2024屆四川省仁壽縣青神中學(xué)高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2024屆四川省仁壽縣青神中學(xué)高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的()A.4 B.5 C.6 D.72.已知集合,則()A. B. C. D.3.費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素?cái)?shù)(如:)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()A. B. C. D.4.洛書,古稱龜書,是陰陽五行術(shù)數(shù)之源,在古代傳說中有神龜出于洛水,其甲殼上心有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽數(shù),四角黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖,若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù),則其和等于11的概率是().A. B. C. D.5.下圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊,已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C.1 D.6.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若,,則()A.5 B.3 C.-12 D.-137.拋物線的焦點(diǎn)為,則經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的個(gè)數(shù)有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.0個(gè) D.無數(shù)個(gè)8.已知直線:與圓:交于,兩點(diǎn),與平行的直線與圓交于,兩點(diǎn),且與的面積相等,給出下列直線:①,②,③,④.其中滿足條件的所有直線的編號(hào)有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④9.已知函數(shù),為圖象的對(duì)稱中心,若圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,則下列區(qū)間中存在極值點(diǎn)的是()A. B. C. D.10.已知,,,,.若實(shí)數(shù),滿足不等式組,則目標(biāo)函數(shù)()A.有最大值,無最小值 B.有最大值,有最小值C.無最大值,有最小值 D.無最大值,無最小值11.設(shè),則()A. B. C. D.12.設(shè),分別為雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線與雙曲線的左支交于點(diǎn)P,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知、為正實(shí)數(shù),直線截圓所得的弦長為,則的最小值為__________.14.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎,某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑,據(jù)實(shí)驗(yàn)表明,該藥物釋放量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為(如圖所示),實(shí)驗(yàn)表明,當(dāng)藥物釋放量對(duì)人體無害.(1)______;(2)為了不使人身體受到藥物傷害,若使用該消毒劑對(duì)房間進(jìn)行消毒,則在消毒后至少經(jīng)過______分鐘人方可進(jìn)入房間.15.關(guān)于函數(shù)有下列四個(gè)命題:①函數(shù)在上是增函數(shù);②函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱;③不存在斜率小于且與函數(shù)的圖象相切的直線;④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不存在極小值.其中正確的命題有______.(寫出所有正確命題的序號(hào))16.已知向量,,且,則實(shí)數(shù)m的值是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,且函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的值;(2)求證:(,且).18.(12分)團(tuán)購已成為時(shí)下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費(fèi)方式,不少商家同時(shí)加入多家團(tuán)購網(wǎng).現(xiàn)恰有三個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站在市開展了團(tuán)購業(yè)務(wù),市某調(diào)查公司為調(diào)查這三家團(tuán)購網(wǎng)站在本市的開展情況,從本市已加入了團(tuán)購網(wǎng)站的商家中隨機(jī)地抽取了50家進(jìn)行調(diào)查,他們加入這三家團(tuán)購網(wǎng)站的情況如下圖所示.(1)從所調(diào)查的50家商家中任選兩家,求他們加入團(tuán)購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率;(2)從所調(diào)查的50家商家中任取兩家,用表示這兩家商家參加的團(tuán)購網(wǎng)站數(shù)量之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)將頻率視為概率,現(xiàn)從市隨機(jī)抽取3家已加入團(tuán)購網(wǎng)站的商家,記其中恰好加入了兩個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站的商家數(shù)為,試求事件“”的概率.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a(Ⅰ)若f(1)>1,求a的取值范圍;(Ⅱ)若a<0,對(duì)?x,y∈-∞,a,都有不等式f(x)≤(y+2020)+20.(12分)數(shù)列滿足,是與的等差中項(xiàng).(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)如圖,在四邊形中,,,.(1)求的長;(2)若的面積為6,求的值.22.(10分)已知矩陣的一個(gè)特征值為4,求矩陣A的逆矩陣.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)程序框圖程序運(yùn)算即可得.【詳解】依程序運(yùn)算可得:,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運(yùn)行的過程.2、B【解析】

計(jì)算,再計(jì)算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù),故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、B【解析】

基本事件總數(shù),能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有,,,共有個(gè),根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有,,,共有個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎(chǔ)題.4、A【解析】

基本事件總數(shù),利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個(gè),由此能求出其和等于11的概率.【詳解】解:從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù),基本事件總數(shù),其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4個(gè),其和等于的概率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

根據(jù)以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得,即的值,由此求得和的值,進(jìn)而求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為,所以,即,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查二倍角公式,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由題得,,解得,,計(jì)算可得.【詳解】,,,,解得,,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,前項(xiàng)和公式,考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.7、B【解析】

圓心在的中垂線上,經(jīng)過點(diǎn),且與相切的圓的圓心到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相等,圓心在拋物線上,直線與拋物線交于2個(gè)點(diǎn),得到2個(gè)圓.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,又焦點(diǎn),,由拋物線的定義知,過點(diǎn)、且與相切的圓的圓心即為線段的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn),這樣的交點(diǎn)共有2個(gè),故過點(diǎn)、且與相切的圓的不同情況種數(shù)是2種.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì),本題解題的關(guān)鍵是求出圓心的位置,看出圓心必須在拋物線上,且在垂直平分線上.8、D【解析】

求出圓心到直線的距離為:,得出,根據(jù)條件得出到直線的距離或時(shí)滿足條件,即可得出答案.【詳解】解:由已知可得:圓:的圓心為(0,0),半徑為2,則圓心到直線的距離為:,∴,而,與的面積相等,∴或,即到直線的距離或時(shí)滿足條件,根據(jù)點(diǎn)到直線距離可知,①②④滿足條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,涉及點(diǎn)到直線的距離公式.9、A【解析】

結(jié)合已知可知,可求,進(jìn)而可求,代入,結(jié)合,可求,即可判斷.【詳解】圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,即,,,且,,,,,,當(dāng)時(shí),為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn),而.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡單應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用.10、B【解析】

判斷直線與縱軸交點(diǎn)的位置,畫出可行解域,即可判斷出目標(biāo)函數(shù)的最值情況.【詳解】由,,所以可得.,所以由,因此該直線在縱軸的截距為正,但是斜率有兩種可能,因此可行解域如下圖所示:由此可以判斷該目標(biāo)函數(shù)一定有最大值和最小值.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了目標(biāo)函數(shù)最值是否存在問題,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用.11、C【解析】試題分析:,.故C正確.考點(diǎn):復(fù)合函數(shù)求值.12、C【解析】

設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,根據(jù)切線的性質(zhì)可得,且,再由和雙曲線的定義可得,得出為中點(diǎn),則有,得到,即可求解.【詳解】設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,,所以是中點(diǎn),,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì),意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先根據(jù)弦長,半徑,弦心距之間的關(guān)系列式求得,代入整理得,利用基本不等式求得最值.【詳解】解:圓的圓心為,則到直線的距離為,由直線截圓所得的弦長為可得,整理得,解得或(舍去),令,又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系,考核基本不等式求最值,關(guān)鍵是對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行變形,變成能用基本不等式求最值的形式,也可用換元法進(jìn)行變形,是中檔題.14、240【解析】

(1)由時(shí),,即可得出的值;(2)解不等式組,即可得出答案.【詳解】(1)由圖可知,當(dāng)時(shí),,即(2)由題意可得,解得則為了不使人身體受到藥物傷害,若使用該消毒劑對(duì)房間進(jìn)行消毒,則在消毒后至少經(jīng)過分鐘人方可進(jìn)入房間.故答案為:(1)2;(2)40【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.15、①②③【解析】

由單調(diào)性、對(duì)稱性概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】函數(shù)的定義域是,由于,在上遞增,∴函數(shù)在上是遞增,①正確;,∴函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱,②正確;,時(shí)取等號(hào),∴③正確;,設(shè),則,顯然是即的極小值點(diǎn),④錯(cuò)誤.故答案為:①②③.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值,解題時(shí)按照相關(guān)概念判斷即可,屬于中檔題.16、1【解析】

根據(jù)即可得出,從而求出m的值.【詳解】解:∵;∴;∴m=1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的充要條件,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1;(2)見解析【解析】

(1)分別求得與的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求得的值;(2)由(1)可知當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因而,構(gòu)造,由對(duì)數(shù)運(yùn)算及不等式放縮可證明,從而不等式可證明.【詳解】(1)∵函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴,即在上恒成立,∴,又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴,即在上恒成立,,∴綜上可知,.(2)證明:由(1)知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),而,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.∴∴即,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,放縮法在證明不等式中的應(yīng)用,屬于難題.18、(1);(2)從而的分布列為012;(3).【解析】

(1)運(yùn)用概率的計(jì)算公式求概率分布,再運(yùn)用數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解;(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用貝努力公式進(jìn)行分析求解:(1)記所選取額兩家商家加入團(tuán)購網(wǎng)站的數(shù)量相等為事件,則,所以他們加入團(tuán)購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率為.(2)由題,知的可能取值分別為0,1,2,,,從而的分布列為012.(3)所調(diào)查的50家商家中加入了兩個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站的商家有25家,將頻率視為概率,則從市中任取一家加入團(tuán)購網(wǎng)站的商家,他同時(shí)加入了兩個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站的概率為,所以,所以事件“”的概率為.19、(Ⅰ)(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)-1010,0.【解析】

(Ⅰ)由題意不等式化為|1-2a|-|1-a|>1,利用分類討論法去掉絕對(duì)值求出不等式的解集即可;(Ⅱ)由題意把問題轉(zhuǎn)化為[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min,分別求出【詳解】(Ⅰ)由題意知,f(1)=|1-2a|-|1-a|>1,若a≤12,則不等式化為1-2a-1+a>1,解得若12<a<1,則不等式化為2a-1-(1-a)>1,解得若a≥1,則不等式化為2a-1+1-a>1,解得a>1,綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)由題意知,要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y-a|恒成立,只需[f(x)]max當(dāng)x∈(-∞,a]時(shí),|x-2a|-|x-a|≤-a,[f(x)]max因?yàn)閨y+2020|+|y-a|≥|a+2020|,所以當(dāng)(y+2020)(y-a)≤0時(shí),[|y+2020|+|y-a|]min即-a≤|a+2020|,解得a≥-1010,結(jié)合a<0,所以a的取值范圍是[-1010,0).【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的求解問題,含有絕對(duì)值的不等式恒成立應(yīng)用問題,以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用,考查了分類討論思想,是中檔題.含有絕對(duì)值的不等式恒成立應(yīng)用問題,關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化為最值問題,再通過絕對(duì)值三角不等式求解最值,從而建立不等關(guān)系,求出參數(shù)范圍.20、(1)見解析,(2)【解析】

(1)根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得,然后構(gòu)造新等比數(shù)列,寫出的通項(xiàng)即可求(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,分組求和即可【詳解】解:(1)由已知可得,即,可化為,故數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)

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