小學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的策略

小學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的策略一、培養(yǎng)小學(xué)生幾何直觀能力對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義幾何直觀能力是指借助于見到的或想象出來的幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，即空間形式和數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。既有深刻的形象思維特點(diǎn)，又有強(qiáng)烈的抽象思維特點(diǎn)。幾何直觀能力由低到高應(yīng)包括：空間想像能力，直觀洞察能力，用“圖形語言”來思考問題能力。它對(duì)于學(xué)生來說是一種從動(dòng)手操作中，或從圖形中，借觀察或想象等方式所形成的一種經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)這種經(jīng)驗(yàn)在一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)中醞釀、發(fā)酵之后，便實(shí)現(xiàn)了一個(gè)從“形”到“數(shù)”的思維跳躍過程，由此悄然形成了一種關(guān)于解決此方面問題的直覺。借助于這種經(jīng)驗(yàn)與直覺，能夠運(yùn)用圖形進(jìn)行思考與表達(dá)。幾何直觀能力的形成具有以下幾個(gè)意義：.借助于圖形，直觀地感知，可以使一些復(fù)雜的問題簡單化，便于描述與交流。比如，在教學(xué)有余數(shù)除法時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生理解“余數(shù)要比除數(shù)小”這一規(guī)律，采用讓學(xué)生用不同根數(shù)的小棒（13?20根）搭正方形的方法，通過觀察搭正方形后剩余的小棒數(shù)量，學(xué)生便可以從余數(shù)中發(fā)現(xiàn)都比正方形所需要的4根這個(gè)數(shù)要小的規(guī)律。如果出現(xiàn)14時(shí)，引導(dǎo)：“還能再搭出一個(gè)正方形嗎”？從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余數(shù)要比除數(shù)小的規(guī)律，理解余數(shù)為什么比除數(shù)小的原因。.利用幾何直觀，直觀的感知使抽象變得具體。小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多的需要從經(jīng)驗(yàn)入手，通過觀察比較，或通過動(dòng)手操作，從而獲得對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，并發(fā)展空間觀念。如在推導(dǎo)平行四邊形面積公式時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，想象把平行四邊形轉(zhuǎn)化為學(xué)過的長方形，即沿著平行四邊形的高剪下一個(gè)三角形拼到另一側(cè)就可以轉(zhuǎn)化為長方形，在這樣的猜想、嘗試與操作對(duì)比的過程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)并找到兩者之間的聯(lián)系，從而推導(dǎo)面積公式并體會(huì)到轉(zhuǎn)化思想，為后面其它圖形面積公式的推導(dǎo)作以思考導(dǎo)向。.利用幾何直觀，幫助學(xué)生有效尋求解題策略。心理學(xué)家皮亞杰根據(jù)兒童的認(rèn)知理論將兒童化為四個(gè)階段，而小學(xué)生正處于具體運(yùn)算水平階段，很難理解復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，我們只有借助圖形使之直觀化，形象化，簡單化，才能幫助學(xué)生有效尋求解題策略。例如：在教學(xué)《數(shù)的奇偶性》一課時(shí)，“（1）小船最初在南岸，從南岸駛向北岸，再從北岸駛回南岸，不斷往返。擺渡過11次后，船在南岸還是北岸？為什么？”問題出示后，學(xué)生自然而然地把手當(dāng)作小船來回?cái)[動(dòng)，或是如課本上圖示，來解決問題。這就是把問題的呈現(xiàn)進(jìn)行直觀化，幾何化的一個(gè)過程?！埃?）有人說擺渡100次后，小船在北岸，他的說法對(duì)嗎？為什么？”一部分學(xué)生產(chǎn)生困擾：“要這樣來回?cái)[100次嗎？”于是，單純地依靠操作便難以很快解決問題，此時(shí)，若是引導(dǎo)學(xué)生以表格的形式呈現(xiàn)出擺渡次數(shù)與船所在的位置關(guān)系表達(dá)出來，學(xué)生便可以找到規(guī)律迅速而正確地解決有關(guān)此類問題。三、小學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的策略華羅庚先生有一首小詞：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！”這首詞形象生動(dòng)、深刻地指明了“數(shù)形結(jié)合”思想的價(jià)值。東北師大的史寧中教授曾提到，小學(xué)階段培養(yǎng)的重點(diǎn)在于會(huì)借形來思考與表達(dá)。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多地關(guān)注的是實(shí)驗(yàn)幾何、經(jīng)驗(yàn)幾何和直觀幾何，讓學(xué)生感受幾何直觀的作用，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。.教師要具有強(qiáng)烈的數(shù)形結(jié)合意識(shí)。教師的數(shù)形結(jié)合意識(shí)對(duì)學(xué)生的思維起著導(dǎo)向性的作用，有助于促進(jìn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)的形成，有利于學(xué)生直觀思考習(xí)慣的形成。比如，列表法是思維的一種直觀呈現(xiàn)方法。關(guān)于列表法的使用，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)《旅游費(fèi)用》中提到的關(guān)于租車的問題，可以說列表法解決問題的作用比較突出，有利于學(xué)生進(jìn)行有序地、不遺漏地思考。此節(jié)教學(xué)中，筆者比較注重列表法呈現(xiàn)思考的結(jié)果。結(jié)果，在后續(xù)的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，有關(guān)此類問題的解決大部分學(xué)生不僅采用列表法呈現(xiàn)，而且連一些后進(jìn)生在列表法應(yīng)用的過程中，也能正確地解決問題。不僅如此，在解決本冊(cè)后面的“雞兔同籠”問題時(shí)，學(xué)生還能自然地借助于表格形式進(jìn)行呈現(xiàn)。當(dāng)又借助于列表在教學(xué)“雞兔同籠”問題進(jìn)行思維呈現(xiàn)之后的一兩年中，筆者發(fā)現(xiàn)，原來一直不被學(xué)生接受的列表法已成為學(xué)生自然而然的思維呈現(xiàn)方式。.增加學(xué)生體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合起來的妙處與樂趣。在以具體形象思維為主要特征的小學(xué)階段，教材中有大量的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀思考的機(jī)會(huì)，或是動(dòng)手操作，或是借助于圖形來思考等等，把握這樣的機(jī)會(huì)，并適時(shí)創(chuàng)造這樣的機(jī)會(huì)使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中感受到數(shù)與圖形結(jié)合起來的樂趣，增加學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。比如，解決問題：20XX年第4屆世界杯女子足球賽，中國隊(duì)所在的小組共有4支球隊(duì)，每2支球隊(duì)之間都進(jìn)行一場比賽。（1）中國隊(duì)在小組賽中要進(jìn)行幾場比賽？（2）整個(gè)小組共賽多少場？通過課堂上對(duì)學(xué)生的觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思考有四種方式，除了線段式，交叉連線式，還有表格式與敘述式，可是書上卻呈現(xiàn)出四邊形式，如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于四邊形這一圖形呈現(xiàn)方法的理解與掌握呢？筆者在教學(xué)時(shí)從三個(gè)隊(duì)之間的比賽入手進(jìn)行引導(dǎo)，用A、B、C三個(gè)字母代表不同隊(duì)，然后借助于不同顏色的粉筆結(jié)合圖示引導(dǎo)并列出了一共需要比賽多少場的算式，然后，進(jìn)行比賽隊(duì)伍數(shù)的增加，逐步形成了上面的四邊形、五邊形與六邊形。當(dāng)在五邊形里形成了一個(gè)美麗的五角星圖案時(shí)，全班學(xué)生不由地發(fā)出驚奇的贊嘆聲。當(dāng)六隊(duì)之間的比賽場次情況則形成了一個(gè)美麗的六邊形時(shí)，學(xué)生想到了不僅是彈子跳棋的設(shè)計(jì)，還想到了那從天空中飄落的雪花。以A隊(duì)為第一隊(duì)，思考其共要進(jìn)行多少場比賽，然后在不重復(fù)的前提下，思考B、C隊(duì)分別還需要進(jìn)行多少場比賽，以此類推，在對(duì)圖形的觀察中不僅找到了算式產(chǎn)生的來源，學(xué)生還體會(huì)到的數(shù)字的神奇，數(shù)學(xué)的奇妙，數(shù)與形結(jié)合的奧妙與美！3.解決問題方式多樣化，使數(shù)形結(jié)合相伴成為一種自然。在使用數(shù)學(xué)教材的過程中我們發(fā)現(xiàn)，教材中有許多的問題呈現(xiàn)方式借助于圖來呈現(xiàn)，有許多的解決問題的方法，不僅有著傳統(tǒng)的數(shù)與式的運(yùn)算，更有著圖與形的引導(dǎo)與呈現(xiàn)。（1）教材中數(shù)形結(jié)合的呈現(xiàn)：比如以新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材第四版二年級(jí)下冊(cè)的“十年變化”為例，關(guān)于兩位數(shù)加法的計(jì)算，教材中不僅有代表著形的數(shù)線的方法呈現(xiàn)，也有計(jì)數(shù)器的方法呈現(xiàn)，同時(shí)還有代表著數(shù)的橫式的計(jì)算與豎式的計(jì)算方法呈現(xiàn)。在計(jì)算方法的學(xué)習(xí)中，有數(shù)、有形的多種方法呈現(xiàn)已成為教材的特點(diǎn)之一。這就提示我們一線教師，在教學(xué)中，不要只把幾何直觀能力的培養(yǎng)只局限于有于圖形的面積或體積等圖形的教學(xué)之中，還可以在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域進(jìn)行。（2）在解決問題時(shí)，可以把問題或題目中的關(guān)鍵句借助于圖形進(jìn)行多樣化呈現(xiàn)來幫助理解題目意思。比如“分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（二）”一節(jié)的教學(xué)，在出示題目后，學(xué)生可以借助于圖來理解題意。在引導(dǎo)學(xué)生理解“第二天比第一天多1/5時(shí)，可以借助于不同的方式來表達(dá)。上面的8幅圖是在老師出示題目之后，讓學(xué)生自己理解題意后的圖示，反映出學(xué)生正確的理解與多樣的表達(dá)。學(xué)生不同的表達(dá)方式在班級(jí)進(jìn)行交流與分享后，便給學(xué)生留下數(shù)形結(jié)合強(qiáng)烈而直觀的印象，直接促進(jìn)學(xué)生幾何直觀能力的形成。（3）還可以把解決問題的方法進(jìn)行借助圖形進(jìn)行多樣化呈現(xiàn)，使學(xué)生不僅有選擇思考自己喜歡方法的機(jī)會(huì)，還在題目與解決問題方法的不同呈現(xiàn)方式中形成多樣化的思考及數(shù)形結(jié)合思考習(xí)慣的形成。比如在教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)“住新房”一課計(jì)算12x14時(shí)，除了教材中呈現(xiàn)的方法之外，把住房中的每戶用一個(gè)圓來表示，便成為幫助學(xué)生理解的點(diǎn)子圖在這樣的圖示是住房圖的一種抽象后直觀地表達(dá)，學(xué)生不僅可以直觀看到每一步算出的是哪一部分，理解兩位數(shù)算法的算理，每當(dāng)學(xué)生進(jìn)行乘法的計(jì)算時(shí)，便能自然地想到點(diǎn)子圖，并借助于圖來思考與表達(dá)，這也為后續(xù)的乘法分配律的學(xué)習(xí)及直角坐標(biāo)系的認(rèn)識(shí)等知識(shí)作以鋪墊。4.尋找問題中數(shù)形結(jié)合的思維點(diǎn)，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的有效溝通。我們的生活的世界五彩繽紛，當(dāng)把我們的眼光聚焦于“數(shù)量關(guān)系與空間形式”時(shí)，便成為我們的數(shù)學(xué)研究。數(shù)與形的存在并不是孤立的，它們是彼此聯(lián)系的，但在我們教學(xué)中，特別是在教學(xué)中常常為了學(xué)習(xí)與研究的方便把它們單獨(dú)羅列出來，這便造成了數(shù)與形的分家，找準(zhǔn)數(shù)形結(jié)合的思維點(diǎn)，使數(shù)形之間進(jìn)行有效地溝通，便成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，幾何直觀思維能力的關(guān)鍵點(diǎn)，直接影響著學(xué)生幾何直觀思維習(xí)慣的形成。比如筆者在對(duì)五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“找因數(shù)”一課的研究中，曾在四年級(jí)進(jìn)行“借助于圖形的直觀理解找因數(shù)”方法的成功嘗試，教學(xué)主要流程如下：（1）用12個(gè)小正方形拼成一個(gè)長方形，有哪幾種拼法？請(qǐng)你試著想一想、拼一拼或畫一畫。（沒有五數(shù)上教材，也沒有方格紙）（2）集體交流拼法（老師讓學(xué)生把自己不同的拼法用小正方形帖在白紙上，然后老師帖在黑板上）（3）用乘法算式來表達(dá)自己的拼法（4）根據(jù)乘法算式中數(shù)的特點(diǎn)把拼法排序（5）觀察乘法算式中的數(shù)與12有著怎樣的關(guān)系。（6）引出“找因數(shù)”（7）去掉重復(fù)的拼法（把有著相同數(shù)的拼法之一去掉）找因數(shù)練習(xí)：（1）找出9和15的因數(shù)；（2）找出24的全部因數(shù)。（沒有五數(shù)上教材中的填空引導(dǎo)）在引導(dǎo)學(xué)生把“用12個(gè)小正方形可以拼成哪幾種長方形”的教學(xué)之后，讓學(xué)生找9和15的因數(shù)，老師不做任何提示，全班學(xué)生沒有動(dòng)手操作的，而是直接用乘法算式說出了9和15的因數(shù)，即使在找24的因數(shù)時(shí)有五分之一的學(xué)生用小正形畫出拼的圖，也沒有學(xué)生再動(dòng)手拼。從學(xué)生的這種表現(xiàn)可以看到操作所產(chǎn)生的直觀對(duì)于找因數(shù)的作用，對(duì)學(xué)生已產(chǎn)生了深刻的印象，在學(xué)生的頭腦中找把找因數(shù)與用小正方形拼的方法自覺地聯(lián)系地一起，初步運(yùn)用了幾何直觀，從拼小正方形的方法理解到用乘法算式即可解決找因數(shù)的問題。實(shí)現(xiàn)了一個(gè)從“形”到“數(shù)”的思維跳躍過程，由此悄然形成了一種關(guān)于解決此方面問題的直覺。5.尋找從形到數(shù)的思維彈跳點(diǎn)，適時(shí)抽象。任何一種方法都其局限性，每一種方法都有其一定的適用范圍。要想突破范圍的限制，達(dá)到解決問題的最佳效果，就要把各種方法有機(jī)地結(jié)合起來，靈活地加以應(yīng)用，以促進(jìn)學(xué)生幾何直觀思維的靈活性。比如教學(xué)五數(shù)下“分?jǐn)?shù)除法（二）一課，教材中借用圓餅圖引導(dǎo)學(xué)生理解4張大餅，每幾分之幾張一份可以分成多少份？的列式方法和算理，在餅圖之后，又借助于線段圖，從另外一種角度來引導(dǎo)學(xué)生理解，旨在進(jìn)行一個(gè)數(shù)除以分法方法的歸納與發(fā)現(xiàn)。在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，在上面的餅圖與及（1）（2）題的線段圖中，學(xué)生能借助圖的理解，從中直接發(fā)現(xiàn)“除以一個(gè)數(shù)就等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”的規(guī)律。但是到了下面的（3）題時(shí)，學(xué)生很難以理解2+2/3為什么等于2義3/2。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況？難道是“除以一個(gè)數(shù)就等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”的規(guī)律在下圖中不適用？在教材編寫老師的啟發(fā)下，使我們理解到，到此時(shí)，不必要非得讓學(xué)生從圖中發(fā)現(xiàn)2+2/3為什么等于2又3/2的答案。對(duì)此點(diǎn)我們進(jìn)行了教學(xué)嘗試與討論，發(fā)現(xiàn)，此圖正是學(xué)生從圖向分?jǐn)?shù)除法計(jì)算方法的一個(gè)跳躍點(diǎn)。如果讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，一個(gè)班很難有幾個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，如果老師借圖引導(dǎo)2+2/3為什么等于2又3/2這一問題，還是會(huì)有相當(dāng)一部分學(xué)生難以理解。這豈不印證了“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”這一說法？此處的教學(xué)使我們充分感受到，作為易懂的圖形會(huì)帶給我們的不僅有著直觀的認(rèn)識(shí)，還有著一些干擾。而此處，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，則采用適當(dāng)引導(dǎo)，為