2015年江蘇省高考數(shù)學試卷考點卡片

考點卡片

1.并集及其運算

【知識點的認識】

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作AU8.

符號語言：或xCB}.

圖形語言：

AU3實際理解為：①尤僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③尤是A且是B中的元素.

運算形狀：

@AUB=BUA.@AU0=A.@AUA=A.?AUB2A,(5)AU⑥A

UB=0,兩個集合都是空集.⑦AU(CuA)=U.@Cu(AUB)=(CUA)Cl(CUB).

【解題方法點撥】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解.不能把“或”

與“且”混用；注意并集中元素的互異性.不能重復(fù).

【命題方向】掌握并集的表示法，會求兩個集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，

也可以與函數(shù)的定義域，值域聯(lián)合命題.

2.函數(shù)零點的判定定理

【知識點的知識】

1、函數(shù)零點存在性定理：

一般地，如果函數(shù)y=/(無)在區(qū)間團，句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(a)

?/(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)有零點，即存在(a,6),使得/(c)

=。，這個c也就是/(無)=0的根.

特別提醒：

(1)根據(jù)該定理，能確定/(x)在(a,b)內(nèi)有零點，但零點不一定唯一.

(2)并不是所有的零點都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說

明函數(shù)在(a,b)上沒有零點，例如，函數(shù)f(x)=7-3工+2有/(0)?/(3)>0,但函數(shù)

f（x）在區(qū)間（0,3）上有兩個零點.

（3）若/（x）在［a,切上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，/（a）,f（b）<0,則/（尤）

在（m6）上有唯一的零點.

2、函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：

（1）幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/（x）的圖象聯(lián)系起來，并

利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

特別提醒：

①“方程的根”與“函數(shù)的零點”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程7-2x+l=0

在［0,2］上有兩個等根，而函數(shù)無）=*-2x+l在［0,2］上只有一個零點；

②函數(shù)的零點是實數(shù)而不是數(shù)軸上的點.

（2）代數(shù)法：求方程/（無）=0的實數(shù)根.

3.函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

【函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系】

函數(shù)的零點表示的是函數(shù)與無軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一

樣的.但是，他們的解法其實質(zhì)是一樣的.

【解法】

求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不

多講了.我們重點來探討一下函數(shù)零點的求法（配方法）.

例題：求函數(shù)/（無）=￥+5/-27?-101%-70的零點.

解：'：f（X）=X4+5X3-27x2-101x-70

=（x-5）?（x+7）?（x+2）?（x+l）

函數(shù)/（無）=/+5尤3-27/-lOlx-70的零點是：5、-7、-2、-1.

通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的

乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點或者說求基本函數(shù)等于0

時的解即可.

【考查趨勢】

考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可.

4.函數(shù)與方程的綜合運用

【知識點的知識】

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.方程思想，是

從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型(方程、不等式、或

方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解.有時，還

實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的.笛卡爾的方程思想是：實際問題

一數(shù)學問題一代數(shù)問題一方程問題.宇宙世界，充斥著等式和不等式.

5.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【知識點的知識】

1、導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：

(1)若/(x)>0在(a,b)上恒成立，則/(%)在(a,b)上是增函數(shù)，f'(無)>0

的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；

(2)若于'(%)<0在(a,b)上恒成立，則/'(x)在(a,6)上是減函數(shù)，f(無)<0

的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.

2、利用導數(shù)求解多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：

(1)確定了(x)的定義域；

(2)計算導數(shù)，(x)；

(3)求出/(x)=0的根；

(4)用/(x)=0的根將/(%)的定義域分成若干個區(qū)間，列表考察這若干個區(qū)間內(nèi),

(x)的符號，進而確定，(x)的單調(diào)區(qū)間：f(x)>0,則/(尤)在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù),

對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f(x)<0,則/(x)在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.

【典型例題分析】

題型一：導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

典例1：已知函數(shù)了(%)的定義域為R,/(-1)=2,對任意xeR,/(x)>2,則無)

>2尤+4的解集為()

A.(-1,1)B.(-1,+8)C.(-°°,-1)￡).(-8,+CO)

解：設(shè)g(x)=/(x)-2x-4,

則g'(無)—f'(x)-2,

:對任意x€R,f(尤)>2,

...對任意xCR,g'(無)>0,

即函數(shù)g(X)單調(diào)遞增，

■:f(-1)=2,

.,.g(-1)=f(-1)+2-4=4-4=0,

則由g(x)>g(-1)=0得

x>-1,

即/(無)>2x+4的解集為(-1,+8),

故選：B

題型二：導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用

典例2：已知函數(shù)/(%)—alnx-ax-3(aGR).

(I)求函數(shù)/(無)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)y=/(x)的圖象在點(2,7(2))處的切線的傾斜角為45°,對于任意的蛇口,

2],函數(shù)g(x)=爐+公『(勸+為在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求相的取值范圍；

ln2ln3ln4Inn1

(III)求證:—x—x—x…x—<-(n>2,neN)?

234nn

a(1x)

解：(I)f'(x)=y~(x>0)(2分)

當。>0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1],減區(qū)間為[1,+8)；

當。<0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[1,+8),減區(qū)間為(0,1]；

當。=0時，f(x)不是單調(diào)函數(shù)(4分)

(II)ff(2)=—今=1得a=-2jf(x)=-21nx+2x-3

?'?g(x)=x3+(y+2)x2—2x?

(x)=3X2+(m+4)x-2(6分)

(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且屋(0)=-2

cm

由題意知：對于任意的空口，2],g'(r)<0恒成立,

僅‘⑴VO

所以有：\g'(2)<0，-y-<7H<-9(10分)

口(3)>0

(III)令〃=-1此時/(x)=-lruc+x-3,所以7(1)=-2,

由(I)知/(x)=-lnx+x-3在(1,+8)上單調(diào)遞增，

???當尤(1,+8)時/(冗)>/(1),即-服+%-1>0,

???加xVx-1對一切比(1,+8)成立，(12分)

???〃三2,HGN*,貝iJ有0V/〃〃V1,

?

.?uA<—<)7-1---1-

nn

.ln2ln3ln4Inn123n-11

????—.一—?------=~(n>2,n6iV)

234n234nn

【解題方法點撥】

若在某區(qū)間上有有限個點使，(尤)=0,在其余的點恒有，(x)>0,則/(%)仍為增

函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似).即在區(qū)間內(nèi)f(x)>0是/(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的

充分條件，而不是必要條件.

6.指、對數(shù)不等式的解法

【概述】

指、對數(shù)不等式的解法其實最主要的就是兩點，第一點是判斷指、對數(shù)的單調(diào)性，第二

點就是學會指數(shù)和指數(shù)，對數(shù)和對數(shù)之間的運算，下面以例題為講解.

【例題解析】

例1：己知函數(shù)/(x)="一1(e是自然對數(shù)的底數(shù)).證明：對任意的實數(shù)無，不等式/(x)

恒成立.

解：(/)設(shè)/?(X)=/(%)-尤=〃-1-尤

.,./?!(無)1-1,

當x>l時，h(x)>0,h(x)為增，

當x<l時，h(x)<0,h(x)為減，

當x=l時，h(x)取最小值/i(1)=0.

：.h(x)2(1)=0,即/(尤)》尤.

這里面是一個綜合題，解題的思路主要還是判斷函數(shù)的單調(diào)性，尤其是指數(shù)函數(shù)的單

調(diào)性，考查的重點其實是大家的計算能力.

例2：已知函數(shù)無）=loga（X-1）,g（無）=logo（3-X）（。>0且。#1）,利用對數(shù)函數(shù)

的單調(diào)性，討論不等式/（x）（X）中X的取值范圍.

解：?.,不等式/（X）（X）,即logo（X-1）Nloga（3-%）,

...當41時，有「一解得2Vx<3.

11<x<3

當l>a>0時，有卜一解得］<x<2

綜上可得，當。>1時，不等式/（x）（x）中X的取值范圍為（2,3）；

當1>。>0時，不等式無）2g（無）中x的取值范圍為（1,2）.

這個題考查的就是對數(shù)函數(shù)不等式的求解，可以看出主要還是求單調(diào)性，當然也可以右

邊移到左邊，然后變成一個對數(shù)函數(shù)來求解也可以.

【考點點評】

本考點其實主要是學會判斷各函數(shù)的單調(diào)性，然后重點考察學生的運算能力，也是一

個比較重要的考點，希望大家好好學習.

7.等比數(shù)列的性質(zhì)

【等比數(shù)列】

（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列.如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比

等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的

比相等，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（qWO）.注：q=l時，

劭為常數(shù)列.

等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項公式：①第〃項的通項公式，這

里G為首項，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個通項公式其實就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點.②求和公

式，曲=當手，表示的是前面〃項的和.③若〃?+"=q+p，且都為正整數(shù)，那么有

Cln=Clp*Clq.

例：2,x,y,z,18成等比數(shù)列，貝|y=.

解：由2,x,y,z,18成等比數(shù)列，設(shè)其公比為必

則18=2q4,解得/=3,

.,.y—2g1—2X3—6.

故答案為：6.

本題的解法主要是運用了等比數(shù)列第〃項的通項公式，這也是一個常用的方法，即知道某

兩項的值然后求出公比，繼而可以以已知項為首項，求出其余的項.關(guān)鍵是對公式的掌握，

方法就是待定系數(shù)法.

【等比數(shù)列的性質(zhì)】

nm

(11)通項公式的推廣：an—am,q,(",mGN*).

(2)若｛麗｝為等比數(shù)列，且左+/=〃?+〃，(,k,I,m,HGN*),則ak*al—am,an

(3)若｛e｝(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則3”｝(A^O),｛a｝,｛an-bn｝,仍是等比數(shù)

列.

(4)單調(diào)性：上或卜1<00｛板｝是遞增數(shù)列；卜1或<°｛即｝是遞減數(shù)歹U;

lq>l(0<q<1(0<q<1[q>l

q=l=｛a”｝是常數(shù)列；4coQ｛tto｝是擺動數(shù)列.

8.數(shù)列的求和

【知識點的知識】

就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比

數(shù)列等等，常用的方法包括：

(1)公式法：

①等差數(shù)列前〃項和公式：Sn^nai+^n(n-1)”或5=辿空位

②等比數(shù)列前"項和公式：

'嗎0=1)

S”=%Qq")=%%為小

1-q1-q

③幾個常用數(shù)列的求和公式：

cE1

(1)S"—k=l+2+3+...+八=2n(n+1)

“1

(2)2222

S“=yk=i+2+3+...+九2=_〃(〃+1)(2〃+1)

6

n1

33332

(3)\=l+2+3+...+n=[1n(n+l)]

(2)錯位相減法:

適用于求數(shù)歹U｛反義加｝的前n項和，其中｛的｝｛阮｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

(3)裂項相消法:

1

適用于求數(shù)列｛---｝的前n項和，其中｛斯｝為各項不為0的等差數(shù)列，即一-

anan+ianan+id

anan+i

特另|J:二1111

n(n+1)nn+ls2'

an=/------=J〃+1—4

Vn+1+y/n

(4)倒序相加法：

推導等差數(shù)列的前〃項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，再

把它與原數(shù)列相加，就可以得到〃個(m+帆).

(5)分組求和法：

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個

等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.

【典型例題分析】

典例1：已知等差數(shù)列｛礪｝滿足：03=7,45+47=26,｛麗｝的前W項和為

(I)求斯及SH；

(II)令bn=—(〃EN*),求數(shù)列｛'｝的前〃項和7k

OrT-l

分析：形如{第差%的求和，可使用裂項相消法如：

11111111111

——+——+——+…+------=-{(1--)+(---)+(---)+…+(―-

1X33X55X799X10023355799

199

---)}=---

100200

解：（I）設(shè)等差數(shù)列｛麗｝的公差為d,

?43=7,Q5+〃7=26,

7解得小=3,d=2,

\2a±+lOd=26

.??劭=3+2(〃-1)=2〃+l；

Sn=3冗+x2=/旬1.

(II)由(I)知劭=2〃+l,

?〃_1_________]_11_1/1、

-n~On2-1-(2n+l)2-l-4九(九+1)一,令一行I)

%（7+?+＞右）=/.（1一擊）=而片,

即數(shù)列｛歷｝的前W項和Tn=n

4±（n+l）

點評：該題的第二問用的關(guān)鍵方法就是裂項求和法，這也是數(shù)列求和當中常用的方法，就像

友情提示那樣，兩個等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項求和.

【解題方法點撥】

數(shù)列求和基本上是必考點，大家要學會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要

往這里面考.

9.數(shù)列遞推式

【知識點的知識】

1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列｛麗｝的第1項（或前幾項），且任一項而與它的前一項即

一1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.

2、數(shù)列前〃項和甑與通項所的關(guān)系式：a〃=[Sn-SnT；：nS；.

在數(shù)列｛斯｝中，前〃項和酣與通項公式板的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個重點，要認真掌握.

注意：(1)用麗=S-%」求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？("'2,

當〃=1時，ai=Si)；若m適合由所的表達式，則。"不必表達成分段形式，可化統(tǒng)一為一

個式子.

(2)一般地當已知條件中含有斯與S”的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式坂=S=S」，先將

已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或S”的關(guān)系式，然后再求解.

3、數(shù)列的通項的求法：

(1)公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式.

;；n>2

(2)已知Sn(即m+〃2+…+劭=/("))求an,用作差法：an=sn-sH-1

SI;；n=1,

般地當已知條件中含有斯與品的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含

或的關(guān)系式，然后再求解.

「⑴;\n=1

(3)已知〃1?。2…礪=/(〃)求即，用作商法：an,=jf(n)、.

(f(n-l)：n~2

(4)若an+l-an=f(H)求an,用累加法：an=(劭-礪一1)+(an-1-an-2)+…+(〃2-

〃i)+〃i(九22).

(5)已知巴“與(”)求即，用累乘法：加=①.巴曰….絲(〃22).

Clji%!—1%i—2

(6)已知遞推關(guān)系求所，有時也可以用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列).特別地有，

n

①形如斯一l+b、an=kan-i+b(k,6為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為

公比為左的等比數(shù)列后，再求

②形如缶的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項?

(7)求通項公式，也可以由數(shù)列的前幾項進行歸納猜想，再利用數(shù)學歸納法進行證明.

10.平面向量的基本定理

【知識點的知識】

1、平面向量基本定理內(nèi)容：

如果ei、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)任一a，有且僅有一對

實數(shù)入1、12,使a=2,%+4?紜.

2、基底：不共線的ei、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底.

3、說明：

（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行.

（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一.

11.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算

【知識點的知識】

1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：

設(shè)5都是非零向量，"是與6方向相同的單位向量，；與6和夾角為。，則：

（1）a-e=e-a=|a|cos6；

（2）a1b0a?b=0；（判定兩向量垂直的充要條件）

（3）當Z，；方向相同時,a-b=\a\\b\;當Z，；方向相反時,a-J=-|all6|；

特別地：1片=面2或面=^11（用于計算向量的模）

TT

（4）cos8=q］（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）

（5）la-J^lallW

2、平面向量數(shù)量積的運算律

（1）交換律：a?b=b?a；

（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（入=入（a?b）=a*（A&）;

(3)分配律：(。?b)?c工Q?(b?c)

【平面向量數(shù)量積的運算】

平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①(a+b)2=a2+2^-b+b2.②G-G(a+b)

=?-b2.@a-(b-c)WCa-b)-c，從這里可以看出它的運算法則和數(shù)的運算法則有些是

相同的，有些不一樣.

【例題解析】

例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則：

①"nm=nm”類比得到嗎1=晨日

②“(zn+〃)t=mt+ntv類比得到“(a+&)*c=a-c+b?c”；

③“/WO,mt=nt=>m=n^類比得到“c工0,a-c=b-c^a=c";

④?川=|利?|川”類比得到嗚?引=而|引”;

⑤t=m類比得到“G工)?？=Z?(￡2)”；

TTT

⑥“竺=巴，類比得到箋=2以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是①②.

bebba

解：；向量的數(shù)量積滿足交換律，

Aumn=nmn類比得到嗎工=晨7：

即①正確；

:向量的數(shù)量積滿足分配律，

a(m+n)t=mt+nt”類比得到、(a+b)'c=a-c+b?c”,

即②正確；

???向量的數(shù)量積不滿足消元律，

ut^0,mt=nt=>m=nn不能類比得到"Zh0,a-c=b-c=>a=c">

即③錯誤；

“防?川=6?同”不能類比得到“自工|=而畝”；

即④錯誤；

???向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，

“（根?〃）t=m（nW”不能類比得到“"工）4=>（晨Z）”，

即⑤錯誤；

???向量的數(shù)量積不滿足消元律，

A—=%’不能類比得到簽=

bebb?ca

即⑥錯誤.

故答案為：①②.

向量的數(shù)量積滿足交換律，由“如?=〃相”類比得到“￡工=3麻”；向量的數(shù)量積滿足分

配律，故“（〃?+”）類比得到+=向量的數(shù)量積不滿足

消元律，故”華0,根=”"不能類比得到“ZH0,a-c=b-c^a=Z";la-b|W

而?向，故“防?"|=加?同”不能類比得到“向上|=而山”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，

故“（加?”）t=m（〃?/）”不能類比得到“G￡）4=1（0Z）”；向量的數(shù)量積不滿足消元

律，故a竺c=o巴.，不能類比得到ag.,c=h2

bebb.ca

【考點分析】

本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個?？键c，

題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握.

12.復(fù)數(shù)的模

【知識點的知識】

1.復(fù)數(shù)的概念：形如a+biQ,66R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a,b分別是它的實部和虛部.若

b=0,則a+〃為實數(shù)；若。#0,則a+應(yīng)為虛數(shù)；若a=0,bWO,則a+6為純虛數(shù).

2、復(fù)數(shù)相等：a+bi—c+di^a—c,b—d(a,b,c,deR).

3、共軌復(fù)數(shù)：a+4與c+由共趣=a=c,b+d=O(a,b,c,deR).

4、復(fù)數(shù)的模:后的長度叫做復(fù)數(shù)z=a+W的模,記作|z|或|a+如,BP|z|=|a+W|=Va2+h2.

13.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

【知識點的認識】

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，

其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛.

(1)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個

數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即元=沁工+七+...+/).

2.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的優(yōu)缺點

特征數(shù)優(yōu)點缺點

眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大只能表達樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分

集中點信息無法客觀反映總體特征

中位數(shù)不受少數(shù)極端值的影響不受少數(shù)極端值的影響

平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)有關(guān)，更受少數(shù)極端值的影響較大，使其在

靛反映全體的信息.估計總體時的可靠性降低.

【解題方法點撥】

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的選?。?/p>

（1）平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況；

（2）中位數(shù)不受極端值影響，有時用它代表全體數(shù)據(jù)的中等水平（或一般水平）;

（3）眾數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)的集中情況（即多數(shù)水平）.

根據(jù)頻率分布直方圖估算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：

（1）眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，最高矩形的中點的橫坐標就是眾數(shù).

（2）中位數(shù)：在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中

位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以

估計中位數(shù)的值.

（3）平均數(shù)：是頻率分布直方圖的“重心”，是直方圖的平衡點.平均數(shù)等于頻率分布直方

圖中每個小矩形的面積（即落在該組中的頻率）乘以小矩形底邊中點的橫坐標（組中值）之

和.

14.列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

【知識點的知識】

1、等可能條件下概率的意義：一般地，如果在一次試驗中，有w種可能的結(jié)果，并且它們

發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的〃2種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為PG4）/

等可能條件下概率的特征：

（1）對于每一次試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果都是有限的；

（2）每一個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.

2、概率的計算方法：

（1）列舉法（列表或畫樹狀圖），

（2）公式法；

列表法或樹狀圖這兩種舉例法，都可以幫助我們不重不漏的列出所以可能的結(jié)果.

列表法

（1）定義：用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法.

（2）列表法的應(yīng)用場合

當一次試驗要設(shè)計兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能

的結(jié)果，通常采用列表法.

樹狀圖法

（1）定義：通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法.

（2）運用樹狀圖法求概率的條件

當一次試驗要設(shè)計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可

能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率.

【典型例題分析】

典例1：將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為。，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b,設(shè)任

意投擲兩次使兩條不重合直線/1：力=2,12：x+2y=2平行的概率為P,相交的概率為

P2,若點（尸1,尸2）在圓（X-m）2+『=事的內(nèi)部，則實數(shù)機的取值范圍是（）

144

A.（一盤，+8）B.（-8,—）C.（—工,—D.（一盤，—）

181818islo18

解析：對于a與b各有6中情形，故總數(shù)為36種

設(shè)兩條直線/l：ax+by=2,fa：尤+2y=2平行的情形有a=2,6=4,或a=3,b=6,故概率

為八P=—36=—18

設(shè)兩條直線依+力=2,/2：x+2y=2相交的情形除平行與重合即可，

:當直線/1、/2相交時圖中滿足6=2a的有（1,2）、（2,4）、（3,6）共三種，

,滿足bf2a的有36-3=33種，

直線/1、/2相交的概率2=叁=整，

□O1Z

:點（P1,尸2）在圓（尤-7%）2+/2=感的內(nèi)部，

(--m)2+(-)2_137

<-144,

1812

解得一得〈根

故選：D

典例2：某種零件按質(zhì)量標準分為1,2,3,4,5五個等級，現(xiàn)從一批該零件巾隨機抽取20

個，對其等級進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下

等級12345

頻率0.05m0.150.35n

（1）在抽取的20個零件中，等級為5的恰有2個，求機，〃；

（2）在（1）的條件下，從等級為3和5的所有零件中，任意抽取2個，求抽取的2個零件

等級恰好相同的概率.

解析：（1）由頻率分布表得0.05+777+0.15+0.35+72=1,

即m+n=0A5.…（2分）

由抽取的20個零件中，等級為5的恰有2個，

得71==0.1.…（4分）

所以力=0.45”0.1=0.35.…（5分）

（2）：由（1）得，等級為3的零件有3個，記作xi,X2,尤3；等級為5的零件有2個，

記作yi,yi.從尤i,X2,%3,y\,”中任意抽取2個零件，所有可能的結(jié)果為：（尤i,X2）,（尤1,

X3）,（XI,yi）,（XI,V2）,（X2,X3）,（X2,JI）,（X2,y2）,（X3,>1）,（X3,J2）,（jl,"）

共計10種.…（9分）

記事件A為“從零件尤1,尤2,X3,yi,”中任取2件，其等級相等”.

則A包含的基本事件為（尤1,X2）,Cxi,尤3）,Cx2,%3）,（yi,>2）共4個.…（11分）

故所求概率為P（4）=吉=04…（13分）

15.偽代碼（算法語句）

【知識點的認識】

1.偽代碼：一種介于自然語言和計算機語言之間的文字和符號.

2.基本算法語句：

（1）輸入語句：實現(xiàn)算法的輸入信息功能.

INPUT"提示內(nèi)容”；變量

或/NPUF"提示內(nèi)容1,提示內(nèi)容2,提示內(nèi)容3,…”；變量1,變量2,變量

3,…

說明：①“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可

以變化的量.

②輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達式.

③提示內(nèi)容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”

隔開.

（2）輸出語句：實現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能.

PR/NT”提示內(nèi)容”；表達式

說明：①“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達式是指程序要輸出的數(shù)據(jù).

②輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值及字符.

（3）賦值語句：表明賦給某個變量一個具體的確定值的語句.

變量=表達式（其中“=”為賦值號）

說明：①先計算賦值號右邊的表達式的值，再把求得的值賦值給左邊的變量，使該變

量的值等于表達式的值.

②賦值號左邊只能是變量名字，不能是表達式，且賦值號左右不能對換.

③注意賦值號“=”與數(shù)學中等號意義不同，不能用于進行代數(shù)式的演算.

（4）條件語句：處理條件分支邏輯結(jié)構(gòu)的算法語句.

（IF-THEN-ELSE格式）（IF-THEN格式）

IF條件THENIF條件THEN

語句1語句

ELSEENDIF

語句2

ENDIF

說明：①IF-THEN-ELSE：執(zhí)行時，先對"1后的條件進行判斷，若條件符合，執(zhí)行

語句1,否則執(zhí)行語句2.

@IF-THEN：執(zhí)行時，先對"1后的條件進行判斷，若條件符合，執(zhí)行THEN后的語句，

否則結(jié)束條件語句，

執(zhí)行其他語句.

（5）循環(huán)語句：實現(xiàn)算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，分WHILE（當型）和UNTIL（直到型）兩種語句.

（WHILE語句）（UNTIL語句）

WHILE條件DO

循環(huán)體循環(huán)體

WENDLOOPUNTIL條件

說明：①WHILE語句：前測試型循環(huán).先判斷真假，若條件符合執(zhí)行循環(huán)體，再判斷

條件真假，若仍符合，

再次執(zhí)行，如此反復(fù)，直到某次條件不符合為止，跳出循環(huán)體，執(zhí)行WEND

之后的語句.

②UNTIL語句:先執(zhí)行，再判斷條件是否符合，若不符合，再次執(zhí)行，再判斷，如此反復(fù),

直到條件符合

為止，跳出循環(huán)體，執(zhí)行循環(huán)體外的語句.

【命題方向】

偽代碼知識點的考查常以選擇、填空題形式出現(xiàn)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.掌握各種基本算

法語句的定義，了解它們的格式和作用，是正確理解偽代碼的關(guān)鍵，也是解此類題的關(guān)鍵.

（1）程序運行計算

例：根據(jù)下列算法語句，當輸入x為60時，輸出y的值為（）

：輸入X]

?If爛50Then

；j7.5。I

：Else

；J=25+0.6*（A50）I

[EndIfI

：輸出F；

II

A.25B.3QC.31D.61

分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用

是計算并輸出分段函數(shù)y=f°,5x，50的函數(shù)值.

（25+0.6（x-50）,x>50

解答：分析程序中各變量、各語句的作用,

再根據(jù)流程圖所示的順序，可知:

該程序的作用是計算并輸出分段函數(shù)y=|°，5X，A-50的函數(shù)值.

(25+0.6(x—50),x>50

當x=60時，則y=25+0.6(60-50)=31,

故選C.

點評：算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個熱點，應(yīng)高度重視.程序

填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦

值④變量的輸出.其中前兩點考試的概率更大.此種題型的易忽略點是：不能準確理解流

程圖的含義而導致錯誤.

(2)程序填空

例：閱讀如下程序，若輸出的結(jié)果為蔡，則在程序中橫線？處應(yīng)填入語句為()

s=o

n=2

i=l

DO

S=S+1/n

n=2*n

i=i-l

LOOPUNTIL?

PRINTS

END

A.i26B.C.iW7D.運8.

分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用

是累加并輸出變量S的值，要確定進入循環(huán)的條件，可模擬程序的運行，用表格對程序運行

過程中各變量的值進行分析，不難得到題目要求的結(jié)果.

解答：程序運行過程中，各變量值如下表所示：

Sni是否繼續(xù)循環(huán)

循環(huán)前021/

第一圈242是

2

第二圈二+283是

24

第三圈一HF-164是

248

第四圈2+二+2+2325是

24816

第五圈一H-----F-H-----+-646是

2481632

生,團11111163“日

第6圈―+—+—+—+—+—=—1287/E

24816326464

第7圈否

即，=7時退出循環(huán)

故繼續(xù)循環(huán)的條件應(yīng)為：，27

故選艮

點評：算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個熱點，應(yīng)高度重視.程序

填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦

值④變量的輸出.其中前兩點考試的概率更大.此種題型的易忽略點是：不能準確理解流

程圖的含義而導致錯誤.

16.兩角和與差的三角函數(shù)

【知識點的認識】

(1)C(a邛)：cos(a-p)=cosacos0+sinasinB；

(2)C(a+p)：cos(a+p)=cosacos0-sioasinB；

(3)S(a+p)：sin(a+p)=sinacos0+cosasinB;

(4)S(a邛)：sin(a-p)=sinacos0-cosasin0；

tana^tanft

(5)T(a+p):tan(a+0)=

1—tanatanft

tana-tan。

(6)T(oc邛):tan(a-p)

1-^-tanatanp

17.二倍角的三角函數(shù)

【二倍角的三角函數(shù)】

二倍角的正弦其實屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即a=0的一種特例，其公式為:

sin2a=2sina?cosa；其可拓展為l+sin2a=(sina+cosa)2.

二倍角的余弦其實屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即a=B的一種特例，其公式為:

cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina.

二倍角的正切其實屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個特例，即a=0的一種特例，其公式為:

tan2a=產(chǎn)嗎.對于這個公式要求是能夠正確的運用其求值化簡即可.

1-tan-a

【例題解析】

例：y=sin2x+2sin_xcosx的周期是IT

解：'/y=sin2.r+2sinxcosx

上浮+sin2x

=sin2x-^cos2x+：

=-7^-sin(2x+(p)+￡，(tan<p=—)

其周期T=^=n.

故答案為：it.

這個簡單的例題的第二個式子就是一個二倍角的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換過后又使用了和差化積的相

關(guān)定理，這也可以看得出三角函數(shù)的題一般都涉及到幾個公式，而且公式之間具有一定的相

似性，所以大家要熟記各種公式.

【考點點評】

本考點也是一個很重要的考點，在高考中考查的也比較多，這里面需要各位同學多加練

習，熟記各種公式.

18.余弦定理

【知識點的知識】

1.正弦定理和余弦定理

定理正弦定理余弦定理

內(nèi)容a2=b2+c1-2Z?ccosA,

abc

———2R

sinAsinBsinC廬=〃2+。2-2accos_B,

（R是△ABC外接圓半徑）c21=a2^-b1-2abcos_C

變形①〃=2RsinA,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C；

同b-+c2-a2

cosA=-----------,

形式2bc

@sinA=梟sinB=導sinC=卷；

cosB=------------,

③a：b：c=sinA：sinB：sinC；2ac

④“sinB=/?sinA,/?sinC=csinB,asinC

cosC=-+

=csinA2ab

解決①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩①已知三邊，求各角；

三角條邊；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和

形的②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另其他兩角

問題一邊和其他兩角

【正余弦定理的應(yīng)用】

1、解直角三角形的基本元素.

2、判斷三角形的形狀.

3、解決與面積有關(guān)的問題.

4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方

面都要用到解三角形的知識

（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理

就可解決.

解題關(guān)鍵在于明確：

①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形

兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；

②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)

用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可

到達的一點之間的距離問題.

（2）測量高度問題：

解題思路：

①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三

角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，

然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，

然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余

弦定理求解即可.

點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念.仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與

水平線的夾角.當視線在水平線之上時，成為仰角；當視線在水平線之下時，稱為俯角.

19.圓的標準方程

【知識點的認識】

1.圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓.定點叫做圓心，定

長就是半徑.

2.圓的標準方程：

（尤-a）2+（y-b）2—r（r>0）,

其中圓心C（a,6）,半徑為r.

特別地，當圓心為坐標原點時，半徑為廠的圓的方程為：

x1+y2=r1.

其中，圓心（a,b）是圓的定位條件，半徑，是圓的定形條件.

【解題思路點撥】

已知圓心坐標和半徑，可以直接帶入方程寫出，在所給條件不是特別直接的情況下，關(guān)鍵是

求出a,"廠的值再代入.一般求圓的標準方程主要使用待定系數(shù)法.步驟如下：

（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的標準方程為（x-a）2+（廠6）2=，；

（2）根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a,b,7"的方程組；

（3）求出a,b,/■的值，代入所設(shè)方程中即可.

另外，通過對圓的一般方程進行配方，也可以化為標準方程.

【命題方向】

可以是以單獨考點進行考查，一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)，a,6,廠值的求解可能和直線

與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線、對稱等內(nèi)容相結(jié)合，以增加解題難度.在解答題中，圓的標準

方程作為基礎(chǔ)考點往往出現(xiàn)在關(guān)于圓的綜合問題的第一問中，難度不大，關(guān)鍵是讀懂題目，

找出a,b,/?的值或解得圓的一般方程再進行轉(zhuǎn)化.

例1：圓心為(3,-2),且經(jīng)過點(1,-3)的圓的標準方程是(x-3)2+(y+2)2=5

分析：設(shè)出圓的標準方程，代入點的坐標，求出半徑，求出圓的標準方程.

解答：設(shè)圓的標準方程為(x-3)2+(y+2)2=網(wǎng)，

由圓M經(jīng)過點(1,-3)得產(chǎn)=5,從而所求方程為(尤-3)2+(y+2)2=5,

故答案為(尤-3)2+(y+2)2=5

點評：本題主要考查圓的標準方程，利用了待定系數(shù)法，關(guān)鍵是確定圓的半徑.

例2：若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4尤-3y=0和無軸都相切，則該圓的

標準方程是()

A.(x-2)2+(y-1)2=1

B.(尤-2)2+(y+1)2=1

C.(x+2)2+(j-1)2=1

D.(尤-3)2+(j-1)2=1

分析：要求圓的標準方程，半徑已知，只需找出圓心坐標，設(shè)出圓心坐標為(。，6),由已

知圓與直線4尤-3y=0相切，可得圓心到直線的距離等于圓的