2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題在近幾年的高考中，函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點(diǎn)，常以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問題，難度較大，多以壓軸題出現(xiàn).考情分析思維導(dǎo)圖內(nèi)容索引典型例題熱點(diǎn)突破典例1

已知函數(shù)f(x)＝sinx－ln(1＋x)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明：考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點(diǎn)設(shè)g(x)＝f′(x)，則當(dāng)x∈(－1，α)時，g′(x)>0；(2)f(x)有且僅有2個零點(diǎn).f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞).①當(dāng)x∈(－1,0]時，由(1)知，f′(x)在(－1,0)上單調(diào)遞增，而f′(0)＝0，所以當(dāng)x∈(－1,0)時，f′(x)<0，故f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，又f(0)＝0，從而x＝0是f(x)在(－1,0]上的唯一零點(diǎn).且當(dāng)x∈(0，β)時，f′(x)>0；④當(dāng)x∈(π，＋∞)時，ln(x＋1)>1，所以f(x)<0，從而f(x)在(π，＋∞)上沒有零點(diǎn).綜上，f(x)有且僅有2個零點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練1

(2023·常德模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋

－alnx(a∈R).(1)若f(x)在x＝2處取得極值，求f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；解得a＝7，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝7時，f(x)在x＝2處取得極值，則f′(1)＝－7，f(1)＝3，則f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－3＝－7(x－1)，即7x＋y－10＝0.(2)當(dāng)a>0時，若f(x)有唯一的零點(diǎn)x0，求[x0].注：[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.6]＝0，[2.1]＝2，[－1.5]＝－2.參考數(shù)據(jù)：ln2＝0.693，ln3＝1.099，ln5＝1.609，ln7＝1.946.令g(x)＝2x3－ax－2，則g′(x)＝6x2－a，又g(1)＝－a<0，故g(x)在(1，＋∞)上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x1，從而可知f(x)在(0，x1)上單調(diào)遞減，在(x1，＋∞)上單調(diào)遞增，由于f(x)有唯一零點(diǎn)x0，故x1＝x0，且x0>1，故方程(*)的唯一解，即f(x)的唯一零點(diǎn)x0∈(2,3)，故[x0]＝2.典例2

(2022·全國乙卷)已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.(1)當(dāng)a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；考點(diǎn)二由零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍當(dāng)a＝1時，f(x)＝ln(1＋x)＋xe－x，x>－1，所以f′(0)＝1＋1＝2.因?yàn)閒(0)＝0，所以所求切線方程為y－0＝2(x－0)，即y＝2x.(2)若f(x)在區(qū)間(－1,0)，(0，＋∞)上各恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍.f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞).設(shè)g(x)＝ex＋a(1－x2).①若a>0，則當(dāng)x∈(－1,0)時，g(x)＝ex＋a(1－x2)>0，即f′(x)>0，所以f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞增，所以f(x)<f(0)＝0，故f(x)在(－1,0)上沒有零點(diǎn)，不符合題意.②若－1≤a≤0，則當(dāng)x∈(0，＋∞)時，g′(x)＝ex－2ax>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(0)＝1＋a≥0，即f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)>f(0)＝0，故f(x)在(0，＋∞)上沒有零點(diǎn)，不符合題意.③若a<－1，(ⅰ)當(dāng)x∈(0，＋∞)時，則g′(x)＝ex－2ax>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又g(0)＝1＋a<0，g(1)＝e>0，所以存在m∈(0,1)，使得g(m)＝0，即f′(m)＝0，當(dāng)x∈(0，m)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(m，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈(0，m)時，f(x)<f(0)＝0，又當(dāng)x→＋∞，f(x)→＋∞，所以f(x)在(m，＋∞)上有唯一零點(diǎn)，又f(x)在(0，m)上沒有零點(diǎn)，即f(x)在(0，＋∞)上有唯一零點(diǎn)；(ⅱ)當(dāng)x∈(－1,0)時，設(shè)h(x)＝g′(x)＝ex－2ax，則h′(x)＝ex－2a>0，所以g′(x)在(－1,0)上單調(diào)遞增，所以存在n∈(－1,0)，使得g′(n)＝0，當(dāng)x∈(－1，n)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(n,0)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，g(x)<g(0)＝1＋a<0，所以存在t∈(－1，n)，使得g(t)＝0，即f′(t)＝0，當(dāng)x∈(－1，t)時，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(t,0)時，f(x)單調(diào)遞減，又x→－1，f(x)→－∞，而f(0)＝0，所以當(dāng)x∈(t,0)時，f(x)>0，所以f(x)在(－1，t)上有唯一零點(diǎn)，在(t,0)上無零點(diǎn)，即f(x)在(－1,0)上有唯一零點(diǎn)，所以a<－1，符合題意.綜上，a的取值范圍為(－∞，－1).跟蹤訓(xùn)練2

已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－alnx.(1)當(dāng)a>0時，證明：f(x)存在唯一的極小值點(diǎn)；當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－alnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，令g(x)＝x2ex－a，其中x>0，則g′(x)＝(x2＋2x)ex>0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，易得g(x)＝x2ex－a>x2－a(x>0)，當(dāng)x∈(0，x0)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，故f(x)存在唯一的極小值點(diǎn).(2)若f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.所以f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(1)＝0，所以f(x)存在唯一零點(diǎn)x＝1，不符合題意；當(dāng)a＝0時，f(x)＝(x－1)ex，故f(x)存在唯一零點(diǎn)x＝1，不符合題意；當(dāng)a>0時，f(1)＝0，由(1)知，x0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，①當(dāng)x0>1，即a>e時，f(x)在區(qū)間(1，x0)上單調(diào)遞減，所以f(x0)<f(1)＝0，先證明lnx<x－1(x>1)，令p(x)＝x－lnx－1，x>1，所以函數(shù)p(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故p(x)＝x－lnx－1>p(1)＝0，即lnx<x－1，取lna>1，則f(lna)＝(lna－1)elna－aln(lna)>(lna－1)(elna－a)＝0，所以f(x)在區(qū)間(x0，lna)上有一個零點(diǎn)，故f(x)有兩個零點(diǎn)，滿足題意；②當(dāng)x0＝1，即a＝e時，f(x)min＝f(x0)＝0，所以f(x)有且僅有一個零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)0<x0<1，即0<a<e時，顯然f(x0)<0，對于函數(shù)y＝(x－1)ex，當(dāng)x>0時，y′＝xex>0，所以函數(shù)y＝(x－1)ex在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以(x－1)ex>－1，所以f(x)>－1－alnx，取x1＝

<1，則f(x1)＝

>－1－

＝0，所以f(x)在區(qū)間(x1，x0)上有一個零點(diǎn)，故f(x)有兩個零點(diǎn)，滿足題意.綜上，a的取值范圍是(0，e)∪(e，＋∞).利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：(1)直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用.(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.(3)參變量分離法：由f(x)＝0分離變量得出a＝g(x)，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y＝a與函數(shù)y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)問題.總結(jié)提升1231.(2023·邯鄲模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋a2在x＝－1處有極值0.(1)討論函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上的單調(diào)性；由f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋a2可得f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，因?yàn)閒(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋a2在x＝－1處有極值0，123當(dāng)a＝1，b＝1時，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，不滿足在x＝－1處有極值，故舍去，所以常數(shù)a，b的值分別為a＝2，b＝3，所以f(x)＝x3＋6x2＋9x＋4，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝－3，所以當(dāng)x<－3或x>－1時，f′(x)>0，當(dāng)－3<x<－1時，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－3)上單調(diào)遞增，在(－3，－1)上單調(diào)遞減.123123(2)記g(x)＝f(x)－k＋1，若函數(shù)g(x)有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.由(1)可知g(x)＝x3＋6x2＋9x－k＋5，所以g′(x)＝f′(x)＝3(x＋1)(x＋3)，所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－3)和(－1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－3，－1)，當(dāng)x＝－3時，g(x)有極大值－k＋5，當(dāng)x＝－1時，g(x)有極小值－k＋1，1232.已知函數(shù)f(x)＝ex－a(x＋2)，(1)當(dāng)a＝1時，討論f(x)的單調(diào)性；123當(dāng)a＝1時，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，令f′(x)<0，解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0，所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.(2)若f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.123f′(x)＝ex－a.①當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，所以f(x)是增函數(shù).故f(x)至多存在一個零點(diǎn)，不合題意.②當(dāng)a>0時，由f′(x)＝0，可得x＝lna.當(dāng)x∈(－∞，lna)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(lna，＋∞)時，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增.故當(dāng)x＝lna時，f(x)取得最小值，最小值為f(lna)＝－a(1＋lna).123因?yàn)閒(－2)＝e－2>0，所以f(x)在(－∞，lna)上存在唯一零點(diǎn).由(1)知，當(dāng)x>2時，ex－x－2>0.123故f(x)在(lna，＋∞)上存在唯一零點(diǎn).從而f(x)在(－∞，＋∞)上有兩個零點(diǎn).1233.(2023·南京模擬)已知k∈R，函數(shù)f(x)＝3ln(x＋1)＋

＋kx，x∈(－1,2).(1)若k＝0，求證：f(x)僅有1個零點(diǎn)；123所以f(x)在(－1,2)上單調(diào)遞增，且f(0)＝0，所以f(x)僅有1個零點(diǎn).(2)若f(x)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.