2024年初三下冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)相似三角形的性質(zhì)-鞏固練習(xí)（提高）

2024年初三下冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)相似三角形的性質(zhì)--鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長(zhǎng)分別是3和4及x，那么x的值（）A．只有1個(gè)B．可以有2個(gè)C．有2個(gè)以上，但有限D(zhuǎn)．有無(wú)數(shù)個(gè)2.若平行四邊形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中點(diǎn)，在AB上取一點(diǎn)F，使△CBF∽△CDE，則BF的長(zhǎng)為（）．A．1.8B．5C．6或4D．8或23.如圖，已知D、E分別是的AB、AC邊上的點(diǎn)，且

那么等于（）A．1：9B．1：3C．1：8D．1：2

4．如圖G是△ABC的重心，直線過(guò)A點(diǎn)與BC平行.若直線CG分別與AB、交于D、E兩點(diǎn)，直線BG與AC交于F點(diǎn)，則△AED的面積：四邊形ADGF的面積=()

A．1：2B．2：1C．2：3D．3：2

5.（2015?哈爾濱）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，連接EF，分別交AD，CD于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（） A．= B． = C． = D．=

6．如圖，在□ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE：CE=2：3，連結(jié)AE、BE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則S△DEF：S△EBF：S△ABF等于()A.4：10：25B.4：9：25C.2：3：5D.2：5：25

二、填空題7（2015?自貢）將一副三角板按圖疊放，則△AOB與△DOC的面積之比等于．8.如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，則DB=_________.9.如圖，在△PAB中，M、N是AB上兩點(diǎn)，且△PMN是等邊三角形，△BPM∽△PAN，則∠APB的度數(shù)是_______________.10.如圖，△ABC中，DE∥BC、BE,CD交于點(diǎn)F，且=3，則：=______________.11.如圖，銳角△ABC中，AD,CE分別為BC,AB邊上的高，△ABC和△BDE的面積分別等于18和2，DE=2，則AC邊上的高為_(kāi)_____________.12.如圖，點(diǎn)M是△ABC內(nèi)﹣點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作直線平行于△ABC的各邊，所形成的三個(gè)小三角形△1、△2、△3（圖中陰影部分）的面積分別是1，4，9．則△ABC的面積是．三、解答題13.（2015?楊浦區(qū)三模）如圖所示，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AE，CF．求證：（1）四邊形AFCE是平行四邊形；（2）FG?BE=CE?AE．14.（1）閱讀下列材料，補(bǔ)全證明過(guò)程：

已知：如圖，矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，OE⊥BC于E，連結(jié)DE交OC于點(diǎn)F，作FG⊥BC于G．求證：點(diǎn)G是線段BC的一個(gè)三等分點(diǎn)．

證明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，

∴OE∥DC．∵＝，∴＝＝．∴＝．

……

（2）請(qǐng)你仿照（1）的畫(huà)法，在原圖上畫(huà)出BC的一個(gè)四等分點(diǎn)（要求保留畫(huà)圖痕跡，可不寫(xiě)畫(huà)法及證明過(guò)程）．15.已知如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)E自A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度向D點(diǎn)前進(jìn)，同時(shí)點(diǎn)F從D點(diǎn)以每秒2cm的速度向C點(diǎn)前進(jìn)，若移動(dòng)的時(shí)間為t，且0≤t≤6．

（1）當(dāng)t為多少時(shí)，DE=2DF；

（2）四邊形DEBF的面積是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）以點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形能否與△BCD相似？若能，請(qǐng)求出所有可能的t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案與解析】一．選擇題1.【答案】B.【解析】x可能是斜邊，也可能是直角邊.2.【答案】A.3.【答案】B.4.【答案】D.5.【答案】C.【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，∴，，，故選C．6.【答案】A.【解析】□ABCD中，AB∥DC，△DEF∽△ABF，

(△DEF與△EBF等高，面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比)，所以答案選A.二、填空題7.【答案】1：3.【解析】∵∠ABC=90°，∠DCB=90°∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD；又∵AB：CD=BC：CD=1：∴△AOB與△DOC的面積之比等于1：3．8.【答案】3.【解析】∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴AB=∴BD=AB-AD=4-1=3.9.【答案】120°.【解析】∵△BPM∽△PAN，∴∠BPM＝∠A，∵△PMN是等邊三角形，∴∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°，∴∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°．10.【答案】1:9【解析】∵=3，∴FC:DF=3:1，又∵DE∥BC,∴△BFC∽△EFD,即BC：DE=FC:FD=3:1，由△ADE∽△ABC，即：=1:9.11.【答案】6.【解析】∵AD,CE分別為BC,AB邊上的高,∴∠ADB=∠BEC=90°，∠ABD=∠EBC∴Rt△ABD∽R(shí)t△CBE∴，∴△ABC∽△DBE∵相似三角形面積比為相似比的平方，∴=9,∴=3,∴AC=3DE=3×2=6∴h=2S△ABC/AC=2×18/6=6即AC邊上的高是6.12.【答案】36.【解析】因?yàn)椤?、△2、△3的面積比為1：4：9，所以他們對(duì)應(yīng)邊邊長(zhǎng)的比為1：2：3，又因?yàn)樗倪呅蜝DMG與四邊形CEMH為平行四邊形，所以DM=BG，EM=CH，設(shè)DM為x，則ME=2x，GH=3x，所以BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x，所以BC：DM=6x：x=6：1，由面積比等于相似比的平方故可得出：S△ABC：S△FDM=36：1，所以S△ABC=36×S△FDM=36×1=36．三、解答題

13.【解析】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFD=∠DEC，∵∠FDA=∠CDE，D是AC的中點(diǎn)，∴△ADF≌△EDC，∴AF=CE，∵AF∥BC，∴四邊形AFCE是平行四邊形；（2）證明：∵四邊形AFCE是平行四邊形，∴∠AFC=∠AEC，AF=CE，∵AF∥BC，∴∠FAB=∠ABE，∴△AFG∽△BEA，∴，∴FG?BE=AF?AE，∴FG?BE=CE?AE．14.【解析】補(bǔ)全證明過(guò)程:∵FG⊥BC，DC⊥BC，∴FG∥DC．

∴＝＝．

∵AB＝DC，

∴＝．又FG∥AB，

∴＝＝．∴點(diǎn)G是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)．（2）如圖，連結(jié)DG交AC于點(diǎn)H，作HI⊥BC于I，則點(diǎn)I是線段BC的一個(gè)四等分點(diǎn).15.【解析】（1）由題意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，∴6-t=2×2t，解得t=，故當(dāng)t=時(shí)，DE=2DF；（2）∵矩形ABCD的面積為：12×6=72，S△ABE=×12×t=6t，S△BCF=×6×（12-2t）=36-6t，∴四邊形DEBF的面積=矩形的面積-S△ABE-S△BCF=72-6t-36+6t=36，故四邊形DEBF的面積為定值.（3）設(shè)以點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形能與△BCD相似，則或，

由ED=6-t，DF=2t，F(xiàn)C=12-2t，BC=6，代入解得：t=3或t=1.2，

故當(dāng)t=3或1.2時(shí)，以點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似．相似三角形的性質(zhì)--知識(shí)講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】探索相似三角形的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)解決有關(guān)的計(jì)算或證明問(wèn)題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形的性質(zhì)1.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比∽，則由比例性質(zhì)可得：類似地，我們還可以得到：相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比.2.相似三角形面積的比等于相似比的平方∽，則分別作出與的高和，則要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過(guò)比例線段的性質(zhì)推證出來(lái)的.如果把兩個(gè)相似多邊形分成若干個(gè)相似的三角形，我們還可以得到：相似多邊形面積的比等于相似比的平方.要點(diǎn)二、相似三角形中對(duì)應(yīng)線段的比【高清課程名稱：相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用高清ID號(hào)：394500關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：相似形的性質(zhì)】1．相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.2.相似三角形中的對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.【典型例題】類型一、相似三角形的性質(zhì)

1.（2015?合肥校級(jí)四模）如圖，己知：Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC于D，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB延長(zhǎng)線于F，求證：①△ABD∽△CAD；②AB：AC=DF：AF．【思路點(diǎn)撥】（1）由Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠ACD，又由∠ADB=∠ADC，即可證得△ABD∽△CAD；（2）由△ABD∽△CAD，即可得，易證得△AFD∽△DFB，可得，繼而證得結(jié)論．【答案與解析】證明：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠BAD=∠ACD，∵∠ADB=∠ADC，∴△ABD∽△CAD；（2）∵△ABD∽△CAD，∴，∵E是AC中點(diǎn)，∠ADC=90°，∴ED=EC，∴∠ACD=∠EDC，∵∠EDC=∠BDF，∠ACD=∠BAD，∴∠BAD=∠BDF，∵∠AFD=∠DFB，∴△AFD∽△DFB，∴，∴．【總結(jié)升華】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此外，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．舉一反三:【變式】在銳角△ABC中，AD,CE分別為BC,AB邊上的高，△ABC和△BDE的面積分別等于18和2，DE=2,求AC邊上的高.【答案】過(guò)點(diǎn)B做BF⊥AC,垂足為點(diǎn)F，∵AD,CE分別為BC,AB邊上的高，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴Rt△ADB∽R(shí)t△CEB,∴,且∠B=∠B，∴△EBD∽△CBA,∴,∴,又∵DE=2，∴AC=6，∴2.已知：如圖，在△ABC與△CAD中，DA∥BC，CD與AB相交于E點(diǎn)，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F點(diǎn)，△ADE的面積為1，求△BCE和△AEF的面積．

【答案與解析】解：∵DA∥BC，

∴△ADE∽△BCE．

∴S△ADE:S△BCE=AE2:BE2．

∵AE︰BE=1:2，

∴S△ADE:S△BCE=1:4．

∵S△ADE=1，

∴S△BCE=4．

∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，

∴S△ABC=6．

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC．

∵AE:AB=1:3，

∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．

∴S△AEF==．

【總結(jié)升華】注意，同底(或等底)三角形的面積比等于該底上的高的比；同高(或等高)三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比．當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)，它們的面積比等于對(duì)應(yīng)線段比的平方，即相似比的平方．舉一反三：【變式】已知如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，△COD與△AOB的周長(zhǎng)比為1：2，則CD：AB=，S△COB：S△COD=．【答案】1:2；2:1【高清課程名稱：相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用高清ID號(hào)：394500關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例題分析2】

3.（2015?柳州）如圖，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且邊FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，求EH的長(zhǎng)?【思路點(diǎn)撥】設(shè)EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的邊EH上的高，根據(jù)三角形AEH與三角形ABC相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比求出x的值，即為EH的長(zhǎng)．【答案與解析】解：∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴=，設(shè)EH=3x，則有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴=，解得：x=，則EH=．故答案為：．【總結(jié)升華】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．類型二、相似三角形中對(duì)應(yīng)線段的比4.△ABC∽△A′B′C′，，AB邊上的中線CD=4cm，△ABC的周長(zhǎng)為20cm，△A′B′C′的面積是64cm2，求：（1）A′B′邊上的中線C′D′的長(zhǎng)；（2）△A′B′C′的周長(zhǎng)；（3）△ABC的面積．【答案與解析】（1）∵△ABC∽△A′B′C′，，AB邊上的中線CD=4cm，∴，∴C′D′=4cm×2=8cm，∴A′B′邊上的中線C′D′的長(zhǎng)為8cm；（2）∵△ABC∽△A′B′C′，，△ABC的周長(zhǎng)為20cm，∴=，∴C△A′B′C′=20cm×2=40cm，∴△A′B′C′的周長(zhǎng)為40cm；（3）∵△ABC∽△A′B′C′，，△A′B′C′的面積是64cm2，∴==，∴S△ABC=64cm2÷4=16cm2，∴△ABC的面積是16cm2．【總結(jié)升華】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．圖形的位似--鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.下面給出了相似的一些命題：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六邊形都相似；其中正確的有（）.A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）.

A.位似圖形一定是相似圖形.

B.相似圖形不一定是位似圖形.

C.位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.

D.位似圖形中每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線必相互平行.3.下列說(shuō)法正確的是（）.

A.分別在ABC的邊AB、AC的反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D、E，使DE∥BC，則ADE是ABC放大后的圖形.

B.兩位似圖形的面積之比等于相似比.

C.位似多邊形中對(duì)應(yīng)對(duì)角線之比等于相似比.

D.位似圖形的周長(zhǎng)之比等于相似比的平方.4．（2016?東營(yíng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）5.下列命題：①兩個(gè)正方形是位似圖形；②兩個(gè)等邊三角形是位似圖形；③兩個(gè)同心圓是位似圖形；④平行于三角形一邊的直線截這個(gè)三角形的兩邊，所得的三角形與原三角形是位似圖形.其中正確的有().

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)6．如果點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，則下列各式不正確的是（）.A.AB：AC=AC：BCB.AC=C.AB=D.BC≈0.618AB7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=（）.A.B.C.D.2二.填空題8.如果兩個(gè)位似圖形的對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)分別為3cm和5cm，且較小圖形周長(zhǎng)為30cm，則較大圖形周長(zhǎng)為_(kāi)_________.9.（2016?三明）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC與△DEF位似，原點(diǎn)O是位似中心．若AB=1.5，則DE=．10．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形，已知OA=10cm，OA′=20cm，則五邊形ABCDE的周長(zhǎng)與五邊形的周長(zhǎng)的比值是__________．

11.△ABC中，D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC縮小后的圖形.若DE把△ABC的面積分成相等的兩部分，則AD：AB=________.12.把一矩形紙片對(duì)折，如果對(duì)折后的矩形與原矩形相似，則原矩形紙片的長(zhǎng)與寬之比為_(kāi)___________________.13.（2015?欽州）如圖，以O(shè)為位似中心，將邊長(zhǎng)為256的正方形OABC依次作位似變換，經(jīng)第一次變化后得正方形OA1B1C1，其邊長(zhǎng)OA1縮小為OA的，經(jīng)第二次變化后得正方形OA2B2C2，其邊長(zhǎng)OA2縮小為OA1的，經(jīng)第，三次變化后得正方形OA3B3C3，其邊長(zhǎng)OA3縮小為OA2的，…，依次規(guī)律，經(jīng)第n次變化后，所得正方形OAnBnCn的邊長(zhǎng)為正方形OABC邊長(zhǎng)的倒數(shù)，則n=．14.如圖，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分線與AC邊的交點(diǎn)D為邊AC的黃金分割點(diǎn)（AD＞DC），則BC=______________.三．綜合題15.如圖，D、E分別AB、AC上的點(diǎn).

(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似圖形嗎？為什么？

(2)如果△ADE和△ABC是位似圖形，那么DE∥BC嗎？為什么？

16.（2014秋?海陵區(qū)校級(jí)月考）如圖，F(xiàn)在BD上，BC、AD相交于點(diǎn)E，且AB∥CD∥EF，（1）圖中有哪幾對(duì)位似三角形，選其中一對(duì)加以證明；（2）若AB=2，CD=3，求EF的長(zhǎng)．17.如圖1，矩形ODEF的一邊落在矩形ABCO的一邊上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，矩形ABCO的邊AB=4，BC=4．

（1）求矩形ODEF的面積；（2）將圖1中的矩形ODEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，連接EC、EA，△ACE的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案與解析】一、選擇題1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定對(duì)應(yīng)相等，故錯(cuò)誤；

（2）（3）（5）符合相似的定義，故正確；

（4）對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等．故錯(cuò)誤．

故正確的是：（2）（3）（5）．故選B．2．【答案】D.3．【答案】C.4.【答案】D.【解析】∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2）或（1，﹣2）．5．【答案】B【解析】由位似圖形的概念可知③和④對(duì)，故選B.6．【答案】D.【解析】∵AC＞BC，

∴AC是較長(zhǎng)的線段，

根據(jù)黃金分割的定義可知：AB：AC=AC：BC，AC=,AB=AC≈0.618AB．故選D．7.【答案】B.【解析】∵AB=1，

設(shè)AD=x，則FD=x-1，F(xiàn)E=1，

∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，

∴，

，

解得,,（負(fù)值舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．故選B．二、填空題8.【答案】50cm.9.【答案】4.5．【解析】∵△ABC與DEF是位似圖形，它們的位似中心恰好為原點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），∴AO=2，DO=5，∴==，∵AB=1.5，∴DE=4.5．故答案為：4.5．10.【答案】1：2．

【解析】∵五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，

∴五邊形ABCDE∽五邊形A′B′C′D′E′，且相似比為：OA：OA′=10：20=1：2，

∴五邊形ABCDE的周長(zhǎng)與五邊形A′B′C′D′E′的周長(zhǎng)的比為：OA：OA′=1：2．

故答案為：1：2．11.【答案】.【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故.12.【答案】.【解析】矩形ABCD對(duì)折后所得矩形與原矩形相似，則矩形ABCD∽矩形BFEA，設(shè)矩形的長(zhǎng)為a，寬為b．則AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE=，根據(jù)矩形相似，對(duì)應(yīng)邊的比相等得到：即：，則b2=∴∴13.【答案】16.【解析】由圖形的變化規(guī)律可得×256=，解得n=16．14.【答案】.【解析】∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

又BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∴∠BDC=72°，

∴BC=BD=AD，

∵D點(diǎn)是AC的黃金分割點(diǎn)，∴BC=AD=4×=.三．解答題15.【答案與解析】(1)△ADE和△ABC是位似圖形.理由是：

DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.

又因?yàn)辄c(diǎn)A是△ADE和△ABC的公共點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線BD與CE交于點(diǎn)A，所以△ADE和△ABC是位似圖形.

(2)DE∥BC.理由是：

因?yàn)椤鰽DE和△ABC是位似圖形，

所以△ADE∽△ABC

所以∠ADE=∠B

所以DE∥BC.16.【答案與解析】解：（1）△DFE與△DBA，△BFE與△BDC，△AEB與△DEC都是位似圖形，理由：∵AB∥CD∥EF，∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且對(duì)應(yīng)邊都交于一點(diǎn)，∴△DFE與△DBA，△BFE與△BDC，△AEB與△DEC都是位似圖形；（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，∴==，∴==，解得：EF=．17.【答案與解析】（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，

∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=；

（2）存在．

∵OE=

所以點(diǎn)E的軌跡為以點(diǎn)O為圓心，以2為半徑的圓，

設(shè)點(diǎn)O到AC的距離為h，

AC=;∴8h=4×4，

解得h=2，

∴當(dāng)點(diǎn)E到AC的距離為2+2時(shí)，△ACE的面積有最大值，

當(dāng)點(diǎn)E到AC的距離為2-2時(shí)，△ACE的面積有最小值，

S最大=;.S最小=.圖形的位似--知識(shí)講解1、了解位似多邊形的概念，知道位似變換是特殊的相似變換，能利用位似的方法，將一個(gè)圖形放大或縮??；2、能在同一坐標(biāo)系中，感受圖形放縮前后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、位似多邊形1.位似多邊形定義:如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)O，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)O點(diǎn)的距離之比都等于一個(gè)定值k，例如，如下圖，OA′=k·OA（k≠0），那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)O叫做位似中心.要點(diǎn)詮釋：位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.

2.位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)相交于同一點(diǎn)，此點(diǎn)就是位似中心；

（2)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.3.平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和位似四種變換的異同：圖形經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱的變換后，雖然對(duì)應(yīng)位置改變了，但大小和形狀沒(méi)有改變，即兩個(gè)圖形是全等的；而位似變換之后圖形是放大或縮小的，是相似的．4.作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點(diǎn)，下面是位似中心不同的畫(huà)法.要點(diǎn)二、坐標(biāo)系中的位似圖形在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘同一個(gè)數(shù)k(k≠0)，所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的相似比為|k|.要點(diǎn)詮釋：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)等于原來(lái)點(diǎn)的坐標(biāo)乘以（或除以）k或-k.【典型例題】類型一、位似多邊形1.下列每組的兩個(gè)圖形不是位似圖形的是（）.A.B.C.D.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)位似圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷，即可得出答案．【答案】D【解析】解：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)的兩個(gè)相似多邊形叫位似圖形．

據(jù)此可得A、B、C三個(gè)圖形中的兩個(gè)圖形都是位似圖形；

而D的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線不能相交于一點(diǎn)，故不是位似圖形．

故選D．【總結(jié)升華】位似與相似既有聯(lián)系又有區(qū)別，相似僅要求兩個(gè)圖形形狀完全相同；而位似是在相似的基礎(chǔ)上要求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)．舉一反三【變式】在小孔成像問(wèn)題中，根據(jù)如圖4所示，若O到AB的距離是18cm，O到CD的距離是6cm，則像CD的長(zhǎng)是物AB長(zhǎng)的（）.A.3倍B.C.D.不知AB的長(zhǎng)度，無(wú)法判斷【答案】C2.利用位似圖形的方法把五邊形ABCDE放大1.5倍.AABCDE【答案與解析】即是要畫(huà)一個(gè)五邊形A′B′C′D′E′，要與五邊形ABCDE相似且相似比A1A1B1C1D1E1畫(huà)法是：1．在平面上任取一點(diǎn)O.2．以O(shè)為端點(diǎn)作射線OA、OB、OC、OD、OE.3．在射線OA、OB、OC、OD、OE上分別取點(diǎn)A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA＝OB′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5.4．連結(jié)A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.這樣：EQ\f(A′B′,AB)＝EQ\f(B′C′,BC)＝EQ\f(C′D′,CD)＝EQ\f(D′E′,DE)＝EQ\f(A′E′,AE)＝1.5.則五邊形A′B′C′D′E′為所求.另外一種情況，所畫(huà)五邊形跟原五邊形分別在位似中心的兩側(cè).【總結(jié)升華】由本題可知，利用位似的方法，可以把一個(gè)多邊形放大或縮小.舉一反三【變式】在已知三角形內(nèi)求作內(nèi)接正方形．【答案與解析】作法：（1）在AB上任取一點(diǎn)G′，作G′D′⊥BC；（2）以G′D′為邊，在△ABC內(nèi)作一正方形D′E′F′G′；（3）連接BF′，延長(zhǎng)交AC于F；（4）作FG∥CB，交AB于G，從F、G分別作BC的垂線FE，GD；∴四邊形DEFG即為所求．類型二、