2019年全國中考數(shù)學分類匯編：壓軸題(一)(含答案解析)

2019年全國中考數(shù)學分類匯編:

壓軸題（一）

1.（2019?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=，-2x-3與x軸交于點A,8（點

4在點8的左側），交y軸于點C,點。為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E.

（1）連結80,點M是線段8力上一動點（點何不與端點B,。重合），過點用作MN

LBD,交拋物線于點N（點N在對稱軸的右側），過點N作軸，垂足為H,交BD

于點F,點P是線段OC上一動點，當MN取得最大值時，求HF+FP+LPC的最小值：

3

（2）在（1）中，當MN取得最大值，“尸+FP+J-PC取得最小值時，把點尸向上平移返

32

個單位得到點Q,連結AQ,把△AOQ繞點O順時針旋轉一定的角度a（00<a<360°）,

得到OQ',其中邊A'Q1交坐標軸于點G.在旋轉過程中，是否存在一點G,使

得N2=N20G?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點。'的坐標；若不存在，請說

2.（2019?德州）如圖，拋物線丫=m？__|切「4與x軸交于A（xi,0）,B（X2,0）兩點，

與y軸交于點C,且X2-XI=3L

2

（1）求拋物線的解析式；

（2）若P（xi,yi）,Q（X2,”）是拋物線上的兩點，當aWxiWa+2,垃》之寸，均有

2

yiW”，求。的取值范圍；

（3）拋物線上一點。（1,-5）,直線BO與y軸交于點E,動點M在線段3。上，當

ZBDC=ZMCE時，求點M的坐標.

3.(2019?天津)已知拋物線y=/-bx+c(b,c為常數(shù)，b>0)經(jīng)過點A(-1,0),點、M

(m,0)是x軸正半軸上的動點.

(I)當6=2時，求拋物線的頂點坐標；

(II)點。(b>>'D)在拋物線上，當AM=A。，m=5時，求人的值；

(III)點Q您+工JQ)在拋物線上，當揚歷+2QM的最小值為理返時，求。的值.

24

4.(2019?濟寧)如圖1,在矩形A8C￡>中，A8=8,AD=10,E是CD邊上一點，連接AE,

將矩形48C。沿4E折疊，頂點。恰好落在8c邊上點尸處，延長AE交8c的延長線于

點G.

(1)求線段CE的長；

(2)如圖2,M,N分別是線段AG,QG上的動點(與端點不重合)，且NDMN=NDAM,

設AM=x,DN—y.

①寫出y關于x的函數(shù)解析式，并求出y的最小值；

②是否存在這樣的點M,使AOMN是等腰三角形？若存在，請求出x的值；若不存在,

請說明理由.

5.（2019?自貢）（1）如圖1,E是正方形A8C。邊A8上的一點，連接80、DE,將N8OE

繞點力逆時針旋轉90°,旋轉后角的兩邊分別與射線BC交于點尸和點G.

①線段DB和DG的數(shù)量關系是；

②寫出線段BE,B尸和之間的數(shù)量關系.

（2）當四邊形ABC。為菱形，NAOC=60°,點E是菱形ABC。邊A8所在直線上的一

點，連接8。、DE,將/BOE繞點。逆時針旋轉120°,旋轉后角的兩邊分別與射線BC

交于點F和點G.

①如圖2,點E在線段A8上時，請?zhí)骄烤€段BE、BF和8。之間的數(shù)量關系，寫出結論

并給出證明；

②如圖3,點E在線段AB的延長線上時，OE交射線BC于點M,若BE=1,AB=2,

直接寫出線段GM的長度.

6.（2019?自貢）如圖，已知直線A8與拋物線C：相交于點A（-1,0）和點

B（2,3）兩點.

（1）求拋物線C函數(shù)表達式；

（2）若點M是位于直線AB上方拋物線上的一動點，以MA、MB為相鄰的兩邊作平行

四邊形M4NB,當平行四邊形MAN8的面積最大時，求此時平行四邊形MAN8的面積S

及點M的坐標；

（3）在拋物線C的對稱軸上是否存在定點F,使拋物線C上任意一點P到點F的距離

等于到直線y="的距離？若存在，求出定點F的坐標；若不存在，請說明理由.

7.（2019?金華）如圖，在平面直角坐標系中，正方形Q48C的邊長為4,邊。4,OC分別

在x軸，y軸的正半軸上，把正方形O48C的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為

好點.點尸為拋物線丁=-（X-%）2+m+2的頂點.

（1）當，〃=0時，求該拋物線下方（包括邊界）的好點個數(shù).

（2）當m=3時，求該拋物線上的好點坐標.

（3）若點P在正方形0ABe內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點，求〃?

的取值范圍.

8.（2019?金華）如圖，在等腰RtZWBC中，ZACB=90°,AB=I4&,點。，E分別在

邊A8,BC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉90°得到EF.

（1）如圖1,若4。=8力，點E與點C重合，A尸與DC相交于點O.求證：BD=2DO.

（2）已知點G為AF的中點.

①如圖2,若AO=BD,CE=2,求OG的長.

②若AC=68O,是否存在點E,使得△QEG是直角三角形？若存在，求CE的長：若不

存在，試說明理由.

A

9.（2019?棗莊）已知拋物線y=o?+當+4的對稱軸是直線x=3,與x軸相交于A,8兩點

2

（點8在點A右側），與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式和A,B兩點的坐標;

（2）如圖1,若點P是拋物線上8、C兩點之間的一個動點（不與8、C重合），是否存

在點P，使四邊形P80C的面積最大？若存在，求點P的坐標及四邊形PBOC面積的最

大值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2,若點M是拋物線上任意一點，過點M作〉軸的平行線，交直線BC于點N,

當MN=3時，求點M的坐標.

10.（2019?達州）箭頭四角形

模型規(guī)律

如圖1,延長C。交AB于點。，則/8OC=N1+NB=NA+/C+N8.

因為凹四邊形A8OC形似箭頭，其四角具有“N8OC=N4+NB+NC”這個規(guī)律，所以

我們把這個模型叫做“箭頭四角形”.

模型應用

(1)直接應用：①如圖2,ZA+ZB+ZC+Z￡>+Z￡+ZF=.

②如圖3,ZABE.N4CE的2等分線(即角平分線)BF、CF交于點F,已知NBEC=

120°,ZBAC=50°,則NBFC=.

③如圖4,BOi、COi分別為NABO、NACO的2019等分線(i=l,2,3,…，2017,

2018).它們的交點從上到下依次為。、02、03、…、O20I8.已知/80C=M,ZBAC

=n,則N80i(x)oC=度.

(2)拓展應用：如圖5,在四邊形ABC。中，BC=CD,NBCD=2/BAD.。是四邊形

A8CD內(nèi)一點，KOA=OB=OD.求證：四邊形08C￡)是菱形.

11.(2019?達州)如圖1,已知拋物線y=-f+bx+c過點4(1,0),B(-3,0).

(1)求拋物線的解析式及其頂點C的坐標；

(2)設點。是x軸上一點，當tan(ZCAO+ZCDO)=4時，求點。的坐標；

(3)如圖2.拋物線與y軸交于點E,點P是該拋物線上位于第二象限的點，線段PA

交BE于點M,交y軸于點M△BMP和的面積分別為小〃，求〃的最大值.

12.(2019?濱州)如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的分別與BC,4c交于

點。，E,過點。作。FLAG垂足為點P.

(1)求證：直線。尸是。。的切線；

(2)求證：BC2=4CF-AC；

(3)若。。的半徑為4,ZCDF=15°,求陰影部分的面積.

13.(2019?濱州)如圖①，拋物線y=-L?+L+4與)，軸交于點A,與x軸交于點B,C,

82

將直線AB繞點A逆時針旋轉90°,所得直線與x軸交于點D

(1)求直線AO的函數(shù)解析式;

(2)如圖②，若點尸是直線上方拋物線上的一個動點

①當點P到直線AD的距離最大時，求點P的坐標和最大距離;

,求sinN以。的值.

4

14.(2019?青島)已知：如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,N4CB=90°,AB=]Ocm,

BC=Scm,OD垂直平分AC.點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為Icmis；

同時，點。從點。出發(fā)，沿。C方向勻速運動，速度為k??/s；當一個點停止運動，另

一個點也停止運動.過點P作PELAB,交BC于點E,過點。作。尸〃AC,分別交4D,

0。于點凡G.連接OP,EG.設運動時間為f(s)(0<t<5),解答下列問題：

(1)當f為何值時，點E在/B4C的平分線上？

(2)設四邊形PEG。的面積為S(az?),求s與f的函數(shù)關系式；

(3)在運動過程中，是否存在某一時刻K使四邊形PEGO的面積最大？若存在，求出

f的值；若不存在，請說明理由；

(4)連接OE,OQ,在運動過程中，是否存在某一時刻f,使OE，。。？若存在，求出

f的值；若不存在，請說明理由.

15.(2019?重慶)在平面直角坐標系中，拋物線y=-返？+返什2丁愁x軸交于4,B兩

42

點(點月在點B左側)，與y軸交于點C,頂點為O,對稱軸與x軸交于點Q.

(1)如圖1,連接AC,BC.若點P為直線8c上方拋物線上一動點，過點P作PE〃y

軸交8c于點E,作PF,3c于點F,過點B作2G〃AC交y軸于點G.點H,K分別在

對稱軸和y軸上運動，連接P4,HK.當△PEF的周長最大時，求P/7+HK+返KG的最

2

小值及點H的坐標.

(2)如圖2,將拋物線沿射線4c方向平移，當拋物線經(jīng)過原點0時停止平移，此時拋

物線頂點記為O',N為直線。。上一點，連接點》,C,N,△￡>'CN能否構成等腰

三角形？若能，直接寫出滿足條件的點N的坐標；若不能，請說明理由.

16.(2019?安徽)一次函數(shù)丫=依+4與二次函數(shù)y=o?+c的圖象的一個交點坐標為(1,2),

另一個交點是該二次函數(shù)圖象的頂點

(1)求k,a,c的值；

(2)過點A(0,m)(0<m<4)且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=o?+c的圖象相交

于B,C兩點，點O為坐標原點，記W=OA2+BC2,求卬關于相的函數(shù)解析式，并求卬

的最小值.

17.(2019?安徽)如圖，Rt^ABC中，NAC8=90°,AC=BC,P為△ABC內(nèi)部一點，且

/APB=NBPC=135°.

(1)求證：△尸8C；

(2)求證：PA=2PC；

(3)若點P到三角形的邊AB,BC,CA的距離分別為加，h2,h3,求證加2=加33.

18.(2019?揚州)如圖，四邊形ABC￡＞是矩形，AB=20,BC=10,以CD為一邊向矩形外

部作等腰直角△GDC,NG=90°.點"在線段A8上，且點P沿折線AD-

OG運動，點。沿折線8C-CG運動(與點G不重合)，在運動過程中始終保持線段P。

//AB.設P。與A8之間的距離為x.

(1)若4=12.

①如圖1,當點P在線段A。上時，若四邊形AMQP的面積為48,則x的值為；

②在運動過程中，求四邊形AMQP的最大面積；

(2)如圖2,若點P在線段DG上時，要使四邊形AMQP的面積始終不小于50,求a

的取值范圍.

19.(2019?揚州)如圖，已知等邊△ABC的邊長為8,點P是AB邊上的一個動點(與點A、

B不重合).直線1是經(jīng)過點P的一條直線，把AABC沿直線1折疊，點B的對應點是點

B'.

(1)如圖1,當PB=4時，若點8'恰好在AC邊上，則AB'的長度為；

(2)如圖2,當PB=5時，若直線1〃AC,貝1J88'的長度為；

(3)如圖3,點P在AB邊上運動過程中，若直線1始終垂直于AC,△AC"的面積是

否變化？若變化，說明理由：若不變化，求出面積；

(4)當PB=6時，在直線1變化過程中，求△AC8'面積的最大值.

20.(2019?南京)如圖①，在RtZvlBC中，/C=90°,AC=3,BC=4.求作菱形。EFG,

使點。在邊AC上，點E、尸在邊AB上，點G在邊BC上.

小明的作法

1.如圖②，在邊AC上取一點。，過點。作。G〃AB交BC于點G.

2.以點。為圓心，DG長為半徑畫弧，交A8于點￡

3.在EB上截取連接FG,則四邊形OEFG為所求作的菱形.

(1)證明小明所作的四邊形。EFG是菱形.

(2)小明進一步探索，發(fā)現(xiàn)可作出的菱形的個數(shù)隨著點D的位置變化而變化……請你繼

續(xù)探索，直接寫出菱形的個數(shù)及對應的CD的長的取值范圍.

21.(2019?南京)【概念認識】

城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按

直角拐彎的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系xOy,對兩

點A(xi,yi)和B(%2,”)，用以下方式定義兩點間距離：d(A,B)=|xi-%2|+|yi-

泗.

【數(shù)學理解】

(1)①已知點月(-2,1),則d(。，A)=.

②函數(shù)y=-2r+4(0<xW2)的圖象如圖①所示，B是圖象上一點，d(O,B)=3,則

點B的坐標是.

(2)函數(shù)y=2(x>0)的圖象如圖②所示.求證：該函數(shù)的圖象上不存在點C,使d

x

(.O,C)=3.

(3)函數(shù)y=f-5x+7(x》0)的圖象如圖③所示，。是圖象上一點，求，/(。，D)的

最小值及對應的點D的坐標.

【問題解決】

(4)某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點，先沿MN方向到

某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？(要求：建立適

當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，畫出示意圖并筒要說明理由)

22.(2019?寧波)定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱

為鄰余線.

(1)如圖1,在△ABC中，AB=AC,AO是△ABC的角平分線，E,F分別是BO,AD

上的點.

求證：四邊形是鄰余四邊形.

(2)如圖2,在5X4的方格紙中，A,8在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形

ABEF,使A8是鄰余線，E,F在格點上.

(3)如圖3,在(1)的條件下，取EF中點M,連結0M并延長交A3于點。，延長EF

交AC于點N.若N為AC的中點，DE=2BE,QB=3,求鄰余線AB的長.

23.(2019?寧波)如圖1,00經(jīng)過等邊△48C的頂點A,C(圓心。在內(nèi))，分別

與AB,CB的延長線交于點。，E,連結BF，EC交AE于點、F.

(1)求證：BD=BE.

(2)當AF：EF=3：2,AC=6時，求AE的長.

(3)設tanNDAE=y.

EF

①求y關于x的函數(shù)表達式；

②如圖2,連結。凡OB,若△AEC的面積是△OFB面積的10倍，求y的值.

圖1圖2

24.(2019?泰安)若二次函數(shù)y=o?+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點A(3,0)、B(0,

-2)且過點C(2,-2).

(1)求二次函數(shù)表達式；

(2)若點P為拋物線上第一象限內(nèi)的點，且SNBA=4,求點P的坐標；

(3)在拋物線上(AB下方)是否存在點使NA80=NA8M?若存在，求出點M到

y軸的距離；若不存在，請說明理由.

督■用圖

25.(2019?泰安)如圖，四邊形A8CO是正方形，△EFC是等腰直角三角形，點E在AB

上，且NCEF=90°,FG±AD,垂足為點C.

(1)試判斷AG與FG是否相等？并給出證明；

(2)若點H為C尸的中點，GH與DH垂直嗎?若垂直，給出證明；若不垂直，說明理

由.

26.(2019?杭州)設二次函數(shù)y=(x-xi)(x-X2)(xi,X2是實數(shù)).

(1)甲求得當x=0時，y=0；當x=l時，y=0；乙求得當》=工時，y---.若甲求

22

得的結果都正確，你認為乙求得的結果正確嗎？說明理由.

(2)寫出二次函數(shù)圖象的對稱軸，并求該函數(shù)的最小值(用含力，的代數(shù)式表示).

(3)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,m)和(1,〃)兩點(機，〃是實數(shù))，當0＜見＜%2

<1時、求證：.

16

27.(2019?杭州)如圖，已知銳角三角形ABC內(nèi)接于圓O,ODLBC于點。，連接04.

(I)若/BAC=60°,

①求證：

2

②當0A=l時，求△ABC面積的最大值.

(2)點E在線段04上，0E=0D,連接DE,設NABC=/nZ0E。，ZACB=nZ0ED

(m,"是正數(shù))，若NABCV/AC8,求證：m-n+2=0.

28.(2019?鹽城)如圖所示，二次函數(shù)y=k(x-1)2+2的圖象與一次函數(shù))=日-A+2的

圖象交于A、B兩點，點B在點A的右側，直線A8分別與x、)，軸交于C、。兩點，其

中k<0.

(1)求A、8兩點的橫坐標；

(2)若△OAB是以0A為腰的等腰三角形，求k的值；

(3)二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點E,是否存在實數(shù)總使得N0DC=2NBEC,

若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.

29.(2019?泰州)如圖，線段AB=8,射線BGLAB,P為射線BG上一點，以AP為邊作

正方形APCD,且點C、。與點B在AP兩側，在線段OP上取一點E,使NE4P=/BAP,

直線CE與線段AB相交于點F(點F與點A、8不重合).

(1)求證：△4EPZ/XCEP；

(2)判斷CF與AB的位置關系，并說明理由；

(3)求△?!￡■廠的周長.

30.(2019?泰州)已知一次函數(shù)yi=fcv+〃(n<0)和反比例函數(shù)”=典(m>0,x>0).

x

(1)如圖1,若〃=-2,且函數(shù)yi、"的圖象都經(jīng)過點A(3,4).

①求，”，々的值；

②直接寫出當>)2時X的范圍；

(2)如圖2,過點P(1,0)作)，軸的平行線/與函數(shù)"的圖象相交于點8,與反比例

函數(shù)(x>0)的圖象相交于點C.

x

①若k=2,直線/與函數(shù)yi的圖象相交點。.當點8、C、。中的一點到另外兩點的距

離相等時，求坎-〃的值；

②過點B作x軸的平行線與函數(shù)yi的圖象相交與點E.當〃的值取不大于1的任意

實數(shù)時，點8、C間的距離與點8、E間的距離之和d始終是一個定值.求此時k的值及

定值d.

y

31.(2019?成都)如圖1,在△ABC中，AB=AC=20,tanB=3,點。為8c邊上的動點

4

(點。不與點B,C重合).以。為頂點作射線。E交AC邊于點E,過點

A作AFLAD交射線DE于點F,連接CF.

(1)求證：△ABOs2xocE；

(2)當。E〃48時(如圖2),求AE的長；

(3)點。在BC邊上運動的過程中，是否存在某個位置，使得DF=CF?若存在，求出

此時5。的長：若不存在，請說明理由.

32.(2019?成都)如圖，拋物線丫="/+法+。經(jīng)過點A(-2,5),與x軸相交于8(-1,0),

C(3,0)兩點.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將△BC。沿直線BD翻折得到4

BCD,若點。恰好落在拋物線的對稱軸上，求點。和點。的坐標；

(3)設P是拋物線上位于對稱軸右側的一點，點Q在拋物線的對稱軸上，當△CPQ為

等邊三角形時，求直線3尸的函數(shù)表達式.

33.(2019?溫州)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=*+4分別交x軸、y軸于點B,

C,正方形4OCD的頂點。在第二象限內(nèi)，E是BC中點，OELOE于點凡連結OE.動

點P在40上從點A向終點。勻速運動，同時，動點。在直線BC上從某一點。1向終

點。2勻速運動，它們同時到達終點.

(1)求點B的坐標和OE的長.

(2)設點0為(m,n),當2=Lan/EOF時，求點。2的坐標.

m7

(3)根據(jù)(2)的條件，當點尸運動到AO中點時，點。恰好與點C重合.

①延長交直線BC于點。3,當點。在線段。2。3上時，設。3。=$,AP—t,求S關

于，的函數(shù)表達式.

②當PQ與LOEF的一邊平行時，求所有滿足條件的AP的長.

34.（2019?樂山）在△ABC中，已知。是8C邊的中點，G是△A8C的重心，過G點的直

線分別交A3、AC于點E、F.

（1）如圖1,當EF〃BC時，求證：型+竺=1；

AEAF

（2）如圖2,當E尸和BC不平行，且點E、尸分別在線段A3、4C上時，（1）中的結論

是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.

（3）如圖3,當點E在AB的延長線上或點尸在AC的延長線上時，（1）中的結論是否

成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.

35.（2019?樂山）如圖，已知拋物線y=“（尤+2）（尤-6）與x軸相交于A、B兩點，與），軸

交于C點，且tan/CAB=W.設拋物線的頂點為對稱軸交x軸于點N.

2

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為拋物線的對稱軸上一點，Q（〃，0）為x軸上一點，且尸QJ_PC.

①當點P在線段MN（含端點）上運動時，求〃的變化范圍；

②當”取最大值時，求點P到線段C。的距離；

③當n取最大值時，將線段CQ向上平移t個單位長度，使得線段CQ與拋物線有兩個

交點，求f的取值范圍.

36.(2019?武漢)在△ABC中，/ABC=90°,坐=〃，M是BC上一點，連接AM.

BC

(1)如圖1,若〃=1,N是AB延長線上一點，CN與AM垂直，求證：BM=BN.

(2)過點8作BPLAM,P為垂足，連接。尸并延長交A8于點Q.

①如圖2,若”=1,求證：空=理.

PQBQ

②如圖3,若M是BC的中點，直接寫出tan/8PQ的值.(用含〃的式子表示)

37.(2019?武漢)已知拋物線Ci：y=(x-1)2-4C2：y=/

(1)如何將拋物線C1平移得到拋物線C2?

(2)如圖1,拋物線G與x軸正半軸交于點A,直線y=-￡+6經(jīng)過點A,交拋物線

3

C1于另一點B.請你在線段AB上取點P,過點P作直線PQ//y軸交拋物線C1于點Q,

連接AQ.

①若AP=AQ,求點P的橫坐標；

②若布=PQ,直接寫出點P的橫坐標.

(3)如圖2,的頂點M、N在拋物線C2上，點M在點N右邊，兩條直線ME、

NE與拋物線C2均有唯一公共點，ME、NE均與y軸不平行.若aMNE的面積為2,設

M.N兩點的橫坐標分別為，〃、〃，求m與n的數(shù)量關系.

38.(2019?蘇州)已知矩形ABCD中，AB=5a〃，點P為對角線AC上的一點，且A/>=

2后m.如圖①，動點M從點A出發(fā)，在矩形邊上沿著A-B-C的方向勻速運動(不

包含點C).設動點M的運動時間為f(s),/\APM的面積為S(cm1),S與t的函數(shù)關

系如圖②所示.

(1)直接寫出動點M的運動速度為cm/s,BC的長度為cm；

(2)如圖③，動點M重新從點A出發(fā)，在矩形邊上按原來的速度和方向勻速運動，同

時，另一個動點N從點。出發(fā)，在矩形邊上沿著O-C-B的方向勻速運動，設動點N

的運動速度為u(cmk).已知兩動點M,N經(jīng)過時間x(s)在線段上相遇(不包含

點C),動點M,N相遇后立即同時停止運動，記此時△APM與的面積分別為Si

(cnr),52(czM2)

①求動點N運動速度v(cmis)的取值范圍；

②試探究Si?S2是否存在最大值，若存在，求出SrS2的最大值并確定運動時間x的值;

若不存在，請說明理由

39.（2019?蘇州）如圖①，拋物線y=-/+（a+1）x-〃與x軸交于A,B兩點（點A位于

點5的左側），與），軸交于點C.已知△A8C的面積是6.

（1）求a的值；

（2）求△ABC外接圓圓心的坐標；

（3）如圖②，P是拋物線上一點，Q為射線C4上一點，且P、Q兩點均在第三象限內(nèi)，

Q、A是位于直線5尸同側的不同兩點，若點尸到x軸的距離為d,4OPB的面積為2d,

40.（2019?荷澤）如圖，拋物線與x軸交于4,8兩點，與y軸交于點C（0,-2）,點A

的坐標是（2,0）,P為拋物線上的一個動點，過點P作軸于點力，交直線BC于

點E,拋物線的對稱軸是直線》=-1.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點尸在第二象限內(nèi)，且PE=L>。，求△PBE的面積.

4

（3）在（2）的條件下，若M為直線BC上一點，在x軸的上方，是否存在點使4

是以8。為腰的等腰三角形？若存在，求出點〃的坐標；若不存在，請說明理由.

2019年全國中考數(shù)學分類匯編：

壓軸題（一）

參考答案與試題解析

1.（2019?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=/-2x-3與x軸交于點A,8（點

4在點8的左側），交y軸于點C,點。為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E.

（1）連結8￡>,點M是線段上一動點（點M不與端點8,。重合），過點M作

LBD,交拋物線于點N（點N在對稱軸的右側），過點N作NH_Lx軸，垂足為H,交BD

于點尸，點尸是線段OC上一動點，當取得最大值時，求“尸+FP+UC的最小值；

3_

（2）在（1）中，當MN取得最大值，HF+FP+LPC取得最小值時，把點P向上平移返

32

個單位得到點Q,連結AQ,把△AOQ繞點0順時針旋轉一定的角度a（0°<a<360°）,

得到△?!'OQ',其中邊A'Q'交坐標軸于點G.在旋轉過程中，是否存在一點G,使

得/Q，=N0OG?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q'的坐標；若不存在，請說

明理由.

可得|NF|=（2zn-6）--2/n-3）=-m^+4m-3,根據(jù)二次函數(shù)的性質得m=--

2a

=2時，NF取到最大值，此時MN取到最大值，此時“F=2,此時尸（2,-2）,在x

軸上找一點K（國0,0）,連接CK,過點尸作CK的垂線交CK于點J點，交y軸于

4

點P,sin/OCK=當，直線KC的解析式為：y=-2&x-3,從而得到直線FJ的解析

式為：產(chǎn)&x-4+孤聯(lián)立解出點八2一2加,-19-4企）得FP+LPC的最小值即為

42993

FJ的長，且尸/=「+全匹最后得出|“尸+尸2+」>。"加=1+±/5；

3333

（2）由題意可得出點。（0,-2）,AQ=依，應用"直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

上的一半”取AQ的中點G,連接OG,則OG=GQ=L1Q=Y^,此時，ZAQO=Z

22

GOQ,把△AOQ繞點。順時針旋轉一定的角度a（0°<a<360°）,得到OQ',

其中邊A'Q'交坐標軸于點G,則用。G=GQ1分四種情況求解.

【解答】解：（1）如圖1

：拋物線y=7-2x-3與x軸交于點A,B(點A在點3的左側)，交y軸于點C

???令y=0解得：xi=-1,%2=3,令X=0,解得：y=-3,

AA(-1,0),B(3,0),C(0,-3)

2

:點。為拋物線的頂點，且一旦=N=1,4ac-b=4X1X(-3)-4=-4

2a24a4X1

.?.點。的坐標為。(1,-4)

直線BD的解析式為:y=2x-6,

由題意，可設點N(加，蘇-2次-3),則點尸(血，2/72-6)

，|NF|=（2加-6）-（勿Z2-2〃L3）=-z??2+4m-3

當機=」_=2時，NF取到最大值，此時MN取到最大值，此時“尸=2,

2a

此時，N(2,-3),F(2,-2),H(2,0)

在x軸上找一點K(國2,0),連接CK,過點/作CK的垂線交CK于點J點，交y

4

軸于點P,

；.sin/OCK=工，直線KC的解析式為：y=-2&x-3,且點F(2,-2),

3

:.PJ=LPC,直線R/的解析式為：

3-42

...點八軍運,T9-4&)

99

FP+LPC的最小值即為FJ的長，且尸J|=L

33

：.\HF+FP+LpC\min=7+啦；

33

(2)由(1)知，點P(0,上巨),

_2

?.?把點P向上平移返個單位得到點Q

2

.,.點Q(0,-2)

...在RtAAOQ中，NAOG=90°,AQ=如,取A。的中點G,連接OG,貝UOG=GQ

=X4e=—>此時，ZAQO=ZGOQ

22

把△AOQ繞點。順時針旋轉一定的角度a(0°<a<360°),得到aA'OQ',其中邊

4'Q'交坐標軸于點G

=N。'

則ZIOQ'=ZOA'Q'=ZOAQ,

：sin/OAQ=&=3=^^

AQV55__

...sin//OQ'=IQ，=IQ，=織￡解得：\1O\=^&.

0Q'255

在對△0/。，中根據(jù)勾股定理可得|0/|=空￡

5

...點。’的坐標為。'（2匹，-&返）；

55

②如圖3,

y小

Qf

D，圖3

當G點落在x軸的正半軸上時，同理可得°，（延.2匹）

55

綜上所述，所有滿足條件的點Q'的坐標為：（巫，-延■）,（嶇,延），（-名度,

__55555

4辰、,（_4遙,_2遙）

5’55

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點求法和與幾何圖形結合的綜合能

力的培養(yǎng)及直角三角形的中線性質.要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起

來，利用通過求點的坐標來表示線段的長度，從而求出線段之間的關系.

2.（2019?德州）如圖，拋物線y=〃?/一且nx-4與x軸交于A（xi,0）,B（X2,0）兩點，

2

與y軸交于點C,且X2-XI=3L.

2

（1）求拋物線的解析式；

（2）若P（xi,yi）,Q（x2,y2）是拋物線上的兩點，當aWxiWa+2,我》與時，均有

2

yiWy2,求a的取值范圍；

（3）拋物線上一點。（1,-5）,直線B。與y軸交于點E,動點M在線段80上，當

ZBDC=NMCE時、求點M的坐標.

【分析】(1)函數(shù)的對稱軸為：X=-q-=5=3_"，而且JC2-X1=2L,將上述兩

2a422

式聯(lián)立并解得：xi=-S,初=4,即可求解；

2

(2)由(1)知，函數(shù)的對稱軸為：x=$,則x=2和x=-2關于對稱軸對稱，故其函

42

數(shù)值相等，即可求解;

(3)確定△BOC、△C￡?G均為等腰直角三角形，即可求解.

【解答】解：(1)函數(shù)的對稱軸為：x=--L=—+X2,而且X2-XI=』L,

2a422

將上述兩式聯(lián)立并解得：xi=-1,X2=4,

2

則函數(shù)的表達式為：y=m(x+W)(x-4)=m(x2-4x+2r-6),

22

即：-6，"=-4,解得：m=—,

3

故拋物線的表達式為：y=22一旦廠4；

33

(2)由(1)知，函數(shù)的對稱軸為：x="，

4

則尸旦和x=-2關于對稱軸對稱，故其函數(shù)值相等，

2

又aWxi<a+2,犬22微時，均有戶(”，

'a)-2

結合函數(shù)圖象可得：］,9,解得：-2WaW反；

a+2<y2

(3)如圖，連接8C、CM,過點。作CGLOE于點G,

而點8、C、。的坐標分別為：(4,0)、(0,-4)、(1,-5),

貝|JOB=OC=4,CG=GC=1,BC=4&,CC=&,

故△BOC、△CQG均為等腰直角三角形，

：.ZBCD=180°-ZOCB-ZGCD=90°,

在RtZ^BCD中，tanR8DC=比=,迎=4,

CD-V2

NBDC=NMCE,

則tanNMCE=4,

將點3、。坐標代入一次函數(shù)表達式：y=/nr+〃并解得：

直線80的表達式為：y=2r-型，故點E(0,-29),

333

設點M(小包l型)，過點M作MFVCE于點F,

33

則MF=",CF=OF-OC=&-至，

33

33

解得：”=絲，

23

故點M(絲，-她).

2323

【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、等腰直角三角形性質等，

其中(3),確定△BOC、△CDG均為等腰直角三角形，是本題解題的關鍵.

3.(2019?天津)已知拋物線y=/-bx+c(b,c為常數(shù)，Z>>0)經(jīng)過點A(-1,0),點M

(m,0)是x軸正半軸上的動點.

(I)當b=2時，求拋物線的頂點坐標;

（II）點。（6,yo）在拋物線上，當AM=AO,〃?=5時，求匕的值；

（III）點Q（h+L,yG）在拋物線上，當揚M+2QM的最小值為應返時，求6的值.

24