廣東省江門市杜阮中心初級中學高三數(shù)學理下學期摸底試題含解析

廣東省江門市杜阮中心初級中學高三數(shù)學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，若向區(qū)域上隨機投一點P，則點P落入?yún)^(qū)域A的概率為 （

）A． B． C． D．參考答案：A2.函數(shù)的部分圖象如圖，設是圖象的最高點，是圖象與軸的交點，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B因為函數(shù)的平移不改編圖象的大小，所以將圖圖象向右平移個單位，此時函數(shù)為，A點平移到O點，因為函數(shù)的周期,此時,,,所以,，所以，所以，即，選B.3.已知函數(shù),若恒成立,則整數(shù)k的最大值為()A.2 B.3 C.4 D.5參考答案：B【分析】由題得h（x）=＞k即h（x）的最小值大于k，h′（x）=，記g（x）=x﹣3﹣ln（x-1），（x＞2），通過g(x)找到函數(shù)h(x)的單調(diào)性和最小值即得解.【詳解】f（x）＞恒成立，即h（x）=＞k即h（x）的最小值大于k．而h′（x）=，記g（x）=x﹣3﹣ln（x-1），（x＞2），則g′（x）=＞0，∴g（x）（2，+∞）上單調(diào)遞增，又g（4）=1﹣ln3＜0，g（5）=2﹣2ln2＞0，∴g（x）=0存在唯一實根a，且滿足a∈（4，5），a-3=ln（a-1），當x＞a時，g（x）＞0，h′（x）＞0，當2＜x＜a時，g（x）＜0，h′（x）＜0，∴h（x）min=h（a）==a-1∈（3，4），故正整數(shù)k的最大值是3．故答案為：B【點睛】(1)本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查函數(shù)的零點，考查不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解題的關(guān)鍵是找到函數(shù)的單調(diào)性和a的取值范圍.

4.設A，B分別是雙曲線C：的左、右頂點，P是雙曲線C上異于A，B的任一點，設直線AP，BP的斜率分別為m，n，則+ln|m|+ln|n|取得最小值時，雙曲線C的離心率為（）A．2 B． C． D．參考答案：C【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由題意求得直線AP及PB斜率，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求得ln|m|+ln|n|=ln丨mn丨=ln，構(gòu)造函數(shù)，求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得t=1時，h（t）取最小值，=1，利用雙曲線的離心率公式即可求得答案．【解答】解：由A（﹣a，0），B（a，0），設P（x0，y0），則，y02=，則m=，n=，則mn==，ln|m|+ln|n|=ln丨mn丨=ln，+ln|m|+ln|n|=+ln，設=t，t＞0，則h（t）=+2lnt，t＞0，h′（t）=﹣=，則t=1時，h（t）取最小值，∴則=1，則雙曲線的離心率e===，∴雙曲線C的離心率，故選：C．5.

函數(shù)（0<a<1）的圖像大致為下圖的

（

）A

B

C

D參考答案：答案：A

6.

已知橢圓與為端點的線段沒有公共點，則的取值范圍是

A．

B．或C．或

D．參考答案：答案:B7.如圖，在△ABC中，，點D在邊AC上，AD=DB，，E為垂足，若DE＝，則A.

B.

C.

D.參考答案：C8.已知集合，，則集合等于（▲）A.

B.

C.

D.參考答案：D9.已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是A.(－1,3)

B.(－∞,－3)∪(3,+∞)C.(－3,3)

D.(－∞,－1)∪(3,+∞)參考答案：D因為，所以是偶函數(shù)，又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以等價于，解得，或.故選D.10.在直角三角形ABC中，CA=4，CB=2，M為斜邊AB的中點，則的值為（）A．1 B．10 C． D．6參考答案：D【考點】平面向量數(shù)量積的運算；向量在幾何中的應用．【分析】由平面向量基本定理和向量的運算法則，用向量，表示所求向量，再由數(shù)量積的運算可得．【解答】解：如圖，由向量的運算法則可得=，∵M為斜邊AB的中點，∴==﹣（），∴=﹣（）?（）=（）=（22﹣42）=6故選D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，是f(x)的導函數(shù)，當時，0＜f(x)＜1；當x∈（0，π）且x≠時，，則函數(shù)y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零點個數(shù)為

.參考答案：4略12.已知函數(shù)，則函數(shù)與直線平行的切線方程為

．參考答案：試題分析：，由，得，又，所以切線方程為，即．考點：導數(shù)的幾何意義．13.計算：參考答案：略14.已知在平面直角坐標系中有一個點列：，……，．若點到點的變化關(guān)系為：，則等于

．參考答案：15.已知直線（為常數(shù)）與函數(shù)及函數(shù)的圖象分別相交兩點，則兩點之間的距離為

.參考答案：16.已知函數(shù)，.設是函數(shù)圖象的一條對稱軸，則的值等于

．參考答案：17.已知點滿足則點構(gòu)成的圖形的面積為

．參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.1993年，國際數(shù)學教育委員會（ICMI）專門召開過“性別與數(shù)學教育”國際研討會，會議討論內(nèi)容之一是視覺和空間能力是否與性別有關(guān)，某數(shù)學興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男30女20），給所有同學幾何和代數(shù)各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答.選擇情況如下表：（單位：人）

幾何題代數(shù)題總計男同學22830女同學81220總計302050（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)？（2）經(jīng)過多次測試后，女生甲每次解答一道幾何題所用的時間在5~7分鐘，女生乙每次解答一道幾何題所用的時間在6~8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率；（3）現(xiàn)從選擇幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行全程研究，記甲、乙兩女生中被抽到的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.附表及公式0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考答案：（1）由表中數(shù)據(jù)得的觀測值所以根據(jù)統(tǒng)計有97.5%和空間能力與性別有關(guān).

…………3分（2）設甲，乙解答一道幾何題的事件分別為分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域為，如圖所示

設事件為“乙比甲先做完此道題”，則滿足的區(qū)域為由幾何概型，得，即乙比甲先解答完的概率為…………7分（3）由題可知在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有種，其中甲、乙兩人沒有一個人被抽取到有種；恰有一人被抽到有；兩人都被抽到有種.可能取值為0,1,2，，，的分布列為012所以．

…………12分19.不等式選講已知函數(shù)．(I)解不等式；(Ⅱ)若，且，求．參考答案：（I）不等式的解集是------------------------------5分（II）要證，只需證，只需證而，從而原不等式成立.----------------------------------------10分

略20.已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且當x＞1時，f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）證明：f（x）為單調(diào)增函數(shù)；（3）若，求f（x）在上的最值．參考答案：【考點】3P：抽象函數(shù)及其應用．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】（1）利用賦值法進行求f（1）的值；

（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，并利用賦值法可得函數(shù)的最值．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）滿足f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，則f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．證明：（2）設x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，則＞1，∴f（）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2?）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的是增函數(shù)．解：（3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函數(shù)．若，則f（）+f（）=f（）=﹣2，即f（?5）=f（1）=f（）+f（5）=0，即f（5）=1，則f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）+f（25）=f（125）=3，即f（x）在上的最小值為﹣2，最大值為3．21.目前我國很多城市出現(xiàn)了霧霾天氣，已經(jīng)給廣大人民的健康帶來影響，其中汽車尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一，很多城市提倡綠色出行方式，實施機動車尾號限行．某市為了解民眾對“車輛限行”的態(tài)度，隨機調(diào)查了50人，并半調(diào)查結(jié)果制成如表：年齡（歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）頻數(shù)510151055贊成人數(shù)469634（1）若從年齡在[55，65）的被調(diào)查者中隨機選取2人進行跟蹤調(diào)查，求恰有1名不贊成“車輛限行”的概率；（2）把年齡在[15，45）稱為中青年，年齡在[45，75）稱為中老年，請根據(jù)上表完成2×2列聯(lián)表，并說明民眾對“車輛限行”的態(tài)度與年齡是否有關(guān)聯(lián)．態(tài)度年齡贊成不贊成總計中青年

中老年

總計

參考公式和數(shù)據(jù)：x2=X2≤2.706＞2.706＞3.841＞6.635A、B關(guān)聯(lián)性無關(guān)聯(lián)90%95%99%參考答案：【考點】獨立性檢驗的應用．【專題】應用題；概率與統(tǒng)計．【分析】（1）從這5人中任取2人的所有情況共C52=10種情況，恰有1名不贊成“車輛限行”C31C21=6種情況，即可求出恰有1名不贊成“車輛限行”的概率；（2）根據(jù)所給做出的列聯(lián)表，做出觀測值，把觀測值同臨界值進行比較得到結(jié)論．【解答】解：（1）從這5人中任取2人的所有情況共C52=10種情況…恰有1名不贊成“車輛限行”C31C21=6種情況…所以恰有1名不贊成“車輛限行”的概率為…（2）2×2列聯(lián)表如圖所示…態(tài)度年齡贊成不贊成總計中青年191130中老年13720總計321850X2=≈0.0145≤2.706…說明民眾對“車輛限行”的態(tài)度與年齡沒有關(guān)聯(lián)…【點評】本題考查獨立性檢驗的應用，本題解題的關(guān)鍵是正確運算出觀測值，理解臨界值對應的概率的意義，本題是一個基礎題．22.

已知函數(shù)f(x)＝ax＋＋c(a、b、c是常數(shù))是奇函數(shù)，且滿足f(1)＝，f(2)＝．(1)求a、b、c的值；(2)試討論函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性；(3)試求函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最小值．參