奧數(shù)講義-第3講三角形-二四制教師版

第3講

三角形

0

1.內(nèi)角和外角的性質(zhì)~

①三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180。三角形的任何一個(gè)外角等于

三角形的任何一個(gè)外角大于

②三角形的外角和為_(kāi)_________

2.三邊關(guān)系：「

兩點(diǎn)之間的線段最短4三角形任意兩邊之和_________

L三角形任意兩邊之差_________

3.邊角關(guān)系：

①等邊對(duì)等角對(duì)②大邊對(duì)大角對(duì)J

4.三角形的中位線

定理：三角形的中位線_________________________________________

5.三角形的五心

①內(nèi)心是線的交點(diǎn)，到的距離相等

②外心是線的交點(diǎn)，到的距離相等

③重心是線的交點(diǎn)，重心分中線的比例為（證明？）

④垂心是線的交點(diǎn).

⑤旁心是三角形兩個(gè)外角的平分線與第三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，到的距離相等.

6.三角形的分類

「_________三角形「不等邊三角形

①按角分，_________三角形②按邊分J，腰與底不等的等腰三角形

I三角形I等腰三角形?

7.特殊三角形：

⑴等腰三角形r性質(zhì)：；；。

判定：；；

A

⑵等邊三角形1性質(zhì)：三邊；三個(gè)角.

一判定：；；0

⑶直角三角形《性質(zhì)：兩銳角;邊;斜邊中線

8.全等三角形

①全等三角形的性質(zhì)：O

②全等三角形的判定定理：O

③角平分線定理：互逆定理＞

9婀圖一學(xué)習(xí)改變命運(yùn)2009寒假

④線段垂直平分線定理：互逆定理＞=

9.相似三角形

⑴相似三角形的性質(zhì)?

⑵相似三角形的判定定理o

⑶相似三角形中的基本圖形：

平行型：A型，如圖⑴；X型，如圖⑵

①交錯(cuò)型：如圖⑶，⑷，(5)

②旋轉(zhuǎn)型：如圖⑹

④母子三角形：如圖⑺

基本要求略高要求較高要求

了解三角形的有關(guān)概念；了解三角形會(huì)用尺規(guī)法作給定條件的三角形；會(huì)運(yùn)

的穩(wěn)定性；會(huì)正確對(duì)三角形進(jìn)行分用三角形內(nèi)角和定理及推論；會(huì)按要求

類：理解三角形的內(nèi)角和、外角和及解三角形的邊、角的計(jì)算問(wèn)題；能根據(jù)

三角形三邊關(guān)系；會(huì)畫三角形的主要線段；實(shí)際問(wèn)題合理使用三角形的內(nèi)心、外心

了解三角形的內(nèi)心、外心、重心的知識(shí)解決問(wèn)題；會(huì)證明三角形的中位

線定理，并會(huì)應(yīng)用三角形中位線性質(zhì)解

決有關(guān)問(wèn)題

了解等腰三角形、等邊三角形、直角能用等腰三角形、等邊三角形、直角三會(huì)運(yùn)用等腰三角形、等邊三

特殊三角三角形的概念，會(huì)識(shí)別這三個(gè)圖形；角形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題角形、直角三角形的知識(shí)解

形理解等腰三角形、等邊三角形、直角決有關(guān)問(wèn)題

三角形的性質(zhì)和判定

相似三角了解兩個(gè)三角形相似的概念會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行簡(jiǎn)會(huì)利用相似三角形的知識(shí)解

形單的推理和計(jì)算決一些實(shí)際問(wèn)題

了解全等三角形的概念，了解相似三掌握兩個(gè)三角形全等的條件和性質(zhì)；會(huì)會(huì)利用全等三角形的知識(shí)解

全等三角角形與全等三角形之間的關(guān)系應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)與判定解決有關(guān)釋或證明經(jīng)過(guò)圖形變換后得

形問(wèn)題到的圖形與原圖形元素間的

關(guān)系

28|初二第三講二四制I

1.（2008福州）已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4c機(jī)和951，則下列長(zhǎng)度的四條線段中能作為第三邊的是（）

A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm

【解析】B

4.（2008山東泰安）直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6,8,現(xiàn)將AABC如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與

點(diǎn)B重合,折痕為OE,則tanZCBE的值是（）

24幣

A.--15.---

73

C.ZD.支

247

【解析】C

5.（2008山東濱州）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,

E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形

CDE、AD與BE交于點(diǎn),0,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與

CD交于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ.以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE;

@PQ//AEi?AP=BQ；④DE=DP;（§）ZAOB=60°.

恒成立的結(jié)論有（把你認(rèn)為正

確的序號(hào)都填上）。

【解析】1,2,3,5

6.（2007湖北羅田）如圖，AABC中，D、E是8c邊上的點(diǎn)，BD：DE：EC=3：2：1,時(shí)在AC邊

上，CM：MA=1：2,BM交AD、AE于H、G,則

等于（）

A.3：2：lB.5：3：lC.25：12：5D.51：24：10

【解析】D

一、特殊三角形及全等三角形

H學(xué)習(xí)改變命運(yùn)2009寒假

【例1】(2008浙江杭州)如圖，在等腰AABC中，CH是底邊上的高線，點(diǎn)P是線段CH上不與端點(diǎn)重合

的任意一點(diǎn)，連結(jié)AP交BC于點(diǎn)E,連結(jié)交AC于點(diǎn)/。

(1)證明：ZCAE=ZCBF；

⑵證明：AE=BF;

⑶以線段；AE,斯和AB為邊構(gòu)成一個(gè)新的三角形A8G(點(diǎn)E與點(diǎn)尸

ABG

重合于點(diǎn)G),記AABC和AABG的面積分別為5AAsc和&，如果

存在點(diǎn)P,能使％^=之而，求NC的取值范圍。

【解析】⑴：AA8C等腰三角形，CH是底邊上的高線,

AC=BC,ZACP=ZBCP,

又CP=CP,：.\ACPg\BCP,

:.NCAP=NCBP,即NCAE=NCB尸；3分

(2),/ZACE=NBCF,ZCAE=ZCBF,AC=BC,

AACEgNBCF,:.AE=BF;3分

BC

(3)由⑵知AABG是以AB為底邊的等腰三角形，5AA=S兇8G等價(jià)于AE=AC,

①當(dāng)NC為直角或鈍角時(shí)，在AACE中，不論點(diǎn)P在CH何處，均有AE>AC,所以結(jié)論不

成立；

②當(dāng)NC為銳角時(shí)，NA=90°-」NC,而NGC<4，要使AE=AC,只需使NC=NCEA,

2

此時(shí)，ZCAE=180°-2ZC>0,

只須180。一2ZC<90°--ZC,解得60。</(7<90。.一4分

2

(也可在ACEA中通過(guò)比較NC和ZCEA的大小而得到結(jié)論)

【例2】(2008廣東)

(1)如圖，點(diǎn)。是線段AD的中點(diǎn)，分別以A。和。。為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形0AB和

等邊三角形OCD,連結(jié)AC和3D,相交于點(diǎn)E,連結(jié)8c.

求/4￡B的大??；

(2)如圖，AOAB固定不動(dòng)，保持AOC。的形狀和大小不變，將AOCD繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)(AOAB

和AOCD不能重疊)，求/4￡8的大小

(1)如圖.CB

■:ABOC和AABO都是等邊三角形，

且點(diǎn)0是線段AD的中點(diǎn),/^\/^\

：.OD=OC=OB=OA,Z1=Z2=60°,......1分

Z4=Z5DOA

又Z4+Z5=Z2=60°,

Z4=30°.........................................2分

30|第三講二四制

同理，Z6=30°.....................3分

ZAEB=Z4+Z6,

ZAEB=60°...................4分

⑵如圖.

ABOC和AABO都是等邊三角形，

：.OD=OC,OB=OA,Zl=Z2=60°,......5分

又：OD=OA,

：.OD=OB,OA=OC,

：.Z4=Z5,Z6=Z7...............6分

ZDOB=Z1+Z3,

ZAOC=N2+N3,D

ZODB=ZAOC.....................7分

?/Z4+Z5+ZDOB=180°,Z6+Z7+ZAOC=180°,

2Z5=2Z6,

Z5=Z6......................................8分

又：NA￡B=N8-N5,Z8=Z2+Z6,

ZAEB=N2+N5-N5=N2,

ZAEB=60°..................................9分

【例3】（2007河北）在AABC中，AB=AC,CG_LBA交54的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.一等腰直角三角尺按如圖

15-1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為尸，一條直角邊與4c邊在一條直線上，另一條

直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)3.

（1）在圖15-1中請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量3尸與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫

出斯與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；

⑵當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖15-2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍

與AC邊在同一直線上,另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。

作DELB4于點(diǎn)E.此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量OE、。尸與CG的

長(zhǎng)度，猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后

證明你的猜想；

⑶當(dāng)三角尺在⑵的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖15-3所示的

位置（點(diǎn)廠在線段AC上，且點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合）時(shí)，⑵中的

猜想是否仍然成立？（不用說(shuō)明理由）

【解析】⑴BF=CG;..............................（1分）

在A4B廠和AACG中，圖15-2

VZF=ZG=90°,ZFAB=ZGAC,AB=AC,

：.NABF絲AACG（AAS）,

：.BF=CG............................（4分）

（2）DE+DF=CG;........................（5分）

過(guò)點(diǎn)。作。H_LCG于點(diǎn)H（如圖7）.....（6分）

：DE_LS4于點(diǎn)E,ZG=90°,DH±CG,

四邊形EDHG為矩形，

DE=HG,DH//BG,：.ZGBC=Z.HDC,

,/AB=AC,：.ZFCD=ZGBC=ZHDC,又：ZF=ZDHC=90°,CD=DC,

：.\FDC也A/7CD（AAS）,：.DF=CH.

：.GH+CH=DE+DF=CG,FpDE+DF=CG..................（9分）

⑶仍然成立......................................................（10分）

（注：本題還可以利用面積來(lái)進(jìn)行證明，比如⑵中連結(jié)AD）

H學(xué)習(xí)改變命運(yùn)2009寒假

二'用旋轉(zhuǎn)'對(duì)稱'平移解決三角形問(wèn)題

【例4】(2008天津)已知RtAABC中，ZACB=90°,C4=CB,有一個(gè)圓心角為45。，半徑的長(zhǎng)等于C4的

扇形CE/繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)，且直線CE,CF分別與直線AB交于點(diǎn)M,N.

(1)當(dāng)扇形CE尸繞點(diǎn)C在NACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖①，求證：MN2=AM2+BN2；思路點(diǎn)撥:

考慮MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決.可將AACM沿

直線CE對(duì)折，得ADCM,連DN,只需證￡>N=8N,NMDN=90。就可以了.請(qǐng)你完成證

明過(guò)程：

⑵當(dāng)扇形CE尸繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖②的位置時(shí)，關(guān)系式腦/=402+期2是否仍然成立？若成立，

請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】⑴證明將AACM沿直線CE對(duì)折，得ADCM,連。N,

貝UKDCM會(huì)AACM..............................................................1分

有C￡>=C4,DM=AM,ZDCM=ZACM,NCDM=ZA.

又由CA=CB,得CD=CB..........................2分

由ZDCN=ZECF-ZDCM=45°-ZDCM,

ZBCN=ZACB-ZECF-ZACM=90°-45°-ZACM=45°-ZACM,

得NDCN=NBCN......................................................................3分

又CN=CN,

\CDN峪NCBN................................................................4分

有DN=BN,ACDM=ZB.

，ZMDN=ZCDM+ZCDN=ZA+ZB=90°.5分

在RtXMDN中，由勾股定理，

MN2=DM2+DN2.FpMN2=AM2+BN2......................

⑵關(guān)系式MN?=AM?+gyp仍然成立...................

證明將AACM沿直線CE對(duì)折，得AGCM,連GN,

則\GCM絲KXCM...........................................8分

有CG=C4,GM=AM,

ZGCM=ZACM,ZCGM=ZCAM.

又由CA=CB,得CG=CB.

由ZGCN=ZGCM+ZECF=ZGCM+45°,

32|初二第三講二四制I

NBCN=ZACB-ZACN=90°-（ZECF-ZACM）=45°+ZACM.

得ZGCN=ZBCN..........................................................................................9分

又CN=CN,

ACGNg\CBN.

有GN=BN,ZCGN=ZB=45°,

ZCGM=ZCAM=180°-ZCAB=135°

ZMGN=ZCGM-ZCGN=135°-45°=90°.

/.在RtAMGN中，由勾股定理，

^-MN2=GM2+GN2.FpMN2=AM2+BN2...................]0分

另：此題也可用旋轉(zhuǎn)的方法來(lái)解答

BD

【變式】（2008湖北恩施）如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形A8C和

AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，ZBAC=ZAGF=90°,它們的斜邊長(zhǎng)為2,

若AABC固定不動(dòng)，AAFC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF.AG與邊BC的交點(diǎn)分別為。、F

E（點(diǎn)。不與點(diǎn)3重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），設(shè)=根，CD=n.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明.

⑵求相與力的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量”的取值范圍.

⑶以△A8C的斜邊8c所在的直線為龍軸，8c邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)

系（如圖）.在邊BC上找一點(diǎn)。，使BD=CE,求出。點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證

BD2+CE2=DE2.

（4）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，⑶中的等量關(guān)系BD2+CE2=。石2是否始終成立，若成立,請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【解析】⑴MBE^ADAE,\ABE^NDCA1分

,/ZBAE=ABAD+45°,ZCDA=ZBAD+45°

/.ZBAE=ZCDA

又NB=NC=45°

\ABE^NDCA3分

(2)"J\ABE^\DCA

.BEBA

"CA~CD

由依題意可知

.m_&

m=—5分

n

自變量n的取值范圍為6分

(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=八

..2

?m=—

n

m=n=A/2

H學(xué)習(xí)改變命運(yùn)2009寒假

?/OB=OC=-BC=1

2

.*.OE=OD=y/2-l

：.￡>(1-72,0)7分

BD=OB-OD=l-e-D=2-4i=CE,DE=BC-2BD=2-2Q-版)=2版-2

'：Blf+CE2=2B?=2(2-&=12-8后，DE2=(2>/2-2)2=12-8A/2

BD2+CE2=DE28分

⑷成立9分

證明:如圖，將AACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至A4BH的位置，則CE=HB,AE=AH,

ZABH=ZC=45。,旋轉(zhuǎn)角ZEAH=90°.

連接HD,在AE4。和AH4D中

AE=AH,/HAD=ZEAH-ZFAG=45°=ZEAD,AD=AD.

：.XFAD^\HAD

：.DH=DE

又ZHBD=ZABH+ZABD=90°

BD2+HE2=DH-

即BD2+CE1=DE2

【例5】(2007北京)如圖，已知AABC.

⑴請(qǐng)你在8c邊上分別取兩點(diǎn)。，E(8C的中點(diǎn)除外)，連結(jié)A

AD,AE,寫出使此圖中只存在兩對(duì)面積相等的三角形的相應(yīng)

條件，并表示出面積相等的三角形；/

⑵請(qǐng)你根據(jù)使⑴成立的相應(yīng)條件，證明AB+AOAD+AEBC

【解析】⑴如圖l,BD=CE不DE;

MBD和AACE,MBE和AACD;

(2)證法一：如圖2,分別過(guò)點(diǎn)。、B作CA、EA的平行線，J

兩線相交于尸點(diǎn)，DF于AB交于G點(diǎn)。

：.ZACE=ZFDB,ZAEC=ZFBD//

在NAEC和AEBD中，丸CE=BD,//

可證AAECgAFBD,/一片----看~c

：.AC=FD,AE=FB,

在AAGD中，AG+DG>AD,

在NBFG中，BG+FG>FB,

：.AG+DG-AD>0,BG+FG-FB>0,

PA

：.AG+DG+BG+FG-AD-FB>0,:/

AB+FD>AD+FB,/^//\

：.AB+AC>AD+AE.//

證法二：如圖3,分別過(guò)A、E作CB、C4的平行線，//

兩線相交于廠點(diǎn)，跖于交于G點(diǎn)，連結(jié)BF,廠j-----E~c

則四邊形五ECA是平行四邊形。)

???FE=AC,AF=CE

9：BD=CE,

:.BD=AFF

：.四邊形FBDA是平行四邊形。FA

AFB=AD/dW

在AAGE中，AG+EG>AE;在45尸G中，BG+FG>FB,

可推得：AG+EG+BG+FG>AE+FB//

AB+AC>AD+AE.//I

BDEC

34|初二第三講二四制.一一一一—一—.1

證法三：如圖4,取DE的中點(diǎn)。，連結(jié)A。并延長(zhǎng)到廠點(diǎn),

使得尸O=AO,連結(jié)EF、CF,延長(zhǎng)AE交C尸于G點(diǎn)。

在AADO和△尸EO中，入NAOD=NFOE,DO=EO,

可證：\ADO咨AFEO：.AD=FE

BD=CE,DO=EO,：.BO=CO,

同理可證NABO名AFCO；.AB=FC

在AACG中，AC+CG>AE+EG,

在\EFG中，EG+FG>EF,

可推得AC+CG+EG+FG>AE+EG+EF,

即AC+CF>AE+EF,

AB+AC>AD+AEo

【例6】（2007遼寧）如圖，已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)、D,E,歹分別為邊AB,AC,BC的中點(diǎn)，M

為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，為等邊三角形（點(diǎn)加的位置改變時(shí)，也隨之整體移動(dòng)）.

⑴如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)3左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與叱有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)廠是否在直線

NE上?郁靖直援寫出結(jié)論，不必證明或說(shuō)明理由；

⑵如圖②，當(dāng)點(diǎn)M在8c上時(shí)，其它條件不變，⑴的結(jié)論中EN與的數(shù)量關(guān)系是否仍然

成立?若成立，請(qǐng)利用圖②證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶若點(diǎn)加在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖③中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷⑴的結(jié)論中EN與M尸的數(shù)

量關(guān)系是否仍然成立?若成立?請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說(shuō)明理由.

【解析】⑴判斷：EN與MF相等（或,EN=MF）,點(diǎn)、F在直線NE上,3分

（說(shuō)明：答對(duì)一個(gè)給2分）

⑵成立..............................................................................................4分

解法一：連結(jié)DE,DF......................................................5分

：AA8C是等邊三角形，/.AB=AC=BC.

又：E,尸是三邊的中點(diǎn)，

/.DE,DF,E尸為三角形的中位線.:.DE=DF=EF,ZFDE=60°.

又ZMDF+NFDN=60°,ZNDE+ZFDN=60°,

ZMDF=ZNDE.............................................................7分

在DMF和ADNE,DF=DE,DM=DN,ZMDF=ZNDE,

：.\DMF冬NDNE..................................................................8分

:.MF=NE..............................................................9分

解法二：延長(zhǎng)EN,則EN過(guò)點(diǎn)F.................................5分

：AA8C是等邊三角形，AB=AC=BC.

5學(xué)而思2009寒假

又：E,尸是三邊的中點(diǎn)，/.EF=DF=BF.

:NBDM+ZMDF=60°,ZFDN+ZMDF=60°,

ZBDM=ZFDN................................................7分

又,/DM=DN,ZABM=NDFN=60°,

ADBM名ADFN.8分

BM=FN.

VBF=EF,:.MF=EN.9分

法三：連結(jié)。歹，NF.……5分

AABC是等邊三角形，

AC=BC=AC.

又丁D,E,b是三邊的中點(diǎn),

，止為三角形的中位線，ADF=-AC-AB=DB.

22

又NBDM+ZMDF=60°,NNDF+ZMDF=60°,

：.ZBDM=ZFDN.................................................7分

在ADBM和ADFN中,DF=DB,

DM=DN,NBDM=ZNDF,\DBM名NDFN.

：.NB=ZDFN=60°...........................................8分

又：AD防是AABC各邊中點(diǎn)所構(gòu)成的三角形,

ZDFE=60°.

可得點(diǎn)N在EF上，

:.MF=EN.....................................????9分

⑶畫出圖形（連出線段NE）,.?.?.?...1.1....分.............................

CM

MF與EN相等的結(jié)論仍然成立（或=成立）.…12分

三、相似三角形

【例7】（2008黃岡羅田）如圖，已知AA8C中，AB=a,點(diǎn)。在AB邊上移動(dòng)（點(diǎn)。不與A、3重合）,

DE//BC,交AC于E,連結(jié)CO.設(shè)5AAite=S，52笈=H?

⑴當(dāng)。為AB中點(diǎn)時(shí)，求S/S的值；

⑵若AD=x,^=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;

S

【解析】⑴?；DE〃BC,D為AB的中點(diǎn),

AnAE_1

???\ADE^\ABC,——=

ABAC-2,

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AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE,且點(diǎn)8,A,。在一條直線上，連接BE,CD,M,N分

別為3E,CD的中點(diǎn).

（1）求證：①BE=CD；②AAMN是等腰三角形.

⑵在圖①的基礎(chǔ)上，將A4DE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180。，其他條件不變，得到圖②所示的

圖形.請(qǐng)直接寫出⑴中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立；

⑶在⑵的條件下，請(qǐng)你在圖②中延長(zhǎng)ED交線段8c于點(diǎn)P.求證：\PBD^\AMN.

【解析】⑴?VZBAC=ZDAE

：.ZBAE=ZCAD

,/AB=AC,AD=AE

：.NABE^NACD

：.BE=CD..............................................................................3分

②由NABEg\ACD得NABE=ZACD,BE=CD

'：M,N分別是3E,CO的中點(diǎn)，/.BM=CN.........4分

又：AB=AC

：.\ABM絲AACN

AM=AN,即AAMN為等腰三角形.........................6分

⑵⑴中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立...............................................8分

(3)在圖②中正確畫出線段尸。

由⑴同理可證A48M名AACN

ZCAN=ZBAM

：.ZBAC=ZMAN

又ZBAC=ZDAE

：.ZMAN=ZDAE=ZBAC

：.NAMN,AADE和AABC都是頂角相等的等腰三角形.................................10分

NPBD=ZAMN,ZPDB=NADE-ZANM

：.APBD^AAMN

補(bǔ)充例題:

【例9】（2008湖北黃石）如圖，為直角，點(diǎn)C為線段54的中點(diǎn)，點(diǎn)。是射線由以上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不

與點(diǎn)B重合），連結(jié)AD,作垂足為E,連結(jié)CE,過(guò)

點(diǎn)E作EF_LCE,交.BD于F.

（1）求證：BF=FD；

⑵/A在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，四邊形ACFE是梯形，并說(shuō)明理由；

⑶/A在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，線段DE上存在點(diǎn)G,滿足條件

DG^-DA,并說(shuō)明理由.

4

【解析】⑴在RtAAEB中，AC=BC,：.CE=-AB,，CB=CE,

2

，ZCEB=ZCBE.

NCEF=ZCBF=90°,

AZBEF=ZEBF,：.EF=BF.

:ZBEF+ZFED=90°,ZEBD+ZEDB=90°,

：.ZFED=ZEDF.

,:EF=FD.

：.BF=FD................................................................（3分）

(2)由⑴BF=FD,而8C=CA,

CF//AD,即AE//CF.

若AC〃EF,則AC=EF,：.BC=BF.

:.BA=BD,ZA=45.

H學(xué)習(xí)改變命運(yùn)2009寒假

???當(dāng)0。<44<45。或45。<44<90。時(shí)，四邊形ACFE為梯形.......(6分)

(3)作GH_LBD,垂足為H,則GH〃.

VDG=-DA：.DH=-DB.

4f4

又F為BD中點(diǎn),???”為止的中點(diǎn).

GH為DF的中垂線，ZGDF=ZGFD.

???點(diǎn)G在EDh上，ZEFD>ZGFD.

ZEFD+ZFDE+ZDEF=180°,

ZGFD+ZFDE+ZDEF<180°.

,3/EDF<180。,ZEDF<60°.

又NA+NEDb=90。，

30°<ZA<90°.

???當(dāng)30。KNA<90。時(shí)，￡史上存在點(diǎn)G,滿足條件DG=，ZM.……（9分）

4

。寫測(cè)現(xiàn)畫I

.f一

習(xí)題1.（2008福州龍巖）如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形A8C中，4）是8c邊上

的高，點(diǎn)￡、廠是AD上的兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）

A.4A/3B.3gC.2y/3D.3

【解析】C

習(xí)題2.（2008廣東茂名）如圖，AABC是等邊三角形，被一平行于8c的矩形所截,

4?被截成三等分，則圖中陰影部分的面積是AA8C的面積的（）

A.-B.-C.-D.-

9939

【解析】C

習(xí)題3.（2008浙江溫州）以為斜邊作等腰直角三角形0A8，再以。8為斜

邊在AOAB外側(cè)作等腰直角三角形OBC如此繼續(xù)，得到8個(gè)等腰直

角三角形（如圖），則圖中AQ4B與的面積比值是（）

A.32B.64C.128D.256

【解析】C

習(xí)題4.（2008安徽）已知：點(diǎn)。到AABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且