所以x+l>0

(Jx+1)2=x+l

(2)Va2^0,(")2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2

又,:(a+1)2^0,.".a2+2a+1^0,Ay/cT+la+l=a2+2a+l

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2?2x-3+32=(2x-3)2

又：（2x-3）22。

.,.4X2-12X+9>0,，(A/4X2-12X+9)2=4X2-12X+9

例3在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4⑶2X2-3

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握：

1.4a(a，0)就是一個非負數(shù)；

2.(s[ci)2=a(a，0);反之:a=(y/a)2(a20).

六、布置作業(yè)

1.教材P55,6,7,8

2.選用課時作業(yè)設計.

第二課時作業(yè)設計

一、選擇題

1.下列各式中行、島、加一1、4片+廿、冊2+20、7-144,二次根式

得個數(shù)就是().

A.4B.3C.2D.1

2.數(shù)a沒有算術(shù)平方根，則a得取值范圍就是().

A.a>0B.a20C.a<0D.a=0

二、填空題

1.(-V3)2=.

2.已知JQ有意義，那么就是一個數(shù).

三、綜合提高題

1.計算

(1)(V9)2(2)-(V3)2(3)(-V6)2(4)(-3.1-)2

2\3

(5)(26+3及)(2月-30)

2.把下列非負數(shù)寫成一個數(shù)得平方得形式：

(1)5(2)3、4(3)-(4)x(xNO)

6

3.已知Jx-y+1+Jx-3=0,求X，得值.

4.在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)x2-2(2)X4-93X2-5

21、1二次根式⑶

教學內(nèi)容

=a(a20)

教學目標

理解J/=a(a20)并利用它進行計算與化簡.

通過具體數(shù)據(jù)得解答，探究J/=a(a，0),并利用這個結(jié)論解決具體問題.

教學重難點關(guān)鍵

1.重點：77=a(a)0).

2.難點：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清a20時，才成立.

教學過程

一、復習引入

老師口述并板收上兩節(jié)課得重要內(nèi)容；

1.形如&(a20)得式子叫做二次根式：

2.JZ(a^O)就是一個非負數(shù)：

3.(Vay=a(a?0).

那么，我們猜想當a20時，J/=a就是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題.

二、探究新知

(學生活動)填空:

衣=；而.UI?=

(老師點評)：根據(jù)算術(shù)平方根得意義，我們可以得到：

6=2；癡7=0、01,后.g技=°；杼4

因此，一般地：底=a(a20)

例1化簡

(1)V9(2)7(-4)2(3)V25(4)，(-3>

分析：因為(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可運用J/=a(a>0)去化簡.

解：(1)也=后=3(2)J(-4)2="=4

(3)V25==5(4)J(-3)2==3

三、鞏固練習

教材P7練習2.

四、應用拓展

例2填空：當a20時，y/a^=_____；當a<0時，,并根據(jù)這一性質(zhì)

回答下列問題.

(1)若J/=a,則a可以就是什么數(shù)？

(2)若病=-a,則a可以就是什么數(shù)？

(3)J/>a,則a可以就是什么數(shù)？

分析：；值=2(a20),.?.要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)論，第二空格就不行，

應變形，使“()2”中得數(shù)就是正數(shù)，因為，當aWO時，1/=而芯，那么-a20.

(1)根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個填空得分析，逆向思想；(3)根據(jù)(1)、(2)

可知|a|,而IaI要大于a,只有什么時候才能保證呢？a<0.

解：(1)因為J/二a,所以a10；

(2)因為=-a,所以aWO；

(3)因為當a20時\fa^=a,要使J?>a,即使a>a所以a不存在；當a<0時，V?=-a,

要使J?>a,即使?a>a,a<0綜上，a<0

例3當x>2,化簡J(x-2)2-J(l-2x)2.

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握：J/=a(a》0)及其運用，同時理解當a<0時，J/=-a得應用拓

展.

六、布置作業(yè)

1.教材P5習題16.13、4、6、8.

2.選作課時作業(yè)設計.

第三課時作業(yè)設計

一、選擇題

得值就是().

22

A.0B.-C.4一D.以上都不對

33

2.a》0時，\[a^、J(-a)?、J7,比較它們得結(jié)果，下面四個選項中正確得就是

).

A.亞=J(-a)?B.J(-al>-后

c.V?<7(-?)2<-V?

D.-正>正=?-61丫

二、填空題

1.-70.0004=.

2.若J而就是一個正整數(shù)，則正整數(shù)m得最小值就是

三、綜合提高題

1.先化簡再求值：當a=9時，求a+Jl—2a+q2得值,甲乙兩人得解答如下:

甲得解答為：原式=a+"(>a)?=a+(1-a)=1；

乙得解答為：原式=a+J(1—a)?=a+(a-1)=2a-l=17.

兩種解答中，得解答就是錯誤得，錯誤得原因就是.

2.若|1995-a|+Ja-2000=a,求a-1995?得值.

(提示：先由a-2000N0,判斷1995-a得值就是正數(shù)還就是負數(shù)，去掉絕對值)

3、若-3WxW2時，試化簡|x-2|+J(x+3)2+Jd-iOx+25。

答案：

一、1.C2.A

二、1.-0.022.5

三、1.甲甲沒有先判定1-a就是正數(shù)還就是負數(shù)

2.由已知得a-200020,a22000

所以a-1995+Ja-2000=a,&-2000=1995,a-2000=19952,

所以a-19952=2000.

3、10-x

21.2二次根式得乘除

教學內(nèi)容

\[a,4b=y[ab(a20,b20),反之=&,Jb(aNO,b>0)及其運用.

教學目標

理解6-4b=yfab(a)0,b20),\[ab=\[a,\/b(a>0,b20),并利用它

們進行計算與化簡

由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出?、歷=疝(aNO,b》O)并運用它進行計算；

利用逆向思維，得出，石=6-4b(a2O,b>0)并運用它進行解題與化簡.

教學重難點關(guān)鍵

重點：\[a,>Jb—4ab(a》O,b》O),\[ab=\/a,4b(a》O,b2O)及它們得

運用.

難點：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出血,\[b—4ah(a20,bNO).

關(guān)鍵：要講清贏(a<O,b<O)=G〃，如J(_2)x/3=7-(-2)x-(-3)或

V(-2)x(-3)->/2^3-V2x73.

教學過程

一、復習引入

(學生活動)請同學們完成下列各題.

1.填空

(1)V?xV9=,—4x9=_____；

(2)V16XV25=,J16x25=.

(3)J100XV36=,-7100x36=.

參考上面得結(jié)果，用“>、<或="填空.

V4XV974^9,V16xV25716x25,7100X

J36_______7100x36

2.利用計算器計算填空

(1)V2X百______>/6,(2)V2XV5一_M，

(3)V5X76____-730,(4)"Xy/5一一V20,

(5)@XV10____V70

老師點評(糾正學生練習中得錯誤)

二、探索新知

(學生活動)讓3、4個同學上臺總結(jié)規(guī)律.

老師點評：(1)被開方數(shù)都就是正數(shù)；

（2）兩個二次根式得乘除等于一個二次根式，并且把這兩個二次根式中得數(shù)相乘，作

為等號另一邊二次根式中得被開方數(shù).

一般地，對二次根式得乘法規(guī)定為

4a,\/b=>/ab.（a，0,b20）

反過來：|=&??(a'O,b20)

例1.計算

(1)75xV7(2)gX的(3)V9XV27(4)

分析：直接利用6?4b^4ab(a20,b20)計算即可.

解：⑴V5x77-735

⑵導唇即=G

(3)囪x后=J9X27=J92X3=9內(nèi)

(4)Ax6=J；X6=6

例2化簡

(1),9x16(2)716x81(3),81x100

(4)^9x2y2(5)754

分析：利用J茴=JZ*\[b(aNO,b20)直接化簡即可.

解：⑴J9xl6=囪X71^=3X4=12

(2)716x81=716X781=4X9=36

(3)781x100=A/81X^/i00=9X10=90

(4)49x2/=后XJx2y2=后xX=3xy

(5)y/54-49x6=V?X>/6=3V6

三、鞏固練習

（1）計算（學生練習，老師點評）

①V16xy/s②3V6x2>/10③J5a,ay

(2)化簡：V20；V18；V24;A;，12片從

教材P”練習全部

四、應用拓展

例3.判斷下列各式就是否正確，不正確得請予以改正：

(1)J(-4)x(_9)=Cx"

(2)不4^^X>25—4XX，25—4X，25—4J12=8A/3

解：(1)不正確.

改正：J(-4)X(_9)=V?^="X?=2X3=6

(2)不正確.

改正:義后=^^xA=JWx25=Vn^=J16x7=4幣

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握：(1)y/a,4b=\[ab-(a20,b20),4ab=4a,\[b(a20,b

20)及其運用.

六、布置作業(yè)

1.課本P”1,4,5,6.(1)(2).

2.選用課時作業(yè)設計.

第一課時作業(yè)設計

一、選擇題

1.化簡aJ—：得結(jié)果就是

）.

A.y1—aB.\[aC.->J—ciD.-\[ct

2.等式GTi，^1=，工2—1成立得條件就是（）

A.x》lB.x2-lC.-iWxWlD.x'l或xW-1

3.下列各等式成立得就是（）.

A.4逐X26=8V5B.5s/3X4V2-20V5

C.46x36=7逐D.5>/3X4A/2-20V6

二、填空題

1.71014=

2.自由落體得公式為S=；gt2(g為重力加速度，它得值為lOm/s?),若物體下落得高

度為720m,則下落得時間就是.

三、綜合提高題

1.一個底面為30cmX30cm長方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水例入一個底面為

正方形、高為10cm鐵桶中，當鐵桶裝滿水時，容器中得水面下降了20cm,鐵桶得底面邊

長就是多少厘米？

2.探究過程：觀察下列各式及其驗證過程.

歸-221/2Q2_I)廠一I2

\22-1+22-1~\22-1+22-1-\+3

通過上述探究您能猜測出：_______(a>0)，并驗證您得結(jié)論.

V?-1

答案：

一、1.B2.C3、A4、D

二、1.13n2.12s

三、1.設：底面正方形鐵桶得底面邊長為X,

則x?X10=30X30X20,x2=30X30X2,

x=530x30xV2=305/2.

21.2二次根式得乘除⑵

教學內(nèi)容

y[a%（a>0,b>0）,反過來哈筆（a>0,b>0）及利用它們進行計算與化

簡.

教學目標

理解器=噲（a'O,b>0）與"*（a*0,b>0）及利用它們進行運算.

利用具體數(shù)據(jù)，通過學生練習活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆

向等式及利用它們進行計算與化簡.

教學重難點關(guān)鍵

1.重點：理解當號與（a20,b>0）及利用它們進行計

-(a^O,b>0)，

b

算與化簡.

2.難點關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式得除法規(guī)定.

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們完成下列各題：

1.寫出二次根式得乘法規(guī)定及逆向等式.

2.填空

(1)

(2)

(3)

⑷理

V81

也4

規(guī)律：4=

V16；7162

3.利用計算器計算填空:

⑴評,(2)

V5,(4)X

規(guī)律：言叵交12也區(qū)亙17

4；耳3；忑5：飛

每組推薦一名學生上臺闡述運算結(jié)果.

（老師點評）

二、探索新知

剛才同學們都練習都很好，上臺得同學也回答得十分準確，根據(jù)大家得練習與回答，我

們可以得到:

一般地,對二次根式得除法規(guī)定:

a

(a20,b>0),

ay[a/、、

反過來,—(a20,b>0)

b4b

下面我們利用這個規(guī)定來計算與化簡一些題目.

例1.計算：（1）皆（2）

分析：上面4小題利用空

*（a>0,b>0）便可直接得出答案.

分析：直接利用(a20,b>0)就可以達到化簡之目得.

[T_V3_V3

解:(1)

64-瘋-8

三、鞏固練習教材P14練習1.

四、應用拓展

x2-5x+4

例3.已知,且x為偶數(shù)，求(1+x)得值.

Vx2-l

分析:式子導東,

只有a20,b>0時才能成立.

因此得到9-x20且x-6>0,即6<xW9,又因為x為偶數(shù)，所以x=8.

.9-x>0fx<9

解：由題意得4,即《

%-6>01x>6

；.6<xW9

：x為偶數(shù)

x=8

|(x-4)(x-1)

原式=(1+x)

V(x+l)(x-l)

x—4

(1+x).1-------

Vx+\

=(1+x)A.~J(l+x)(x-4)

，(元+1)

...當x=8時，原式得值="5=6.

五、歸納小結(jié)

,la\[a

本節(jié)課要掌握(a20,b>0)(a>0,b>0)及其運用.

六、布置作業(yè)

1.習題16.22,7、8、9.

2.選用課時作業(yè)設計.

第二課時作業(yè)設計

一、選擇題

1.計算出+其+舊得結(jié)果就是（）.

A.-V5B.-C.41D.—

777

2.閱讀下列運算過程：

1>/3V322石2石

x/3-73x73-3'也一也x加一5

2

數(shù)學上將這種把分母得根號去掉得過程稱作“分母有理化”，那么，化簡看得結(jié)果就

是（）.

A.2B.6C.—A/6D.>/6

3

二、填空題

1.分母有理化：（i）」尸=1

,；(2)〒:；(3)

3V2V122A/5-

2.已知x=3,y=4,z=5,那么J版+J百得最后結(jié)果就是.

三、綜合提高題

1.有一種房梁得截面積就是一個矩形，且矩形得長與寬之比為石：1,現(xiàn)用直徑為

3cm得一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后得房染得最大截面積就是多少？

2.計算

答案：一、1.A2.C

6e6小、VioV2xV5V22.叵

1.(1)T;(2)T;(3)證

3

三、1.設：矩形房梁得寬為x(cm),則長為Gxcm,依題意,

得：(V3x)2+x2=(3V15)2

3_

4x2=9X15,x=-V15(cm),

2

a

21、2二次根式得乘除(3)

教學內(nèi)容

最簡二次根式得概念及利用最簡二次根式得概念進行二次根式得化簡運算.

教學目標

理解最簡二次根式得概念，并運用它把不就是最簡二次根式得化成最簡二次根式.

通過計算或化簡得結(jié)果來提煉出最簡二次根式得概念，并根據(jù)它得特點來檢驗最后結(jié)果

就是否滿足最簡二次根式得要求.

重難點關(guān)鍵

1.重點：最簡二次根式得運用.

2.難點關(guān)鍵：會判斷這個二次根式就是否就是最簡二次根式.

教學過程

一、復習引入

(學生活動)請同學們完成下列各題(請三位同學上臺板書)

、《筲八、,八3a,,出

1.計算(1)-7=,，(2)-,—，(3)~1

V5<27ypla

老師點評:%叵,平旦與灰

V55<273V2aa

2.現(xiàn)在我們來瞧本章引言中得問題：如果兩個電視塔得高分別就是Ekm,h2km,那

么它們得傳播半徑得比就是.

12Rhy

它們得比就是

'2Rh.

二、探索新知

觀察上面計算題1得最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中得二次根式有如下兩個特點：

1.被開方數(shù)不含分母；

2.被開方數(shù)中不含能開得盡方得因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個條件得二次根式，叫做最簡二次根式.

那么上題中得比就是否就是最簡二次根式呢？如果不就是，把它們化成最簡二次根式.

學生分組討論，推薦3?4個人到黑板上板書.

老師點評：不就是.

例1.(1)3后;(2)ylx2y4+x4y2;(3)胸寸

例2.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°，AC=2、5cm,BC=6cm,求AB得長.

A

BC

解：因為AB2=ACBC2

所以AB=j2.52+62=J（|）2+36=^^=^^=￡=6、5（cm）

因此AB得長為6、5cm.

三、鞏固練習

練習2、3

四、應用拓展

例3.觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不就是最簡二次根式得化成最簡二次根式:

1_1x（血1）_叵-1_n、

]_1X（癢0）癢0_尼r-

百+亞一（6+夜）（6-夜）-3-2'

]

同理可得:=V?-V3，

4+百

從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算

1111

+++)(,2002+1)得值.

7271^/2?47^V2002+V2001

分析：由題意可知，本題所給得就是一組分母有理化得式子，因此，分母有理化后就可

以達到化簡得目得.

解：原式=(&-1+G-&+V?-石+……+V2002-V2001)X(V2002+1)

二(52002-1)(V2002+1)

=2002-1=2001

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握：最簡二次根式得概念及其運用.

六、布置作業(yè)

1.習題16.23、7、10.

2.選用課時作業(yè)設計.

第三課時作業(yè)設計

一、選擇題

1.如果￡(y>o)就是二次根式，那么，化為最簡二次根式就是().

A.g(y>0)B.y[xy(y>0)C.(y>0)D.以上都不對

Jyy

2.把(a-1)中根號外得(a-1)移入根號內(nèi)得().

A.vci—1B.y/i-ClC.-yjci—lD.-y/1—Cl

3.在下列各式中，化簡正確得就是()

A.J|=3而B?&土M

C.yJa4b=a2*\[bD.Jd_f=xy/x—\

4.化簡二吧得結(jié)果就是

)

V27

,V22

A.------B?--j=C正D.-72

3V33

二、填空題

1.化簡J?+.2y2=(x20)

2.a?化簡二次根式號后得結(jié)果就是________.

Va

三、綜合提高題

1.已知a為實數(shù)，化簡：JA-aJ二;，閱讀下面得解答過程，請判斷就是否正確？

若不正確，請寫出正確得解答過程：

解：＞/_々3-a、----=aJ—a-a?一yj—ci—(a-1)yj—G.

Vaa

2.若x、y為實數(shù)，且y=一―4-,r+1求j+yQx-y得值.

答案：

一、1.C2.D3、C4、C

—、1.xjx,+y?2.-y/—ci—1

三、1.不正確，正確解答：

-/>o

因為11，所以a<0,

——>0

、a

原式=\[-a

X2-4>0

2.,,/-x-4=0,.*.x=±2,但??,x+2關(guān)0,/.x=2,

4-x2>04

Jx+yJx-y

21、3二次根式得加減(1)

教學內(nèi)容

二次根式得加減

教學目標

理解與掌握二次根式加減得方法.

先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減得方法得理解.再總

結(jié)經(jīng)驗，用它來指導根式得計算與化簡.

重難點關(guān)鍵

1.重點：二次根式化簡為最簡根式.

2.難點關(guān)鍵：會判定就是否就是最簡二次根式.

教學過程

一、復習引入

學生活動：計算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3

教師點評：上面題目得結(jié)果，實際上就是我們以前所學得同類項合并.同類項合并就就

是字母不變，系數(shù)相加減.

二、探索新知

學生活動：計算下列各式.

(1)2V2+3V2⑵2瓜-3瓜+5冊

(3)幣+2幣(4)36-2石+及

老師點評：

(1)如果我們把&當成x,不就轉(zhuǎn)化為上面得問題嗎？

2夜+30=(2+3)72=572

(2)把花當成y；

2>/8-3y/?>+5A/8=(2-3+5)A/8=4V8=8\/2

(3)把正當成z；

幣+2幣+加不

—2y/1+2\/l+3y/y—(1+2+3)y/l—6y/1

(4)瞧為x,&瞧為y.

3^3-2\/3+y/l,

=(3-2)G+0

=y/3+

因此，二次根式得被開方數(shù)相同就是可以合并得，如2夜與血表面上瞧就是不相同

得，但它們可以合并嗎？可以得.

(板書)3V2+V8=35/2+2V2=5V2

3>/3+A/27=35/3+3V3=6V3

所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同得

二次根式進行合并.

例1.計算

(1)A/8+A/FS(2)A/16X+，64x

分析：第一步，將不就是最簡二次根式得項化為最簡二次根式；第二步，將相同得最簡

二次根式進行合并.

解：(1)A/8+V18=2V2+3V2=(2+3)V2=5V2

(2)V16x+\/64x=4>/x+8Vx=(4+8)?=126

例2.計算

(1)3748-9^-+3712

(2)(V48+V20)+(V12-5/5)

解：(1)3遍-9心+3舊=12百-3百+6石=(12-3+6)6=15也

(2)(V48+V20)+(V12-V5)=V48+V20+V12-V5

—4+25/5+2-y/s—6>/3+5/5

三、鞏固練習

教材P19練習1、2.

四、應用拓展

例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(g+y?)-(x。Q-5xg)得值.

分析：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得(2x-l)2+(y-3)2=0,

即x=；,y=3.其次，根據(jù)二次根式得加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同

類二次根式，最后代入求值.

解：V4x2+y2-4x-6y+10=0

V4x2-4x+l+y2-6y+9=0

???(2x-l)2+(y-3)2=0

1

.,.x=—,y=3

2

=2x\[x+y/xy-x&+5y[xy

=x\fx+6y/xy

當x=;，y=3時，

原式=，x口+6F=立+3#

2\2V24

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握：（1）不就是最簡二次根式得，應化成最簡二次根式；（2）相同得最簡

二次根式進行合并.

六、布置作業(yè)

1.習題16.31、2、3、5.

2.選作課時作業(yè)設計.

第一課時作業(yè)設計

一、選擇題

1.以下二次根式：①疵；②萬；③島④歷中,與6就是同類二次根式

得就是（）.

A.①與②B.②與③C.①與④D.③與④

2.下列各式：①36+3=66；②；力=1；③及+"=瓶=2夜；④答=2a,

其中錯誤得有（）.

A.3個B.2個C.1個D.0個

二、填空題

1.在血、派、乙廊、V125>3屈、-2，口中,與屈就是同

33aV8

類二次根式得有.

2.計算二次根式5&-3血-76+9后得最后結(jié)果就是.

三、綜合提高題

1.已知236,求（底-舊）-（舊+g屈）得值.（結(jié)果精確到0、

01）

2.先化簡，再求值.

X,)，其中x=g,y=27.

)-(4x

y

21、3二次根式得加減⑵

教學內(nèi)容

利用二次根式化簡得數(shù)學思想解應用題.

教學目標

運用二次根式、化簡解應用題.

通過復習，將二次根式化成

被開方數(shù)相同得最簡二次根式，進行合并后解應用題.

重難點關(guān)鍵

講清如何解答應用題既就是本節(jié)課得重點，又就是本節(jié)課得難點、關(guān)鍵點.

教學過程

一、復習引入

上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減得問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先

將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同得二次根式進行合并，下面我們

講三道例題以做鞏固.

二、探索新知

例1.如圖所示得Rt^ABC中，/B=90°,點P從點B開始沿BA邊以1厘米/秒得

速度向點A移動；同時?，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒得速度向點C移動.問：

幾秒后4PBQ得面積為35平方厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）

分析：設x秒后APEQ得面積為35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根據(jù)三角形面積

公式就可以求出x得值.

解：設x后aPBQ得面積為35平方厘米.

貝I」有PB=x,BQ=2x

依題意，得：—x,2x=35

2

X2=35

X=-735

所以屈秒后aPliQ得面積為35平方厘米.

答：后秒后aPBQ得面積為35平方厘米.

例2.要焊接如圖所示得鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0、1m）?

分析：此框架就是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架得鋼材，只需知道這四

段得長度.

解：由勾股定理，得

AB=^AD2+BDr=A/42+22=而

BC=^BD2+CD2=V22+l2=V5

所需鋼材長度為

AB+BC+AC+BD

=2返+6+5+2=36+7-3X2、24+7^13、7（m）

答：要焊接一個如圖所示得鋼架，大約需要13、7m得鋼材.

三、鞏固練習

教材練習3

四、應用拓展

例3.若最簡根式3畤4。+36與根式也訪2-仁+劭2就是同類二次根式,求a、b得

值.（同類二次根式就就是被開方數(shù)相同得最簡二次根式）

分析：同類二次根式就是指兒個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同；事實

上，根式加一》+劭2不就是最簡二次根式,因此把，2出?2一，+⑨2化簡成

|b|,J2a—2+6,才由同類二次根式得定義得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式J2a加-。3+6從化為最簡二次根式:

d2abi-/73+6/匹=^Z?2(2?-l+6)=|b|?<2a-b+6

4a+3。=2a-b+6

由題意得

3a-b=2

2a+4b=6

3a—b=2

；.a=l,b=l