第01講 統(tǒng)計(jì)（八大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）（解析版）

第第頁(yè)第01講統(tǒng)計(jì)目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從總體中抽取樣本，了解分層隨機(jī)抽樣．（2）理解統(tǒng)計(jì)圖表的含義．（3）會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，會(huì)求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)．（4）能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢(shì)和總體離散程度．2023年上海卷第14題，4分2023年上海卷第9題，5分2023年I卷第9題，5分2022年甲卷（文）第2題，5分統(tǒng)計(jì)學(xué)是“大數(shù)據(jù)”技術(shù)的關(guān)鍵，在互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代具有強(qiáng)大的社會(huì)價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，在高考中受重視程度越來(lái)越大，未來(lái)在考試中的出題角度會(huì)更加與實(shí)際生活緊密聯(lián)系，背景新顥、形式多樣．知識(shí)點(diǎn)一、抽樣1、抽樣調(diào)查（1）總體：統(tǒng)計(jì)中所考察對(duì)象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集合稱為總體．（2）個(gè)體：構(gòu)成總體的每一個(gè)元素叫做個(gè)體．（3）樣本：從總體中抽取若干個(gè)個(gè)體進(jìn)行考察，這若干個(gè)個(gè)體所構(gòu)成的集合叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量．2、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（1）定義一般地，設(shè)一個(gè)總體含有個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取個(gè)個(gè)體作為樣本（），如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．這樣抽取的樣本，叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．（2）兩種常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法①抽簽法：一般地，抽簽法就是把總體中的個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取次，就得到一個(gè)容量為的樣本．②隨機(jī)數(shù)法：即利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣．這里僅介紹隨機(jī)數(shù)表法．隨機(jī)數(shù)表由數(shù)字，，，…，組成，并且每個(gè)數(shù)字在表中各個(gè)位置出現(xiàn)的機(jī)會(huì)都是一樣的．注意：為了保證所選數(shù)字的隨機(jī)性，需在查看隨機(jī)數(shù)表前就指出開始數(shù)字的橫、縱位置．（3）抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的適用情況抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況，但是當(dāng)總體容量很大時(shí)，需要的樣本容量也很大時(shí)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本仍不方便．（4）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特征①有限性：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個(gè)數(shù)是有限的，便于通過(guò)樣本對(duì)總體進(jìn)行分析．②逐一性：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取，便于實(shí)踐中操作．③不放回性：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣，便于進(jìn)行有關(guān)的分析和計(jì)算．④等可能性：簡(jiǎn)單單隨機(jī)抽樣中各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，從而保證了抽樣方法的公平．只有四個(gè)特點(diǎn)都滿足的抽樣才是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．3、分層抽樣（1）定義一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的．（2）分層抽樣問(wèn)題類型及解題思路①求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算．②已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算．③分層抽樣的計(jì)算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數(shù)量,各層個(gè)體數(shù)量)”注意：分層抽樣時(shí)，每層抽取的個(gè)體可以不一樣多，但必須滿足抽取（）個(gè)個(gè)體（其中是層數(shù)，是抽取的樣本容量，是第層中個(gè)體的個(gè)數(shù)，是總體容量）．知識(shí)點(diǎn)二、用樣本估計(jì)總體1、頻率分布直方圖（1）頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法①eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．②eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．③頻率分布直方圖中各個(gè)小方形的面積總和等于．2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算（1）最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的．設(shè)中位數(shù)為，利用左（右）側(cè)矩形面積之和等于，即可求出．（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即有，其中為每個(gè)小長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn)，為每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積．3、百分位數(shù)（1）定義一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．（2）計(jì)算一組個(gè)數(shù)據(jù)的的第百分位數(shù)的步驟①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．②計(jì)算．③若不是整數(shù)而大于的比鄰整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．（3）四分位數(shù)我們之前學(xué)過(guò)的中位數(shù)，相當(dāng)于是第百分位數(shù)．在實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第百分位數(shù)，第百分位數(shù)．這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．4、樣本的數(shù)字特征（1）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平．②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平．③平均數(shù)：個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平，公式變形：．5、標(biāo)準(zhǔn)差和方差（1）定義①標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用表示．假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是，表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)差．②方差：方差就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即．顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的．在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，多采用標(biāo)準(zhǔn)差．（2）數(shù)據(jù)特征標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)程度的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，則數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。粗嗫捎呻x散程度的大小推算標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大?。?）平均數(shù)、方差的性質(zhì)如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，那么①一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．②一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．③一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．題型一：隨機(jī)抽樣、分層抽樣例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某工廠為了對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行嚴(yán)格把關(guān)，從500件產(chǎn)品中隨機(jī)抽出50件進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)這500件產(chǎn)品進(jìn)行編號(hào)001，002，…，500，從下列隨機(jī)數(shù)表的第二行第三組第一個(gè)數(shù)字開始，每次從左往右選取三個(gè)數(shù)字，則抽到第四件產(chǎn)品的編號(hào)為（

）283931258395952472328995721628843660107343667575943661184479514096949592601749514068751632414782A．447 B．366 C．140 D．118【答案】A【解析】從第二行第三組第一個(gè)數(shù)字開始，每次從左往右選取三個(gè)數(shù)字，依次可得：366，010，118，447，…故選：A.例2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知某班共有學(xué)生46人，該班語(yǔ)文老師為了了解學(xué)生每天閱讀課外書籍的時(shí)長(zhǎng)情況，決定利用隨機(jī)數(shù)表法從全班學(xué)生中抽取10人進(jìn)行調(diào)查．將46名學(xué)生按01，02，…，46進(jìn)行編號(hào)．現(xiàn)提供隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行：8442175331

5724550688

7704744767

2176335025

83921206766301637859

1695565719

9810507175

1286735807

44395238793321123429

7864560782

5242074438

1551001342

9966027954若從表中第7行第41列開始向右依次讀取2個(gè)數(shù)據(jù)，每行結(jié)束后，下一行依然向右讀數(shù)，則得到的第8個(gè)樣本編號(hào)是（

）A．07 B．12 C．39 D．44【答案】D【解析】由題意可知得到的樣本編號(hào)依次為12，06，01，16，19，10，07，44，39，38，則得到的第8個(gè)樣本編號(hào)是44．故選：D.例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）現(xiàn)要完成下列2項(xiàng)抽樣調(diào)查：①?gòu)?0盒酸奶中抽取3盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；②東方中學(xué)共有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名．為了了解教職工對(duì)學(xué)校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個(gè)容量為20的樣本．較為合理的抽樣方法是（

）A．①抽簽法，②分層隨機(jī)抽樣 B．①隨機(jī)數(shù)法，②分層隨機(jī)抽樣C．①隨機(jī)數(shù)法，②抽簽法 D．①抽簽法，②隨機(jī)數(shù)法【答案】A【解析】①總體較少，宜用抽簽法；②各層間差異明顯，宜用分層隨機(jī)抽樣．故選：A．變式1．（2023·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在二戰(zhàn)期間，技術(shù)先進(jìn)的德國(guó)坦克使德軍占據(jù)了戰(zhàn)場(chǎng)主動(dòng)權(quán)，了解德軍坦克的生產(chǎn)能力對(duì)盟軍具有非常重要的戰(zhàn)略意義，盟軍請(qǐng)統(tǒng)計(jì)學(xué)家參與情報(bào)的收集和分析工作．在繳獲的德軍坦克上發(fā)現(xiàn)每輛坦克都有獨(dú)一無(wú)二的發(fā)動(dòng)機(jī)序列號(hào)，前6位表示生產(chǎn)的年月，最后4位是按生產(chǎn)順序開始的連續(xù)編號(hào)．統(tǒng)計(jì)學(xué)家將繳獲的德軍坦克序列號(hào)作為樣本，用樣本估計(jì)總體的方法推斷德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)．假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)為N，繳獲的該月生產(chǎn)的n輛坦克編號(hào)從小到大為，，，，繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機(jī)獲取的，繳獲坦克的編號(hào)，，，，相當(dāng)于從中隨機(jī)抽取的n個(gè)整數(shù)，這個(gè)數(shù)將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間（如圖）．可以用前個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度估計(jì)所有個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度，進(jìn)而得到的估計(jì)．如果繳獲的坦克編號(hào)為：35，67，90，127，185，245，287．則可以估計(jì)德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為（

）

A．288 B．308 C．328 D．348【答案】C【解析】，解得．可以估計(jì)德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)大約是328．故選：C.變式2．（2023·江蘇·高三江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）為了慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)，學(xué)校采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從高一1002人，高二1002人，高三1503人中抽取126人觀看“中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)”直播，那么高三年級(jí)被抽取的人數(shù)為（

）A．36 B．42 C．50 D．54【答案】D【解析】根據(jù)分層抽樣的方法，抽樣比為，高三年級(jí)被抽取的人數(shù)為人.故選：D.變式3．（2023·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）某校共2017名學(xué)生，其中每名學(xué)生至少要選A，B兩門課中的一門，也有些學(xué)生選了兩門課．已知選A的人數(shù)占全校人數(shù)的百分比在到之間，選B的人數(shù)占全校人數(shù)的百分比在到之間．則下列結(jié)論中正確的是（

）A．同時(shí)選A，B的可能有200人 B．同時(shí)選A，B的可能有300人C．同時(shí)選A，B的可能有400人 D．同時(shí)選A，B的可能有500人【答案】BC【解析】根據(jù)題意，同時(shí)選A，B的人數(shù)在到之間，換算成人數(shù)為202到403之間，因此符合題意的選項(xiàng)有B，C．故選：BC.變式4．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）現(xiàn)有300名老年人，500名中年人，400名青年人，從中按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，若抽取的老年人與青年人共21名，則的值為（

）A．15 B．30 C．32 D．36【答案】D【解析】由題可知，解得.故選：D.【解題方法總結(jié)】不論哪種抽樣方法，總體中的每一個(gè)個(gè)體入樣的概率都是相同的．題型二：統(tǒng)計(jì)圖表例4．（多選題）（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中）恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重，它在一定程度上可以用來(lái)反映人民生活水平．恩格爾系數(shù)的一般規(guī)律：收入越低的家庭，恩格爾系數(shù)就越大；收入越高的家庭，恩格爾系數(shù)就越小．國(guó)際上一般認(rèn)為，當(dāng)恩格爾系數(shù)大于0.6時(shí)，居民生活處于貧困狀態(tài)；在0.5-0.6之間，居民生活水平處于溫飽狀態(tài)；在0.4-0.5之間，居民生活水平達(dá)到小康；在0.3-0.4之間，居民生活水平處于富裕狀態(tài)；當(dāng)小于0.3時(shí)，居民生活達(dá)到富有．下面是某地區(qū)2022年兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖，它們分別為城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)統(tǒng)計(jì)圖和城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你依據(jù)統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行分析判斷，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．農(nóng)村居民自2017年到2021年，居民生活均達(dá)到富有B．近五年城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入差異最大的年份是2020年C．城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)差異最小的年份是2019年D．2022年該地區(qū)城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民的生活水平已經(jīng)全部處于富有狀態(tài)【答案】ABD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由圖1可知2021年農(nóng)村居民的恩格爾系數(shù)為0.316，居民生活水平處于富裕狀態(tài)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)圖2計(jì)算出的2017至2021年近五年城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入差分別為37270元，38344元，39285元，40360元，40915元，差異最大的年份是2021年，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)圖1計(jì)算出的2017至2021年近五年城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)差（%）分別為5.6，4.3，3.9，4.3，5.5，差異最小的年份是2019年，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)不足以判斷是否正確，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABD.例5．（多選題）（2023·河北唐山·遷西縣第一中學(xué)?？级＃?022年的夏季，全國(guó)多地迎來(lái)罕見極端高溫天氣．某課外小組通過(guò)當(dāng)?shù)貧庀蟛块T統(tǒng)計(jì)了當(dāng)?shù)仄咴路萸?0天每天的最高氣溫與最低氣溫，得到如下圖表，則根據(jù)圖表，下列判斷正確的是（

）

A．七月份前20天最低氣溫的中位數(shù)低于25℃B．七月份前20天中最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差C．七月份前20天最高氣溫的平均數(shù)高于40℃D．七月份前10天（1—10日）最高氣溫的方差大于最低氣溫的方差【答案】BD【解析】七月份前20天中，最低氣溫低于℃的天數(shù)不超過(guò)9天，故中位數(shù)不可能低于℃，故A錯(cuò)誤；最高氣溫的最大值大于℃，最小值低于℃，而最低氣溫的最大值小于℃，最小值接近℃，故最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差，故B正確；最高氣溫超過(guò)℃的天數(shù)不超過(guò)5天，且最大值不超過(guò)℃，故平均數(shù)不可能高于℃，故C錯(cuò)誤；前10天中，最低氣溫的分布更集中，故最高氣溫的方差大于最低氣溫的方差，故D正確．故選：BD例6．（多選題）（2023·山西忻州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）航海模型項(xiàng)目在我國(guó)已開展四十余年，深受青少年的喜愛.該項(xiàng)目整合國(guó)防、科技、工程、藝術(shù)、物理、數(shù)學(xué)等知識(shí)，主要通過(guò)讓參賽選手制作、遙控各類船只、艦艇等模型航行，普及船艇知識(shí)，探究海洋奧秘，助力培養(yǎng)未來(lái)海洋強(qiáng)國(guó)的建設(shè)者.某學(xué)樣為了解學(xué)生對(duì)航海模型項(xiàng)目的喜愛程度，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法從某校高一、高二、高三年級(jí)所有學(xué)生中抽取部分學(xué)生做抽樣調(diào)查.已知該學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級(jí)學(xué)生有32人，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．該校高一學(xué)生人數(shù)是2000B．樣本中高二學(xué)生人數(shù)是28C．樣本中高三學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生人數(shù)多12D．該校學(xué)生總?cè)藬?shù)是8000【答案】BC【解析】由圖可知高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的40%，抽取的樣本中高三年級(jí)學(xué)生有32人，則抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，則樣本中高一學(xué)生人數(shù)為，樣本中高二學(xué)生人數(shù)為，從而樣本中高三學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生人數(shù)多.因?yàn)閺脑撔Ｋ袑W(xué)生中抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)是80，但抽取的比例不知道，所以該校高一學(xué)生人數(shù)和該校學(xué)生總?cè)藬?shù)求不出來(lái)，所以AD錯(cuò)誤，BC正確，故選：BC.變式5．（多選題）（2023·湖南株洲·高三?？茧A段練習(xí)）某公司統(tǒng)計(jì)了2023年1月至6月的月銷售額（單位：萬(wàn)元），并與2022年比較，得到同比增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法正確的是（

）注：同比增長(zhǎng)率=（今年月銷售額一去年同期月銷售額）÷去年同期月銷售額．

A．2023年1月至6月的月銷售額的極差為8B．2023年1月至6月的月銷售額的第60百分位數(shù)為8C．2023年1月至6月的月銷售額的中位數(shù)為9.5D．2022年5月的月銷售額為10萬(wàn)元【答案】ACD【解析】對(duì)于A，2023年1月至6月的月銷售額的最大值是14，最小值是6，極差為8，故A正確；對(duì)于B，六個(gè)數(shù)從小到大排列為，因?yàn)椋?023年1月至6月的月銷售額的第60百分位數(shù)為第四個(gè)數(shù)11，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，2023年1月至6月的月銷售額的中位數(shù)為9.5，故C正確；對(duì)于D，設(shè)2022年5月的月銷售額為萬(wàn)元，則，解得，故D正確．故選：ACD．變式6．（多選題）（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）某公司經(jīng)營(yíng)五種產(chǎn)業(yè)，為應(yīng)對(duì)市場(chǎng)變化，在五年前進(jìn)行了產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，優(yōu)化后的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)使公司總利潤(rùn)不斷增長(zhǎng)，今年總利潤(rùn)比五年前增加了一倍，調(diào)整前后的各產(chǎn)業(yè)利潤(rùn)與總利潤(rùn)的占比如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．調(diào)整后傳媒的利潤(rùn)增量小于雜志B．調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤(rùn)有所下降C．調(diào)整后試卷的利潤(rùn)增加不到一倍D．調(diào)整后圖書的利潤(rùn)增長(zhǎng)了一倍以上【答案】ABC【解析】設(shè)調(diào)整前的各產(chǎn)業(yè)利潤(rùn)的總和為，則調(diào)整后的各產(chǎn)業(yè)利潤(rùn)的總和為.對(duì)于選項(xiàng)A，調(diào)整前傳媒的利潤(rùn)為，雜志的利潤(rùn)為，調(diào)整后傳媒的利潤(rùn)為，雜志的利潤(rùn)為，則調(diào)整后傳媒的利潤(rùn)增量為，雜志的利潤(rùn)增量為，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，調(diào)整前房地產(chǎn)的利潤(rùn)為，調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤(rùn)為，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，調(diào)整前試卷的利潤(rùn)為，調(diào)整后試卷的利潤(rùn)為，且，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，調(diào)整前圖書的利潤(rùn)為，調(diào)整后圖書的利潤(rùn)為，且，故選項(xiàng)D正確.故選：ABC.變式7．（多選題）（2023·福建福州·福州三中校考模擬預(yù)測(cè)）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)我國(guó)若干大型科技公司進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到了從事芯片、軟件兩個(gè)行業(yè)從業(yè)者的年齡分布的餅形圖和“90后”從事這兩個(gè)行業(yè)的崗位分布雷達(dá)圖，則下列說(shuō)法中一定正確的是（

）

A．芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，“90后”占總?cè)藬?shù)的比例超過(guò)B．芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計(jì)崗位的“90后”人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的C．芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人中，“90后”比“80后”多D．芯片、軟件行業(yè)中，“90后”從事市場(chǎng)崗位的人數(shù)比“80前”的總?cè)藬?shù)多【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，從餅形圖可看出芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，“90后”占總?cè)藬?shù)的比例為，超過(guò)，A正確；B選項(xiàng)，芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計(jì)崗位的“90后”人數(shù)比例為，超過(guò)總?cè)藬?shù)的，B正確；C選項(xiàng)，芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人中，“90后”人數(shù)占比為，芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中“80后”占總?cè)藬?shù)的，但不知道從事技術(shù)崗位的比例，故無(wú)法確定兩者人數(shù)的多少，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，芯片、軟件行業(yè)中，“90后”從事市場(chǎng)崗位的人數(shù)占比為，“80前”占總?cè)藬?shù)的，故D正確.故選：ABD變式8．（多選題）（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某地環(huán)保部門公布了該地兩個(gè)景區(qū)2016年至2022年各年的全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù).現(xiàn)根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖，則由該圖得出的下列結(jié)論中正確的是（

）

A．景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為254B．景區(qū)這7年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的第80百分位數(shù)為280C．這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比景區(qū)的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差大D．這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均數(shù)比景區(qū)的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均數(shù)大【答案】AC【解析】由圖可得：景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)排序得：203，217，254，254，293，301，313；景區(qū)B這7年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)排序得：255，262，262，266，280，283，293；對(duì)于選項(xiàng)A：景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為254，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則第80百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)，為283，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由圖可知：景區(qū)A的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)波動(dòng)比景區(qū)的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)波動(dòng)大，所以景區(qū)A的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比景區(qū)的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差大，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：景區(qū)A的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均值，景區(qū)B的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均值，因?yàn)?，即，所以這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均數(shù)比景區(qū)的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均數(shù)小，故D錯(cuò)誤；故選：AC.【解題方法總結(jié)】統(tǒng)計(jì)圖表的主要應(yīng)用扇形圖：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；折線圖：描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)；條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率．題型三：頻率分布直方圖例7．（2023·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）某區(qū)為了解全區(qū)名高二學(xué)生的體能素質(zhì)情況，在全區(qū)高二學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，并將這名的體能測(cè)試成績(jī)整理成如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖，這名學(xué)生平均成績(jī)的估計(jì)值為．

【答案】【解析】由于頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為，可得，解得，由頻率分布直方圖可知，這名學(xué)生平均成績(jī)的估計(jì)值為分.故答案為：.例8．（2023·云南·統(tǒng)考二模）某大學(xué)有男生名．為了解該校男生的身體體重情況，隨機(jī)抽查了該校名男生的體重，并將這名男生的體重（單位：）分成以下六組：、、、、、，繪制成如下的頻率分布直方圖：該校體重（單位：）在區(qū)間上的男生大約有人．【答案】【解析】由頻率分布直方圖可知，該校體重（單位：）在區(qū)間上的男生的人數(shù)為.故答案為：.例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年12月4日是第九個(gè)國(guó)家憲法日，主題為“學(xué)習(xí)宣傳貫徹黨的二十大精神，推動(dòng)全面貫徹實(shí)施憲法”，某校由學(xué)生會(huì)同學(xué)制作了憲法學(xué)習(xí)問(wèn)卷，收獲了有效答卷2000份，先對(duì)其得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，按照、、…、分成5組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，則圖中.【答案】0.020【解析】由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，，故答案為：0.020變式9．（2023·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？奸_學(xué)考試）從某小學(xué)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中樣本數(shù)據(jù)分組，，，，，若要從身高在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取12人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為．【答案】【解析】依題意，解得，所以，，三組的頻率分別為，所以從身高在內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為人.故答案為：變式10．（2023·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）某校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位:小時(shí)），制成了如圖所示的的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為：．【答案】140【解析】由頻率分布直方圖得：這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為:,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為：，故答案為：140.變式11．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高三海拉爾第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某蔬菜批發(fā)市場(chǎng)銷售某種蔬菜.在一個(gè)銷售周期內(nèi)，每售出1噸該蔬菜獲利500元，未售出的蔬菜低價(jià)處理，每噸虧損100元.統(tǒng)計(jì)該蔬菜在過(guò)去的100個(gè)銷售周期內(nèi)的市場(chǎng)需求量所得頻率分布直方圖如下：

(1)求圖中a的值并求100個(gè)銷售周期的平均市場(chǎng)需求量；(2)若經(jīng)銷商在下一個(gè)銷售周期購(gòu)入190噸該蔬菜，設(shè)為銷售周期所得利潤(rùn)（單位：元），為該銷售周期的市場(chǎng)需求量（單位：噸），求的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)銷售的利潤(rùn)不少于86000元的概率.【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中頻率之和為1得：，解得，由圖知100個(gè)銷售周期的平均市場(chǎng)需求量為；（2）由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，設(shè)銷售的利潤(rùn)不少于86000元的事件為A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以.【解題方法總結(jié)】（1）利用頻率分布直方圖求頻率、頻數(shù)；（2）利用頻率分布直方圖估計(jì)總體．（3）頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是，而不是頻率．題型四：百分位數(shù)例10．（2023·上海·高三專題練習(xí)）以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的15人的成績(jī)（單位：分），分?jǐn)?shù)從低到高依次：,則這15人成績(jī)的第80百分位數(shù)是．【答案】90.5【解析】因?yàn)?，故這15人成績(jī)的第80百分位數(shù)為，故答案為：90.5例11．（2023·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校為了了解高三年級(jí)學(xué)生的身體素質(zhì)狀況，在開學(xué)初舉行了一場(chǎng)身體素質(zhì)體能測(cè)試，以便對(duì)體能不達(dá)標(biāo)的學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練，促進(jìn)他們體能的提升，現(xiàn)從整個(gè)年級(jí)測(cè)試成績(jī)中抽取100名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，并把測(cè)試成績(jī)分成六組，繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.其中分?jǐn)?shù)在這一組中的縱坐標(biāo)為，則該次體能測(cè)試成績(jī)的分位數(shù)約為分.【答案】92【解析】由頻率分布直方圖知，由得：.因?yàn)?，所以該次體能測(cè)試成績(jī)的分位數(shù)落在內(nèi)，設(shè)其為，則由，解得.故答案為：92.例12．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）國(guó)慶節(jié)前夕，某市舉辦以“紅心頌黨恩、喜迎二十大”為主題的青少年學(xué)生演講比賽，其中10人比賽的成績(jī)從低到高依次為：85，86，88，88，89，90，92，93，94，98（單位：分），則這10人成績(jī)的第75百分位數(shù)是.【答案】【解析】因?yàn)?，根?jù)第百位數(shù)的含義知，應(yīng)該選取第8個(gè)數(shù)作為第75百分位數(shù)，所以這10人成績(jī)的第75百分位數(shù)是93.故答案為：93.變式12．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第四中學(xué)校?？计谀┮阎唤M數(shù)據(jù)：24，30，40，44，48，52.則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為.【答案】36【解析】因?yàn)?，故這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為30，因?yàn)椋缘?0百分位數(shù)為，所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為，故答案為：36．變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了養(yǎng)成良好的運(yùn)動(dòng)習(xí)慣，某人記錄了自己一周內(nèi)每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），分別為53，57，45，61，79，49，x，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則（

）A．58或64 B．59或64 C．58 D．59【答案】A【解析】將已知的6個(gè)數(shù)從小到大排序?yàn)?5，49，53，57，61，79．若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為61和57，他們的差為4，不符合條件；若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為79和61，它們的差為18，不符合條件；若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為x和61（或61和x），則，解得或故選：A【解題方法總結(jié)】計(jì)算一組個(gè)數(shù)據(jù)的的第百分位數(shù)的步驟①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．②計(jì)算．③若不是整數(shù)而大于的比鄰整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．題型五：樣本的數(shù)字特征例13．（多選題）（2023·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）有一組樣本數(shù)據(jù)：，其平均數(shù)為2，由這組樣本數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)：，那么這兩組樣本數(shù)據(jù)一定有相同的（

）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．方差 D．極差【答案】AD【解析】對(duì)A，由題意得，則新的平均數(shù)，故A與原本相同；對(duì)B，舉例一組數(shù)據(jù)：1,1,1,1,2.4,2.6,3,4.滿足平均數(shù)為2，原中位數(shù)為，增加一個(gè)數(shù)據(jù)2后中位數(shù)變成了，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，舉例一組數(shù)據(jù)為1,2,2,2,2,2,2,3，其方差為，增加一個(gè)數(shù)據(jù)2后根據(jù)A中結(jié)論知平均數(shù)不變，則方差變?yōu)椋蔆錯(cuò)誤；對(duì)D，根據(jù)平均數(shù)的概念知，當(dāng)所有數(shù)據(jù)均相等時(shí)，取等；則增加一個(gè)數(shù)據(jù)2，極差不變，故D正確.故選：AD.例14．（多選題）（2023·吉林·高一榆樹市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知數(shù)據(jù)1：，，，，數(shù)據(jù)2：，，，，則下列統(tǒng)計(jì)量中，數(shù)據(jù)2不是數(shù)據(jù)1的兩倍的有（）A．平均數(shù) B．極差 C．中位數(shù) D．標(biāo)準(zhǔn)差【答案】AC【解析】設(shè)數(shù)據(jù)1：，，，，的均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為s，中位數(shù)為，極差為則數(shù)據(jù)2：，，，，的均值為，故A錯(cuò)誤，數(shù)據(jù)2：，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，故B正確；數(shù)據(jù)2：，，，，的中位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；極差為，故D正確；故選：AC．例15．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測(cè)）“說(shuō)文明話、辦文明事、做文明人，樹立城市新風(fēng)尚！創(chuàng)建文明城市，你我共同參與！”為宣傳創(chuàng)文精神，華強(qiáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（2）班組織了甲乙兩名志愿者，利用一周的時(shí)間在街道對(duì)市民進(jìn)行宣傳，將每天宣傳的次數(shù)繪制成如下頻數(shù)分布折線圖，則以下說(shuō)法不正確的為（

）

A．甲的眾數(shù)小于乙的眾數(shù) B．乙的極差小于甲的極差C．甲的方差大于乙的方差 D．乙的平均數(shù)大于甲的平均數(shù)【答案】D【解析】由圖可知，甲志愿者的宣傳次數(shù)分別為：4，5，6，3，4，3，3，乙志愿者的宣傳次數(shù)分別為：5，4，4，5，4，3，3，甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，故D錯(cuò)誤，甲的眾數(shù)為3，乙的眾數(shù)為4，故甲的眾數(shù)小于乙的眾數(shù)，故A正確；甲的極差為3，乙的極差為2，則乙的極差小于甲的極差，故B正確；甲的方差為，乙的方差為，故甲的方差大于乙的方差，故C正確．故選：D．變式14．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）某學(xué)校對(duì)班級(jí)管理實(shí)行量化打分，每周一總結(jié)，若一個(gè)班連續(xù)5周的量化打分不低于80分，則為優(yōu)秀班級(jí).下列能斷定該班為優(yōu)秀班級(jí)的是（

）A．某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83，中位數(shù)為81B．某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83，方差大于0C．某班連續(xù)5周量化打分的中位數(shù)為81，眾數(shù)為83D．某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83，方差為1【答案】D【解析】若連續(xù)5周的量化打分?jǐn)?shù)據(jù)為，滿足的條件，但第5周的打分低于80分，故A，B錯(cuò)誤；若連續(xù)5周的量化打分?jǐn)?shù)據(jù)為，滿足C的條件，但第5周的打分低于80分，C錯(cuò)誤；根據(jù)方差公式，因?yàn)榉讲顬?，所以若存在一周的量化打分低?0分，則方差一定大于1，故能斷定該班為優(yōu)秀班級(jí)，D正確.故選：D.變式15．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知一組數(shù)據(jù)：2，3，4，6，m，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若m＝7，則平均數(shù)為4.4 B．若m＝4，則眾數(shù)為4C．若m＝6，則中位數(shù)為4 D．若m＝10，則方差為40【答案】D【解析】對(duì)于A，若m＝7，則平均數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)m＝4時(shí)，眾數(shù)為4，故B正確；對(duì)于C，若m＝6，則這組數(shù)據(jù)從小到大排列為2，3，4，6，6，所以中位數(shù)為4，故C正確；對(duì)于D，計(jì)算平均數(shù)為5，則方差，故D錯(cuò)誤．故選：D．變式16．（2023·貴州銅仁·高二貴州省銅仁第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①、②、③、④，依次計(jì)算得到結(jié)果如下：①平均數(shù)；②平均數(shù)且極差小于或等于3；③平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差；④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4．則4組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的共有（

）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】B【解析】①舉反例：，，，，，其平均數(shù)．但不符合入冬指標(biāo)；②假設(shè)有數(shù)據(jù)大于或等于10，由極差小于或等于3可知，則此組數(shù)據(jù)中的最小值為，此時(shí)數(shù)據(jù)的平均數(shù)必然大于7，與矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤.則此組數(shù)據(jù)全部小于10.符合入冬指標(biāo)；③舉反例：1，1，1，1，11，平均數(shù)，且標(biāo)準(zhǔn)差.但不符合入冬指標(biāo)；④在眾數(shù)等于5且極差小于等于4時(shí)，則最大數(shù)不超過(guò)9.符合入冬指標(biāo).故選：B．變式17．（2023·天津河?xùn)|·高一統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)興趣小組的四名同學(xué)各自拋擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四名同學(xué)的部分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：甲同學(xué)：中位數(shù)為3，方差為2.8；

乙同學(xué)：平均數(shù)為3.4，方差為1.04；丙同學(xué)：中位數(shù)為3，眾數(shù)為3；

丁同學(xué)：平均數(shù)為3，中位數(shù)為2.根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，數(shù)據(jù)中肯定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是同學(xué).【答案】乙【解析】對(duì)于甲同學(xué)，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為：，方差為，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；對(duì)于乙同學(xué)，若平均數(shù)為3.4，且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，則方差，所以當(dāng)平均數(shù)為3.4，方差為1.04時(shí)，一定不會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；對(duì)于丙同學(xué)，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；對(duì)于丁同學(xué)，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為時(shí)，滿足平均數(shù)為，中位數(shù)為，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù).綜上，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，數(shù)據(jù)中肯定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是乙同學(xué).故答案為：乙變式18．（2023·云南大理·高一?？茧A段練習(xí)）根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于10℃即為入冬．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7，眾數(shù)為6；②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，極差為3；③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，中位數(shù)為4；④丁地：5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，方差小于3.則肯定進(jìn)入冬季的地區(qū)是（

）A．甲地 B．乙地C．丙地 D．丁地【答案】D【解析】①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7，眾數(shù)為6；則這5個(gè)數(shù)據(jù)可能為6，6，7，10，11，即連續(xù)5天的日平均氣溫不是都低于10℃，所以甲地不一定入冬，故A錯(cuò)；②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，極差為3；則這5個(gè)數(shù)據(jù)可能為7，7，8，8，10，即連續(xù)5天的日平均氣溫不是都低于10℃，所以乙地不一定入冬，故B錯(cuò)；③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，中位數(shù)為4；則這5個(gè)數(shù)據(jù)可能為1，2，4，7，11，即連續(xù)5天的日平均氣溫不是都低于10℃，所以丙地不一定入冬，故C錯(cuò)；④丁地：5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，方差小于3，如果有數(shù)據(jù)大于等于10，則方差必大于等于，不滿足題意，因此丁地連續(xù)5天的日平均氣溫都低于10℃，所以丁地一定入冬，故D正確，故選：D.變式19．（2023·河北滄州·高二肅寧縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）氣象意義上的春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為連續(xù)5天的日平均溫度不低于.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均氣溫的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)是中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)是中位數(shù)為27，總體均值為24；③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有A．①②③ B．①③ C．②③ D．①【答案】B【解析】由統(tǒng)計(jì)知識(shí)①甲地：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為可知①符合題意；而②乙地：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，總體均值為中有可能某一天的氣溫低于，故不符合題意，③丙地：個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是，總體均值為，總體方差為．若由有某一天的氣溫低于則總體方差就大于，故滿足題意，選C考點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)初步變式20．（2023·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春市第五中學(xué)?？计谀┫铝忻}中是真命題的是（

）A．一組數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同；B．有、、三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的個(gè)體數(shù)為，則樣本容量為；C．若甲組數(shù)據(jù)的方差為，乙組數(shù)據(jù)為，，，，，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲；D．一組數(shù)，，，，，，，，，的分位數(shù)為．【答案】A【解析】對(duì)于A：平均數(shù)為，眾數(shù)為3，中位數(shù)為，故A正確；對(duì)于B：設(shè)樣本容量為，則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)為，其方差為，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，故D錯(cuò)誤；故選：A【解題方法總結(jié)】（1）平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)大?。?）方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式：或?qū)懗?，即方差等于原?shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．題型六：總體集中趨勢(shì)的估計(jì)例16．（2023·湖北孝感·高二孝昌縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)求樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；(3)已知落在的平均成績(jī)是61，方差是7，落在的平均成績(jī)?yōu)?0，方差是4，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差.【解析】（1）利用每組小矩形的面積之和為1可得，，解得（2）成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，設(shè)第75百分位數(shù)為，由，得，故第75百分位數(shù)為84；（3）由圖可知，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，故；由樣本方差計(jì)算總體方差公式可得總方差為.例17．（2023·河南南陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）年入冬以來(lái)，為進(jìn)一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆發(fā)，地區(qū)規(guī)定居民出行或者出席公共場(chǎng)合均需佩戴口罩，現(xiàn)將地區(qū)個(gè)居民一周的口罩使用個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表所示，其中每周的口罩使用個(gè)數(shù)在以上（含）的有人．口罩使用數(shù)量頻率

(1)求的值，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，完善上面的頻率分布直方圖；（只畫圖，不要過(guò)程）(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)地區(qū)居民一周口罩使用個(gè)數(shù)的分位數(shù)和中位數(shù)；（四舍五入，精確到）(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)地區(qū)居民一周口罩使用個(gè)數(shù)的平均數(shù)以及方差．（每組數(shù)據(jù)用每組中點(diǎn)值代替）【解析】（1）由每周的口罩使用個(gè)數(shù)在以上（含）的有人得：，解得：，，則頻率分布直方圖如下：（2），，分位數(shù)位于，設(shè)其為，則，解得：，即估計(jì)分位數(shù)為個(gè)；，，中位數(shù)位于，設(shè)其為，則，解得：，即估計(jì)中位數(shù)為個(gè).（3）由頻率分布直方圖得一周內(nèi)使用口罩的平均數(shù)為：（個(gè)），方差為，則所求平均數(shù)估計(jì)為個(gè)，方差估計(jì)為．例18．（2023·河北邯鄲·高二校考開學(xué)考試）某工廠在加大生產(chǎn)量的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查產(chǎn)品質(zhì)量．該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：．得到如下頻率分布直方圖．

(1)求出直方圖中m的值；(2)利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和60%分位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表，60%分位數(shù)精確到0.01）．【解析】（1）由，得．（2）平均數(shù)，設(shè)60%分位數(shù)為n，則由，可得n在上，由，得．故可以估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為，60%分位數(shù)為．變式21．（2023·福建·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）小晟統(tǒng)計(jì)了他6月份的手機(jī)通話明細(xì)清單，發(fā)現(xiàn)自己該月共通話100次，小晟將這100次通話的通話時(shí)間（單位：分鐘）按照，，，，，分成6組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求a的值；(2)求通話時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的通話次數(shù)；(3)試估計(jì)小晟這100次通話的平均時(shí)間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．【解析】（1）由，得．（2）因?yàn)橥ㄔ挄r(shí)間在區(qū)間內(nèi)的頻率為，所以通話時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的通話次數(shù)為．（3）這100次通話的平均時(shí)間的估計(jì)值為:分鐘．變式22．（2023·浙江溫州·高二樂(lè)清市知臨中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為了迎接新高考，某校舉行物理和化學(xué)等選科考試，其中，600名學(xué)生化學(xué)成績(jī)（滿分100分）的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組.已知圖中第三組頻率為，第一組和第五組的頻率相同.

(1)求a，b的值；(2)估算高分（大于等于80分）人數(shù)；(3)估計(jì)這600名學(xué)生化學(xué)成績(jī)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù).（中位數(shù)精確到0.1）【解析】（1）第一組頻率，第二組頻率，第三組頻率,第四組頻率,第五組頻率,由概率之和為，可得即，第三組頻率為0.45，可得，解得，（2）高分（大于等于80分）頻數(shù)，則估算高分（大于等于80分）頻數(shù)為（人），（3）估計(jì)平均數(shù)為，設(shè)中位數(shù)為，由于，故，，解得，故中位數(shù)為.變式23．（2023·湖北武漢·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）某學(xué)校為了了解老師對(duì)“民法典”知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)不同年齡的老師舉辦了一次“民法典”知識(shí)競(jìng)答，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人年齡的第75百分位數(shù)；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人，擔(dān)任“民法典”知識(shí)的宣傳使者.①若有甲（年齡23），乙（年齡43）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第一組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲?乙兩人恰有一人被選上的概率；②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和2，據(jù)此估計(jì)這人中35~45歲所有人的年齡的方差.【解析】（1）設(shè)這人年齡的第75百分位數(shù)為，根據(jù)百分位數(shù)定義可得，解得.（2）①由題意得，第一組應(yīng)抽取2人，記為，甲，第五組抽取4人，記為，，，乙.對(duì)應(yīng)的樣本空間為：，共15個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件“甲?乙兩人恰有一人被選上”，則，共有8個(gè)樣本點(diǎn).所以，.②設(shè)第四組?第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，.設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為.據(jù)此，可估計(jì)這人中年齡在35~45歲的所有人的年齡方差約為.【解題方法總結(jié)】頻率分布直方圖的數(shù)字特征（1）眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（2）中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等．（3）平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和．題型七：總體離散程度的估計(jì)例19．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某學(xué)校高一名學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試，成績(jī)均在分到分之間，學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如下圖：

(1)估計(jì)這名學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)與平均數(shù)；(精確到)(2)某老師抽取了名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：，已知這個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，若剔除其中的和兩個(gè)分?jǐn)?shù)，求剩余個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差．(參考公式：)【解析】（1），，中位數(shù)位于之間，設(shè)中位數(shù)為，則，解得：，即中位數(shù)為；平均數(shù)為.（2）剩余個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為；，，剩余個(gè)分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為.例20．（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)中學(xué)?？级＃┠暝氯?，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務(wù)，標(biāo)志著中國(guó)空間站關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段圓滿完成．并將進(jìn)入建造階段某地區(qū)為了激發(fā)人們對(duì)天文學(xué)的興趣，開展了天文知識(shí)比賽，滿分分（分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，這人按年齡分成組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有人．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人的第百分位數(shù)（中位數(shù)第百分位數(shù)）；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者．①若有甲（年齡），乙（年齡）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為和，據(jù)此估計(jì)這人中歲所有人的年齡的平均數(shù)和方差．【解析】（1）設(shè)第百分位數(shù)為，，，位于第四組：內(nèi)；方法一：由得：．方法二：由得：．（2）①由題意得，第四組應(yīng)抽取人，記為，，，甲；第五組抽取人，記為，乙，對(duì)應(yīng)的樣本空間為：，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，，乙，甲，甲乙，乙，共個(gè)樣本點(diǎn)．設(shè)事件為“甲、乙兩人至少一人被選上”，則有甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲，甲乙，乙，共有個(gè)樣本點(diǎn)．；②設(shè)第四組的宣傳使者的年齡分別為，平均數(shù)分別為，方差分別為，設(shè)第五組的宣傳使者的年齡分別為，，平均數(shù)分別為，方差分別為，則，，，，可得，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為．則，即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，則.即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為；據(jù)此估計(jì)這人中年齡在歲的所有人的年齡的平均數(shù)為，方差約為．例21．（2023·北京·高三?？茧A段練習(xí)）某學(xué)校為了解學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，對(duì)高一、高二兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試．現(xiàn)從兩個(gè)年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取20人，將他們的測(cè)試數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下：高一高二6439058962381458985217233997764645788305026402《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》的等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)如下表．規(guī)定：測(cè)試數(shù)據(jù)≥60，體質(zhì)健康為合格．等級(jí)優(yōu)秀良好及格不及格測(cè)試數(shù)據(jù)[90，100][80，89][60，79][0，59](1)從該校高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生體質(zhì)健康合格的概率；(2)從兩個(gè)年級(jí)等級(jí)為優(yōu)秀的樣本中各隨機(jī)選取一名學(xué)生，求選取的兩名學(xué)生的測(cè)試數(shù)據(jù)平均數(shù)大于95的概率；(3)設(shè)該校高一學(xué)生測(cè)試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為，高二學(xué)生測(cè)試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為，試比較與、與的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）【解析】（1）由莖葉圖可知高二學(xué)生樣本中體質(zhì)健康合格的人數(shù)為，故樣本中學(xué)生體質(zhì)健康合格的頻率為，故從該校高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生體質(zhì)健康合格的概率為.（2）設(shè)高一年級(jí)樣本中測(cè)試數(shù)據(jù)為的三名學(xué)生分別為，高一年級(jí)樣本中測(cè)試數(shù)據(jù)為的三名學(xué)生分別為，學(xué)區(qū)的2名學(xué)生構(gòu)成的基本事件共有，共9個(gè)，其中兩名學(xué)生的測(cè)試數(shù)據(jù)平均數(shù)大于95的有，共4個(gè)，故選取的兩名學(xué)生的測(cè)試數(shù)據(jù)平均數(shù)大于95的概率為.（3）由莖葉圖中相應(yīng)分?jǐn)?shù)段內(nèi)數(shù)據(jù)可看出高一學(xué)生測(cè)試數(shù)據(jù)的平均數(shù)要大于高二學(xué)生測(cè)試數(shù)據(jù)的平均數(shù)，高一學(xué)生的測(cè)試數(shù)據(jù)比高二學(xué)生的測(cè)試數(shù)據(jù)更為集中，因此高一學(xué)生測(cè)試數(shù)據(jù)的方差要小于高二學(xué)生測(cè)試數(shù)據(jù)的方差，故.變式24．（2023·廣西·高一期末）某中學(xué)400名學(xué)生參加全市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)由頻率直方圖求樣本中分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)在的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；(3)已知樣本中男生與女生的比例是，男生樣本的均值為70，方差為10，女生樣本的均值為80，方差為12，請(qǐng)計(jì)算出總體的方差．【解析】（1）由頻率分布直方圖，設(shè)分?jǐn)?shù)中位數(shù)為，則有，解得，所以分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為72.5；（2）由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在的頻率為，在樣本中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為（人），在樣本中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為95人，所以估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為（人），總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為20人；（3）總樣本的均值為，所以總樣本的方差為．變式25．（2023·湖北武漢·高一期末）某中學(xué)為了貫策教育部對(duì)學(xué)生的五項(xiàng)管理中的體質(zhì)管理，對(duì)高一年級(jí)學(xué)生身高進(jìn)行調(diào)查，在調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男34人，其平均數(shù)和方差分別為170.5和15，抽取了女生16人，其平均數(shù)和方差分別為160.5和35．(1)由這些數(shù)據(jù)計(jì)算總樣本的平均數(shù)；(2)由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對(duì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì)．參考數(shù)據(jù)：【解析】（1）把男生樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把女生樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為．則，故.（2）由分層方差公式可得.據(jù)此估計(jì)高一總方差為.變式26．（2023·湖北武漢·高一期末）為了監(jiān)控某種裝件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：）．其中元近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差能夠反映數(shù)據(jù)取值的信息．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.910.110.210.29.99.810.11010.210.39.110.19.99.910.110.2經(jīng)計(jì)算得，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，．(1)利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？(2)剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差（精確到0.01）．【解析】（1）由，得，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸9.1在之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．（2）剔除之外的數(shù)據(jù)9.1，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計(jì)值為10.06．，剔除之外的數(shù)據(jù)9.1，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，因此的估計(jì)值為．變式27．（2023·廣西玉林·高一校聯(lián)考期末）某學(xué)校為了了解高二年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，對(duì)高二年級(jí)的300名學(xué)生進(jìn)行了一次測(cè)試.已知參加此次測(cè)試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)全部介于45分到95分之間，該校將所有分?jǐn)?shù)分成5組：，整理得到如下頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）.

(1)求的值，并估計(jì)此次校內(nèi)測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均值；(2)學(xué)校要求按照分?jǐn)?shù)從高到低選拔前30名的學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)，試估計(jì)這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)；(3)試估計(jì)這300名學(xué)生的分?jǐn)?shù)的方差，并判斷此次得分為52分和94分的兩名同學(xué)的成績(jī)是否進(jìn)入到了范圍內(nèi)？（參考公式：，其中為各組頻數(shù)；參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1），所以，所以該次校內(nèi)考試測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)的估計(jì)值為：分.（2）因?yàn)?，所以這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)就是該次校內(nèi)測(cè)試分?jǐn)?shù)的分位數(shù).該次校內(nèi)考試測(cè)試分?jǐn)?shù)的分位數(shù)為這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)的估計(jì)值為90分.（3），，得分為52分的同學(xué)的成績(jī)沒有進(jìn)入到內(nèi)，得分為94分的同學(xué)的成績(jī)進(jìn)入到了內(nèi).即：得分為52分的同學(xué)的成績(jī)沒有進(jìn)入到范圍，得分為94分的同學(xué)的成績(jī)進(jìn)入到范圍了.變式28．（2023·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）4月23日是世界讀書日，樹人中學(xué)為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個(gè)容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名．經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，分別得到40名男生一周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的頻率分布直方圖．(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值)男生一周課外閱讀時(shí)間頻數(shù)分布表小時(shí)頻數(shù)92533女生一周課外閱讀時(shí)間頻率分布直方圖

(1)從一周課外閱讀時(shí)間為的學(xué)生中按比例分配抽取6人，再?gòu)倪@6名學(xué)生中選出2名同學(xué)調(diào)查他們閱讀書目．求這兩人都是女生的概率；(2)分別估計(jì)男生和女生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)；(3)估計(jì)總樣本的平均數(shù)和方差．參考數(shù)據(jù)和公式：男生和女生一周課外閱讀時(shí)間方差的估計(jì)值分別為和，，和分別表示男生和女生一周閱讀時(shí)間的樣本，其中．【解析】（1）一周課外閱讀時(shí)間為的學(xué)生中男生有3人，女生有人，若從中按比例分配抽取6人，則男生有人，女生有人，用表示男生，用1，2，3，4，5表示女生，則樣本空間為，設(shè)事件“選出兩人都是女生”，則，由于抽中中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性相等，所以這是一個(gè)古典概型，所以.（2）估計(jì)男生一周課外閱讀時(shí)間平均數(shù)；估計(jì)女生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù).（3）估計(jì)總樣本的平均數(shù)，∵，∴，，∴，所以估計(jì)總樣本的平均數(shù)，方差．【解題方法總結(jié)】總體離散程度的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差（方差）反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動(dòng)與穩(wěn)定的程度．標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．題型八：分層方差問(wèn)題例22．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某車間有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工直徑為的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，從中各抽取6件，測(cè)得甲、乙兩組數(shù)據(jù)的均值為，兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則估計(jì)該車間這批零件的直徑的方差．【答案】/【解析】依題意，抽取的12件零件直徑的平均數(shù)，所以該車間這批零件的直徑的方差.故答案為：例23．（2023·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校高二年級(jí)有男生400人和女生600人，為分析期末物理調(diào)研測(cè)試成績(jī)，按照男女比例通過(guò)分層隨機(jī)抽樣的方法取到一個(gè)樣本，樣本中男生的平均成績(jī)?yōu)?0分，方差為10，女生的平均成績(jī)?yōu)?0分，方差為20，由此可以估計(jì)該校高二年級(jí)期末物理調(diào)研測(cè)試成績(jī)的方差為.【答案】【解析】由，不妨設(shè)樣本由男生2人和女生3人組成.由題設(shè)：，，解得，；，解得，；所以樣本的平均分，樣本的方差.故答案為：.例24．（2023·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）某校有高一學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，為了獲取學(xué)生身高信息，采用男、女按比例分配分層抽樣的方法抽取樣本50人，并觀測(cè)樣本的指標(biāo)值（單位：），計(jì)算得男生樣本的均值為170，方差為20，女生樣本的均值為160，方差為30，據(jù)此估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生身高的總體方差為．【答案】48【解析】由題意，某校有高一學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，可得總體的均值為，總體的方差為.故答案為：48.變式29．（2023·湖南常德·常德市一中校考模擬預(yù)測(cè)）為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時(shí)間均值為9小時(shí)，方差為0.5，抽取高中生1200人，其每天睡眠時(shí)間均值為8小時(shí)，方差為1，則估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的