北京市東城區(qū)一七一中學(xué)2022~2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)練習(xí)（含答案與解析）

北京市東城區(qū)一七一中學(xué)2022~2023學(xué)年上學(xué)期期末練習(xí)

九年級(jí)數(shù)學(xué)

（時(shí)間：120分鐘滿分：100分）

注意事項(xiàng)：

1.試題的答案書寫在答題卡上，不得在試卷上直接作答。

2.作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項(xiàng)。

3.考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試卷和答題卡一并收回。

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

1.若關(guān)于X的一元二次方程式+3%+。=°的一個(gè)根為1,則。的值為（

A.2B.-2C.-3

2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

3.將拋物線y=x2向右平移3個(gè)單位長度得到的拋物線是（）

A.y-X2+3B.y=x2-3C.y=（x-3jD.y=(x+3)2

4.某種彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是1%,下列說法正確的是【】

A.買1張這種彩票一定不會(huì)中獎(jiǎng)

B.買1張這種彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)

C.買100張這種彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)

D.當(dāng)購買彩票數(shù)量很大時(shí)，中獎(jiǎng)的頻率穩(wěn)定在1%

5.用配方法解方程好―4%=1，變形后結(jié)果正確的是（）

A.（九+2）2=5B.（x+2）2=2C.（無一2『=5D.(x—2『=2

6.如圖，圓心角NAO8=n0°,則ZACB的度數(shù)是（）

A.70°B.55°C.125°D.130°

7.在半徑為6圓中，120°的圓心角所對(duì)扇形的面積是（）

A.4萬B.8"C.12萬D.16〃

8.如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=1,AB=3,將AABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，取

AC的中點(diǎn)E，4線的中點(diǎn)尸，則在旋轉(zhuǎn)過程中，線段砂的最大值為（）

A.1B.2.5C.2D.1.5

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.點(diǎn)（3,-1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.

10.請(qǐng)寫出一個(gè)開口向下，頂點(diǎn)在x軸上二次函數(shù)解析式________________.

H.已知P（X],1）,。5，1）兩點(diǎn)都在拋物線y=3x+i上，那么占+4=.

12.2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化，重走長征路”主題教育活動(dòng).據(jù)

了解，某展覽中心3月份的參觀人數(shù)為11萬人，5月份的參觀人數(shù)增加到15.1萬人.設(shè)參觀人數(shù)的月平均

增長率為x,則可列方程為.

13.如圖，A3是。。直徑，C,。是。。上的兩點(diǎn).若NC鉆=60°,則4OC的度數(shù)為

14.如圖，PA,尸5是。。的切線，切點(diǎn)分別為A,B.若NOSA=30°,PA=3,則AB的長為

p

15.如表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結(jié)果.那么，這名球員投籃一次，投中的概率約為（精

確到0.1）.

投籃次數(shù)（n）50100150200250300500

投中次數(shù)（m）286078104123152251

投中頻率（m/n）0.560.600.520.520.490.510.50

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，P為x軸正半軸上一點(diǎn).己知點(diǎn)4（0,1）,6（0,7）,?M為&ABP

的外接圓.

B

（1）點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為；

（2）當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

三、解答題（本題共68分，17-22題每題5分，23-26題每題6分，27-28題每題7分）

17.下面是小樂設(shè)計(jì)的“過圓外一點(diǎn)作這個(gè)圓的兩條切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：O。及。。外一點(diǎn)尸.

求作：直線Q4和直線PB,使切。。于點(diǎn)A,PB切。。于點(diǎn)B.

作法：如圖，

①連接O尸，分別以點(diǎn)。和點(diǎn)尸為圓心，大于工。戶的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)V,N；

2

②連接"N,交OP于點(diǎn)Q,再以點(diǎn)。為圓心，。。的長為半徑作弧，交。。于點(diǎn)A和點(diǎn)8；

③作直線P4和直線PB.

所以直線PA和PB就是所求作的直線.

根據(jù)小樂設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

（2）完成下面的證明.

證明：尸是OQ的直徑，

AZOAP=ZOBP=°（）（填推理的依據(jù)）.

APALOA,PBLOB.

,：OA,。8是。。的半徑，

：.PA,PS是。。的切線.

18.如圖，A3是。。的弦，。為A5的中點(diǎn)，0c的延長線與交于點(diǎn)。，若CD=1，A3=6,求。。

19.用配方法解一元二次方程：2x-4x+l=0.

20.已知二次函數(shù)丁=12+4%+3.

(1)二次函數(shù)的圖象與X軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)8左邊)，則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為

(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象；

(3)當(dāng)一34尤＜0時(shí)，＞的取值范圍是.

21.如圖，方格中每個(gè)小正方形的邊長都是單位1,在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖.

(1)畫出將AABC繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的圖形；

(2)求出點(diǎn)。經(jīng)過的路徑的長.

22.在一個(gè)不透明的紙箱里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球，它們除顏色外完全相同，其中紅球有2個(gè)，

黃球有1個(gè)，藍(lán)球有1個(gè).現(xiàn)有一張電影票，小明和小亮決定通過摸球游戲定輸贏(贏的一方得電影

票).游戲規(guī)則是：兩人各摸1次球，先由小明從紙箱里隨機(jī)摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回，將小球搖勻，

再由小亮隨機(jī)摸出1個(gè)球.若兩人摸到的球顏色相同，則小明贏，否則小亮贏.這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方公平

嗎？請(qǐng)你利用樹狀圖或列表法說明理由.

23.已知關(guān)于x的一元二次方程兀2+(1-2加)％+??-加=0.

(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正數(shù)，求機(jī)的取值范圍.

24.如圖，在一次學(xué)校組織的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，小龍看到農(nóng)田上安裝了很多灌溉噴槍，噴槍噴出的水流軌

跡是拋物線，他發(fā)現(xiàn)這種噴槍射程是可調(diào)節(jié)的，且噴射的水流越高射程越遠(yuǎn)，于是他從該農(nóng)田的技術(shù)部門

得到了這種噴槍的一個(gè)數(shù)據(jù)表，水流的最高點(diǎn)與噴槍的水平距離記為X,水流的最高點(diǎn)到地面的距離記為

y與x的幾組對(duì)應(yīng)值如下表:

5

x(單位：m)012234

222

9511137_

y(單位：m)234

42~4~42

(1)該噴槍的出水口到地面的距離為m；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，描出表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并畫出丫與x的函數(shù)圖象;

叫

5

4-

3-

2-

1■

O'1~2~3~456789

(3)結(jié)合(2)中的圖象，估算當(dāng)水流的最高點(diǎn)與噴槍的水平距離為8m時(shí)，水流的最高點(diǎn)到地面的距離

為m(精確到1m).根據(jù)估算結(jié)果，計(jì)算此時(shí)水流的射程約為m(精確到1m,參考數(shù)

據(jù)卡—

25.如圖，A3是。。的直徑，弦石戶，A5于點(diǎn)C,過點(diǎn)尸作。。的切線交A3的延長線于點(diǎn)。,

ZA=30°.

(1)求的大小；

(2)取防的中點(diǎn)連接上加，請(qǐng)補(bǔ)全圖形；若=J五，求。。的半徑.

26.已知二次函數(shù)y=+法+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,3）.

（1）用含。的代數(shù)式表示萬；

（2）若該函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（-2,0）,求二次函數(shù)的解析式；

（3）當(dāng)a<0時(shí)，該函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)P（王,%）、。（無2，%），若滿足%=-1，%>上，求X2的取

值范圍.

27.如圖，在三角形ABC中，NB4C=90°,A3=AC,點(diǎn)產(chǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，連接AP,BP，CP,

將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AP'，連接PP，CP'.

（1）用等式表示CP'與6F的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）當(dāng)N5PC=135°時(shí)，

①直接寫出NP'CP的度數(shù)為；

②若M為的中點(diǎn)，連接PM，請(qǐng)用等式表示與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.給出如下定義：對(duì)于。。的弦"N和。。外一點(diǎn)P（M,O,N三點(diǎn)不共線，且P,。在直線

"N的異側(cè)），當(dāng)4/取+/“叩=180。時(shí)，則稱點(diǎn)P是線段"N關(guān)于點(diǎn)。的關(guān)聯(lián)點(diǎn).圖1是點(diǎn)P為

線段關(guān)于點(diǎn)。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的示意圖.

圖1圖2圖3

在平面直角坐標(biāo)系x0y中，。。的半徑為2.

⑴如圖2,M（V2,V2）,N（V2,-V2）.在A（2,0）,3（2應(yīng),0）,C（2,2）,三點(diǎn)中，是線段肱V

關(guān)于點(diǎn)。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是；

（2）如圖3,M（0,2）,N（省1）,點(diǎn)。是線段肱V關(guān)于點(diǎn)。的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

①ZMDN的大小為°；

②在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)加），點(diǎn)E是線段關(guān)于點(diǎn)。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

③點(diǎn)尸在直線y=-走戈+4上，當(dāng)NMFNN/MDN時(shí),直接寫出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)號(hào)的取值范圍

3

參考答案

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

L若關(guān)于x的一元二次方程f+3x+a=°的一個(gè)根為1,貝甲的值為（）

A.2B.-2C.-3D.-4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把X=1代入方程，得出關(guān)于。的方程，解出即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程f+3%+4=0的一個(gè)根為1,

.,.把％=1代入方程，可得：l+3+a=0,

解得：。=-4,

的值為—4.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握一元二次方程的解的定義.使一元二次

方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：A、既軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故A符合題意;

B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故B不符合題意；

C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故C不符合題意；

D、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故D不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)

后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直

線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)定義.

3.將拋物線y=x2向右平移3個(gè)單位長度得到的拋物線是()

A.y-x2+3B.y=x2-3C.y=(x-3)~D.y=(x+3j

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可.

【詳解】解：拋物線>向右平移3個(gè)單位長度得到的拋物線是y=(%-3)二

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，理解平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

4.某種彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是1%,下列說法正確的是【】

A.買1張這種彩票一定不會(huì)中獎(jiǎng)

B.買1張這種彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)

C.買100張這種彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)

D.當(dāng)購買彩票的數(shù)量很大時(shí)，中獎(jiǎng)的頻率穩(wěn)定在1%

【答案】D

【解析】

【分析】

【詳解】解：A、因?yàn)橹歇?jiǎng)機(jī)會(huì)是1%,就是說中獎(jiǎng)概率是1%,機(jī)會(huì)較小，但也有可能發(fā)生，故本選項(xiàng)

錯(cuò)誤；

B、買1張這種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%,即買1張這種彩票會(huì)中獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)很小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、買100張這種彩票不一定會(huì)中獎(jiǎng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、當(dāng)購買彩票的數(shù)量很大時(shí)，中獎(jiǎng)的頻率穩(wěn)定在1%,故本選項(xiàng)正確，

故選D.

5.用配方法解方程x2—4x=l，變形后結(jié)果正確的是()

A.(%+2)2=5B.(x+2)2=2C.(x-2『=5D.(%-2)2=2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)配方法可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：由方程乂―4龍=1兩邊同時(shí)加上4可得(x—2)2=5；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，圓心角NAOfi=nO°,則ZACB的度數(shù)是（）

A.70°B.55°C.125°D.130°

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)尸是優(yōu)弧上的一點(diǎn)，連接AP，6P，根據(jù)圓周角定理，得出NAPfi=55°,再根據(jù)圓

內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，計(jì)算即可得出NACB的度數(shù).

【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)尸是優(yōu)弧A3上的一點(diǎn)，連接轉(zhuǎn)，BP，

VZAO8=n。。，

/.ZAPB=-ZAOB=55°,

2

?；ZAPB+ZACB=180°,

ZACB=180°—ZAPS=125°.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理，并正

確作出輔助線.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心

角的一半.

7.在半徑為6的圓中，120。的圓心角所對(duì)扇形的面積是（）

A.4萬B.87rC.12萬D.167r

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)扇形面積公式S房彩=上二即可進(jìn)行解答.

扇形360

【詳解】解：S扇形=12076=I2",

360

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式5戶取=空二.

扇形360

8.如圖，在“WC中，ZACB=90°,AC=1,AB=3,將繞頂點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,取

AC的中點(diǎn)E，A用的中點(diǎn)P，則在旋轉(zhuǎn)過程中，線段石P的最大值為（）

A.1B.2.5C.2D.1.5

【答案】C

【解析】

【分析】連接CP,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出用=90。，4四=3,再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于

斜邊的一半,得出4P=B}P=CP=1.5,再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出EC+CP>EP,進(jìn)而得出當(dāng)點(diǎn)E、

C、P三點(diǎn)共線時(shí)，EP最大,最大值為CE+CP,再根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，得出CE=0.5,進(jìn)而即可得出答

案.

【詳解】解：連接CP,

：AABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AA51C,ZACB=90°,AC=1,AB=3,

.?./AS=90。,A4=3,

?；A4的中點(diǎn)尸，

\P=BxP=CP=i.5,

■:EC+CP>EP,

當(dāng)點(diǎn)E、C、尸三點(diǎn)共線時(shí)，EP最大,最大值為CE+CP,

..?點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AC=1,

/.CE=0.5,

：.EP最大值為0.5+1.5=2.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、三角形的三邊關(guān)系，解本題的

關(guān)鍵在熟練掌握三角形的三邊關(guān)系.

二、填空題(本題共16分，每小題2分)

9.點(diǎn)(3,-1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.

【答案】(-3,1)

【解析】

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是互為相反數(shù)解答.

【詳解】解：點(diǎn)(3,-1)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(-3,1).

故答案為：(-3,1).

【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是互為相反

數(shù).

10.請(qǐng)寫出一個(gè)開口向下，頂點(diǎn)在x軸上的二次函數(shù)解析式.

【答案】y=-2(x+1)2.答案不唯一

【解析】

【分析】先設(shè)出二次函數(shù)解析式方程，y=+左再根據(jù)圖像開口向下可知a<0,可以得

出結(jié)論.

【詳解】設(shè)該二次函數(shù)的解析式為丁=。(％+4+左(亦0)

:拋物線的開口向下

a<0

又丁在x軸上

k=0

?1.y=-2(x+1)2,答案不唯一，滿足上述條件即可.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)丁=。（％+/2『+左（。。0）中，當(dāng)a<0,時(shí)開口向下，且頂點(diǎn)在x軸上時(shí)

要滿足的條件，熟練掌握函數(shù)性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵.

11.已知？（七』），。（程1）兩點(diǎn)都在拋物線丁=爐—3x+l上，那么西+/=.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)尸和點(diǎn)。關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求出函數(shù)的對(duì)稱軸即可進(jìn)行解答.

b-33

【詳解】解：根據(jù)題意可得：拋物線的對(duì)稱軸為直線：x=-=--=—,

2a22

,?,P（%，1）,Q（X2，1）,

.玉+馬_3

??一,

22

/.X]+々=3.

故答案為:3.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，找到P、。兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱求解.

12.2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化，重走長征路”主題教育活動(dòng).據(jù)

了解，某展覽中心3月份的參觀人數(shù)為11萬人，5月份的參觀人數(shù)增加到15.1萬人.設(shè)參觀人數(shù)的月平均

增長率為無，則可列方程為.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得4月份的參觀人數(shù)為11（1+1）人，則5月份的人數(shù)為11（1+%丁，根據(jù)5月份的參觀

人數(shù)增加到15.1萬人，列一元二次方程即可.

【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)參觀人數(shù)的月平均增長率為x,則可列方程為U（l+x）2=15.1

故答案為：11（1+無7=15.1.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)增長率問題列一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，A3是。。的直徑，C,。是。。上的兩點(diǎn).若NC鉆=60°,則4OC的度數(shù)為

【答案】30°##30度

【解析】

【分析】根據(jù)圓周角定理，得出NACB=90。，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出NA5C=30。，再根

據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得出ZAOC的度數(shù).

【詳解】解：為。。的直徑，

/./ACS=90。，

ZABC=90°-ZCAB=90°-60°=30°,

ZADCZABC=30°.

故答案為：30°.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及其推論、直角三角形兩銳角互余，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)

定理.

14.如圖，PA,PB是。。的切線，切點(diǎn)分別為A,B.若NOSA=30°,PA=3,則AB的長為

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)切線長定理和切線的性質(zhì)，得出PA=PB,NPBO=90°,再根據(jù)等腰三角形的判定定

理，得出△上鉆為等腰三角形，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出NP5A=60°,再根據(jù)等邊三角形的判定

定理，得出為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出=進(jìn)而即可得出答案.

【詳解】解：也分別為。。的切線，

APA=PB,NPBO=90°,

，為等腰三角形，

VZOBA=30°,

：.ZPBA=ZPBO-AOBA=60°,

：.△以§為等邊三角形，

/.AB=PA,

?/PA=3,

：.AB=3.

故答案為：3

【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理、切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解本

題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理.

15.如表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結(jié)果.那么，這名球員投籃一次，投中的概率約為（精

確到0.1）.

投籃次數(shù)（n）50100150200250300500

投中次數(shù)（m）286078104123152251

投中頻率（m/n）0.560.600.520.520.490.510.50

【答案】0.5

【解析】

【分析】利用頻率的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意得，這名球員投籃的次數(shù)為1550次，投中的次數(shù)為796,故這名球員投籃一次，投中

796

的概率約為：----=0.5.

1550

故答案為0.5.

【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率，難度不大.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P為x軸正半軸上一點(diǎn).已知點(diǎn)A（0,l）,B（0,7）,OM為AABP

的外接圓.

B

(1)點(diǎn)M縱坐標(biāo)為；

(2)當(dāng)/AP3最大時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

【答案】①.4②.(77,0)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角形外心的定義，可得出AABP的外接圓圓心在線段A3的垂直平分線上，即可求解;

(2)點(diǎn)尸在。時(shí)切點(diǎn)處時(shí)，NAPB最大,而四邊形OPMD是矩形，由勾股定理求解即可.

【詳解】解:(1)???4(0,1),5(0,7),

二線段AB的垂直平分線為直線y=r=4,

:點(diǎn)M在AB的垂直平分線上，

???點(diǎn)加的縱坐標(biāo)為4,

(2)過點(diǎn)4(0,1),5(0,7),作OM與x軸相切，則點(diǎn)尸在切點(diǎn)處時(shí)，/APB最大,

理由：

如上圖，若點(diǎn)尸'是無軸正半軸上異于切點(diǎn)P的任意一點(diǎn),

設(shè)AP'交。M于點(diǎn)E，連接AE，則Z4￡B=Z4PB,

,/NAEB是VAPE的外角，

???ZAEB>ZAP,B,

AZAPB>ZAP'B,即點(diǎn)尸在切點(diǎn)處時(shí)，NAPB最大,

經(jīng)過點(diǎn)4(0,1),5(0,7),

...點(diǎn)M在線段AB的垂直平分線上，即點(diǎn)M在直線y=4上，

：與x軸相切于點(diǎn)P,軸，從而MP=4，即。"的半徑為4,

設(shè)AB的中點(diǎn)為。，連接MD、AM,如上圖，則MDLAB，AD=BD=-AB=3,

2

AM=MP=4，

VZPOD=90°,MPLx軸，MD±AB，

四邊形OPMD是矩形，從而OP=MD,

由勾股定理，得

MD=^AM--AD1=742-32=77-

???OP=MD=&,

..?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(、廳,0),

故答案為：4,(77,0).

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的判定及勾股定理，正確作

出圖形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本題共68分，17-22題每題5分，23-26題每題6分，27-28題每題7分)

17.下面是小樂設(shè)計(jì)的“過圓外一點(diǎn)作這個(gè)圓的兩條切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：O。及。。外一點(diǎn)P.

求作：直線和直線PB,使Q4切。。于點(diǎn)A,PB切。。于點(diǎn)8.

作法：如圖，

①連接OP,分別以點(diǎn)。和點(diǎn)尸為圓心，大于工。「的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)N；

2

②連接MN,交OP于點(diǎn)。，再以點(diǎn)。為圓心，的長為半徑作弧，交OO于點(diǎn)A和點(diǎn)8；

③作直線巴4和直線P3.

所以直線必和PB就是所求作的直線.

根據(jù)小樂設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

（2）完成下面的證明.

證明：尸是。。的直徑，

：./OAP=NOBP=°（）（填推理的依據(jù)）.

APA1OA,PBLOB.

?：OA,。8是。。的半徑，

.,.PA,PB是。。的切線.

【答案】（1）見解析（2）90,直徑所對(duì)的圓周角為直角

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，畫出圖形即可；

（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得出NQ4尸=NOBP=90。，再根據(jù)垂線的定義，得出P4J_Q4,

PBLOB,再根據(jù)切線的判定定理，即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：補(bǔ)全圖形如圖：

【小問2詳解】

證明：尸是OQ的直徑,

ZOAP^ZOBP=90°（直徑所對(duì)的圓周角為直角）.

APA1OA,PBLOB.

,：OA,是。。的半徑，

：.PA,尸3是。。的切線.

故答案為：90,直徑所對(duì)的圓周角為直角

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定定理，解本題的關(guān)鍵

在理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

18.如圖，A3是。。的弦，C為A3的中點(diǎn)，0c的延長線與。。交于點(diǎn)。，若CD=1,A3=6,求。。

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)垂徑定理可得coLAB,AC=根據(jù)勾股定理即可求解.

2

【詳解】解：：AB是。。的弦，C為AB的中點(diǎn)，AB=6,

：.OD±AB,AC=-AB=3,

2

設(shè)。。的半徑為r,則40=00=r,

?/CD=1,

：.CO=DO—CD=r—l,

在RQAOC中，根據(jù)勾股定理可得：AC2+CO2=AO1，

即3?+(r—l『=/，解得：r=5.

。。的半徑為5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)勾股定理列出方程求解.

19.用配方法解一元二次方程：2/-4x+l=0.

【答案】再=1+冬工廣苣

【解析】

【分析】方程整理后，利用配方法求出解即可.

91

【詳解】解：方程整理得：X2-2X=——,

2

11

配方得：x9—2元+1=5，即（%—1）9=—,

開方得：x-l=+—，

2

解得：x.=l+—，x=l-—.

222

【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程一配方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式.

20.已知二次函數(shù)y=d+4x+3.

（1）二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），則A,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)為;

（2）在平面直角坐標(biāo)系xQy中畫出該函數(shù)的圖象；

（3）當(dāng)—3<x<0時(shí)，>的取值范圍是.

【答案】⑴A（-3,0）,B（-l,0）

（2）見解析（3）-l<y<3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A,B,得出y=0,即f+4%+3=0,解出即可得出

A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）列表、描點(diǎn)、連線，畫出圖象即可；

（3）根據(jù)（2）的圖象，即可得出答案.

【小問1詳解】

解：?.?二次函數(shù)y=f+4x+3的圖象與無軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），

>=0,即無2+4%+3=0，

解得：無i=-3,x2=-1,

A（-3,0）,B（-LO）；

故答案為：A（-3,0）,B（-l,0）

【小問2詳解】

解：列表：

X-4-3-2-10

y30-103

故答案為：—

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題、解一元二次方程、用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)圖象、二次函

數(shù)的圖象與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在正確畫出二次函數(shù)的圖象.

21.如圖，方格中每個(gè)小正方形的邊長都是單位1,"WC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖.

ci）畫出將AABC繞點(diǎn)8順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的圖形;

（2）求出點(diǎn)C經(jīng)過的路徑的長.

【答案】（1）見解析（2）昱兀

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的作圖方法和作圖步驟即可進(jìn)行解答；

（2）點(diǎn)C經(jīng)過的路徑是以點(diǎn)B為圓心，8C長為半徑，旋轉(zhuǎn)角為圓心角的弧長.

【小問1詳解】

解：如圖所示：

【小問2詳解】

根據(jù)勾股定理得：5。=爐兩=6，

nnr_90乃x逐_布

點(diǎn)C經(jīng)過的路徑長為:

欣廣180一號(hào)萬

【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義與性質(zhì).

22.在一個(gè)不透明的紙箱里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球，它們除顏色外完全相同，其中紅球有2個(gè)，

黃球有1個(gè)，藍(lán)球有1個(gè).現(xiàn)有一張電影票，小明和小亮決定通過摸球游戲定輸贏（贏的一方得電影

票）.游戲規(guī)則是：兩人各摸1次球，先由小明從紙箱里隨機(jī)摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回，將小球搖勻，

再由小亮隨機(jī)摸出1個(gè)球.若兩人摸到的球顏色相同，則小明贏，否則小亮贏.這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方公平

嗎？請(qǐng)你利用樹狀圖或列表法說明理由.

【答案】不公平

【解析】

【分析】游戲是否公平，關(guān)鍵要看游戲雙方獲勝的機(jī)會(huì)是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉(zhuǎn)

化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等.

【詳解】解：此游戲不公平.

理由如下：列樹狀圖如下，

開始

紅紅黃藍(lán)

/TVxx-Ax

纖纖黃蔣訂打黃薄纖打黃落訂訂黃蕭

由上述樹狀圖知：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有16種.

P（小明贏）=—=-，P（小亮贏）,故此游戲?qū)﹄p方不公平，小亮贏的可能性大.

168168

23.已知關(guān)于x一元二次方程爐+。-2加）％+4一加=0.

（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正數(shù)，求加的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析

（2）7Z7>1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)一元二次函數(shù)的判別式，進(jìn)行求解即可；

（2）首先根據(jù)十字相乘法解一元二次方程，得出石=根，々=〃z-1，然后再根據(jù)題意：方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)

根都是正數(shù)，得出不等式組，解出即可得出結(jié)果.

【小問1詳解】

證明：在關(guān)于x的一元二次方程f+（1—2m）x+m2-m=0中，

,/A=b2-4?c=（l-2m）-一4（〃/一機(jī)）=1>0,

，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

【小問2詳解】

?：X2+（l-2m）x+m2—m=0

因式分解，可得：（％一加）（1一加+1）=。，

于是得：%—根=0或％—m+1=0,

：.Xy=m,x2=m-l,

??,方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正數(shù)，

m>0

二.可得：〈,

m-1>0

解得：m>1,

???加的取值范圍為：/>1.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的判別式、因式分解法解一元二次方程、解不等式組，熟練掌握一元二

次方程的解法及根的判別式是解本題的關(guān)鍵.

24.如圖，在一次學(xué)校組織的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，小龍看到農(nóng)田上安裝了很多灌溉噴槍，噴槍噴出的水流軌

跡是拋物線，他發(fā)現(xiàn)這種噴槍射程是可調(diào)節(jié)的，且噴射的水流越高射程越遠(yuǎn)，于是他從該農(nóng)田的技術(shù)部門

得到了這種噴槍的一個(gè)數(shù)據(jù)表，水流的最高點(diǎn)與噴槍的水平距離記為心水流的最高點(diǎn)到地面的距離記為

y與x的幾組對(duì)應(yīng)值如下表:

3_5

x（單位：m）01234

222

9511137

y（單位：m）234

42~4~42

（1）該噴槍的出水口到地面的距離為m；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并畫出y與X的函數(shù)圖象;

叫

5

4-

3-

2-

1■

O'1~2~3~456789

（3）結(jié)合（2）中的圖象，估算當(dāng)水流的最高點(diǎn)與噴槍的水平距離為8m時(shí)，水流的最高點(diǎn)到地面的距離

為m（精確到1m）.根據(jù)估算結(jié)果，計(jì)算此時(shí)水流的射程約為m（精確到1m,參考數(shù)

據(jù)灰。2.4）.

【答案】（1）2

（2）見解析（3）6,18

【解析】

【分析】（1）令x=0時(shí)，求得〉值即可；

（2）按照描點(diǎn)，連線的基本步驟畫函數(shù)圖象即可；

（3）設(shè)直線為、=履+人，把x=0,y=2和了=2,y=3代入解析式，聯(lián)立方程組，解出即可得出直線的

解析式為y=；x+2,然后再把x=8代入y=gx+2,求得y=6,進(jìn)而得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)

出拋物線解析式為y=4尤―8）2+3,把（0,2）代入解析式,確定a=—,得到拋物線解析式,再令y=0,

求得x的值即可.

【小問1詳解】

解：令x=0時(shí)，得尸2,

故答案為：2

【小問2詳解】

解：根據(jù)題意，畫圖如下:

【小問3詳解】

b=2

把x=0,y=2和》=2,y=3代入，可得:

2k+b=3,

k-L

解得彳2,

b=2

二直線的解析式為y=；x+2,

當(dāng)x=8時(shí)，可得：y=gx8+2=6（m）,

水流的最高點(diǎn)到地面的距離為6m,

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（8,6）,

設(shè)拋物線解析式為y=a（x—8）2+6,

把（0,2）代入解析式，可得：64a+6=2,

解得：a―――,

16

y=_”（冗_(dá)8）2+6,

19

令y=。，可得：（%-8）+6=0,

解得：x=8+4而或x=8-4#（舍去），

且x=8+4指儀17.79~18（m）,

此時(shí)水流的射程約為18m.

故答案為：6,18

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的畫法、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、求二次函數(shù)解析式、一元二

次方程的解法、二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵.

25.如圖，AB是。。的直徑，弦石尸，A5于點(diǎn)C,過點(diǎn)R作。。的切線交AB的延長線于點(diǎn)。，

ZA=30°.

（1）求/￡）的大??；

（2）取助的中點(diǎn)連接〃/，請(qǐng)補(bǔ)全圖形；若“=后，求。。的半徑.

【答案】（1）30°

（2）圖形見解析，2后

【解析】

【分析】（1）連接。尸，先求出NA5E=60。，從而得出N3EC=30。，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心

角的一半得出ZDOF=2ZBEC=60°,最后根據(jù)切線的定義即可求解；

（2）連接,證明AEOB為等邊三角形，將QW的長度用半徑表示出來，再證明

ZMOF=ZDOF+ZBOM=90°,根據(jù)勾股定理列出方程求解即可.

【小問1詳解】

解：連接。尸，

：AB是。。的直徑，

：.ZAEB^90°,

?：ZA=30°,

：.ZABE=90°-30°=60°,

?/EhAB，

：.ZBEC=900-60°=30°,

：.ZDOF=2ZBEC=60°,

DF為OO的切線，

/.OF±DF,

：.ZD=900-ZDOF=90°-60°=30°.

VOE=OB,ZABE=60°,

???AEOB為等邊三角形，

:點(diǎn)M為3E中點(diǎn)，

AZBOM=3Q°,OMLBE,

ZMOF=NDOF+ZBOM=60°+30°=90°,

設(shè)。。半徑為r,

在RtAOBM中，OM=sin60°OB=—r,

2

'：MF=A/14-OF=r,

.??RtzXOMr中，根據(jù)勾股定理可得：OM2+OF2=MF2,

即+r2=(714)2,解得：r=2日

A。。半徑為2a.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，圓的切線的定義，直角三角形兩

個(gè)內(nèi)角互余，勾股定理等相關(guān)知識(shí).

26.已知二次函數(shù)y=以2+法+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3).

(1)用含〃的代數(shù)式表示b;

(2)若該函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(-2,0),求二次函數(shù)的解析式；

(3)當(dāng)。<0時(shí)，該函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)P(玉,%)、。(%2，%)，若滿足%=-1，%〉為，求巧的取

值范圍.

【答案】(1)b=-a

1,1

(2)y=—xH—x+3

22

(3)x2<-1或尤2>2

【解析】

【分析】(1)把(L3)代入丁=以2+法+3可得關(guān)于。和b的等式，再進(jìn)行整理即可；

⑵把(1,3),(一2,0)代入y=以2+法+3,求出a和6的值即可；

(3)先求出函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)函數(shù)的開口方向和增減性即可進(jìn)行解答.

【小問1詳解】

解：把(1,3)代入y=ax?+法+3得：

3=a+Z?+3,

整理得：b=—a.

【小問2詳解】

把(1,3),(一2,0)代入y=ax2+/zx+3可得：

3=a+b+3

，解得：＜

0=4a—2b+3

11。

該二次函數(shù)的解析式為:y——x2H—x+3.

22

【小問3詳解】

由(1)可矢口，b=—a

b—a1

2a2a29

Va<0,

.,.函數(shù)開口向下，

,在對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；在對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減??；當(dāng)x=1■時(shí)，函數(shù)取得最大值;

：X]=-1,%>為，

???點(diǎn)尸在對(duì)稱軸左側(cè)，

①當(dāng)點(diǎn)尸和點(diǎn)。在對(duì)稱軸同側(cè)時(shí)：％2<%1，即犬2<-1，

②當(dāng)點(diǎn)尸和點(diǎn)。在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí):

：X]=-1,

13

，帶你P到對(duì)稱軸的距離=——（-1）=—,

2v72

113

點(diǎn)尸關(guān)于直線x=—的對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：^+4=2

222

>2.

綜上：々<一1或%>2.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練

掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.如圖，在三角形ABC中，ZBAC=90°,=點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，連接AP,BP，CP,

將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AP'，連接PP，CP'.

（1）用等式表示CP'與6F的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）當(dāng)NBPC=135°時(shí)，

①直接寫出NP'CP的度數(shù)為；

②若加為的中點(diǎn)，連接請(qǐng)用等式表示與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）CP'=BP,證明見解析

（2）①NPC尸=45°,②AP=&M，證明見解析

【解析】

【分析】（1）通過證明6Pg△ACP,即可得出結(jié)論；

（2）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出ZPBC+NPCB=45°,ZABC+ZACB=90°,即可得出

ZABP+ZACP=45°,再根據(jù)即可得出結(jié)論；②延長至點(diǎn)。使PM=MQ,

連接CQ，先證明V5PM至VCQM,得出3P=CQ,ZPBC=ZMCQ,再證明VPC。4VPCP,得

出PQ=PP,再根據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系，即可進(jìn)行解答.