安徽省六安市眾興集中學高三數學理測試題含解析

安徽省六安市眾興集中學高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數y=sin(+)的圖象可以由函數y=cos的圖象經過（）A．向右平移個單位長度得到B．向右平移個單位長度得到C．向左平移個單位長度得到D．向左平移個單位長度得到參考答案：B【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結論．【解答】解：把函數=sin（+）的圖象向右平移個單位長度，可得函數y=sin（﹣+）=sin（+）的圖象，故選：B．【點評】本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎題．2.經統(tǒng)計，用于數學學習的時間（單位：小時）與成績（單位：分）近似于線性相關關系．對某小組學生每周用于數學的學習時間x與數學成績y進行數據收集如下：由樣本中樣本數據求得回歸直線方程為，則點(a，b)與直線的位置關系是（

）A．

B．

C.

D．與100的大小無法確定參考答案：A3.集合，，則A．

B．

C．

D．參考答案：A4.已知i是虛數單位，且復數z滿足，若z為實數，則實數a的值為（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：D【考點】A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】直接由復數代數形式的乘除運算化簡復數z，結合已知條件列出方程，求解即可得答案．【解答】解：=，∵z為實數，∴，即a=1．則實數a的值為：1．故選：D．5.一簡單組合體的三視圖如圖，則該組合體的表面積為（）A．38B．38﹣2C．38+2D．12﹣π參考答案：A考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題；空間位置關系與距離．分析：根據幾何體的三視圖，得出該幾何體是長方體的中間去掉一個圓柱的組合體，求出它的表面積即可．解答：解：根據幾何體的三視圖，得；該幾何體是長方體的中間去掉一個圓柱的組合體，且長方體的長為4，寬為3，高為1，圓柱的底面圓半徑為1，高為1；所以該組合體的表面積為S長方體﹣2S底面圓+S圓柱側面=2（4×3+4×1+3×1）﹣2×π×12+2×π×1×1=38．故選：A．點評：本題考查了利用空間幾何體的三視圖求組合體的表面積的應用問題，是基礎題目．6.已知集合，則()A．A∩B＝?

B．A∪B＝R

C．

D．參考答案：B略7.現有5人參加抽獎活動，每人依次從裝有5張獎票(其中3張為中獎票)的箱子中不放回地隨機抽取一張，直到3張中獎票都被抽出時活動結束，則活動恰好在第4人抽完后結束的概率為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C8.執(zhí)行右面的框圖，若輸出結果為，則輸入的實數x的值是

A．

B．

C．

D．參考答案：D略9.已知一個簡單幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為，則r=（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：B【分析】通過三視圖可知：該幾何體是一個三棱錐和圓錐組成的幾何體，利用幾何體的體積求出的值.【詳解】通過三視圖可知：該幾何體是一個三棱錐和圓錐組成的幾何體，設組合體的體積為,所以，故本題選B.【點睛】本題考查了通過三視圖識別組合體的形狀，并根據體積求參數問題，考查了數學運算能力.10.執(zhí)行右圖所示的程序框圖，則輸出的n=A．3 B．4

C．5

D．6參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線l分別過函數y=ax，（a＞0且a≠1）于函數y=logbx，（b＞0且b≠1）的定點，第一象限的點P（x，y）在直線l上，則﹣﹣的最大值為﹣．參考答案：考點：基本不等式；對數函數的單調性與特殊點；直線的截距式方程．專題：不等式的解法及應用．分析：先由指數函數與對數函數的特殊點得到兩定點的坐標，再由直線方程的截距式得到x與y滿足的關系式，最后依據基本不等式即可求出式子的最大值．解答：解：由于函數y=ax，（a＞0且a≠1）與函數y=logbx，（b＞0且b≠1）的定點分別為（0，1），（1，0）故由截距式得到直線l的方程為x+y=1，又由第一象限的點P（x，y）在直線l上，則x+y=1，（x＞0，y＞0）則==（當且僅當即時，取“=”）故答案為．點評：本題考查利用基本不等式求最值問題，同時考查了基本初等函數的特殊點及直線的截距式方程，屬于基礎題．12.已知，，且，現給出如下結論：①；②；③；④；⑤；⑥；其中正確結論的序號是

．（寫出所有正確的序號）

參考答案：②③⑥13.如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點分別是、、、．若過原點的直線將該矩形分割成面積相等的兩部分，則直線的方程是

．參考答案：4x-3y=014.已知平面向量，，且，則的值為

參考答案：115.底面半徑都是且高都是的圓錐和圓柱的全面積之比為

▲

．參考答案：16.若實數滿足，則的取值范圍是__________．參考答案：如圖，畫出可行域，設寫成表示斜率為-2的一組平行線，當直線過時，目標函數取得最小值，當直線過點時目標函數取得最大值，所以的取值范圍是，故填：.考點：線性規(guī)劃17.某班級有50名學生，現用系統(tǒng)抽樣的方法從這50名學生中抽出10名學生，將這50名學生隨機編號為號，并按編號順序平均分成10組（號，號，…，號），若在第三組抽到的編號是13，則在第七組抽到的編號是______．參考答案：試題分析：因為是從50名學生中抽出10名學生，組距是10，

∵第三組抽取的是13號，

∴第七組抽取的為．考點：系統(tǒng)抽樣三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.等比數列{an}的前n項和為Sn，已知a1a2a3=8，S2n=3（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）（n∈N*）（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn=nSn，求數列{bn}的前n項和Tn．參考答案：【分析】（Ⅰ）先根據等比數列的性質可求出a2的值，然后根據S2n=3（a1+a3+…+a2n﹣1）中令n=1可求出首項a1，從而求出公比，即可求出an的通項公式，（Ⅱ）先根據等比數列的求和公式求出Sn，再求出bn=nSn，根據分組求和和錯位相減法求和即可．【解答】解：（Ⅰ）利用等比數列的性質可得，a1a2a3=a23=8即a2=2∵S2n=3（a1+a3+…+a2n﹣1）∴n=1時有，S2=a1+a2=3a1從而可得a1=1，q=2，∴an=2n﹣1，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn==﹣1+2n，∴bn=nSn=﹣n+n?2n，∴Tn=﹣（1+2+3+…+n）+1×2+2×22+3×23+…+n?2n，設An=1×2+2×22+3×23+…+n?2n，∴2An=1×22+2×23+…+（n﹣1）?2n+n?2n+1，兩式相減可得﹣An=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=﹣n?2n+1=﹣2+2n+1﹣n?2n+1=﹣2+（1﹣n）2n+1，∴An=2+（n﹣1）2n+1，∴Tn=﹣+2+（n﹣1）2n+1．【點評】本題主要考查了等比數列的前n項和以及錯位相減法求和，以及等比數列的性質和通項公式，屬于中檔題．19.已知數列的前項和為，且滿足：，

N*，.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）若存在

N*，使得，，成等差數列，試判斷：對于任意的N*，且，，，是否成等差數列，并證明你的結論.參考答案：解析：（Ⅰ）由已知可得，兩式相減可得，即，又，所以當r=0時，數列為a,0,0……,0，……；當時，由已知，所以,于是由，可得，所以成等比數列，當時，。綜上，數列的通項公式為：（Ⅱ）對于任意的，且，是否成等差數列，證明如下：當r=0時，由（Ⅰ），知，故對于任意的，且，7成等差數列；當時，，。若存在，使得成等差數列，則，，即，由（Ⅰ），知的公比，于是對于任意的，且，，從而，，即成等差數列。綜上，對于任意的，且，成等差數列。20.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥側面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求證：AB⊥BC；（2）若直線AC與平面A1BC所成的角為，求銳二面角A﹣A1C﹣B的大小．參考答案：考點：用空間向量求平面間的夾角；空間中直線與直線之間的位置關系．專題：空間位置關系與距離；空間角．分析：（1）取A1B的中點D，連接AD，由已知條件推導出AD⊥平面A1BC，從而AD⊥BC，由線面垂直得AA1⊥BC．由此能證明AB⊥BC．（2）連接CD，由已知條件得∠ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角，∠AED即為二面角A﹣A1C﹣B的一個平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．解答： （本小題滿分14分）（1）證明：如右圖，取A1B的中點D，連接AD，…因AA1=AB，則AD⊥A1B…由平面A1BC⊥側面A1ABB1，且平面A1BC∩側面A1ABB1=A1B，…得AD⊥平面A1BC，又BC?平面A1BC，所以AD⊥BC．…因為三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，則AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，從而BC⊥側面A1ABB1，又AB?側面A1ABB1，故AB⊥BC．…（2）解：連接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，則CD是AC在平面A1BC內的射影∴∠ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角，則…在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且點D是A1B中點∴，且，∴…過點A作AE⊥A1C于點E，連DE由（1）知AD⊥平面A1BC，則AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即為二面角A﹣A1C﹣B的一個平面角，…且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B為銳二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小為．…點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．21.某電子商務平臺的管理員隨機抽取了1000位上網購物者，并對其年齡（在10歲到69歲之間）進行了調查，統(tǒng)計情況如下表所示.年齡[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)人數100150a200b50

已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三個年齡段的上網購物的人數依次構成遞減的等比數列.（1）求a，b的值；（2）若將年齡在[30,50)內的上網購物者定義為“消費主力軍”，其他年齡段內的上網購物者定義為“消費潛力軍”.現采用分層抽樣的方式從參與調查的1000位上網購物者中抽取5人，再從這5人中抽取2人，求這2人中至少有一人是消費潛力軍的概率.參考答案：（1），；（2）【分析】（1）根據人數和為100及人數的等比關系列方程組求解即可；（2）在抽取的5人中，有3人是消費主力軍，分別記為，，，有2人是消費潛力軍，分別記為，，利用列舉法及古典概型的公式求解即可.【詳解】（1）由題意得，解得，.（2）由題意可知，在抽取的5人中，有3人是消費主力軍，分別記為，，，有2人是消費潛力軍，分別記為，.記“這2人中至少有一人是消費潛力軍”為事件.從這5人中抽取2人所有可能情況為，，，，，，，，，，共10種.符合事件的有，，，，，，，共7種.故所求概率為.【點睛】本題主要考查了統(tǒng)計的簡單應用，考查了古典概型的求解，屬于基礎題.22.已知數列的各項均為正數，，且對任意，都有．數列前項的和.（1）若數列是等比數列，求的值和（7分）；（2）若數列是等差數列，求與的關系式（5分）；（3）當時，求證：是一個常數（6分）；參考答案：(1)由題意得：

1分

2分因為數列的各項均為正數，所以當時，，

4分當且時，

5分

6分

當時當時所以

7分(2)由題意得：

8分9分

10分

12分

（3）計算猜想

14分欲證明恒成立只需要證明恒成立

即要證明恒成立即要證明恒成立