2022年北京海淀初二（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案

1/12022北京海淀初二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。1．（3分）下列冰雪運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是A． B． C． D．2．（3分）2021年10月16日，我國(guó)神舟十三號(hào)載人飛船與天和核心艙首次成功實(shí)現(xiàn)“徑向?qū)印保瑢?duì)接過(guò)程的控制信息通過(guò)微波傳遞．微波理論上可以在0.000003秒內(nèi)接收到相距約1千米的信息．將數(shù)字0.000003用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為A． B． C． D．3．（3分）下列變形是因式分解的是A． B． C． D．4．（3分）下列計(jì)算正確的是A． B． C． D．5．（3分）如圖，是等邊三角形，是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為A．4 B．5 C．6 D．76．（3分）下列變形正確的是A． B． C． D．7．（3分）如圖，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，，則的度數(shù)為A． B． C． D．8．（3分）某中學(xué)開(kāi)展“筑夢(mèng)冰雪，相約冬奧”的學(xué)科活動(dòng)，設(shè)計(jì)幾何圖形作品表達(dá)對(duì)冬奧會(huì)的祝福．小冬以長(zhǎng)方形的四條邊為邊向外作四個(gè)正方形，設(shè)計(jì)出“中”字圖案，如圖所示．若四個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和為24，面積之和為12，則長(zhǎng)方形的面積為A．1 B． C．2 D．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）若分式有意義，則的取值范圍為．10．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．11．（2分）分解因式：．12．（2分）若是關(guān)于的方程的解，則的值為．13．（2分）等腰三角形的一個(gè)角等于，則它的頂角的度數(shù)是．14．（2分）在〇處填入一個(gè)整式，使關(guān)于的多項(xiàng)式〇可以因式分解，則〇可以為．（寫(xiě)出一個(gè)即可）15．（2分）如圖，在中，為邊上的中線(xiàn)，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．若平分，，，則的面積為．16．（2分）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)．作直線(xiàn)，若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的度數(shù)為．三、解答題（本題共60分，第17、18、19、21、22題4分，第20、23、24、25題5分，第26題6分，第27題7分，第28題7分）17．（4分）計(jì)算：．18．（4分）化簡(jiǎn)：．19．（4分）化簡(jiǎn)：．20．（5分）解方程：21．（4分）如圖，已知線(xiàn)段及線(xiàn)段外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，使得．小欣的作法如下：①以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作?。虎谝渣c(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；③作直線(xiàn)．則直線(xiàn)即為所求．（1）根據(jù)小欣的作圖過(guò)程補(bǔ)全圖形；（2）完成下面的證明．證明：連接，，，．，點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上．（填推理的依據(jù)），點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上．直線(xiàn)為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．．22．（4分）在的正方形網(wǎng)格中，格線(xiàn)的交點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱(chēng)為格點(diǎn)三角形．圖中是一個(gè)格點(diǎn)三角形．請(qǐng)?jiān)趫D1和圖2中各畫(huà)出一個(gè)與成軸對(duì)稱(chēng)的格點(diǎn)三角形，并畫(huà)出對(duì)稱(chēng)軸．23．（5分）如圖，在中，，點(diǎn)，在邊上，．求證：．24．（5分）已知，求代數(shù)式的值．25．（5分）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所需要的時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需要的時(shí)間相同，現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)多少臺(tái)機(jī)器？26．（6分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，給出如下定義：若為內(nèi)（不含邊界）一點(diǎn)，且與的一條邊相等，則稱(chēng)為的友愛(ài)點(diǎn)．（1）在，，中，的友愛(ài)點(diǎn)是．（2）如圖2，若為內(nèi)一點(diǎn)，且，求證：為的友愛(ài)點(diǎn)；（3）直線(xiàn)為過(guò)點(diǎn)且與軸平行的直線(xiàn)，若直線(xiàn)上存在的三個(gè)友愛(ài)點(diǎn)，直接寫(xiě)出的取值范圍是．27．（7分）在分式中，若，為整式，分母的次數(shù)為，分子的次數(shù)為（當(dāng)為常數(shù)時(shí)，，則稱(chēng)分式為次分式．例如，為三次分式．（1）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)只含有字母的二次分式；（2）已知，（其中，為常數(shù)）．①若，，則，，，中，化簡(jiǎn)后是二次分式的為；②若與的和化簡(jiǎn)后是一次分式，且分母的次數(shù)為1，求的值．28．（7分）在中，，為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段，的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，連接，，．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，則；（2）當(dāng)時(shí)，①如圖2，連接，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線(xiàn)與交于點(diǎn)，滿(mǎn)足．為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，用等式表示，與之間的數(shù)量關(guān)系為，并證明．

參考答案一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。1．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)（成軸）對(duì)稱(chēng)．【解答】解：選項(xiàng)、、均不能找到這樣的一條直線(xiàn)，使圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，選項(xiàng)能找到這樣的一條直線(xiàn)，使圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)整數(shù)．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，正確確定的值以及的值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．【分析】根據(jù)因式分解的定義依次判斷即可．【解答】解：因式分解是將多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)整式的乘積形式，，，均不符合題意，符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的定義，理解定義是求解本題的關(guān)鍵．4．【分析】利用合并同類(lèi)項(xiàng)的法則，積的乘方的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，同底數(shù)冪的除法的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：、，故符合題意；、與不屬于同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故不符合題意；、，故不符合題意；、，故不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查合并同類(lèi)項(xiàng)，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則掌握．5．【分析】根據(jù)是等邊三角形得出，由得出，從而可以求出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出即可．【解答】解：是等邊三角形，，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)，能求出是解此題的關(guān)鍵．6．【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：、，故不符合題意．、，故符合題意．、，故不符合題意．、，故不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．7．【分析】由全等三角形的性質(zhì)可得，，可求得，，由三角形的內(nèi)角和可求得，從而得解．【解答】解：，，，，即，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．8．【分析】設(shè)，，由四個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和為24，面積之和為12列方程求解即可．【解答】解：設(shè)，，由四個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和為24，面積之和為12可得，，，即①，②，由①得，③，③②得，所以，即長(zhǎng)方形的面積為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式的幾何背景，用代數(shù)式表示兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)和面積是解決問(wèn)題的前提．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．【分析】根據(jù)分母不為零分式有意義，可得答案．【解答】解：由題意，得．解得，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式有意義的條件，利用分母不為零得出不等式是解題關(guān)鍵．10．【分析】根據(jù)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，進(jìn)而得出答案．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．11．【分析】先提取公因式3，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解．【解答】解：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要繼續(xù)利用平方差公式進(jìn)行因式分解，分解因式要徹底，直到不能再分解為止．12．【解答】解:,2x-m=3(x-3),2x-3x=-9+m,x=9-m,因?yàn)榉匠痰慕鉃閤=4,∴4=9-m,∴m=5.故答案為513．【分析】由等腰三角形中有一個(gè)角等于，可分別從①若為頂角與②若為底角去分析求解，即可求得答案．【解答】解：分兩種情況討論：①若為頂角，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為；②若為底角，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為：．這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為：或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握等邊對(duì)等角的知識(shí)，掌握分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．14．【分析】根據(jù)完全平方公式的特征即可解答．【解答】解：在〇處填入一個(gè)整式，使關(guān)于的多項(xiàng)式〇可以因式分解，則〇可以為：，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式的特征是解題的關(guān)鍵．15．【分析】過(guò)點(diǎn)作，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，再由是中線(xiàn)，則有，利用三角形的面積公式可求得的面積．【解答】解：過(guò)點(diǎn)作，如圖，平分，，，，，為邊上的中線(xiàn)，，．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的面積，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的面積公式．16．【分析】連接、，如圖，設(shè)，利用基本作圖得到，則，所以，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到，接著利用得到，則根據(jù)求出，然后利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算的度數(shù)．【解答】解：連接、，如圖，設(shè)，由作法得垂直平分，，，，，，，，，，解得，．故答案為126．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．三、解答題（本題共60分，第17、18、19、21、22題4分，第20、23、24、25題5分，第26題6分，第27題7分，第28題7分）17．【分析】先化簡(jiǎn)零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，計(jì)算同底數(shù)冪的除法，最后進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．18．【分析】根據(jù)完全平方公式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：原式．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方公式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟記相關(guān)公式和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．19．【分析】先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算除法．【解答】解：原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方差公式和整式除法，掌握平方差公式和整式除法法則是求解本題的關(guān)鍵．20．【分析】本題的最簡(jiǎn)公分母是，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，可把分式方程轉(zhuǎn)換為整式方程求解．結(jié)果要檢驗(yàn)．【解答】解：去分母，得：，化簡(jiǎn)，得：，化系數(shù)為．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根．【點(diǎn)評(píng)】（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最簡(jiǎn)公分母驗(yàn)根．21．【分析】（1）根據(jù)題目要求作出圖形即可；（2）利用線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的判定解決問(wèn)題即可．【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）連接，，，．，點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上．（到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上），點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上．直線(xiàn)為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．．故答案為：到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．22．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作出圖形即可．【解答】解：如圖1，2中，即為所求（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖軸對(duì)稱(chēng)變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．23．【分析】根據(jù)證明與全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：，，，在與中，，，，，即．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)證明與全等．24．【分析】原式小括號(hào)內(nèi)的式子先進(jìn)行通分計(jì)算，然后算括號(hào)外面的除法，最后利用整體思想代入求值．【解答】解：原式，，，原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序（先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號(hào)先算小括號(hào)里面的）和計(jì)算法則，利用整體代入求值是關(guān)鍵．25．【分析】本題考查列分式方程解實(shí)際問(wèn)題的能力，因?yàn)楝F(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器的時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器的時(shí)間相同．所以可得等量關(guān)系為：現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器時(shí)間原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)時(shí)間．【解答】解：設(shè)：現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)臺(tái)機(jī)器，則原計(jì)劃可生產(chǎn)臺(tái)．依題意得：．解得：．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．是原分式方程的解．答：現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)200臺(tái)機(jī)器．【點(diǎn)評(píng)】列分式方程解應(yīng)用題與所有列方程解應(yīng)用題一樣，重點(diǎn)在于準(zhǔn)確地找出相等關(guān)系，這是列方程的依據(jù)．而難點(diǎn)則在于對(duì)題目已知條件的分析，也就是審題，一般來(lái)說(shuō)應(yīng)用題中的條件有兩種，一種是顯性的，直接在題目中明確給出，而另一種是隱性的，是以題目的隱含條件給出．本題中“現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器”就是一個(gè)隱含條件，注意挖掘．26．【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和坐標(biāo)得出，，，進(jìn)而利用勾股定理解答即可；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，進(jìn)而利用等腰三角形的判定解答即可；（3）根據(jù)友愛(ài)點(diǎn)的概念分三種情況①②③解答即可．【解答】（1）解：，，，，，連接，，如圖，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)在軸上，，點(diǎn)是的友愛(ài)點(diǎn)；連接，，，過(guò)點(diǎn)分別作軸，軸的垂線(xiàn)段，，如圖，則，，，在△與△中，，△△，，點(diǎn)是的友愛(ài)點(diǎn)；連接，，，過(guò)點(diǎn)分別作軸，軸的垂線(xiàn)段，，如圖，則，，，，，，在△中，由勾股定理得，，在△中，由勾股定理得，，在△中，由勾股定理得，，點(diǎn)不是的友愛(ài)點(diǎn)；綜上所述，的友愛(ài)點(diǎn)是，，故答案為：，；（2）證明：在和中，，，，，，，，，，點(diǎn)是的友愛(ài)點(diǎn)；（3）解：由題意知，的友愛(ài)點(diǎn)，滿(mǎn)足或或，若，則點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，即軸上；若，則點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上；若，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓弧上，設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，如圖，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)在過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線(xiàn)與軸之間時(shí)，直線(xiàn)存在的友愛(ài)點(diǎn)，直線(xiàn)為過(guò)點(diǎn)且與軸平行的直線(xiàn)，若直線(xiàn)上存在的三個(gè)友愛(ài)點(diǎn)，則的取值范圍是；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查一次函數(shù)的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和坐標(biāo)以及勾股定理解答．27．【分析】（1）根據(jù)材料中的新定義求解；（2）①