【新人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊課時作業(yè)】空間向量與空間角

空間向量與空間角

（45分鐘100分）

一、選擇題（每小題6分，共30分）

1.在空間中，已知二面角aT-B的大小為生,m,112分別是平面a,B的法向量,則

3

ii2＞的大小為（）

A.-B.-C.空或二D.-

33336

2.二面角的棱上有A,B兩點，直線AC,BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且

都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2V17,則該二面角的大小為（）

A.150°B,45°C,60°D,120°

3.如圖所示,正方體ABCD-ABCD中,M是棱DDi的中

點，點0為底面ABCD的中點,P為棱AB上任一點，

則異面直線OP與AM所成的角的大小為（）

A.-B.-

43

C.-D.與點P的位置有關(guān)

2

4.直三棱柱ABC-AiBiCi中，ZACB=90°,AC=1,CB=y/2,

側(cè)棱AAkl,側(cè)面AABB的兩條對角線交點為D,則平面B】BD與平面CBD所成角的

余弦值等于（）

A.-老B.漁C.—D.--

NN2N

5.在矩形ABCD中,AB=1,BC=V2,PAL平面ABCD,PA=1,則PC與平面ABCD所成角

是（）

A.30°B,45°C.60°D.90°

二、填空題（每小題8分，共24分）

6.（2013?東莞高二檢測）正方體ABCD-ABCD中，直線BQ與平面A】BD所成角的

余弦值為.

7.（2013?金華高二檢測）如圖,在正方體ABCD-ABCD中,M,N分別是CD,CG的中

點，則異面直線AM與DN所成的角的大小是.

8.如圖所示，已知點P為菱形ABCD外一點，且PAJ_平面ABCD,PA=AD=AC,點F為

PC中點，則二面角C-BF-D的正切值為.

三、解答題（9題,10題14分,11題18分）

9.（2013?廈門高二檢測）如圖，在正方體ABCD-ABCD中,E為AB的中點.

⑴求異面直線BDi與CE所成角的余弦值.

（2）求二面角A-EC-A的余弦值.

10.（2013?秦皇島高二檢測）如圖，AABC是以NC為直角的等腰直角三角形,直

角邊長為8,DE〃BC,AE：EC=5:3,沿DE將4ADE折起使得點A在平面BCED上的

射影是點C,MC=-AC.

3

⑴在BD上確定點N的位置，使得MN〃平面ADE.

（2）在（1）的條件下,求CN與平面ABD所成角的正弦值.

11.（能力挑戰(zhàn)題）（2013?北京高考）如圖，在三棱柱

ABC-AiBC中,AACC是邊長為4的正方形.平面ABC,平面

AAxCiC,AB=3,BC=5.

(1)求證:AAi，平面ABC.

⑵求二面角A-BC-B1的余弦值.

(3)證明:在線段BG存在點D,使得ADXAiB,并求吧的值.

BCt

答案解析

1.【解析】選C.當為銳角時，巴=三；當為鈍角

33

時,<nn>=—.故選C.

b23

2.【解析】選C.由條件知CA?AB=O,AB?BD=O,CD=CA+AB+BD,

A|CD|-(CA+AB+BD)2=62+42+82+2X6X8Xcos<CA,BD>,

得COS〈EA,而>=T...所求二面角的大小為60°.

【變式備選】如圖，在底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD

中，ZABC=90°,SA_L平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=-,則平

面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為()

A.立B.逅C.老D.立

2342

【解析】選B.建立如圖所示的空間直角坐標系，則

A(0,0,0),D(i0,0),C(1,1,0),

S(0,0,1),平面SAB的一個法向量是0,0),并求

得平面SCD的一個法向量n=(1,--,cos<AD,n>=

"二丑，結(jié)合圖形知所求二面角的余弦值為三.

\AD\\n\33

3.【解題指南】本題可通過解立體幾何的方法求解，或者建立空間直角坐標系用

向量法來解.

【解析】選C.方法一：取AD的中點E,連接AiE,則△AiAEgaADM,ZAA1E=ZDAM,

NAA|E+NAiAM=m，.\AM_LAE

2

又P0在平面ADDA內(nèi)的射影為A|E,

.??異面直線OP與AM所成的角的大小為:

方法二:建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方

體棱長為1,則A(0,0,0),M(0,1,i),0(ii0),

設(shè)P(m,0,1).

.\AM=(0,1,i),OP=(m-S--,1),

222

一AM-OPlX(--)+-Xl

.,.cos<AM,0P>=?Y=3z、=0,

|AM|-|OP||AM|-|OP|

.-.AM±OP,異面直線OP與AM所成的角的大小為工

2

4.【解析】選D.建立如圖所示的坐標系，由題意可

知，B0,0),A(0,1,0),0,1),0(0,0,0),

D(4),

797

...cb=(三,,CB=(V2,0,0),BA=(-72,1,0)^^=

(0,0,1),設(shè)平面CBD和平面BED的一個法向量分別為

111,U2,求得Ill=(0,1,—1),

112=(1,V2,0),所以cos<nbm>=JU結(jié)合圖形判斷得平面&BD與平面

\ny|\n21*

CBD所成角的余弦值為

5.【解析】選A.建立如圖所示的空間直角坐標系，則人

P(0,0,1),。(1,\20),反=(1,\，2-1),平面ABCD的一個\V\

C

X

法向量為n=(0,0,1),

一PC?n一

所以cos<PC,n>==^——所以〈PC,n>=120°,

IPCIIni7

所以斜線PC與平面ABCD的法向量所在直線所成角為60°,

所以斜線PC與平面ABCD所成角為30°.

6?【解析】如圖，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長

為1,則D(0,0,0),Al(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),

.?.次1=(1,0,1),品二(1,1,0),B?F(-1,0,1),

設(shè)n=(x,y,z)為平面AiBD的法向量,則

=0,

n?I)Ai:z=g取設(shè)直線

n?~DB=0,+y=o,

〃,2

BG與平面ABD所成角為6,貝Usin9=|cos<n,BC]>|二?BG|

VixVaa

n\|BG|

??cos9—.

答案w

7.【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系Dxyz,設(shè)

AB=1,則0),N(0,1,-),

cos〈A；M,而>二4產(chǎn)自=上二o,Rj7A；M_Llik,貝|A】M

lAiMHDNI

與DN所成角的大小是90°.

答案:90°

8.［解析］如圖所示，令ACABD=O,連接OF.以0為原

點，OB,OC,OF所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.設(shè)PA=AD=AC=1,則

BD=V3.所以B(J,0,0),

F(O,O「)，C(O二,0).

結(jié)合圖形可知，OC=(0,0)且&為平面BOF的一個法向量，由*二(-立二,0),

FB=(-,0,--),可求得平面BCF的一個法向量n=(1,V3,V3).

所以cos<n,0C>=—,sin<n,0C>=—,

77

所以tan<n,0C>=-V3.

3

答案

3

【誤區(qū)警示】在本題中，由于空間幾何體形狀不是非常規(guī)則，故合理建系是關(guān)鍵,

否則會加大運算量，并易導致失誤.

9.【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系Dxyz,設(shè)

AB=1,則B(1,1,0),D1(0,0,1),0(0,1,0),E(1,i0),

⑴m二(7,7,1),&0),故

/c工廠BD-CE

cos〈BDi,CE>=X--

IBDillCEl

二八-二-四，所以異面直線B?與CE所成角的余弦值

氏述15

2

(2)D?J_平面AEC,所以Di)］為平面AEC的一個法向量，DE)產(chǎn)(0,0,1),設(shè)平面AEC

的法向量為n=(x,y,z),又A；E=(0,A；C=(7,1,7),

n,A,E=0,

即J—z=0,

取n=(1,2,1),

n?AiC=0，l-x+y-z=0,

所以cos<DD,n>=—.

1￡

結(jié)合圖形知二面角ALEC-A的余弦值為上

10.【解析】(1)由已知，點A在平面BCED上的射影是

點C,則可知AC_L平面BCED,而BC_LCE,如圖建立空間

直角坐標系，則可知各點的坐標為0(0,0,0),

A(0,0,4),B(0,8,0),D(3,5,0),E(3,0,0),

由MC=?AC,可知點M的坐標為(0,0,色)，設(shè)點N的坐標為

33

(a,b,0),則可知b=8-a,即點N的坐標為(a,8-a,0),則

一Q

MN=(a,8-a,—).

3

/Hi,I)E=0,

設(shè)平面ADE的法向量為nF(x,y,z),由題意可知|.而

|Hi,AE=Q,

DE=(0,-5,0),

AE二(3,0,-4),

可得曰=°；c取x=4,則z=3,

(3x—4z=0,

可得n尸(4,0,3).

要使MN〃平面ADE等價于m?MN=0,即4a+0X(8-a)-3X-=0,

3

解之可得a=2,即可知點N的坐標為(2,6,0),點N為BD的靠近D點的三等分點.

(2)由(1)可知小二(2,6,0),設(shè)平面ADB的法向量為n2=(x',y',z'),由題意可知

fn2*I)B=Q,一一(一3x'+3v'=0

一.而DB=(-3,3,0),AB=(0,8,-4)可得0,二?二'取x=1,則

%?A/3=0,l8y-4z=0,

y=l,z=2,

可得m=(1,1,2).

設(shè)CN與平面ABD所成角為9,則sin9="'「.

15

In2I\CN\

【拓展提升】線面角的求解策略

(1)利用直線與平面夾角的定義，找到線面角，轉(zhuǎn)化為求解三角形問題.

⑵利用最小角定理，即直線與平面內(nèi)任一條直線所成的角中線面角最小，代入

公式cos9=cos91?cos32求解,

⑶建立空間直角坐標系，利用直線的方向向量和平面的法向量求解.

11.【解析】⑴因為四邊形AAGC是正方形，所以AAJAC.

又因為平面ABCJ■平面AAGC,交線為AC,所以AAJ平面ABC.

(2)因為AC=4,BC=5,AB=3,所以AC±AB.分另4以AC,AB,AA,為x

軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則AM0,0,4),B(0,